ĐỀ THITHỬĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
Môn thi : TOÁN
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm )
Câu I ( 2,0 điểm ) Cho hàm số
1
1
x
y C
x
.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
2. Xác định m để đường thẳng
2
y x m
cắt
C
tại hai điểm phân biệt A, B
sao cho tiếp tuyến của
C
tại A và B song song với nhau.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình :
2 2
3tan 4tan 4cot 3cot 2 0
x x x x
(1) .
2. Giải bất phương trình :
2
1 2 1
x x
(2) .
Câu III (1,0 điểm ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường :
2
: 4 3
P y x x
và hai tiếp tuyến của (P) tại hai điểm
0 ; 3 , 3 ; 0
A B
Câu IV (1,0 điểm )
Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một
góc 60
0
. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.Tính diện tích
mặt cầu.Tính thể tích khối cầu tương ứng .
Câu V ( 1,0 điểm ) Giải hệ phương trình , khi a > 1 :
2
2
1
3
1
3
a
x a y a z a
a
a
a x a y a z
a
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm )Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần
1 hoặc phần 2)
1). Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a ( 2,0 điểm )Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có
phương trình :
2 2 2
: 2 4 6 0
S x y z x y z
1. Xét vị trí tương đối của mặt phẳng
: 0
x y z m
và mặt cầu (S) tùy
theo giá trị của m .
2. Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng () đi qua hai điểm
1;1;1
M
và
2 ; 1; 5
N
và viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại
các giao điểm đó .
Câu VII.a (1, 0 điểm ) Cho 8 quả cân có trọng lượng lần lượt là : 1 kg , 2 kg , 3
kg , 4 kg , 5 kg , 6 kg , 7 kg , 8 kg . Chọn ngẫu nhiên 3 quả cân trong số đó . Tính
xác suất để trọng lượng 3 quả cân được chọn không vượt quá 9 kg .
2). Theo chương trình nâng cao :
Câu VI.b ( 2,0 điểm ) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol
2
: 64
P y x
và đường thẳng
: 4 3 46 0
x y
. Hãy viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường
thẳng (∆) , tiếp xúc với parabol (P) và có bán kính nhỏ nhất .
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm
2 ; 4 ;1
A
,
1; 4 ; 0
B
0 ; 0 ; 3
C
.Xác định tâm và bán kính đường tròn (ABC) .
Câu VII. b (1, 0 điểm ) Có hai hộp chứa các viên bi chỉ khác về màu . Hộp thứ
nhất chứa 3 bi xanh , 2 bi vàng , 1 bi đỏ . Hộp 2 chứa 2 bi xanh , 1 bi vàng , 3 bi
đỏ . Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một viên bi . Tính xác suất để lấy được 2 bi xanh .
Lôøi giaûi
Câu I.
1. Phần khảo sát chi tiết bạn đọc tự làm , dưới đây là bảng biến thiên và đồ thị
(C) của hàm số .
+ Bảng biến thiên :
+ Đồ thị (C) :
2. Phương trình hoành độ giao điểm của
: 2
d y x m
và
C
:
1
2
1
x
x m
x
2
2 3 1 0 1
1
x m x m
x
Ta có:
2 2
3 8 1 1 16 0,
1 2 0,
m m m m
g m
phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt khác 1.
Vậy
d
luôn luôn cắt
C
tại hai điểm phân biệt A và B .
Gọi
1 2
,
x x
1 2
x x
lần lượt hoành độ của A và B thì
1 2
,
x x
là nghiệm của
phương trình (1). Theo định lí Vi-et, ta có:
1 2
1
3
2
x x m
Tiếp tuyến
1 2
,
tại A, B có hệ số góc lần lượt là :
Vì
2
2
'
1
y
x
1 1
2
1
2
'
1
k y x
x
,
2 2
2
2
2
'
1
k y x
x
1 2 1 2
/ /
k k
2 2
1 2
2 2
1 1
x x
2 2
1 2
1 1
x x
1 2
1 2
1 1
1 1
x x
x x
1 2
1 2
2
x x
x x
loaïi
1
3 2
2
m
1
m
.
Vậy, giá trị cần tìm là:
1
m
.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
Điều kiện :
sin 0
sin 2 0 ,
cos 0
2
x
x x k k
x
¢
2 2
1 3 tan cot 4 tan cot 2 0
x x x x
Đặt
2
tan cot , 2
sin 2
t x x t
x
2 2 2
tan cot 2
t x x
2 2 2
tan cot 2
x x t
Ta có :
2
3 2 4 2 0
t t
2
3 44 0
t t
2
2
3
t
t
loaïi
2
2
sin2
x
sin 2 1
x
2 2 ,
2
x l l
¢
,
4
x l l
¢
So với điều kiện, ta có nghiệm của phương trình : ,
4
x l l
¢
.
2. (1)
2
2
2
2 1 0
1 0
2 1 1
x
x
x x
2
1 1
1
2 3 0
x x
x
x x
1
1
1 3
x
x
x
1
1 3
x
x
Vậy nghiệm của bất phương trình :
1 1 3
x x
.
Câu III .
' 0 4
' 2 4
' 3 2
y
y x x
y
+ Phương trình tiếp tuyến
1
của (P) tại A có dạng:
1
1
: 3 ' 0 0
: 4 3
y y x
y x
+ Phương trình tiếp tuyến
2
của (P) tại B có dạng:
2
2
: ' 3 3
: 2 6
y y x
y x
Dựa vào đồ thị ta có diện tích hình phẳng cần tìm là:
3
3
2
2 2
3
0
2
4 3 4 3 2 6 4 3
S x x x dx x x x dx
3
3
2
2 3 2
0 3
2
1
. 3 9
3
x dx x x x dx
3
3
2
3 3 2
3
0
2
1 1
3 9
3 3
x x x x
9
4
(đvdt) .
Câu IV.
* Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.Gọi O là tâm của đáy
, suy ra
SO ABCD
nên SO là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD của
hình chóp. Trong
SOB
kẻ đường trung trực Mx của cạnh SB .
Gọi
Mx SO J JA JB JC JD JS
nên J là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Ta có
ABCD
OB hch SB
·
·
0
, 60
SB ABCD SBO
nên
SBD
đều , có cạnh
2
BD a
.
Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp chính là
bán kính đường tròn ngoại tiếp
SBD
Do đó
. 3 6
3 3
BD a
R .
* Tính diện tích mặt cầu.
2
2
2
6 8
4 4
3 3
a a
S R
(đvdt) .
* Tính thể tích khối cầu tương ứng
3
3
3
4 4 6 8 6
3 3 3 27
a a
V R
(đvtt) .
Câu V.
Xét các véc tơ :
; ; , 1 ; 1 ; 1
uur uur
u x a y a z a v
2 2 2
2
. .
3 3 1
uur uur uur uur
u v u v
x a y a z a a x y z
Tương tự
2
3 3
a x a y a z a x y z
(2)
2 2
18
x a y a z a a x a y a z a
Mà cộng hai phương trình của hệ ta có :
2 2
18
x a y a z a a x a y a z a
Tức là dấu đẳng thức phải xảy ra trong các bất đẳng thức (1) và (2) , hay :
2
2
1
1
1
a
x a y a z a
a
x y z
a
a
a x a y a z
a
Vậy hệ phương trình có nghiệm là :
1
x y z
a
.
II. PHẦN RIÊNG.
1). Theo chương trình Chuẩn :
Câu VI.a
1. Biện luận vị trí tương đối của
và (S)
Mặt cầu (S) có tâm
1; 2 ; 3
I , bán kính
14
R
. Ta có:
,
3
m
d I
.
Biện luận:
Nếu
42
, 14
3
42
m
m
d I R
m
thì
không cắt (S).
Nếu
, 14 42
3
m
d I R m
thì
tiếp xúc (S).
Nếu
, 14 42 42
3
m
d I R m
thì
cắt (S).
2. Phương trình tham số của đường thẳng
1
: 1 2
1 4
x t
y t
z t
Tọa độ giao điểm của () và (S) là nghiệm của hệ phương trình
2 2 2
1 ; 1 2 ; 1 4
1 2 3 14
x t y t z t
x y z
2 2
2
2
1 ; 1 2 ; 1 4
1 2 2 4 14
1 ; 1 2 ; 1 4
7 4 3 0
x t y t z t
t t t
x t y t z t
t t
1 ; 1 2 ; 1 4
3
1 hay
7
4
7
2
13
1 hay
7
5
5
7
x t y t z t
t t
x
x
y y
z
z
Vậy () và (S) có hai giao điểm
4 13 5
2 ; 1; 5 , ; ;
7 7 7
A B
.
Ta có:
1
1; 3 ; 2 , 3 ; 1; 26
7
IA IB
uur uur
.
Phương trình tiếp diện của (S) tại A là:
1 2 3 1 2 5 0 3 2 15 0
x y z x y z
.
Phương trình tiếp diện của (S) tại B là:
4 13 5
3 1 26 0 3 26 15 0
7 7 7
x y z x y z
.
Câu VII.a
Ta chọn ngẫu nhiên 3 quả cân trong 8 quả cân , nên kích thước không gian
mẫu là :
3
8
56
C
.
Biến cố A : “ Trọng lượng 3 quả cân được chọn không quá 9 kg ”
Để được một kết quả thuận lợi của biến cố A , ta có thể chọn theo 7 phương án
sau :
+ Chọn các quả cân có trọng lượng là :
1 ; 2 ; 3
kg kg kg
.
+ Chọn các quả cân có trọng lượng là :
1 ; 2 ; 4
kg kg kg
.
+ Chọn các quả cân có trọng lượng là :
1 ; 2 ; 5
kg kg kg
.
+ Chọn các quả cân có trọng lượng là :
1 ; 2 ; 6
kg kg kg
.
+ Chọn các quả cân có trọng lượng là :
1 ; 3 ; 4
kg kg kg
.
+ Chọn các quả cân có trọng lượng là :
1 ; 3 ; 5
kg kg kg
.
+ Chọn các quả cân có trọng lượng là :
2 ; 3 ; 4
kg kg kg
.
Nên
7
A
. Vậy xác suất cần tìm là :
7 1
56 8
A
P A
.
2). Theo chương trình nâng cao :
Câu VI.b.
1. Gọi (C) là đường tròn cần tìm và I, R lần lượt là tâm và bán kính của (C)
Đặt
2
; 8
M t t P
. Đường tròn (C) có tâm I thuộc (∆) , tiếp xúc với (P) và
có bán kính nhỏ nhất nên bán kính R bằng khoảng cách ngắn nhất từ M đến ∆.
Khoảng cách từ M đến (∆) là :
2
2
4 24 46
4 3 10
, 2
5 5
t t
t
d d I
min 2 3 9 ; 24
d t M
.
Tâm I của đường tròn (C) là hình chiếu vuông góc của M trên (∆) .
: 3x 4 0
MI MI y C
.
3.9 4.24 0 123
M MI C C
Tọa độ của I là nghiệm của hệ:
37
4 3 46 0
5
3 4 123 0 126
5
x
x y
x y
y
Nên
37 126
;
5 5
I
. Phương trình đường tròn (C) có dạng:
2 2
37 126
4
5 5
x y
2. * Xác định tâm và bán kính đường tròn (ABC)
Ta có:
3 ; 0 ; 1 , 2 ; 4 ; 4 , 1; 4 ; 3
AB AC BC
uuur uuur uuur
2 2 2
10 ; 6 ; 26
AB AC BC AB BC AC
Suy ra: Tam giác ABC vuông tại B .
Gọi I , R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn (ABC), ta có:
I là trung điểm cạnh AC nên
1; 2 ; 1
I
.
1
3
2
R AB
.
* Viết phương trình đường tròn (ABC)
Gọi (S) là mặt cầu tâm
1; 2 ; 1
I
bán kính
3
R
thì phương trình mặt cầu (S)
có dạng :
2 2 2
1 2 1 9
x y z
Đường tròn (ABC) là giao của mặt phẳng (ABC) và mặt cầu (S) nên các điểm
nằm trên đường tròn có tọa độ thỏa hệ sau
2 2 2
1 2 1 9
2 5 6 18 0
x y z
x y z
Hệ trên chính là phương trình đường tròn (ABC) .
Câu VII. b
Xét :
2009
0 1 2 2 3 3
2009 2009 2009 2009
2006 2006 2007 2007 2008 2008 2009 2009
2009 2009 2009 2009
1 .
L
L
i C iC i C i C
i C i C i C i C
0 2 2006 2008 1 3 2007 2009
2009 2009 2009 2 1 2009 2009 2009 2009
.
n
C C C C i C C C C
L L
Mặt khác :
1 1
1 2 2 cos sin
4 4
2 2
i i i
2009
2009
1004
1004 1004 1004
2009. 2009.
1 2 cos sin
4 4
2 2 cos 251.2 .sin 251.2
4 4
2 2 cos sin 2 .2
4 4
i i
i
i i
Vậy
0 2 4 2004 2006 2008 1004
2009 2009 2009 2009 2009 2009
2
S C C C C C C L
. sin
4 4
2 2
i i i
2009
2009
10 04
10 04 10 04 10 04
2009. 2009.
1 2 cos sin
4 4
2 2 cos 251 .2 .sin 251 .2
4 4
2. từ M đến (∆) là :
2
2
4 24 46
4 3 10
, 2
5 5
t t
t
d d I
min 2 3 9 ; 24
d t M
.
Tâm I của đường tròn