Môn học: Tối ưu phi tuyến GVHD: PGS.TS Trịnh Công Diệu KIẾN TH C CHUẨN B : 1.1 T p hợp l i: Tập hợp C n tập lồi với cặp điểm C đoạn thẳng nối điểm nằm C C tập lồi nếu: (1 )u v C, u, v C, [0,1] Ví dụ: _ Đoạn thẳng nối điểm (u, v) {x n x (1 )u v,0 1} tập lồi _ Quả cầu mở tâm u0 bán kính r : B(u0 , r ) {u n : u u0 r} tập lồi 1.2 Hàm s khả vi khả vi c p 2: Cho hàm số f : C (C n ) đó: ► Nếu f khả vi u0 C f liên tục u0 f (u0 u) f (u0 ) f (u0 )u u (u0 , u), với u0 u C Trong đó: lim (u0 , u ) x 0 f (u0 ) f (u0 ) f (u0 ) f (u0 ) , , , gradient f u0 x x x n ► f khả vi cấp u0 C nếu: u n u2 f (u0 )u u (u0 , u ) f (u0 u ) f (u0 ) f (u0 )u u0 u C Trong đó: lim (u0 , u ) x 0 2 f (u0 ) x 2 f (u0 ) f (u0 ) x2 x1 2 f x x (u0 ) n 2 f (u0 ) x1x2 2 f (u0 ) x2 2 f (u0 ) xn x2 2 f (u0 ) x1xn f (u0 ) x2 xn 2 f (u0 ) xn Là ma trận Hessian f u0 SVTH: Nhóm 3-Lớp Tốn VB2-Khóa Trang Mơn học: Tối ưu phi tuyến GVHD: PGS.TS Trịnh Công Diệu ►Đ nh lỦ: Cho hàm số f : C (C n ) u0 C Khi đó: i Nếu f có đạo hàm riêng liên tục u0 (nghĩa f (u0 ) tồn liên tục u0 ) f khả vi u0 ii f khả vi u0 f khả vi cấp u0 iii f có dạo hàm riêng liên tục u0 f khả vi cấp u0 1.3 Đ nh lỦ giá tr trung bình: Cho hàm số f : C (C n ) khả vi Khi đó: u, v C, (0,1) : f (v) f (u) f [(1 )u v](v u) 1.4 Đ nh lỦ Taylor: Cho hàm số f : C f (v) f (u ) (C n ) khả vi cấp Khi u, v C, (0,1) : (v u ) f [(1 )u v](v u ) f (u )(v u ) 2 HÀM L I: 2.1 Đ nh nghĩa hàm l i: * Hàm số f : C (C n ) gọi lồi u0 nếu: u C 1 f [(1 )u0 u ] (1 ) f (u0 ) f (u ) (1 )u0 u C * Hàm số f gọi lồi tập C lồi u C 2.2 Đ nh nghĩa hàm l i nghiêm ngặt: * Hàm số f : C (C n ) gọi lồi nghiêm ngặt u0 nếu: u C u u0 f [(1 )u0 u ] (1 ) f (u0 ) f (u ) 1 (1 )u0 u C * Hàm số f gọi lồi nghiêm ngặt tập C lồi nghiêm ngặt u C SVTH: Nhóm 3-Lớp Tốn VB2-Khóa Trang Môn học: Tối ưu phi tuyến GVHD: PGS.TS Trịnh Cơng Diệu 2.3 Các tính ch t c a hàm l i (/l i nghiêm ngặt): ►Đ nh lỦ 2.1: Cho C tập lồi không gian n Khi đó: i Nếu f g hàm lồi (/lồi nghiêm ngặt) C f+g hàm lồi (/lồi nghiêm ngặt) C ii Nếu f hàm lồi (/lồi nghiêm ngặt) C k kf hàm lồi (/lồi nghiêm ngặt) C iii Nếu f hàm lồi (/lồi nghiêm ngặt) C A C f hàm lồi (/lồi nghiêm ngặt) A (Định lý dễ dàng chứng minh để lại cho đọc giả.) ►Đ nh lỦ 2.2: Cho hàm số f xác định tập lồi C n C tập đồ thị f: epi( f ) {(u, ) Là tập lồi n n f (u) } n , điều kiện cần đủ để f lồi ▼Chứng minh: (Điều kiện cần) Cho f lồi C (u, ),(v, ) epi( f ), [0,1] ta có: f [(1 )u v] (1 ) f (u) f (v) f (u ) mà f (v ) f [(1 )u v] (1 ) ((1 )u v, (1 ) ) epi( f ) (1 )(u, ) (v, ) epi( f ) Vậy epi(f) tập lồi (đpcm) (Điều kiện đủ) Cho epi(f) tập lồi u, v C ta có: Dễ thấy (u, f (v)),(v, f (v)) epi( f ) SVTH: Nhóm 3-Lớp Tốn VB2-Khóa Trang Môn học: Tối ưu phi tuyến GVHD: PGS.TS Trịnh Công Diệu Vì epi(f) tập lồi nên: (1 )(u, f (u )) (v, f (v)) epi( f ), [0,1] ((1 )u v, (1 ) f (u ) f (v)) epi( f ), [0,1] f [(1 )u v] (1 ) f (u ) f (v), [0,1] Vậy hàm số f lồi C (đpcm) ĐIỀU KIỆN C N VÀ Đ ĐỂ HÀM S f LÀ HÀM L I: 3.1 Đ nh lỦ 3.1: Cho f hàm số xác định tập mở C n f khả vi u0 C , f hàm lồi u0 C f (u) f (u0 ) f (u0 )(u u0 ), u C ▼Chứng minh Cho f hàm lồi u0 Vì C tập mở nên tồn cầu mở B(u0 , r ) C u C u u0 , lấy k k v : (1 k )u0 ku B(u0 , r ) C (vì v u0 k u u0 r , ta có: u u0 r u u0 r ) u u0 Vì f hàm lồi u0 , v B(u0 , r ), B(u0 , r ) tập lồi nên (0,1] ta có: (1 ) f (u0 ) f (v) f [(1 )u0 v] f (v) f (u0 ) f [(1 )u0 v] f (u0 ) (1) Vì f khả vi u0 nên: f [(1 )u0 v] f (u0 ) f [u0 (v u0 )] f (u0 ) f (u0 )( v u0 ) [u0 , (v u0 )] (v u0 ) f (u0 )(v u0 ) [u0 , (v u0 )] v u0 (2) Thay (2) vào (1) ta có: f (v) f (u0 ) f (u0 )(v u0 ) [u0 , (v u0 )] v u0 Trong lim [u0 , (v u0 )] =0 nên cho ta có: 0 f (v) f (u0 ) f (u0 )(v u0 ) Vì f hàm lồi u0 v C, v (1 k )u0 ku nên ta có: (3) f (v) (1 k ) f (u0 ) kf (u) SVTH: Nhóm 3-Lớp Tốn VB2-Khóa Trang Mơn học: Tối ưu phi tuyến GVHD: PGS.TS Trịnh Công Diệu f (v) f (u0 ) k[ f (u) f (u0 )] (4) Ngồi ta có: v u0 k (u u0 ) (5) Từ (3),(4),(5) k>0 ta có: f (u) f (u0 ) f (u0 )(u u0 ) (đpcm) 3.2 Đ nh lý 3.2: Cho f hàm số khả vi tập lồi, mở C n Điều kiện cần đủ để f hàm lồi C f (v) f (u) f (u)(v u), u, v C ▼Chứng minh (Điều kiện cần) Vì f hàm lồi C nên hàm số f lồi u C , theo định lý 3.1: f (v) f (u) f (u)(v u), u, v C (đpcm) (Điều kiện đủ) u, v C, [0,1] Vì C tập lồi nên (1 )u v C Khi ta có: f (u ) f [(1 )u v] f [(1 )u v](u v) f (v) f [(1 )u v] (1 )f [(1 )u v](u v) (1 ){ f (u ) f [(1 )u v]} (1 )f [(1 )u v](u v) { f (v) f [(1 )u v]} (1 )f [(1 )u v](u v) (1 ) f (u ) f (v) f [(1 )u v] (1 ) f (u ) f (v) f [(1 )u v] f hàm lồi (đpcm) 3.3 Đ nh lỦ 3.3: Cho f hàm số khả vi tập lồi, mở C n Điều kiện cần đủ để f hàm lồi C [f (v) f (u)](v u) 0, u, v C ▼Chứng minh (Điều kiện cần) Vì f hàm lồi tập lồi, mở C nên theo định lý 3.2 ta có: f (v) f (u ) f (u )(v u ) f (u ) f (v) f (v)(u v) [f (v) f (u )](u v) [f (v) f (u)](v u) (đpcm) SVTH: Nhóm 3-Lớp Tốn VB2-Khóa Trang Môn học: Tối ưu phi tuyến GVHD: PGS.TS Trịnh Công Diệu (Điều kiện đủ) u, v C , theo định lý giá trị trung bình, (0,1) cho: f (v) f (u) f [(1 )u v](v u) (1) Đặt w (1 )u v C (vì C tập lồi) ta có: [f ( w) f (u )]( w u ) {f [(1 )u v] f (u )} (v u) f [(1 )u v](v u) f (u)(v u) (2) Từ (1) (2) ta có: f (v) f (u) f (u)(v u) Do f hàm lồi (theo định lý 3.2) (đpcm) 3.4 Đ nh lỦ 3.4: Cho hàm số f xác định tập mở C Nếu f hàm lồi u2 f (u0 )u 0, u n n f khả vi cấp u0 C ▼Chứng minh Lấy u n Vì C tập mở nên tồn cầu mở B(u0 , r ) C Lấy cho u r , (0, ) : u0 u u0 u u r , suy u0 u B(u0 , r ), 0 Vì f hàm lồi u0 C nên theo định lý 3.1 ta có: f (u v) f (u0 ) f (u0 )(u0 u u0 ), 0 f (u0 u) f (u0 ) f (u0 )u 0, 0 (1) Mặt khác, f khả vi cấp u0 nên: f (u0 u ) f (u0 ) f (u0 )u 2u2 f (u0 )u 2 (u0 , u ) u (2) Từ (1) (2) ta có: u2 f (u0 )u (u0 , u ) u 0, 0 Vì lim (u0 , u) nên cho ta có: 0 u2 f (u0 )u (đpcm) SVTH: Nhóm 3-Lớp Tốn VB2-Khóa Trang Mơn học: Tối ưu phi tuyến GVHD: PGS.TS Trịnh Công Diệu 3.5 Đ nh lỦ 3.5: Cho hàm số f khả vi cấp tập lồi, mở C để f hàm lồi C v2 f (u)v 0, u C, v n n Điều kiện cần đủ ▼Chứng minh (Điều kiện cần) Vì f hàm lồi u C nên theo định lý 3.4 v2 f (u)v 0, v n (Điều kiện đủ) Theo định lý Taylor, u, v C, (0,1) thỏa: (v u )2 f [(1 )u v](v u ) f (v) f (u ) f (u )(v u ) (1) Mặt khác, C lồi u, v C,0 (1 )u v C (v u ) f [(1 )u v](v u ) f (v) f (u ) f (u )(v u ) f (v) f (u ) f (u )(v u ) Theo định lý 3.2 ta suy f hàm lồi (đpcm) TịM T T: ►Đ nh lỦ 2.2: Cho hàm số f xác định tập lồi C C tập đồ thị f: epi( f ) {(u, ) Là tập lồi n n f (u) } n n , điều kiện cần đủ để f lồi ► Đ nh lỦ 3.2: Cho f hàm số khả vi tập lồi, mở C n f hàm lồi C f (v) f (u) f (u)(v u), u, v C ►Đ nh lỦ 3.3: Cho f hàm số khả vi tập lồi, mở C n f hàm lồi C [f (v) f (u)](v u) 0, u, v C SVTH: Nhóm 3-Lớp Tốn VB2-Khóa Trang Mơn học: Tối ưu phi tuyến GVHD: PGS.TS Trịnh Công Diệu ► Đ nh lỦ 3.5: Cho hàm số f khả vi cấp tập lồi, mở C n f hàm lồi C v2 f (u)v 0, u C, v n BÀI T P MINH H A: Bài 1: Chứng minh hàm số sau hàm lồi f ( x, y) x y y Giải Hàm số hàm đa thức nên khả vi cấp ▼ Cách 1: (dùng định lý 3.2) u1 , u2 (u1 ( x1 , y1 ), u2 ( x2 , y2 )) , ta cần CM: f (u2 ) f (u1 ) f (u1 )(u2 u1 ) (1) Ta có: f f 2x 6y 4 x y f (u1 ) (2 x1 , y1 4) (1) ( x22 y22 y2 ) ( x12 y12 y1 ) (2 x1 , y1 4)( x2 x1 , y2 y1 ) x22 y22 y2 x12 y12 y1 x1 x2 x12 y1 y2 y12 y2 y1 x22 y22 x12 y12 x1 x2 y1 y2 ( x2 x1 ) 3( y2 y1 ) Bất đẳng thức (2) nên (1) hàm số f hàm lồi (2) ▼ Cách 2: (dùng định lý 3.3) u1 , u2 (u1 ( x1 , y1 ), u2 ( x2 , y2 )) , ta cần CM: [f (u2 ) f (u1 )](u2 u1 ) (3) Ta có: f f 2x 6y 4 x y f (u ) (2 x, y 4) (3) [(2 x2 , y2 4) (2 x1 , y1 4)]( x2 x1 , y2 y1 ) (2 x2 x1 , y2 y1 )( x2 x1 , y2 y1 ) 2( x2 x1 ) 6( y2 y1 ) Bất đẳng thức (4) nên (3) hàm số f hàm lồi SVTH: Nhóm 3-Lớp Tốn VB2-Khóa (4) Trang Môn học: Tối ưu phi tuyến GVHD: PGS.TS Trịnh Công Diệu ▼ Cách 3: (dùng định lý 3.5) u1 , u2 (u1 ( x1 , y1 ), u2 ( x2 , y2 )) , ta cần CM: u22 f (u1 )u2 Ta có: f 2x x (5) f 6y 4 y 2 f 2 x 2 f 2 f 0 xy yx 2 f 6 y f (u1 ) x 2 f (u1 ) f (u1 ) yx f (u1 ) xy f (u1 ) y x2 (5) x2 y2 0 y2 x x2 y2 y2 x22 y22 Bất đẳng thức (6) nên (5) hàm số f hàm lồi Bài 2: Chứng minh hàm số sau hàm lồi f ( x, y) e x 2 (6) : 2 y2 y Giải Dễ thấy hàm số khả vi cấp Ta cần CM: Ta có: 2 f ( x, y ) xe x y y x 2 2 f ( x, y ) x e x y y x 2 f ( x, y ) (4 y 1)e x y y y 2 2 f ( x, y) (4 y 1) e x y y y 2 2 f 2 f ( x, y ) ( x, y ) x(4 y 1)e x y y xy yx f ( x, y ) e x 2 y2 y x2 x(4 y 1) x(4 y 1) (4 y 1) SVTH: Nhóm 3-Lớp Tốn VB2-Khóa Trang Mơn học: Tối ưu phi tuyến u1 , u2 (u1 ( x1 , y1 ), u2 ( x2 , y2 )) : u2 f (u1 )u2 [ x2 y2 ]e GVHD: PGS.TS Trịnh Công Diệu x12 y12 y1 x12 x1 (4 y1 1) x2 x1 (4 y1 1) (4 y1 1) y2 e x1 y1 y1 [4 x12 x2 x1 y2 (4 y1 1) 2 x x1 x2 (4 y1 1) y2 (4 y1 1) ] y2 e x1 y1 y1 [4 x12 x22 x1 x2 y2 (4 y1 1) x1 x2 y2 (4 y1 1) y22 (4 y1 1) ] 2 e x1 y1 y1 [2 x1 x2 y2 (4 y1 1)]2 2 Theo định lý 3.5, hàm số f hàm lồi SVTH: Nhóm 3-Lớp Tốn VB2-Khóa 2 Trang 10 ... lồi u0 C f (u) f (u0 ) f (u0 ) (u u0 ), ? ?u C ▼Chứng minh Cho f hàm lồi u0 Vì C tập mở nên tồn c? ? ?u mở B (u0 , r ) C ? ?u C u u0 , lấy k k v : (1 k )u0 ku B (u0 , r ) C. .. f (u0 )u 0, 0 (1) Mặt kh? ?c, f khả vi c? ??p u0 nên: f (u0 u ) f (u0 ) f (u0 )u 2u? ??2 f (u0 )u 2 (u0 , u ) u (2) Từ (1) (2) ta c? ?: u? ??2 f (u0 )u (u0 , u ) u ... x? ?c định tập mở C N? ?u f hàm lồi u? ??2 f (u0 )u 0, ? ?u n n f khả vi c? ??p u0 C ▼Chứng minh Lấy u n Vì C tập mở nên tồn c? ? ?u mở B (u0 , r ) C Lấy cho u r , (0, ) : u0 u