SKKN định lí vi ét và ứng dụng

SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng Nguyễn Thành Nhân ĐỀ TÀI ĐỊNH LÝ VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG PHẦN MỞ ĐẦU THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 1) Lý chọn đề tài: Như biết, Toán học có vai trị quan trọng nghiên cứu khoa học đời sống xã hội Việc giảng dạy học tập để lĩnh hội kiến thức Toán cách vững vàng đòi hỏi người dạy học phải có đầu tư cơng phu phương pháp Kiến thức Tốn cần phải trình bày nắm bắt cách có hệ thống Về chủ đề định lý Vi-et ứng dụng , tơi thấy có nhiều tác giả viết xuất , đa phần ứng dụng riêng lẻ vào dạng tập Chưa thấy tài liệu viết dạng chủ đề riêng định lý Vi-et Điều thơi thúc tơi viết đề tài nhằm mục đích hệ thống lại hồn chỉnh Bản thân sau số năm giảng dạy mơn Tốn có rút nhận xét học sinh thường nắm kiến thức Tốn cách cục khơng hệ thống kiến thức Các em thường thấy mối quan hệ vấn đề tốn học với Chính nên gặp vấn đề tốn có chất phát biểu dạng khác học sinh thường tỏ lúng túng bế tắc Tơi xin đưa ví dụ Có lần cho học sinh giải tập sau: x + (m + 2)x + 3m + có cực trị khoảng cách hai điểm cực trị Tìm m để hàm số y= x+2 Học sinh sau biểu diễn tọa độ cực trị theo nghiệm y’, để tính khoảng cách 5, đa số em cố gắng giải tìm nghiệm x1;x2 y’ dùng công thức khoảng cách Lời giải theo hướng thường cồng kềnh nghiệm y’ chứa thức, nên tính tốn khó khăn thường thất bại Tuy nhiên em biết sử dụng định lý Vi-et để đưa tổng tích đơn giản Như em không thấy ỨNG DỤNG định lý Vi-et trường hợp Qua trình giảng dạy nghiên cứu , thấy ứng dụng định lý Vi-et phong phú, xuất nhiều dạng tốn có liên quan tới nghiệm phương trình đa thức Vì tơi định chọn đề tài : ĐỊNH LÝ VI-ET VÀ ỨNG DỤNG Nhằm hệ thống lại dạng tốn có liên quan tới tính chất nghiệm phương trình đa thức Đề tài đề cập tới nhiều dạng tập, dạng có số lượng tập phong phú, đủ cho học sinh có điều kiện để nhận chất dạng Qua đề tài , hi vọng mang đến cho học sinh nhìn từ nhiều phía định lý Vi-et, thấy vai trò to lớn mơn Tốn 2) Mục đích nghiên cứu đề tài: Bản thân năm có tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Toán nhà trường tham gia luyện thi đại học Tôi cố gắng đúc rút, xâu chuổi toàn kiến thức mà thân thu thập thành chủ đề định lý Vi-et Mong muốn giải lớp tập điển hình chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi chương trình thi Đại học Các ví dụ minh họa rút chủ yếu từ hai kỳ thi đó, số thí dụ thân sáng tạo Mong muốn đề tài đến với đơng đảo học sinh, nhằm giúp em đạt kết cao kỳ thi tới Qua đề tài giúp học sinh có nhiều phương pháp giải dạng tập có liên quan tới nghiệm phương trình Việc nghiên cứu đề tài giúp tơi có tài liệu mang tính hệ thống định lý Vi-et, phục vụ cho công tác giảng dạy bồi dưỡng Qua nghiên cứu đề tài , giúp tơi tự tin công tác giảng dạy Một mục đích việc nghiên cứu đề tài thân mong muốn có nhiều điều kiện để giao lưu, học hỏi , trao đổi chuyên môn với bạn bè đồng nghiệp 3) Nhiệm vụ việc nghiên cứu đề tài: Quá trình nghiên cứu để tài để thân trau dồi thêm kiến thức chuyên môn nghiệp vụ Cách thức thực đề tài khoa học Có điều kiện để trao đổi nhiều với thầy tổ Tốn vấn đề Toán Quan trọng đưa tới cho học sinh số dạng tập có ứng dụng cao kỳ thi, giúp em có kết tốt Đề tài mà tác giả thực với nhiệm vụ giúp học sinh cải tiến phương pháp học tập Biết quan tâm tới chất Toán học phát biểu Cách trình bày đề tài từ mức độ dễ đến khó, nhằm bước giúp học sinh nâng cao kiến thức kỹ Đề tài cơng bố, phải giúp học sinh nắm vững ứng dụng định lý Vi-et Làm tốt dạng tập mà hệ học sinh trước lúng túng bế tắc Một nhiệm vụ đề tài mà tác giả thấy cần thiết đưa đến cho học sinh , giỏi tài liệu bổ ích, chắt lọc cách cơng phu Qua đề tài này, em tìm thấy cho nhiều ví dụ thú vị 4) Phương pháp nghiên cứu đề tài: 4.1) Phương pháp tiếp cận vấn đề : Đề tài tác giả ấp ủ từ năm 2007 sau thời gian tham gia giảng dạy Từ đến nay, tác giả tiếp cận với nhiều khóa học trị, tiếp cần với nhiều đề thi đại học học sinh giỏi , từ rút nhiều nội dung hơn, có đánh giá ngày tồn diện Qua phân tích giải đề thi, giúp tác giả có nhiều ví dụ dẫn chứng cho dạng tập mà đưa Từ đề tài có nội dung phong phú Đề tài trình bày theo vấn đề từ mức dễ đến khó Từ dẫn dắt học sinh lĩnh hội dần nội dung khó Các kiến thức Tốn , đặc biệt định lý bổ đề, tác giả cố gắng trình bày phép chứng minh Xem kiến thức sở cho nội dung xét tới Với cách trình bày đó, học sinh khơng cảm thấy đón nhận kiến thức cách gượng ép, theo kiểu cơng nhận Các em từ từ tiếp cận vấn đề cách tự nhiên Vì tư tưởng đề tài làm cho học sinh thấy rõ sở, chất Toán học vấn đề nên người viết ln đưa bình luận sau ví dụ tập đề nghị sau dạng 4.2) Phương pháp phân tích , bình luận: Trước vào dạng , tác giả thường đưa phân tích vấn đề thường gặp dạng Khái quát phương pháp giải việc cần làm giải Học sinh bước đầu hình dung nội dung phương pháp giải tổng quát vấn đề gặp Qua ví dụ , tác giả thường có bình luận dạng tập đó, từ học sinh thấy rõ chất vấn đề gặp phải Thấy tính cụ thể tổng quát toán Qua bình luận tác giả muốn trao đổi với người đọc phương pháp giải, cách suy nghĩ tới lời giải Thấy tính tương tự hóa tốn khác Một nắm chất, học sinh làm tập tương tự , sáng tạo toán khác từ toán gốc 4.3) Phương pháp tổng hợp, hệ thống hóa: Đây có lẽ phương pháp chủ đạo đề tài Nội dung đề tài phân chia thành nhiều dạng Tốn, q trình tổng hợp kiến thức từ nhiều nguồn tài liệu từ thân rút Các dạng tập đưa mức độ trở lên, nên đòi hỏi nhiều trình suy luận tổng hợp lời giải Vì nội dung đề tài xuyên suốt vấn đề Tốn học rộng , nên địi hỏi người viết phải có chuẩn bị lâu dài mặt thời gian ( ý tưởng hình thành), viết cần phải tổng hợp kiến thức lại thành chủ đề thống Các chủ đề khác hệ thống hóa theo bố cục chặt chẽ theo hai mảng lớn định lý Vi-et bậc hai tổng quát Đọc qua đề tài ta thấy vấn đề Toán học đề cập tới gắn cột sống định lý Vi-et Tác giả cố gắng tổng hợp vấn đề Toán học có chất 5) Phạm vi nghiên cứu: Đề tài chủ yếu nghiên cứu lĩnh vực Đại số mà trọng tâm nghiệm đa thức Các vấn đề Dãy số, Số học, Bất đẳng thức , Lượng giác Hệ phương trình đề cập dạng tốn liên quan Giải tích đề cập tới vấn đề cực trị tiếp tuyến đồ thị hàm số Tất vấn đề có mối quan hệ chặt chẽ mặt phương pháp giải sử dụng tới định lý Vi-et Từ cho thấy mối quan hệ thống chủ đề toán học Phạm vi kiến thức mà đề tài đề cập đến chủ yếu kỳ thi tuyển sinh Đại học , cao đẳng kỳ thi học sinh giỏi Đây kỳ thi quan trọng diễn năm Các kiến thức đưa hoàn toàn tốn sơ cấp, điều phù hợp với chương trình Tốn phổ thơng 6) Một vài trăn trở thực đề tài Đây đề tài mà tác giả tâm đắc Nó hình thành từ năm trước Qúa trình giảng dạy , thấy rõ định lý Vi-et có nhiều ứng dụng tập Vì ln thơi thúc tác giả viết thành vấn đề cụ thể có tính hệ thống định lý Vi-et Trường Phan Bội Châu nơi dạy trường vùng sâu, vùng xa Trình độ học sinh nói chung thấp, đặc biệt em thường học yếu Toán Phần lớn em lại chưa thực có niềm đam mê Tốn Do tơi ln trăn trở liệu đề tài viết có học trị đón nhận có giúp cho em học tốt Tốn khơng ? Hi vọng kinh nghiệm thân, góp phần nhỏ để cải tiến phong trào bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi Đại học, cao đẳng nhà trường NỘI DUNG ĐỀ TÀI PHẦN THỨ NHẤT GIỚI THIỆU VỀ ĐỊNH LÝ VI-ET I- ĐỊNH LÝ VI-ET CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: Định lý Vi-et học sinh học từ lớp 9, gồm có định lý thuận định lý đảo Định lý cho ta mối quan hệ nghiệm phương trình bậc hai hệ số Định lý : Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a ≠ ) có hai nghiệm x1; x2 tổng tích chúng là: x + x = −b a ; x x = c Ngược lại có hai số x1; x2 thỏa mãn : a x1+x2=S; x1.x2=P x1;x2 nghiệm phương trình t2 –St +P =0 Điều đáng nói định lý giải tốn , ta khơng quan tâm tới giá trị x1và x2 mà cần biết tổng tích chúng Từ ta có biểu diễn cần thiết II- ĐỊNH LÝ VI-ET TỔNG QUÁT: Định lý: Cho phương trình bậc n : anxn +an-1xn-1 + + a1x +a0 = (1) an ≠ với Nếu phương trình có n nghiệm x1 ;x2 ; ;xn ta có : + x x + +  x+x n = − an−1 a    a x x + x ++ x = n−2 x x n an (I) −   a n n   a x x x = (−1)n  n  n Ngược lại có số x1 ;x2 ; xn thỏa mãn hệ (I) chúng nghiệm phương trình (1) P H Ầ N H Ứ H ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET Ta gọi nghiệm u; v; uv u + v + uv = −a(1) Áp dụng định lý Vi-et ta có: uv( + u + v) = (I)  b(2)  2 u v = −c(3) ⇔ (u + 1)(v + 1) = Nếu a=-1 từ (1) ta có : u + v + uv + = Phương trình có nghiệm -1 nên hiển nhiên 2P(−1) = , chia hết cho số Nế a ≠ −1 , cộng vế theo vế (2) (3) ta : ( (1)) u uv(1 + u + v + uv) = b − c = uv(1 − a) Suy uv = b− số hữu tỉ a,b,c số nguyên c 1−a Ta có : P(1) + P(−1) − 2(1 + P(0) = 2(a − 1) = −2(u + v + uv + 1) = −2(1 + u)(1 + v) ≠ Mặt khác : P(x) = (x − u)(x − v)(x − uv) nên: 2P(−1) = 2(−1 − u)(−1 − v)(−1 − uv) = −2(1 + u)(1 + v)(1 + uv) Từ ta có điều phải chứng minh MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP Cho hàm số y = x2 +x+ có đồ thị ( C ) Chứng minh từ A (1;-1) kẻ x+1 hai tiếp tuyến tới đồ thị hai tiếp tun vng góc với Cho hàm số y= x2 + có đồ thị (C) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm x+1 M(2; ) cho d cắt (C) hai điểm phân biệt A,B M trung điểm AB Tìm m để hàm số y = mx + x có cựa trị khoảng cách từ điểm cực tiểu tới tiệm cận xiên Tìm m để = hàm y x2 + có cực trị khoảng cách m hai điểm cực trị đồ x − x+1 số thị hàm số 10 Chứng x + (2m + 1)x + m + my + = minh hàm số 2 có cực trị khoảng ln 2(x + m) cách chúng số Giả sử x1;x2 hai nghiệm phương trình x2+px-1=0 với p số nguyên tố lẻ Chứng minh với số tự nhiên n x1n+x2n x1n+1 +x2n+1 số nguyên tố (Ôlympic Balan 1964) Chứng r n(3 minh ằ g+ 8) n +(3 − 8) n kô gchia hết cho hn với n Xét phương trình x3+ax2+bx+1=0; với a,b hửu tỉ a) chứng minh với a=-5;b=3 cặp số làm cho phương trình có nghiệm 2+ b) Kí hiệu x1; x2;x3 nghiệm phương trình Đặt Sn=x1n +x2n+x3n , n số tự nhiên Chứng minh Sn số tự nhiên c) Tìm số dư phép chia S2005 cho Chứng minh 2 10 cos + 4 cos + cos 8π =  33 π Cho α+ β+γ= tanα; tanβ; tanγ nghiệm phương trình : x3 +px2+qx+r =0 Chứng minh p+1=q+r 11 Chứng minh hệ thức : S= 12 Chứng minh tanu; tanv hai nghiệm phương trình: x2+px+q=0 1 π + 5π = 3π + cos cos cos 7 Thì sin2(u+v)+psin(u+v)cos(u+v)+qcos2(u+v)=q 13 Chứng minh tanx;tany;tanz nghiệm phương trình t3+at2+bt+c=0; cịn tanu; tanv; tanw ba nghiệm phương trình t3+ct2+bt+a=0 ta có x+y+z+u+v+w = kπ; k ∈ Z 14 chứng minh : a) cos200 số vô tỉ b) tan6100+ tan6500 + tan6700 =433 15) Hãy tìm ba số hữu tỉ (a,b,c) nghiệm phương trình x3+ax2+bx+c=0 ( Olympic sinh viên MỸ 1940) x + px 16) Chứng minh x1; x2 nghiệm phương trình + đẳng thức x14+x 24 ≥ 2+ ( vô địch Bungari 1980) ; p ≠ , ta có bất 2p 17) Gỉa sử nghiệm đa thức P(x) =x +ax2 +bx+c, với a,b nguyên tích hai nghiệm Chứng minh số 2P(-1) chia hết cho số P(1)+P(-1) -2[ 1+P(0)] ( vô địch Canada 1982) 18) Cho dãy {a n } với a1=a2 =1; an –an-1 -2an-2 =0; n ≥ a) Tìm số hạng tổng quát dãy b) Chứng minh an+1 =2an +1 n chẵn an+1 =a1+a2+…+an n lẻ 19) Cho dãy (an) xác định sau: a1=1; a2=3; an = 3an-1 –an-2 ( n ≥ 3) a) Chứng minh với n nguyên dương ta có : (an+2-2)(an-2) = (an+1 -3)2 b) Chứng minh với k nguyên dương a2k-1 -2 số phương 20) ( Việt nam MO 2002) Cho đa thức P(x) = x3 +ax2 +bx+c=0 có nghiệm thực Chứng minh 12ab+27c ≤ 6a3 +10 (a  2b ) sử ax3 +bx2 +cx+d=0 (a ≠ 0) cos nghiệm dương Chứng minh 21) Giả 3abc + 8b3 − 3da ≥ a3 22) Giả sử phương trình x4 +ax3 +2x2 +bx+1 =0 có nghiệm thực Chứng minh a2 +b2 ≥ 23) Giả sử phương trình x3 –px2 +qx –p =0 với p;q >0 có ba nghiệm thực khơng nhỏ Chứng minh + p≥ ( ) (q+3) ( 45 năm tạp chí tốn học tuổi trẻ , 283) 24) Chứng minh cos4 π + cos4 π 3π 5π 3π + cos4 = 12 cos2 cos2 cos 5π 14 14  14 14 1 1  zt  25) Giải hệ x + y + + phương z + t = + trình sau: +  x y z t  xy + yz + zt + tx =4 xyzt =   x + y + z + t =  1 26) Giải hệ phương trình sau:   +1+1=9 z t + x y   25 = +  24 + y 22zt PHẦN THỨ BA I- K Ế T PHẦN KẾT THÚC Q U Ả : Sau ý tưởng đề tài thực , thấy thu nhiều kết khả quan Cụ thể sau: - Về phía thân: Tơi cảm thấy có nhìn sâu sắc xuyên suốt định lý Vi-et Thấy lợi ích to lớn đem cho học trò áp dụng vào giải tập làm kiểm tra, thi Bản thân tạo cho giáo trình riêng để giảng dạy học sinh Khi đề tài thực xong, tơi dùng phần để giảng lấy ví dụ minh họa Đặc biệt tài liệu hỗ trợ cho nhiều vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi trường THPT Phan Bội Châu Cũng đề tài thực hiện, tơi nhận đóng góp nhiệt tình quý báu từ đồng nghiệp Do chúng tơi có tích cực mặt trao đổi chuyên môn phương pháp Bản thân rút nhiều kinh nghiệm từ đồng nghiệp - Về phía học sinh: Khi ý tưởng hình thành từ năm 2007-2008, tơi đem giới thiệu khơng thức với học sinh mình, đặc biệt em đội tuyển học sinh giỏi Tôi quan sát rút nhận định trình bày kiến thức cách hệ thống, gắn kết chúng lại em nhận chất vấn đề tốt để chúng dạng riêng lẻ Kể từ đề tài tổng hợp lại, kết thi Đại học ( mơn Tốn) kết học sinh giỏi có nhiều cải tiến Điểm số 8; mơn Tốn kỳ thi Đại học thu hoạch nhiều Tất nhiên phần khác kinh nghiệm phải nâng lên tương ứng Đã bắt đầu xuất học sinh đậu giải Lương Thế Vinh Trước tơi chưa có học sinh đậu vịng tỉnh mơn Tốn Trong chương trình khóa, em làm kiểm tra, thi học kỳ phần hàm số ( tiếp tuyến, cực trị …) trôi chảy hơn, kết cao năm trước Đó tín hiệu khởi đầu đáng mừng giáo viên trẻ vào nghề Tôi tin tương lai , với nổ lực thân nổ lực chung nhà trường , thành tích nhà trường dạy học có nhiều cải tiến Về phía thân để đạt thành tựu , cần nổ lực lớn từ II- VÀI LỜI KẾT : Qua dạng toán đúc rút trên, thật ngạc nhiên thú vị định lý tưởng chừng hữu vấn đề đa thức phương trình, ta thấy sử dụng cách hiệu hầu hết mảng Đại số Số học Thật thiếu sót chưa có nhìn tổng thể định lý Vi-et Sẽ nhiều mảng khác mà định lý Vi-et sủ dụng tới, chẳng hạn Số phức hay Hình học tọa độ Tuy nhiên kinh nghiệm thân chưa nhiều nên chưa thể có hệ thống trọn vẹn Việc tìm mối quan hệ thống mảng Đại số số học nói riêng Tốn học nói chung điều mà người dạy Tốn học tốn ln khao khát làm Điều khiến tác giả thấy tâm đắc qua đề tài ta sử dụng định lý Vi-et lời giải trở nên đọng sáng Một lần mong tin tưởng đề tài góp thêm phương pháp tốt cho học sinh làm toán Qua ví dụ tác giả chắt lọc được, ta thấy việc ứng dụng định lý Vi-et để giải tập xuất đề thi nhiều Bao gồm kì thi Đại học cao đẳng lẫn kỳ thi học sinh giỏi Do thiết nghĩ việc trọng định lý Vi-et trình giảng dạy học sinh điều cần thiết Do lực kinh nghiệm cịn nhiều hạn chế , lời giải cách trình bày chưa thực hay đặc sắc.Mong nhận trao đổi từ đồng nghiệp Tác giả cố gắng hoàn thiện thời gian tới Cuối xin chân thành cảm ơn góp ý, giúp đỡ chân tình thầy tổ Toán trường THPT Phan Bội Châu, th.s Nguyễn Quốc Vũ, Nguyễn Thị Ly Na, bạn bè , đồng nghiệp người u Tốn giúp tơi hồn thành đề tài MINH HÒA THÁNG 11 NĂM 2011 NGUYỄN THÀNH NHÂN Đánh giá Hội đồng khoa học Tài liệu tham khảo 1) Các toán chọn lọc 45 năm Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ (NXB GD) 2) Các thi Olympic Toán THPT Việt Nam (1990-2006), NXB GD 3) Những viên kim cương bất đẳng thức toán học ( Trần Phương- NXB Tri Thức ) 4) Chuyên đề : Số học dãy số ( Phan Huy Khải- NXB GD) 5) Bài tập nâng cao số chuyên đề giải tích 11 ( Nguyễn Huy Đoan, Đặng Hùng Thắng, NXB GD) 6) Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học tuổi trẻ T2,3,4 (NXB GD) 7) Tuyển tập đề thi Olympic 30 THÁNG năm ( NXB Đại học sư phạm ) 8) Một số toán dãy số đề thi Olympic 30-4 ( Võ Giang Giai- Nguyễn Ngọc Thu , NXB ĐHQG Hà Nội) 9) Các giảng luyện thi mơn tốn tập 1,2,3 ( Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất, Tạ Mân, NXBGD) 10) Bài tập nâng cao số chuyên đề giải tích 12 ( Nguyễn Huy Đoan, Đặng Hùng Thắng , NXBGD) 11) Trọng tâm kiến thức giải tích 12 , Phan Huy Khải, NXB GD 12) Các chun đề tốn phổ thơng, chủ đề Hàm số (Phan Huy Khải, NXBGD) 13) Bộ đề thi tuyển sinh đại học , mơn Tốn, NXB GD) 14) Đa thức ứng dụng , Nguyễn Hữu Điển, NXB GD 15) Báo Toán học Tuổi trẻ PHỤ LỤC 1/ Phần mở đầu .2 2/ Nội dung đề tài , giới thiệu định lý Vi-et 3/ Phần thứ hai: ứng dụng định lý Vi-et 11 4/ Ứng dụng củ định lý Vi-et bậc hai .11 5/ Dạng 1: Biểu thức liên hệ hai nghiệm 11 6/ Dạng 2: Giải hệ đối xứng kiểu 16 4/ Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức 19 5/ Dạng 4: Khảo sát tính chất cực trị hàm số 26 6/ Dạng 5: Khảo sát tính chất tiếp tuyến 34 7/ Dạng 6: Ứng dụng hệ thức truy hồi .40 8/ Dạng 7: Tương giao hai đồ thị tập hợp điểm 46 9/ Dạng 8: Tìm số hạng tổng quát dãy truy hồi tuyến tính cấp hai 54 10/ Dạng 9: So sánh nghiệm tam thức bậc hai với số 11/ Ứng dụng định lý Vi-et tổng quát 87 12/ Dạng 1: Ứng dụng vào giải hệ phương trình 87 13/ Dạng 2: ứng dụng vào tính biểu thức lượng giác 91 14/ Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức 96 15/ Một số tập tổng hợp 114 16/ Phần kết thúc 119 17/ Tài liệu tham khảo 122 18/ Phụ lục 124 ... chủ đề định lý Vi- et ứng dụng , thấy có nhiều tác giả vi? ??t xuất , đa phần ứng dụng riêng lẻ vào dạng tập Chưa thấy tài liệu vi? ??t dạng chủ đề riêng định lý Vi- et Điều thơi thúc tơi vi? ??t đề tài nhằm... Tuy nhiên em biết sử dụng định lý Vi- et để đưa tổng tích đơn giản Như em không thấy ỨNG DỤNG định lý Vi- et trường hợp Qua trình giảng dạy nghiên cứu , thấy ứng dụng định lý Vi- et phong phú, xuất... VỀ ĐỊNH LÝ VI- ET I- ĐỊNH LÝ VI- ET CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: Định lý Vi- et học sinh học từ lớp 9, gồm có định lý thuận định lý đảo Định lý cho ta mối quan hệ nghiệm phương trình bậc hai hệ số Định