Tóm tắt công thức toán
CÔNG THỨC TOÁN HỌC Trần Anh Tuấn - 0974 396 391 (Giảng viên Toán trường Đại học Thương Mại - TT luyện thi ĐHSPHN) LƯỢNG GIÁC 1. Các hệ thức lượng giác cơ bản 1. sin 2 𝛼 + cos 2 𝛼 = 1; 2. tan 𝛼 = sin 𝛼 cos 𝛼 ; 3. cot 𝛼 = cos 𝛼 sin 𝛼 ; 4. tan 𝛼. cot 𝛼 = 1; 5. 1 + tan 2 𝛼 = 1 cos 2 𝛼 ; 6. 1 + cot 2 𝛼 = 1 sin 2 𝛼 ; 7. sin(𝛼+𝑘2𝜋) = sin 𝛼; cos(𝛼+𝑘2𝜋) = cos 𝛼; tan(𝛼+𝑘𝜋) = tan 𝛼; cot(𝛼 +𝑘𝜋) = cot 𝛼. 2. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt P P P P P P P Góc Hàm −𝛼 𝜋 −𝛼 𝜋 2 − 𝛼 𝜋 + 𝛼 sin −sin 𝛼 sin 𝛼 cos 𝛼 −sin 𝛼 cos cos 𝛼 −cos 𝛼 sin 𝛼 −cos 𝛼 tan −tan 𝛼 −tan 𝛼 cot 𝛼 tan 𝛼 cot −cot 𝛼 −cot 𝛼 tan 𝛼 cot 𝛼 “cos đối, sin bù, phụ chéo, khác 𝜋 tan và cot” 3. Công thức cộng, công thức nhân đôi, nhân ba, hạ bậc 1. cos(𝑎±𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏∓sin 𝑎 sin 𝑏; sin(𝑎±𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏±cos 𝑎 sin 𝑏; 2. cos 2𝑎 = cos 2 𝑎 − sin 2 𝑎 = 2 cos 2 𝑎 − 1 = 1 − 2 sin 2 𝑎 = 1−tan 2 𝑎 1+tan 2 𝑎 ; 3. sin 2𝑎 = 2 sin 𝑎 cos 𝑎 = 2 tan 𝑎 1+tan 2 𝑎 ; tan 2𝑎 = 2 tan 𝑎 1−tan 2 𝑎 ; sin 2 𝑎 = 1−cos 2𝑎 2 4. sin 3𝑎 = 3 sin 𝑎 − 4 sin 3 𝑎; cos 3𝑎 = 4 cos 3 𝑎 − 3 cos 𝑎; cos 2 𝑎 = 1+cos 2𝑎 2 . 4. Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích 1. cos 𝑢+cos 𝑣 = 2 cos 𝑢+𝑣 2 cos 𝑢−𝑣 2 ; cos 𝑢−cos 𝑣 = −2 sin 𝑢+𝑣 2 sin 𝑢−𝑣 2 ; 2. sin 𝑢 + sin 𝑣 = 2 sin 𝑢+𝑣 2 cos 𝑢−𝑣 2 ; sin 𝑢 − sin 𝑣 = 2 cos 𝑢+𝑣 2 sin 𝑢−𝑣 2 ; 3. cos 𝑎 cos 𝑏 = 1 2 [cos(𝑎 + 𝑏) + cos(𝑎 − 𝑏)]; sin 𝑎 sin 𝑏 = − 1 2 [cos(𝑎 + 𝑏) − cos(𝑎 − 𝑏)]; sin 𝑎 cos 𝑏 = 1 2 [sin(𝑎 + 𝑏) + sin(𝑎 − 𝑏)]; 4. sin 𝑥 ± cos 𝑥 = √ 2 sin 𝑥 ± 𝜋 4 = √ 2 cos 𝑥 ∓ 𝜋 4 ; 1 ± sin 2𝑥 = (sin 𝑥±cos 𝑥) 2 ; sin 4 𝑥+ cos 4 𝑥 = 1 − 1 2 sin 2 2𝑥; sin 6 𝑥+ cos 6 𝑥 = 1 − 3 4 sin 2 2𝑥; 5. Phương trình lượng giác cơ bản 1. sin 𝑥 = sin 𝛼 ⇔ 𝑥 = 𝛼 + 𝑘2𝜋 𝑥 = 𝜋 − 𝛼 + 𝑘2𝜋; 2. sin 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑘𝜋; 3. sin 𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 = 𝜋 2 + 𝑘2𝜋; 4. sin 𝑥 = −1 ⇔ 𝑥 = − 𝜋 2 + 𝑘2𝜋; 5. sin 𝑥 = 𝑚 ⇔ 𝑥 = arcsin(𝑚) + 𝑘2𝜋 𝑥 = 𝜋 − arcsin(𝑚) + 𝑘2𝜋, có nghiệm ⇔ |𝑚| ≤ 1; 6. cos 𝑥 = cos 𝛼 ⇔ 𝑥 = ±𝛼 + 𝑘2𝜋; 7. cos 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 𝜋 2 + 𝑘𝜋; 8. cos 𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 = 𝑘2𝜋; 9. cos 𝑥 = −1 ⇔ 𝑥 = 𝜋 + 𝑘2𝜋; 10. cos 𝑥 = 𝑚 ⇔ 𝑥 = ±arccos(𝑚) + 𝑘2𝜋, có nghiệm ⇔ |𝑚| ≤ 1; 11. tan 𝑥 = tan 𝛼 ⇔ 𝑥 = 𝛼 + 𝑘𝜋; tan 𝑥 = 𝑚 ⇔ 𝑥 = arctan(𝑚) + 𝑘𝜋; 12. cot 𝑥 = cot 𝛼 ⇔ 𝑥 = 𝛼 + 𝑘𝜋; 13. cot 𝑥 = 𝑚 ⇔ 𝑥 = arccot(𝑚) + 𝑘𝜋. 6. Phương trình lượng giác đơn giản 1. 𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 cos 𝑥 = 𝑐 ⇔ 𝑎 √ 𝑎 2 +𝑏 2 sin 𝑥 + 𝑏 √ 𝑎 2 +𝑏 2 cos 𝑥 = 𝑐 √ 𝑎 2 +𝑏 2 , với cos 𝛼 = 𝑎 √ 𝑎 2 +𝑏 2 , sin 𝛼 = 𝑏 √ 𝑎 2 +𝑏 2 ⇒ sin(𝑥+𝛼) = 𝑐 √ 𝑎 2 +𝑏 2 , 𝑐 2 ≤ 𝑎 2 +𝑏 2 ; PT tương tự 𝑎 sin 𝑢 + 𝑏 cos 𝑢 = √ 𝑎 2 + 𝑏 2 sin 𝑣 (hoặc √ 𝑎 2 + 𝑏 2 cos 𝑣); và 𝑎 sin 𝑢 + 𝑏 cos 𝑢 = 𝑎 ′ sin 𝑣 + 𝑏 ′ cos 𝑣, với √ 𝑎 2 + 𝑏 2 = √ 𝑎 ′2 + 𝑏 ′2 ; 2. Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sin 𝑥 và cos 𝑥 𝑎 sin 2 𝑥 + 𝑏 sin 𝑥 cos 𝑥 + 𝑐 cos 2 𝑥 + 𝑑 = 0, và 𝑎 sin 3 𝑥 + 𝑏 sin 2 𝑥 cos 𝑥 + 𝑐 sin 𝑥 cos 2 𝑥 + 𝑑 cos 3 𝑥 + 𝑒 sin 𝑥 + 𝑓 cos 𝑥 = 0. Chia hai vế phương trình cho sin 2 𝑥 (hoặc cos 3 𝑥), rồi đặt 𝑡 = tan 𝑥. 3. PT đối xứng sin 𝑥 và cos 𝑥 : 𝑎(sin 𝑥 ± cos 𝑥) + 𝑏 sin 𝑥 cos 𝑥 + 𝑐 = 0, đặt 𝑡 = sin 𝑥 ± cos 𝑥 (|𝑡| ≤ √ 2), khi đó sin 𝑥 cos 𝑥 = ± 𝑡 2 −1 2 . 7. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho Δ𝐴𝐵𝐶, 𝐴 = 90 ∘ , đường cao 𝐴𝐻, có : 1. 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐵 2 + 𝐴𝐶 2 ; 2. 1 𝐴𝐻 2 = 1 𝐴𝐵 2 + 1 𝐴𝐶 2 . 8. Hệ thức lượng trong tam giác thường : cho Δ𝐴𝐵𝐶, có các cạnh 𝑎, 𝑏, 𝑐; độ dài các đường cao ℎ 𝑎 , ℎ 𝑏 , ℎ 𝑐 ; trung tuyến 𝑚 𝑎 , 𝑚 𝑏 , 𝑚 𝑐 : 1. ĐL h/s cos: 𝑎 2 = 𝑏 2 +𝑐 2 −2𝑏𝑐 cos 𝐴; cos 𝐴 = 𝑏 2 +𝑐 2 −𝑎 2 2𝑏𝑐 ; 2. CT trung tuyến 𝑚 2 𝑎 = 2(𝑏 2 +𝑐 2 )−𝑎 2 4 ; 3. ĐL h/s sin: 𝑎 = 2𝑅 sin 𝐴; 4. CT diện tích: 𝑆 = 1 2 𝑎ℎ 𝑎 = 1 2 𝑏𝑐 sin 𝐴 = 𝑝𝑟 = 𝑎𝑏𝑐 4𝑅 = 𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐), 𝑝 = 𝑎+𝑏+𝑐 2 - nửa chu vi; 𝑅, 𝑟 - bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 1. Bất đẳng thức Cauchy : 1. Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≥ 0, có : 𝑎+𝑏 2 ≥ √ 𝑎𝑏; 𝑎+𝑏+𝑐 3 ≥ 3 √ 𝑎𝑏𝑐; 2. Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0, có : 1 𝑎 + 1 𝑏 ≥ 4 𝑎+𝑏 ; 1 𝑎 + 1 𝑏 + 1 𝑐 ≥ 9 𝑎+𝑏+𝑐 , dấu bằng ⇔ 𝑎 = 𝑏 = 𝑐. 2. Bất đẳng thức hình học : cho −→ 𝑢 = (𝑎; 𝑏), −→ 𝑣 = (𝑐; 𝑑), có : 1. | −→ 𝑢 | + | −→ 𝑣 | ≥ | −→ 𝑢 + −→ 𝑣 | ⇔ √ 𝑎 2 + 𝑏 2 + √ 𝑐 2 + 𝑑 2 ≥ (𝑎 + 𝑐) 2 + (𝑏 + 𝑑) 2 , dấu bằng ⇔ 𝑎 𝑐 = 𝑏 𝑑 > 0 ( −→ 𝑢 , −→ 𝑣 cùng chiều); 2. | −→ 𝑢 |.| −→ 𝑣 | ≥ | −→ 𝑢 . −→ 𝑣 | ⇔ √ 𝑎 2 + 𝑏 2 . √ 𝑐 2 + 𝑑 2 ≥ |𝑎𝑐 + 𝑏𝑐|, dấu bằng ⇔ 𝑎 𝑐 = 𝑏 𝑑 ( −→ 𝑢 , −→ 𝑣 cùng phương). 3. Phương trình bậc hai : PT 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (𝑎 ̸= 0). 1. Δ = 𝑏 2 −4𝑎𝑐; 2. PT có hai nghiệm p/b khi Δ > 0, nghiệm kép khi Δ = 0, vô nghiệm khi Δ < 0; 2 nghiệm trái dấu khi 𝑃 < 0; 2 nghiệm dương p/b khi Δ > 0 𝑃 > 0, 𝑆 > 0 ; 3. ĐL Vi-ét 𝑆 = 𝑥 1 + 𝑥 2 = − 𝑏 𝑎 𝑃 = 𝑥 1 𝑥 2 = 𝑐 𝑎 . 4. Phương trình, bất phương trình chứa căn : 1. √ 𝐴 = √ 𝐵 ⇔ 𝐴 ≥ 0 (or 𝐵 ≥ 0) 𝐴 = 𝐵; 2. √ 𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝐵 ≥ 0 𝐴 = 𝐵 2 ; 3. √ 𝐴 > √ 𝐵 ⇔ 𝐵 ≥ 0 𝐴 ≥ 𝐵; 4. √ 𝐴 < 𝐵 ⇔ 𝐵 ≥ 0 và 𝐴 ≥ 0 𝐴 < 𝐵 2 ; 5. √ 𝐴 > 𝐵 ⇔ 𝐵 < 0 𝐴 ≥ 0 hoặc 𝐵 ≥ 0 𝐴 ≥ 𝐵 2 . 5. Phương trình, bất PT mũ và logarit : với 𝑎 > 0, 𝑎 ̸= 1 1. 𝑎 𝑢 = 𝑎 𝑣 ⇔ 𝑢 = 𝑣; 2. 𝑎 𝑢 = 𝑏 ⇔ 𝑏 > 0 𝑢 = log 𝑎 𝑏; 3. log 𝑎 𝑢 = 𝑏 ⇔ 𝑢 = 𝑎 𝑏 ; 4. log 𝑎 𝑢 = log 𝑎 𝑣 ⇔ 𝑢 > 0 (or 𝑣 > 0) 𝑢 = 𝑣; 5. 𝑎 𝑢 > 𝑎 𝑣 ⇔ 𝑎 > 1 𝑢 > 𝑣 or 0 < 𝑎 < 1 𝑢 < 𝑣; 6. 𝑎 𝑢 > 𝑏 ⇔ 𝑏 < 0 𝑢 − xác định or 𝑏 > 0, 𝑎 > 1 𝑢 > log 𝑎 𝑏 or 𝑏 > 0, 0 < 𝑎 < 1 𝑢 < log 𝑎 𝑏; 7. 𝑎 𝑢 < 𝑏 ⇔ 𝑏 > 0, 𝑎 > 1 𝑢 < log 𝑎 𝑏 or 𝑏 > 0, 0 < 𝑎 < 1 𝑢 > log 𝑎 𝑏; 8. log 𝑎 𝑢 > log 𝑎 𝑣 ⇔ 𝑎 > 1 𝑢 > 𝑣 > 0 or 0 < 𝑎 < 1 0 < 𝑢 < 𝑣; 9. log 𝑎 𝑢 > 𝑏 ⇔ 𝑎 > 1 𝑢 > 𝑎 𝑏 or 0 < 𝑎 < 1 0 < 𝑢 < 𝑎 𝑏 ; 10. log 𝑎 𝑢 < 𝑏 ⇔ 𝑎 > 1 0 < 𝑢 < 𝑎 𝑏 or 0 < 𝑎 < 1 𝑢 > 𝑎 𝑏 . 6. Quy tắc tính đạo hàm : cho 𝑢 = 𝑢(𝑥), 𝑣 = 𝑣(𝑥), có 1. (𝑢 ± 𝑣) ′ = 𝑢 ′ ± 𝑣 ′ ; (𝑢𝑣) ′ = 𝑢 ′ 𝑣 + 𝑢𝑣 ′ ; 𝑢 𝑣 ′ = 𝑢 ′ 𝑣−𝑢𝑣 ′ 𝑣 2 ; 2. 𝑔(𝑥) = 𝑓 [𝑢(𝑥)] ⇒ 𝑔 ′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑢 .𝑢 ′ 𝑥 và có bảng đạo hàm cơ bản (𝐶.𝑥) ′ = 𝐶 (𝐶.𝑢) ′ = 𝐶.𝑢 ′ (𝑥 𝛼 ) ′ = 𝛼.𝑥 𝛼−1 (𝑢 𝛼 ) ′ = 𝛼.𝑢 𝛼−1 .𝑢 ′ 1 𝑥 ′ = − 1 𝑥 2 1 𝑢 ′ = − 𝑢 ′ 𝑢 2 ( √ 𝑥) ′ = 1 2 √ 𝑥 ( √ 𝑢) ′ = 𝑢 ′ 2 √ 𝑢 (𝑒 𝑥 ) ′ = 𝑒 𝑥 (𝑒 𝑢 ) ′ = 𝑒 𝑢 .𝑢 ′ (𝑎 𝑥 ) ′ = 𝑎 𝑥 . ln 𝑎 (𝑎 𝑢 ) ′ = 𝑎 𝑢 . ln 𝑎.𝑢 ′ (ln |𝑥|) ′ = 1 𝑥 (ln |𝑢|) ′ = 𝑢 ′ 𝑢 (log 𝑎 |𝑥|) ′ = 1 𝑥 ln 𝑎 (log 𝑎 |𝑢|) = 𝑢 ′ 𝑢. ln 𝑎 (sin 𝑥) ′ = cos 𝑥 (sin 𝑢) ′ = 𝑢 ′ . cos 𝑢 (cos 𝑥) ′ = −sin 𝑥 (cos 𝑢) ′ = −𝑢 ′ . sin 𝑢 (tan 𝑥) ′ = 1 cos 2 𝑥 (tan 𝑢) ′ = 𝑢 ′ cos 2 𝑢 (cot 𝑥) ′ = − 1 sin 2 𝑥 (cot 𝑢) ′ = − 𝑢 ′ sin 2 𝑢 Chú ý : 𝑎𝑥+𝑏 𝑐𝑥+𝑑 ′ = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 (𝑐𝑥+𝑑) 2 ; 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 𝑚𝑥+𝑛 ′ = 𝑎𝑚𝑥 2 +2𝑎𝑛𝑥+ 𝑏 𝑐 𝑚 𝑛 (𝑚𝑥+𝑛) 2 ; 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑚𝑥 2 + 𝑛𝑥 + 𝑝 ′ = 𝑎 𝑏 𝑚 𝑛 𝑥 2 + 2 𝑎 𝑐 𝑚 𝑝 𝑥 + 𝑏 𝑐 𝑛 𝑝 (𝑚𝑥 2 + 𝑛𝑥 + 𝑝) 2 . 7. Phương trình tiếp tuyến của đường cong 𝑦 = 𝑓(𝑥) tại điểm 𝑀 0 (𝑥 0 ; 𝑓(𝑥 0 )) thuộc đường cong là 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥 0 )(𝑥 − 𝑥 0 ) + 𝑓 (𝑥 0 ). 8. Điều kiện tiếp xúc của hai đường cong 𝑦 = 𝑓 (𝑥) và 𝑦 = 𝑔(𝑥) là hệ phương trình tiếp điểm 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑔 ′ (𝑥) có nghiệm. 9. Tính đồng biến, nghịch biến : 1. Nếu 𝑓 ′ (𝑥) > 0 với mọi 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) thì 𝑦 = 𝑓 (𝑥) đồng biến trên (𝑎; 𝑏); 2. Nếu 𝑓 ′ (𝑥) < 0 với mọi 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏) thì 𝑦 = 𝑓(𝑥) nghịch biến trên (𝑎; 𝑏). 10. Cực trị : 1. Hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) có 𝑓 ′ (𝑥 0 ) = 0 và đổi dấu khi qua điểm 𝑥 0 , thì 𝑥 0 gọi là cực trị của hàm số; nếu 𝑓 ′ đổi dấu từ + sang − thì 𝑥 0 là điểm cực đại; nếu 𝑓 ′ đổi dấu từ − sang + thì 𝑥 0 là điểm cực tiểu; 2. Nếu 𝑓 ′ (𝑥 0 ) = 0 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) > 0 thì 𝑥 0 là điểm cực tiểu; nếu 𝑓 ′ (𝑥 0 ) = 0 𝑓 ′′ (𝑥 0 ) < 0 thì 𝑥 0 là điểm cực đại. 11. Nguyên hàm các hàm số cơ bản : 𝑎 d𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝐶 𝑥 𝛼 d𝑥 = 𝑥 𝛼+1 𝛼+1 + 𝐶 d𝑥 𝑥 = ln |𝑥| + 𝐶 𝑒 𝑥 d𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶 𝑎 𝑥 d𝑥 = 𝑎 𝑥 ln 𝑎 + 𝐶 sin 𝑥 d𝑥 = −cos 𝑥 + 𝐶 cos 𝑥 d𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 d𝑥 cos 2 𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 d𝑥 sin 2 𝑥 = −cot 𝑥 + 𝐶 1 12. Phương pháp tìm nguyên hàm 1. Đổi biến : 𝑓(𝑢)𝑢 ′ d𝑥 = 𝐹 (𝑢) + 𝐶 (𝐹 là một nguyên hàm của 𝑓); 2. Nguyên hàm từng phần : 𝑢 d𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣 d𝑢. 13. Tích phân 1. CT Niu-tơn - Laibnit : 𝑏 𝑎 𝑓(𝑥) d𝑥 = 𝐹 (𝑏) − 𝐹 (𝑎); 2. CT đổi biến số : 𝑏 𝑎 𝑓 [𝑢(𝑥)] 𝑢 ′ (𝑥) d𝑥 = 𝑢(𝑏) 𝑢(𝑎) 𝑓(𝑢) d𝑢; 3. CT tích phân từng phần : 𝑏 𝑎 𝑢 d𝑣 = 𝑢𝑣 ⃒ ⃒ ⃒ 𝑏 𝑎 − 𝑏 𝑎 𝑣 d𝑢. 14. Công thức diện tích, thể tích : cho 𝑎 < 𝑏, ta có 1. Hình 𝐻 1 : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑦 = 𝑓 (𝑥) 𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑥 = 𝑎 𝑥 = 𝑏 ; 2. Hình 𝐻 2 : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑥 = 𝑓(𝑦) 𝑥 = 𝑔(𝑦) 𝑦 = 𝑎 𝑦 = 𝑏 𝑆 𝐻 1 = 𝑏 𝑎 |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)| d𝑥 𝑆 𝐻 2 = 𝑏 𝑎 |𝑓(𝑦) − 𝑔(𝑦)| d𝑦. 3. Hình 𝐻 3 : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑦 = 𝑓 (𝑥) trục 𝑂𝑥 𝑥 = 𝑎 𝑥 = 𝑏 ; 4. Hình 𝐻 4 : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 𝑥 = 𝑓(𝑦) trục 𝑂𝑦 𝑦 = 𝑎 𝑦 = 𝑏 𝑉 𝐻 3 quanh 𝑂𝑥 = 𝜋 𝑏 𝑎 𝑓 2 (𝑥) d𝑥 𝑉 𝐻 4 quanh 𝑂𝑦 = 𝜋 𝑏 𝑎 𝑓 2 (𝑦) d𝑦. 15. Số phức 1. Dạng đại số : 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ C; 𝑎, 𝑏 ∈ R; 𝑖 2 = −1; 𝑎: phần thực; 𝑏: phần ảo; 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎 ′ + 𝑏 ′ 𝑖 ⇔ 𝑎 = 𝑎 ′ và 𝑏 = 𝑏 ′ ; |𝑧| = √ 𝑎 2 + 𝑏 2 : mô-đun của 𝑧; 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖: số phức liên hợp; 𝑧 −1 = 1 𝑧 : số phức nghịch đảo. 2. Dạng LG : 𝑧 = 𝑟(cos 𝜙 + 𝑖 sin 𝜙); 𝜙: acrgumen của 𝑧; 𝑟 = |𝑧| > 0. 3. Phép toán : (𝑎+𝑏𝑖)±(𝑎 ′ +𝑏 ′ 𝑖) = (𝑎±𝑎 ′ )+(𝑏±𝑏 ′ )𝑖; (𝑎+𝑏𝑖)(𝑎 ′ +𝑏 ′ 𝑖) = (𝑎𝑎 ′ −𝑏𝑏 ′ ) + (𝑎𝑏 ′ + 𝑎 ′ 𝑏)𝑖; 𝑎+𝑏𝑖 𝑎 ′ +𝑏 ′ 𝑖 = (𝑎+𝑏𝑖)(𝑎 ′ −𝑏 ′ 𝑖) (𝑎 ′ +𝑏 ′ 𝑖)(𝑎 ′ −𝑏 ′ 𝑖) = 𝑎𝑎 ′ +𝑏𝑏 ′ 𝑎 ′2 +𝑏 ′2 + 𝑎 ′ 𝑏−𝑎𝑏 ′ 𝑎 ′2 +𝑏 ′2 𝑖; Nếu 𝑧 = 𝑟(cos 𝜙 + 𝑖 sin 𝜙) và 𝑧 ′ = 𝑟 ′ (cos 𝜙 ′ + 𝑖 sin 𝜙 ′ ) thì 𝑧𝑧 ′ = 𝑟𝑟 ′ [cos(𝜙 + 𝜙 ′ ) + 𝑖 sin(𝜙 + 𝜙 ′ )] và 𝑧 𝑧 ′ = 𝑟 𝑟 ′ [cos(𝜙 − 𝜙 ′ ) + 𝑖 sin(𝜙 − 𝜙 ′ )]; CT Moa-vrơ [𝑟(cos 𝜙 + 𝑖 sin 𝜙)] 𝑛 = 𝑟 𝑛 (cos 𝑛𝜙 + 𝑖 sin 𝑛𝜙). 4. Căn bậc hai của 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 là số 𝑤 = 𝑥 + 𝑦𝑖 sao cho 𝑧 = 𝑤 2 ⇔ 𝑥 2 −𝑦 2 = 𝑎 và 2𝑥𝑦 = 𝑏; nếu 𝑧 = 𝑟(cos 𝜙+𝑖 sin 𝜙) thì 𝑧 có hai căn bậc hai là √ 𝑟 cos 𝜙 2 + 𝑖 sin 𝜙 2 và √ 𝑟 cos 𝜋 + 𝜙 2 + 𝑖 sin 𝜋 + 𝜙 2 . 16. Tổ hợp : 1. 𝑃 𝑛 = 𝑛! = 𝑛.(𝑛 − 1) . . . 1; 0! = 1; 𝐴 𝑘 𝑛 = 𝑛! (𝑛−𝑘)! ; 𝐶 𝑘 𝑛 = 𝑛! 𝑘!(𝑛−𝑘)! ; 𝐶 𝑘−1 𝑛−1 + 𝐶 𝑘 𝑛−1 = 𝐶 𝑘 𝑛 ; 2. Nhị thức Niu-tơn : (𝑎 + 𝑏) 𝑛 = 𝑛 𝑘=0 𝐶 𝑘 𝑛 𝑎 𝑘 𝑏 𝑛−𝑘 = 𝑛 𝑘=0 𝐶 𝑘 𝑛 𝑎 𝑛−𝑘 𝑏 𝑘 . 17. Xác suất : 1. 𝑃 (𝐴) = |𝐴| |Ω| ; 𝑃 (∅) = 0; 𝑃 (Ω) = 1; 0 ≤ 𝑃 (𝐴) ≤ 1. 2. 𝑃 (𝐴 + 𝐵) = 𝑃 (𝐴) + 𝑃 (𝐵), với 𝐴, 𝐵 xung khắc; 𝑃 (𝐴) = 1 −𝑃 (𝐴); 3. 𝑃 (𝐴𝐵) = 𝑃 (𝐴)𝑃 (𝐵), với 𝐴, 𝐵 độc lập; 4. Bảng phân bố biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 𝑥 1 𝑥 2 ··· 𝑥 𝑛 𝑃 𝑝 1 𝑝 2 ··· 𝑝 𝑛 có 𝑝 𝑖 = 𝑃 (𝑋 = 𝑥 𝑖 ), 𝑛 𝑖=1 𝑝 𝑖 = 1; kì vọng 𝜇 = 𝐸(𝑋) = 𝑛 𝑖=1 𝑥 𝑖 𝑝 𝑖 ; phương sai 𝑉 (𝑋) = 𝑛 𝑖=1 (𝑥 𝑖 − 𝜇) 2 𝑝 𝑖 ; độ lệch chuẩn 𝜎(𝑋) = 𝑉 (𝑋). 18. Các hằng đẳng thức đáng nhớ 1. (𝑎 ± 𝑏) 2 = 𝑎 2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 ; 2. (𝑎 ± 𝑏) 3 = 𝑎 2 ± 3𝑎 2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 ± 𝑏 3 ; 3. 𝑎 2 − 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏); 4. 𝑎 3 ± 𝑏 3 = (𝑎 ± 𝑏)(𝑎 2 ∓ 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ). 5. (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2𝑏𝑐 + 2𝑏𝑐 + 2𝑐𝑎. HÌNH HỌC A. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 1. Tọa độ điểm, tọa độ véctơ 1. Cho 𝐴(𝑥 1 ; 𝑦 1 ), 𝐵(𝑥 2 ; 𝑦 2 ), 𝐶(𝑥 3 ; 𝑦 3 ), 𝑀: trung điểm 𝐴𝐵, 𝐺: trọng tâm Δ𝐴𝐵𝐶 : −→ 𝐴𝐵 = (𝑥 2 −𝑥 1 ; 𝑦 2 −𝑦 1 ); 𝐴𝐵 = (𝑥 2 − 𝑥 1 ) 2 + (𝑦 2 − 𝑦 1 ) 2 ; 𝑀 𝑥 1 +𝑥 2 2 ; 𝑦 1 +𝑦 2 2 ; 𝐺 𝑥 1 +𝑥 2 +𝑥 3 3 ; 𝑦 1 +𝑦 2 +𝑦 3 3 . 2. Cho −→ 𝑢 = (𝑥 1 ; 𝑦 1 ), −→ 𝑣 = (𝑥 2 ; 𝑦 2 ), thì −→ 𝑢 = −→ 𝑣 ⇔ 𝑥 1 = 𝑥 2 𝑦 1 = 𝑦 2 ; −→ 𝑢 ± −→ 𝑣 = (𝑥 1 ± 𝑥 2 ; 𝑦 1 ± 𝑦 2 ); 𝑘. −→ 𝑢 = (𝑘𝑥 1 ; 𝑘𝑦 1 ) ; −→ 𝑢 −→ 𝑣 ⇔ ∃𝑘 ∈ R : −→ 𝑢 = 𝑘 −→ 𝑣 ⇔ 𝑥 1 𝑥 2 = 𝑦 1 𝑦 2 ; 3 điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 thẳng hàng ⇔ −→ 𝐴𝐵 −→ 𝐴𝐶; −→ 𝑢 . −→ 𝑣 = | −→ 𝑢 |.| −→ 𝑣 |cos( −→ 𝑢 , −→ 𝑣 ) = 𝑥 1 𝑥 2 + 𝑦 1 𝑦 2 ; cos( −→ 𝑢 , −→ 𝑣 ) = −→ 𝑢 . −→ 𝑣 | −→ 𝑢 |.| −→ 𝑣 | = 𝑥 1 𝑥 2 +𝑦 1 𝑦 2 √ 𝑥 2 1 +𝑦 2 1 √ 𝑥 2 2 +𝑦 2 2 ; −→ 𝑢 ⊥ −→ 𝑣 ⇔ −→ 𝑢 . −→ 𝑣 = 0 ⇔ 𝑥 1 𝑥 2 + 𝑦 1 𝑦 2 = 0. 2. Đường thẳng 1. Δ qua 𝑀(𝑥 0 ; 𝑦 0 ), vtcp −→ 𝑢 = (𝑎; 𝑏) ̸= −→ 0 ⇒ Δ : 𝑥 = 𝑥 0 + 𝑎𝑡 𝑦 = 𝑦 0 + 𝑏𝑡 : PT tham số, hoặc Δ : 𝑥−𝑥 0 𝑎 = 𝑦−𝑦 0 𝑏 (𝑎𝑏 ̸= 0): PT chính tắc; 2. Mọi đường thẳng có PT tổng quát 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐 = 0 (𝑎 2 +𝑏 2 ̸= 0), vtpt −→ 𝑛 = (𝑎; 𝑏), vtcp −→ 𝑢 = (−𝑏; 𝑎); 3. Δ qua 𝑀(𝑥 0 ; 𝑦 0 ), vtpt −→ 𝑛 = (𝑎; 𝑏), thì Δ : 𝑎(𝑥 − 𝑥 0 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦 0 ) = 0; 4. Δ qua 𝑀(𝑥 0 ; 𝑦 0 ), có hệ số góc 𝑘, thì Δ : 𝑦 = 𝑘(𝑥 − 𝑥 0 ) + 𝑦 0 ; 5. Cho 𝑀(𝑥 0 ; 𝑦 0 ) và Δ : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, thì 𝑑(𝑀, Δ) = |𝑎𝑥 0 +𝑏𝑦 0 +𝑐| √ 𝑎 2 +𝑏 2 ; 6. cos(Δ 1 , Δ 2 ) = |cos( −→ 𝑛 Δ 1 , −→ 𝑛 Δ 2 )| = | −→ 𝑛 Δ 1 . −→ 𝑛 Δ 2 | | −→ 𝑛 Δ 1 |.| −→ 𝑛 Δ 2 | . 3. Đường tròn : 1. PT chính tắc của đường tròn : (𝑥 − 𝑥 0 ) 2 + (𝑦 −𝑦 0 ) 2 = 𝑅 2 , tâm 𝐼(𝑥 0 ; 𝑦 0 ), bán kính 𝑅 > 0; 2. PT tổng quát của đường tròn : 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑎𝑥 + 2𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, tâm 𝐼(−𝑎; −𝑏), bán kính 𝑅 = √ 𝑎 2 + 𝑏 2 − 𝑐 > 0. 4. Elip : 1. PT chính tắc (𝐸) : 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 = 1 (𝑎 > 𝑏 > 0); 2. Tiêu điểm 𝐹 1 (−𝑐; 0), 𝐹 2 (𝑐; 0), tiêu cự 𝐹 1 𝐹 2 = 2𝑐 > 0 và 𝑎 2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 ; 3. Tâm sai 𝑒 = 𝑐 𝑎 < 1; 4. PT đường chuẩn 𝑥 = ± 𝑎 𝑒 ; 5. Bốn đỉnh 𝐴 1 (−𝑎; 0), 𝐴 2 (𝑎; 0), 𝐵 1 (0; −𝑏), 𝐵 2 (0; 𝑏); 6. Độ dài trục lớn (trục thực) : 2𝑎; trục bé (trục ảo): 2𝑏; 7. PT hình chữ nhật cơ sở 𝑥 = ±𝑎, 𝑦 = ±𝑏; 8. Bán kính qua tiêu : 𝑀(𝑥; 𝑦) ∈ (𝐸), thì 𝑀𝐹 1 = 𝑎 + 𝑐𝑥 𝑎 , 𝑀𝐹 2 = 𝑎 − 𝑐𝑥 𝑎 . 5. Hypebol : 1. PT chính tắc (𝐻) : 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 = 1 (𝑎, 𝑏 > 0); 2. Tiêu điểm 𝐹 1 (−𝑐; 0), 𝐹 2 (𝑐; 0), tiêu cự 𝐹 1 𝐹 2 = 2𝑐 > 0 và 𝑐 2 = 𝑎 2 +𝑏 2 ; 3. Tâm sai 𝑒 = 𝑐 𝑎 > 1; 4. PT đường chuẩn 𝑥 = ± 𝑎 𝑒 ; 5. Bốn đỉnh 𝐴 1 (−𝑎; 0), 𝐴 2 (𝑎; 0), 𝐵 1 (0; −𝑏), 𝐵 2 (0; 𝑏); 6. Độ dài trục lớn (trục thực) : 2𝑎; trục bé (trục ảo): 2𝑏; 7. PT hình chữ nhật cơ sở 𝑥 = ±𝑎, 𝑦 = ±𝑏; 8. Bán kính qua tiêu : 𝑀 (𝑥; 𝑦) ∈ (𝐻), thì 𝑀 𝐹 1 = ⃒ ⃒ 𝑎 + 𝑐𝑥 𝑎 ⃒ ⃒ , 𝑀𝐹 2 = ⃒ ⃒ 𝑎 − 𝑐𝑥 𝑎 ⃒ ⃒ ; 9. PT tiệm cận : 𝑦 = ± 𝑏 𝑎 𝑥. 6. Parabol : 1. PT chính tắc (𝑃 ) : 𝑦 2 = 2𝑝𝑥 (𝑝 > 0); 2. Tiêu điểm 𝐹 𝑝 2 ; 0 ; 3. PT đường chuẩn 𝑥 = − 𝑝 2 . B. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. 𝑉 chóp = 1 3 𝑆.ℎ; 2. 𝑉 lăng trụ = 𝑆.ℎ; 3. 𝑉 cầu = 4 3 𝜋𝑅 3 ; 4. 𝑉 nón = 1 3 𝑆.ℎ; 5. 𝑉 trụ = 𝑆.ℎ; 6. 𝑆 xq-cầu = 4𝜋𝑅 2 ; 7. 𝑆 xq-trụ = 2𝜋𝑅.ℎ; 8. 𝑆 xq-nón = 𝜋𝑅𝑙, 𝑙: đường sinh hình nón. C. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1. Tích có hướng của hai véctơ : 1. Cho −→ 𝑢 = (𝑥 1 ; 𝑦 1 ; 𝑧 1 ), −→ 𝑣 = (𝑥 2 ; 𝑦 2 ; 𝑧 2 ), tích có hướng của hai véctơ −→ 𝑢 và −→ 𝑣 là một véctơ, xác định bởi : [ −→ 𝑢 , −→ 𝑣 ] = ⎛ ⎜ ⎝ 𝑦 1 𝑧 1 𝑦 2 𝑧 2 ; 𝑧 1 𝑥 1 𝑧 2 𝑥 2 ; 𝑥 1 𝑦 1 𝑥 2 𝑦 2 ⎞ ⎟ ⎠ . 2. Ứng dụng của tích vô hướng và tích có hướng 1. 𝑆 Δ𝐴𝐵𝐶 = 1 2 ⃒ ⃒ ⃒ [ −→ 𝐴𝐵, −→ 𝐴𝐶] ⃒ ⃒ ⃒ ; 2. 𝑉 h.hộp = ⃒ ⃒ ⃒ [ −→ 𝐴𝐵, −−→ 𝐴𝐷]. −−→ 𝐴𝐴 ′ ⃒ ⃒ ⃒ ; 3. 𝑉 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 1 6 ⃒ ⃒ ⃒ [ −→ 𝐴𝐵, −→ 𝐴𝐶]. −−→ 𝐴𝐷 ⃒ ⃒ ⃒ ; 4. 𝑑(𝐴𝐵, 𝐶𝐷) = | [ −−→ 𝐴𝐵, −−→ 𝐶𝐷]. −−→ 𝐴𝐶 | | [ −−→ 𝐴𝐵, −−→ 𝐶𝐷] | ; 5. 𝑑(𝑀, 𝐴𝐵) = |[ −−→ 𝑀𝐴, −−→ 𝑀𝐵]| | −−→ 𝐴𝐵| = |[ −−→ 𝑀𝐴, −−→ 𝐴𝐵]| | −−→ 𝐴𝐵| ; 6. cos( −→ 𝑢 , −→ 𝑣 ) = −→ 𝑢 . −→ 𝑣 | −→ 𝑢 |.| −→ 𝑣 | ; 7. sin( −→ 𝑢 , −→ 𝑣 ) = | [ −→ 𝑢 , −→ 𝑣 ] | | −→ 𝑢 |.| −→ 𝑣 | ; 8. cos(𝐴𝐵, 𝐶𝐷) = ⃒ ⃒ ⃒ cos( −→ 𝐴𝐵, −−→ 𝐶𝐷) ⃒ ⃒ ⃒ . 3. Mặt phẳng 1. Mọi mặt phẳng có PT tổng quát 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑 = 0 (𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 ̸= 0), vtpt −→ 𝑛 = (𝑎; 𝑏; 𝑐); 2. (𝛼) qua 𝑀 (𝑥 0 ; 𝑦 0 ; 𝑧 0 ), vtpt −→ 𝑛 = (𝑎; 𝑏; 𝑐), thì (𝛼) : 𝑎(𝑥 − 𝑥 0 ) + 𝑏(𝑦 − 𝑦 0 ) + 𝑐(𝑧 − 𝑧 0 ) = 0; 3. Cho 𝑀(𝑥 0 ; 𝑦 0 ; 𝑧 0 ) và (𝛼) : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, thì 𝑑(𝑀, 𝛼) = |𝑎𝑥 0 +𝑏𝑦 0 +𝑐𝑧 0 +𝑑| √ 𝑎 2 +𝑏 2 +𝑐 2 ; 4. cos(𝛼 1 , 𝛼 2 ) = |cos( −→ 𝑛 𝛼 1 , −→ 𝑛 𝛼 2 )| = | −→ 𝑛 𝛼 1 . −→ 𝑛 𝛼 2 | | −→ 𝑛 𝛼 1 |.| −→ 𝑛 𝛼 2 | . 4. Đường thẳng 1. Δ qua 𝑀(𝑥 0 ; 𝑦 0 ; 𝑧 0 ), vtcp −→ 𝑢 = (𝑎; 𝑏; 𝑐) ̸= −→ 0 ⇒ Δ : ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑥 = 𝑥 0 + 𝑎𝑡 𝑦 = 𝑦 0 + 𝑏𝑡 𝑧 = 𝑧 0 + 𝑐𝑡 : PT tham số, hoặc Δ : 𝑥−𝑥 0 𝑎 = 𝑦−𝑦 0 𝑏 = 𝑧−𝑧 0 𝑐 (𝑎𝑏𝑐 ̸= 0): PT chính tắc; 2. Cho 𝑀 0 ∈ Δ, thì 𝑑(𝑀, Δ) = |[ −−−→ 𝑀𝑀 0 , −→ 𝑢 Δ ]| | −→ 𝑢 Δ | ; 3. 𝑑(Δ, Δ ′ ) = ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ −→ 𝑢 , −→ 𝑢 ′ . −−−−→ 𝑀 0 𝑀 ′ 0 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ −→ 𝑢 , −→ 𝑢 ′ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ , 𝑀 0 ∈ Δ, 𝑀 ′ 0 ∈ Δ ′ ; 4. cos(Δ 1 , Δ 2 ) = |cos( −→ 𝑢 Δ 1 , −→ 𝑢 Δ 2 )| = | −→ 𝑢 Δ 1 . −→ 𝑢 Δ 2 | | −→ 𝑢 Δ 1 |.| −→ 𝑢 Δ 2 | ; 5. sin(Δ, 𝛼) = |cos( −→ 𝑢 Δ , −→ 𝑛 𝛼 )|. 5. Mặt cầu : 1. PT chính tắc của mặt cầu : (𝑥 −𝑥 0 ) 2 + (𝑦 −𝑦 0 ) 2 + (𝑧 −𝑧 0 ) 2 = 𝑅 2 , tâm 𝐼(𝑥 0 ; 𝑦 0 ; 𝑧 0 ), bán kính 𝑅 > 0; 2. PT tổng quát của mặt cầu : 𝑥 2 +𝑦 2 +𝑧 2 +2𝑎𝑥+2𝑏𝑦 +2𝑐𝑧 +𝑑 = 0, tâm 𝐼(−𝑎; −𝑏; −𝑐), bán kính 𝑅 = √ 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 − 𝑑 > 0. 2