Tiểu-luận-toán-cao-cấp-C2

Hỗ trợ ơn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] CHƢƠNG I : ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN H A : 1.1 Đạo hàm riêng: Đn n Cho hàm biến f: X  R2 X  R2  x, y   Z  f  x, y  X: tập xác định Xét f  x0 , y0  f  x0  x, y0   f  x0 , y0  Vx 0 x f  x0 , y0  y   f  x0 , y0   lim Vy 0 y f / x  lim f /y 1.2 VI PHÂN: * Định n h : Ch h đ z f   Z x  f (x) x x h n h h ến h f ( x  x, y)  f ( x, y) h n lim x0 * V ph n h Định n h Ch h ến: h dz  z dx  z dy / x / y // d z  z xx/ / dx  z xy/ / dxdy  z yy dy n    t d z     f  x y  T n n B BÀI ẬP Câu 1: Ch h z  f ( x, y )  e2 x 3 y Tính z x( nn )  ? Giải z  (2 x  y) x e / x Ta có: / x 3 y  2e x 3 y z xx/ /  2(2 x  y) / x e2 x 3 y  4e2 x 3 y /// z xxx  4(2 x  y) / x e2 x 3 y  8e2 x 3 y  z x( nn )  n.e x 3 y Trang Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] z  f ( x, y )  xe y Tính z y4 x  ? Câu 2: Ch h Giải z  ( xe ) y  xe / y y / y // z yy  ( xe y ) / y  xe y Ta có: /// z yyy  ( xe y ) / y  xe y  z y x  ( xe y ) / x  e y Câu : Ch h ? z  f ( x, y )  e y ln x Tính z (4) yxy Giải z  (e ln x) y  e ln x / y y / z yx/ /  (e y ln x) / x  Ta có: y ey x / z /// yxy z (4) yxy  ey  ey     xy x /  ey  ey     xy x Câu 4: Ch h z  f ( x, y )  e xy Tính z x55  ? Giải z x/   e xy   ye xy / x Ta có: z xx/ /   ye xy   y e xy / x  5  z x5  y e Câu 5: Ch h xy z  f ( x, y)  sin  xy  Tính zx nn   ?; z ynn   ? Giải Trang Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] z x/   sin  xy   x  ycos  xy  / z xx/ /   ycos  xy   x   y sin  xy  / Ta có: z xy/ /    y sin  xy    cos  xy   xy sin  xy  / y z y/   sin  xy   y  xcos  xy  / z yy/ /   xcos  xy   y   x sin  xy  / // z  f ( x, y)  cos  xy  Tính zxx//  ?; zxy//  ?; z yy ? Câu Ch h z x/   cos  xy   x   y sin  xy  / z xx/ /    y sin  xy   x   y cos  xy  / /// z xxx    y cos  xy    y sin  xy  / x   n  z x n   y n cos  xy  n  2  z y/   cos  xy   y   x sin  xy  /    z ynn   x n cos  xy  n  2  Câu 7: Tì v ph n ấp ộ h z  2x  y Giải Ta có: dz  Z x dx  Z y dy / / z = x2 + 4y z/x = (x2 + 4y )/ = 2x z/y = (x2 + 4y )/ = 4y.ln4 y  dz = 2xdx + ln4dy Câu 8: v ph n ấp ộ z  ln h  x y  Giải Ta có: dz  Z x dx  Z y dy / / z = ln  x  y  z/x = ln  x  y  = / x ( x  y )/ x y =  x y x y  2( x  y ) Trang Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] z/y = ln  x  y  = / ( x  y) / x y x =  x  y x y  2( x  y ) 1 dx  dy dx  dy  2( x  y) 2( x  y ) 2( x  y )  dz  Câu 9: Tím v ph n ấp ộ h : z  arcyg ( y  x) Giải dz  Z / x dx  Z / y dy Ta có: z = arcyg ( y  x) z/x   arcyg ( y  x)  x   / z/y   arcyg ( y  x)  y  /  dz  Câu 10: dx 1  y  x  1  ( y  x) 1  ( y  x) dy 1  y  x v ph n d h  dy  dx 1  y  x z  x  xy  sin( xy) Giải dz  Z / x dx  Z / y dy Z / x  x  y  y.cos  xy  Z / y  2 x  x.cos  xy   dz  2  x  y   y.cos  xy  dx   x   cos  xy   dy Câu 11: nh v ph n ấp h z  sin x  e y Giải z x  2(sin x).sin x  cos x sin x  sin x z y  y.e y zxx  2cos2x zxy  zyy  2.e y  y e y 2  d z  2cos xdx  2e y (1  y )dy 2 Trang Hỗ trợ ôn tập Câu 12 Ch h [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] x2 y ến z  e , tính zxx//  ?, z yy//  ?, zxy//  ? h Giải z  ( x  y) e / x / x2 y e x 2 y zxx//  ( x  y)/ e x2 y  e x 2 y z ' y  ( x  y) / e x 2 y  2.e x  y z '' yy  2.( x  y) / e x2 y  4.e x 2 y z x/  ( x  y) / e x y  e x y z xy//  ( x  y) / e x y  2.e x y v ph n ấp h Câu 13: d 2z h h Giải ến z  y ln x Ta có: d z  Z // xx dx2  2Z // xy dxdy  Z // yy dy Z /x  y x y x2  ln x Z / / xx   Z/y Z / / yy  Z / / xy  x y dx  dxdy x x v ph n ấp h d z  d 2z   Câu 14: Tì h h Giải ến z  x2  x sin y Ta có: d z  Z // xx dx2  2Z // xy dxdy  Z // yy dy Trang Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] Z / x  x  sin y Z / / xx  Z / y  sin y  x sin y Z / / yy  2 xcos2 y Z / / xy  2sin y cos y  2sin y  d z  2dx  2sin ydxdy  xcos2 ydy v ph n ấp h Câu 15 h h Giải d 2z ến z  x  x cos y d z  Z // xx dx2  2Z // xy dxdy  Z // yy dy Z / x  x  sin y Z / / xx  Z / y  sin y  x sin y Z / / yy  2 xcos2 y Z / / xy  2sin y cos y  2sin y  d z  2dx  2sin ydxdy  xcos2 ydy v ph n ấp h Câu 16 h h ếnn z  x y Giải Ta có: d z  Z // xx dx2  2Z // xy dxdy  Z // yy dy z / / xx   x y  // z / / xy   x y  z / / yy   x y  xx // xy // yy  y3  xy  6x2 y  d z  y dx  12 xy dxdy  x ydy Trang Hỗ trợ ơn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] CHƢƠNG II C C H A : 1.1 C O: Ch h = f(x,y) định n n D  R2 Đ P đƣ trị đị phƣơng h giả thiế : f  a; b   f  x, y  ,   x, y   Q( P) lân cận P C c ti nế : đị phƣơng f  a; b   f  x, y  C trị = c đ + c Đi dừn : P  a; b  ti f f  a; b   0;  a; b   x y Nế * trị đị phƣơng đ c t do: Z = f(x,y), D đ f tồn t c trị đị phƣơng t dừn z x/ , z y/ /  z x  o  I ( xo , y o )  /  z y  I ( xo , yo ) đƣ đ dừn nh z xx// , z xy// , z yy// A  z xx ( xo , y o ) Đặ B  z xy xo , y o  C  z yy xo , y o    AC  B Nế Nế V V  0  (xo,yo A H đ đ ị M 10 Câu 18: Cho hàm z  x4  8x2  y  Tìm c Gả trị? z x  x3  16 x z y  y  x   4 x3  16 x  4 x( x  4)   x2     M (0;0); M (2;0); M (2;0)  2 y  y    x  2 y   z xx  12 x  16 z xy  z yy  Có dừn M1 (0;0); M (2;0); M (2;0) Trang Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC]  M (0;0) A1  z xx  12 x  16  16 B1  zxy  C1  z yy  1  A1C1  B12  16*  02  32  Vậ M1(0;0) không phả c  M (2;0) trị c hàm s A2  z xx  12 x  16  32 B2  zxy  C2  z yy    A2C2  B2  32*  02  64  0, A2  Vậ M2(2;0) c ti c hàm  M (2;0) A3  z xx  12 x  16  64 B3  zxy  C3  z yy    A3C3  B32  64*  02  128  0, A3  Vậ M3(-2;0) c ti c hàm Câu 19: Cho hàm z  x2  xy  Tìm c trị? Giải Ta có : z / x  ( x  xy  1) / x  x  y z / y  ( x  xy  1) / y  2 x  x  y 0 Giả h phƣơng trình: x 0 đ M 00 z // đ xx  (2 x  y ) x  z // xy  (2 x  y ) / y  2   x 0 y 0 dừn / z / / yy  (2 x) / y  Đặ : Trang 10 Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] A  z / / xx  B  z / / xy  2 C  z / / yy    AC  B  2*0  (2)  4  Hàm z khơng có c trị t M(0;0) Câu 20: Cho hàm z  x2  xy  y Tìm c trị? z x  x  y z y  x  y  z x  2 x  y  2 x  y  3 y  y       M (0;0)    z y  x  y  2 x  y  2 x  y  x  A  z xx  B  z xy  C  z yy  Có dừn M (0;0) ị   AC  B2  2*2  12    M (0;0) Và A    M (0;0) c hàm z Câu 21: Cho hàm z  x2  y  x  y  Tìm c Giải Ta có : trị? z / x  ( x  y  x  y  1) / x  x  z / y  ( x  y  x  y  1) / y  2 y  G ả h phƣơn đ nh  x  20  y 1 1  M  1;   2  đ    x  11  y  dừn Đặ : A  z / / xx  (2 x  2) / x  B  z / / xy  (2 x  2) / y  C  z / / yy  (2 y  1) / y  2   AC  B  2*(2)  02  4  Trang 11 Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] Hàm z có mộ dừn M  1;   nhƣng hôn  Câu 22: Cho hàm z  x3  27 x  y  y  Tìm c Giải z x  3x  27 z y  y  trị?  z x  3x  27    h vô n h    z y  2 y   ; ị  Câu 23 : Cho hàm z  x2  xy  y  Giải: hôn đ dừng ị? zx  x  y zy  6 x  10 y  z x  4 x  y  x     M (0;0)  10 y  x  y   z  dừn M  0;0  Có A  z xx   x  y  x  / Đặt: B  zxy   x  y  y  6 / C  z yy   6 x  10 y  y  10 /   40  36   0; A    M  0;0  Câu 24 : Cho hàm z  x4  y  x  32 y  Giải ị? z / x   x  y  x  32 y    x3  / x z y   x  y  x  32 y    4 y  32 / / y   x   zx  4 x      M (1; 2)     z  y   y  32   y     Có dừn M (1; 2) A  z xx   x3    12 x  12 / x  Đặ : B  z xy   x   y  / C  z yy   4 y  32   12 y  48 / y Trang 12 Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC]    AC  B2  12*(48)  02  576  Vậy hàm Z khơng có c Câu 25: Tìm ị trị t h M (1; 2) Z  2x  y  y  v đ n  ( x, y)   x  y   Giải L( x, y ,  )  x  y    (  x  y  1) L/x  x   L/y  y    4 x     2 y      x  y    (1) (2) (3) (1) =>  = x (1/) (3) => y = x - (2/) hế (1/), (3/) v (2) ta có: 2( x -1) – + x =  x - – + x =0  6x - =  x => y =  ;  3  M( ;  ; ) 3 2 d L  4dx  0dxdy  2dy d   / xdx   / ydy   dx  dy   dy  dx d L( ; ; )  4dx  2dx  6dx  3 Trang 13 Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] ; 3) ( ị? Câu 26 : Cho hàm z  3x2  2e y  y  Giải zx   3x  2e y  y  3  6 x / x zy   3x  2e y  y  3  2e y  / y  z x  6 x  x   y   M (0;0)    z y  y  2e   Có dừn M (0;0) / A  z xx   6 x  x  6 B  z xy   6 x  y  / Đặ : C  z yy   2e y    2e y  2* e0  / y    AC  B  6*  02  12  Vậy hàm Z khơng có c trị t Câu 27 : Cho hàm z  x2  y  ln y  M (0;0) ị? Giải zx   x  y  ln y    x / x zy   x  y  ln y    1  / y y 2 x   z x  x      M (0; 1)      y    z y    y  Có M (0; 1) / A  z xx   x  x  dừn B  z xy   x  y  / Đặ : /  1 1 C  z yy   1     1 y y y  1     AC  B  2*1  02   Và A    M (0;0) Câu 28 : Cho hàm z  x6  y5  cos2 x  32 y h ị? Trang 14 Hỗ trợ ơn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] Giải zx   x  y  cos x  32 y   x  sin x / x zy   x  y  cos x  32 y   5 y  32 / y  z x  6 x  sin x      z y  5 y  32   h vơ nghi Khơng có dừn Vậ hàm z khơng có c trị Câu 29 : Cho hàm z  xe y  x3  y  y ị? Giải z x   xe y  x3  y  y   e y  3x / x z y   xe  x  y  y   xe y  y  y / y e y  3x  ey  z x    x      y  xe  y    z y   vô lý  h vơ nghi Khơng có dừn Vậ hàm z khơng có c y Câu 30 : Cho hàm z  x  x  sin y  ,    y    trị ị? Giải / y  z x   x  x  sin y    x  2 x  / y  z y   x  x  sin y    cos y  2 y  x  4 x    z x          z y  cos y    y  Có dừn   M 1;   3 Trang 15 Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] A  z xx   x   x  / B  z xy   x   y  / 1   Đặ : C  zyy   cos y     sin y   sin    y /  3    AC  B  4*      2    Vậ hàm z khơng có c trị t   M 1;   3 y2 Câu 31 : Cho hàm z  ln x  x  ln y  ị? Giải /  y2  z x   ln x  x  ln y     x x  /  y2  z y   ln x  x  ln y     y y y  1  x    z x  x       y  1  z y  1  y   y Có dừn M1 1;1 ; M 1; 1 M1 1;1 : * Xét / 1 1  A  z xx    1      1 x x x / Đặ : 1  B  z xy    1  x y / 1  1 C  z yy    y         2 y y y    AC  B   1 *  2   02   Và A  1   M1 (1;1) Có * Xét dừn đ h M1 1;1 ; M 1; 1 M 1; 1 : Trang 16 Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] / 1 1  A  z xx    1      1 x x x / Đặ : 1  B  z xy    1  x y / 1  1 C  z yy    y         2 y  1 y y    AC  B   1 *  2   02   Và A  1   M (1; 1) Câu 32 : Cho hàm z  ln  x2  y  v đ h ki n x  y   Giải x y20 y  x2 z  ln  x  x   2x  x  2x  x  2x  z/    0, x  x     x  2x   y  1 Đặ z /  x  z/   CT Vậ hàm s đ c  ti u t Câu 33 : Cho hàm z  ln  x y v M 1; 1 ki n x  y   Giải Trang 17 Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] x y 3   y  x3 z  ln  x  x  3  ln x  x  z/  3x  x x3  3x   x   3x  x  y  3 / z 0    x  3x   x   y  1  x  0.6 0.5 2.8  3x  x x  3x   x  z  Vậ hàm s đ c    0.5 0.6  đ t Câu 33 : Cho hàm z  CĐ    CĐ    2.8   M1  0; 3 M  2; 1 x3  3x  y v ki n  x2  y  Giải x  y   y  x 1 2 x3  3x  x  / z  x2  2x  z  x   y  / z   x  2x       x  3    y  10 Trang 18 Hỗ trợ ôn tập x  z /  [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] 3    CĐ CT Vậ hàm s đ c đ t M1  3;10  , đ c ti t M 1;  Trang 19 Hỗ trợ ôn tập [ĐỀ CƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC] TÀI LIỆU THAM KHẢO Ngơ Thành Phong Giáo trình tốn cao cấp ĐHKHTN 2003 Nguyễn Đ nh Trí nhi tác giả khác Trang wed Google.com Trang 20