Công thức đạo hàm

Lớp CNTT_K12D – Nhóm GUG – Khoa: CNTT Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên... Lớp CNTT_K12D – Nhóm GUG – Khoa: CNTT Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông T

Lớp CNTT_K12D – Nhóm GUG – Khoa: CNTT Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên

BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CƠ BẢN

ĐẠO HÀM HÀM SỐ CƠ BẢN

n ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP

(C)’ = 0 (C: hằng số) Giả sử u =u(x) có đạo hàm theo biến x (u + v)’ = u’ + v’; (u - v)’ = u’ - v’

(x)’ = 1 ; (Cx)’ = C (k.u)’ = k.u’ (k là hằng số) ( u1  u2   un)'  u1'  u2'   un'

1 )' ( x   x ( u)'   u1 u ' (u.v)’ = u’.v + v’.u

(u.v w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’

2

1 )'

1

(

x

x   với (x0) ( 1 )' 12 u '

u

u   ; ( )' 2 u '

u

C u

C  

2 '.

'.

)' (

v

u v v u v

x

x

2

1 )'

2

1 )'

u

2 )'

u

C u

) (

)' (

d cx

bc ad d

cx

b ax











x

) (

) (

2 ) (

)' (

q px mx

cp bq x cm aq x

bm ap q

px mx

c bx ax

























x

x )' sin

) (

2 )'

(

q px

cp bq aqx apx

q px

c bx ax

















x x

x 2 1 tan2

cos

1 )'



k



cos

' )'

u

u

x

n

xn n

) cot 1 ( sin

1 )'

x

x      ; (xk) ( 1 cot ) '

sin

' )'

u

u

u      ( 1 )'   .1' ; ( u  0 )

u

u n

x x

e

e )' 

a a

ax)' x ln

x

x )' 1

u

u

u )' '

ax

a

cos )'

ax

a

sin )'

a x

x a

ln

1 )'

ln

1 )'

a u u

Lớp CNTT_K12D – Nhóm GUG – Khoa: CNTT Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên

BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CẤP CAO

e

e

e

e a

b ax

b ax n

a

y  ( 1)( 2) (  1).(  )

4

x

y





1

  1

1

!





 n n n

x

n y

5

x

y





1

  1

1

!





 n

n

x

n y











 



2

x

y n









 



2

x

y n

8 ysin(axb)  











  



2 sin

b ax a

9 ycos(axb)  











  



2 cos

b ax a

x

n



11 yln(axb)    

 n

n n

n

b ax

a n y







) 1

1 2 1

2

! )!

3 2 ( ) 1 (







n n

n n

x

n y

13

x

x y







1

  1

1

! 2





 n

n

x

n y

14 y f(axb)    

) (

a

15

x

x

2

) 3 2 (

) 1 (

2 1 2

1









x

n

n n n

Lớp CNTT_K12D – Nhóm GUG – Khoa: CNTT Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên

1 Công thức Lepnit

g f C g

f C g

f C g

f C g

n

k

n

.

'.

.

.

.

0

)





2 Công thức Taylor

Giả sử hàm số f có các đạo hàm cấp n liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm cấp n + 1 tren khoảng a, b Khi đó tồn tại một

điểm x0 a,b sao cho:

) ( )

(

!

) (

) (

! 2

) ( ' )

(

! 1

' ) ( )

n

x f x

x x f x

x x f x

f x

n

















3 Công thức Maclaurin:

Giả sử hàm số f có các đạo hàm đến cấp n 1 tên một lân cận điểm 0 (tức là trên một khoảng mở chứa điểm 0) Khi đó :

n

n

f ' 0 f " 0 f 0

Với

n 1

n 1 n

f x

n 1 ! (phần dư dạng lagrange)

Hoặc

n 1

n

f x

Áp dụng công thức Taylor viết công thức triển khai của một số hàm số:

1! 2! n ! n 1 !

 

) ( )

(

!

) (

0 0

0

x R x

x k

x f

n k

k n

k









Lớp CNTT_K12D – Nhóm GUG – Khoa: CNTT Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên

n 1

n n

k 1

2k

2k 1

Một số bài tập áp dụng Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1

d cx

b ax y





5 4

3 2







x

x

n mx

c bx ax y







 2 4

1

1

2









x

x x

 



 2

1

x y x

6 ysin23x.cos32x 7 y cos x2 8 1

1

x y x





 9 2

3 1

x y x





2

4 3

x y x





tan

12  3  

sin 1

cos

y

x

y





 15  

20



1 1

x y

x 17

   

2007

5 1

7

t

18 



2

x y

19 



sin

x y

x cosx 20  2  

3

t 23 ysin(2 sin )x

Bài 2: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

1 1

y

x



 2 2 5 2

1

2  



x x

y 3

3 2

9

x y x





4 ysin 5x 5 ysin 22 x 6 ysin sin 5x x