skkn quang 2021

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUỲ HỢP TRƯỜNG PTDTNT-THCS QUỲ HỢP SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài DẠY HỌC THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY, PHÁT HUY TRÍ LỰC QUA VIỆC HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 6, LỚP TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC GIÚP NÂNG CAO KẾT QUẢ HỌC TẬP MƠN TỐN Tác giả: Nguyễn Đình Quang Mơn: Tốn Tổ: KHTN - Trường PTDTNT THCS Qùy Hợp Năm thực hiện: 2020 - 2021 Quỳ Hợp, tháng năm 2021 PHẦN 1: PHẦN MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Với xu phát triển xã hội nói chung phát triển khoa học nói riêng, người cần phải có tri thức, tư nhạy bén để nắm bắt sử dụng tri thức sống hàng ngày Muốn có tri thức người cần phải học, nhà trường nơi cung cấp hành trang Bất đẳng thức mảng kiến thức khó rộng mơn Toán nhờ tập bất đẳng thức mà học sinh hiểu kĩ hơn, sâu giải biện luận phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức, mối liên hệ yếu tố tam giác q trình giải tốn khả tư sáng tạo người học phát triển mạnh Trong định hướng đổi phương pháp bậc THCS tự học yêu cầu quan trọng học sinh Tự học giúp cho học sinh say mê học tập, hiểu sâu kiến thức quan trọng phát triển óc sáng tạo Vấn đề đặt làm giúp học sinh tạo hứng thú việc tự học, tìm thấy niềm vui học tốn Để làm giáo viên phải cung cấp cho học sinh hệ thống tập từ dễ đến khó, cho học sinh nhìn thấy tốn khó toán Học sinh cảm thấy thân tạo tốn có dạng tương tự Chính mà tơi chọn đề tài: “ Dạy học theo hướng phát triển tư duy, phát huy trí lực qua việc hướng dẫn học sinh lớp 6, lớp tiếp cận bất đẳng thức giúp nâng cao kết học tập mơn Tốn”, giúp học sinh đầu cấp thay đổi cách nhìn toán, thay đổi phong cách học tập tư cho phù hợp với lứa tuổi, cách lựa chọn dạy số bất đẳng thức điển hình, từ hình thành số phương pháp ban đầu bất đẳng thức để học sinh có tảng, có kiến thức vững vàng trước đón nhận phương pháp khác II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Đề tài giúp em học sinh đầu cấp THCS tiếp cận hướng suy nghĩ, cách tạo toán, cách xử lý toán bất đẳng thức - Rèn luyện cho học sinh tư độc lập sáng tạo - Học sinh biết cách suy luận lập luận để tìm tịi dự đốn phát vấn đề giải III TÍNH MỚI VÀ TÍNH SÁNG TẠO Đưa bất đẳng thức vào đầu cấp THCS Đề cập đến bất đẳng thức biết Từ xây dựng bất đẳng thức kinh điển mà sau học sinh học Ngoài việc xây dựng để biết bất đẳng thức cịn dạy cho học sinh cách sử dụng BĐT, cách vận dụng BĐT cách mở rộng BĐT Giải tận gốc cách học BĐT, không dạy theo kiểu giới thiệu cho biết bỏ PHẦN 2: NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Cơ sở lí luận Do tư thuộc tính tâm lí, tư hình thành phát triển theo giai đoạn trình trưởng thành người Tư đặc biệt phát triển mạnh giai đoạn thanh, thiếu niên Vì giáo viên cần phải quan tâm đến phương pháp giảng dạy nhằm phát triển tư cho học sinh cách tốt Tất môn học phát triển tư cho học sinh mơn Tốn có vai trị quan trọng dễ phát huy Giải tập Toán lúc học sinh thể kĩ năng, tính sáng tạo, phát triển óc tư Các tập tốn SGK chủ yếu hình thành kĩ cho học sinh, mục đích phát triển tư cho học sinh mức độ thấp nhằm đảm bảo tính giáo dục phù hợp với học sinh đại trà Giải tập chứng minh bất đẳng thức trình ôn thi HSG điều kiện cần thiết để học sinh giỏi hình thành phát triển tư mức cao Cơ sở khoa học Bất đẳng thức mảng khó mơn Tốn học Sau Hình học BĐT rèn luyện tư cao cho người học Đức tính thơng minh, cần cù, khả sáng tạo, khả bao quát, khả xoay chuyển vấn đề BĐT có mặt khắp nơi sống chênh lệch tuổi tác, kinh tế, học vấn, nhiệt độ …., đặc biệt học sinh BĐT xuất kì thi như: Thi HSG cấp huyện, HSG cấp tỉnh, thi vào lớp 10, thi vào đại học, thi HSG quốc gia, HSG quốc tế… Bắt đầu từ lớp 6, lớp học sinh làm quen với bất đẳng thức, đến lớp 8, lớp học sinh bắt đầu học hành chủ yếu để phục vụ cho nhiệm vụ thi cử Nhất học sinh lớp 9, phải học để chuẩn bị cho kì thi nên khả sáng tạo, tính tự học bị hạn chế mà thay vào giáo viên học sinh tập trung vào việc giải tập Ở tiểu học, học sinh tiếp cận cố bất đẳng thức phân số: Trong hai phân số dương, phân số có mẫu lớn phân số bé Đây bất đẳng thức áp dụng nhiều chương trình Ở lớp 6, học sinh học BĐT tiền thân BĐT Cơsi, là: “Hai số dương nghịch đảo nhau, có tổng lớn 2” Tích hai số không âm: x  Dấu “=” xẩy x = BĐT giá trị tuyệt đối:  0; -  Dấu “=” xẩy x = +  Dấu “=” xẩy xy  II BIỆN PHÁP THỰC HIỆN A KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẦU CẤP THCS Định nghĩa bất đẳng thức: Với hai số a, b ta nói a  b  a - b  a  b a - b  Tính chất: a, Tính chất 1: a  b  b  a b, Tính chất 2: a > b ; b > c  a > c c, Tính chất 3: a > b  a + c > b + c d, Tính chất 4: a > b ; c >  ac > bc; a > b ; c <  ac < bc e, Tính chất 5: a > b ; c > d  a + c > b + d; a > b ; c < d  a - c < b - d f, Tính chất 6: a > b  0; c > d >  ac > bd g, Tính chất 7: a > b > ; < c < d  > h, Tính chất 8: a>b>0  an>bn; a>b  an>bn (n lẻ); a  b  an > bn ( n chẵn ) i, Tính chất 9: Nếu m > n > a >  am > an a =1 a =  am = an < a <  am < an k, Tính chất 10: a > b, ab >  < Các bất đẳng thức: a2  với a Dấu xẩy  a =  với a Dấu xẩy  a = a với a Dấu xẩy  a  a,b Dấu xẩy  ab  a,b Dấu xẩy  ab     + với  - với B KHAI THÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN, TỪ ĐĨ HÌNH THÀNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Hình thành phương pháp “ xét phần tử đại diện ” hay gọi phương pháp làm trội ( làm giảm) Bài toán 1: Chứng minh + + + … + < Lời giải Ta có < = < = - Phép tốn sử dụng Tính chất 10: a > b, ab >  < Tính chất 10: a > b, ab >  < Tính chất 10: a > b, ab >  < < = - + + +…+ < - + - + +- Cộng vế theo vế ( Tính chất 5: a > b ; c > d  a + c > b + d) Vậy: + + +…+ b; c <  ac < bc) để nhân hai vế với - 1, ta được: -( + + +…+ ) > - Sử dụng tính chất ( a > b  a + c > b + c) để cộng hai vế với ta được: - ( + + +…+ ) > Từ ta có tốn: Bài tốn phát triển: Chứng minh 1- - - -…- > +) Hãy tổng quát toán ban đầu? Bài toán tổng quát: Chứng minh + + + … + < Hoặc: So sánh A = + + + … + với +) Chưa dừng lại: Hãy tìm hiểu đặc điểm phân số vế trái - Các tử số - Mẫu số số tự nhiên liên tiếp đến n Có thể tổng quát đặc điểm nào? - Hướng thứ nhất: Dễ dàng tìm cách nhân hai vế BĐT tổng quát với 2, ta toán: Bài toán 1.1: Chứng minh rằng: + + + + < - Hướng thứ hai: Nếu mẫu số số tự nhiên liên tiếp đến n ta toán nào? Bằng cách cộng hai vế BĐT tổng quát với , ta toán: Bài toán 1.2: Chứng minh + + + … + < - Hướng thứ ba: Nếu mẫu số số tự nhiên chẵn(lẻ) liên quy luật đó, ta xây dựng chuỗi tập sau: Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Chứng minh rằng: 1) + + + + …+ < 2) + + +…+ < - ( n  N; n > ) 3) + + + … + < 4) + + + + < Bài tập 2: Cho A = + + +…+ Chứng minh: < A < Bài tập 3: Cho B = + + +…+ Chứng minh: B < Bài tập 4: Cho S = + + +…+ Chứng minh: S < Bài tập 5: Cho A = + + +…+ Chứng minh: A < Bài tập 6: Cho M = + + +…+ Chứng minh: M < Bài tập 7: Cho N = + + +…+ Chứng minh: 97 < N < 98 Nhận xét: +) Ta sử dụng < = - để làm phần tử đại diện Phương pháp thường dùng cho việc chứng minh bất đẳng thức có vế trái tổng gồm nhiều hạng tử mà hạng tử có dạng chung Phương pháp gọi “ PHƯƠNG PHÁP XÉT PHẦN TỬ ĐẠI DIỆN ” Phần tử đại diện tổng quát là: = +) Mở rộng với tích nhiều thừa số: = Bài tập 10: Cho A = + + + + Chứng minh: A < Bài tập 11: Cho B = + + +…+ Chứng minh: B < Bài tập 12: Cho C = + + + + Chứng minh C < Bài tập 13: Chứng minh: A = ( + + + … + ) > Bài tập 14: Chứng minh rằng: + + + …+ < +) Mở rộng với dãy lũy thừa { } với n số tự nhiên Bài toán 2: Chứng minh rằng: - + - + - < Lời giải Phép toán sử dụng Ta có A = - + - + - Viết số dạng lũy thừa 2A = - + - + - Nhân hai vế với 2A + A = - Cộng vế theo vế 3A = - < Tính tổng so sánh hiệu với số A <  - + - + - < (đpcm) Chia hai vế cho ( > 0) +) Hãy toán tương tự Bài toán tương tự: Chứng minh rằng: - + - + … - < +) Tiếp tục khai thác: Nhân hai vế với -1 cộng hai vế với ta toán: Bài toán phát triển: Chứng minh rằng: + - + - … + > +) Hãy tổng quát toán trên? Bài toán tổng quát: Chứng minh rằng: - + - + … + (-1) (k = 2n) +) Chưa dừng lại: Hãy tìm hiểu đặc điểm phân số vế trái - Hướng thứ nhất: Sau thay tử số tự nhiên liên tiếp trùng với số mũ mẫu, đồng thời thay số mẫu số khác, số 3(chẳng hạn) Ta có tốn: Bài tốn 2.1: Chứng minh rằng: - + - + + - < Lời giải Phép tốn sử dụng Ta có: 3B = 1- + - + + - Nhân hai vế với 4B= 3B + B = 1- + - + - - Cộng vế theo vế 4B < 1- + - + - (1) Vì >0 Đặt C = 1- + - + + 3C = 2+ - + - + - Nhân hai vế với 4C = C + 3C = 3- <  C < (2) Tính tổng (vế theo vế) so sánh hiệu với số Từ (1) (2)  4B < C <  C < Tính chất 2: a > b; b > c  a > c - Hướng thứ hai: Các số hạng vế trái mang dấu dương, tử số tự nhiên liên tiếp, ta có tốn: Bài tốn 2.2: Cho S = + + +…+ Chứng minh S < Lời giải Phép tốn dùng Ta có 2S = + + + +…+ Nhân hai vế với 2S = 4+( + )+( + )+…+( + ) Tách phân số thành hai phân số mẫu 2S = +( + + + + + …+ + +…+ ) - + Thêm bớt số hạng Nhóm thành tổng thích hợp 2S = + S - + Thay tính tổng 2S = + S - + - () Thực phép tính phân số S = - + - () < So sánh hiệu với số Hay S < Kết luận - Hướng thứ ba: Nếu mẫu số số tự nhiên khác theo quy luật đó, ta xây dựng chuỗi tập sau: Bài tập tự luyện: Bài tập 1: Chứng minh rằng: a) - + -…+ - +…+ - < 0,2 b) + + + +…+ < Bài tập 2: Cho A = + + + + Chứng minh A > n Bài tập 3: Cho + + + + Chứng minh B < 100 Bài tập 4: Cho C = + + + + Chứng minh C < Bài tập 5: Cho E = + + + + Chứng minh: E < Bài tập 6: Cho F = + + + + với n  N* Chứng minh: F < Bài tập 7: Cho G = + + + + Chứng minh: < G < Bài tập 8: Cho H = + + + + Chứng minh: < H < Hình thành phương pháp “ sử dụng tính chất tỉ số ” Bài toán 3: Cho a, b, c số dương Chứng minh : < + + < Lời giải: +) Vì a, b, c > nên a + b < a + b + c Suy > Tương tự: > ; > Do đó: + + > + + = (1) +) Đầu tiên, ta cần chứng minh bất đẳng thức phụ: < với < x < y z > Thật vậy: Do x < y nên xz < yz ( z > 0) xz + xy < yz + xy  x(z+y) < y(x+z)  < (đpcm) Ta có: a < a + b  a + c < a + b + c  < Tương tự: < ; < Do đó: + + < + + = (2) Từ (1) (2) suy ra: < + + < Nhận xét: Để giải toán ta sử dụng kiến thức: Trong hai phân số dương, phân số có mẫu lớn phân số bé Phương pháp gọi “ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU ” Đây phương pháp đặc trưng cho học sinh THCS phương pháp áp dụng tính chất dãy tỉ số học lớp Các tính chất đặc biệt thường gặp loại ta cần lưu ý như: Kiến thức: > a, b, c R >  > > a, b, c, d R +) Hãy toán tương tự: Ta biết khơng có số ngun nào, nên ta thay đổi cách hỏi để tốn hay khó hơn: Bài toán tương tự: Cho x, y, z > Chứng tỏ rằng: M = + + không số nguyên +) Tiếp tục khai thác: Mỗi phân số có đặc điểm mẫu số tử số cộng với số nên đề cho số ta tốn nào: Bài toán phát triển: Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: 1< + + + Chứng minh rằng: < +++ + < Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho a, b, c, d số dương Chứng minh : P = + + + không số nguyên Bài tập 2: Cho P = + + + với a, b, c, d  N Chứng minh: P không nhận giá trị số tự nhiên Bài tập 3: Cho a; b; c; d số nguyên dương thỏa mãn: a + b = c + d =1000 Tìm giá trị lớn Q = + Bài tập 4: Cho: < b, d > Chứng minh < < Bài tập 5: Tìm GTNN GTLN : P = Hình thành phương pháp “ sử dụng bđt giá trị tuyệt đối ” Dựa vào định nghĩa, ta có câu trả lời: Kết số khơng âm Nghĩa ta có BĐT:  Vấn đề ta dạy học sinh sử dụng sau trả lời câu hỏi trên? Thứ nhất, cộng hai vế với số Chẳng hạn: + 2019  2019 Khi dấu xẩy ra? Khi dấu xẩy giá trị 2019 gọi giá trị tập hợp giá trị biểu thức + 2019? Từ đó, ta đặt tốn: Bài tốn 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = + 2019 Lời giải: Vì  nên + 2019  2019 Hay A  2019 Dấu “=” xẩy khi: = Suy ra: a = trị nhỏ A 2019 a = Vậy giá +) Hãy toán tương tự: Học sinh thay chữ a chữ khác, số 2019 số khác ta vô số toán với lời giải tương tự +) Tiếp tục khai thác: Xem a số mà biểu thức, chẳng hạn: Bài tốn phát triển: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = - 2019 Ở tiểu học lớp em biết rằng: Một tích tích có thừa số 0, nên ta có tốn mạnh hơn: Bài tốn 4.1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = + Tiếp theo, cho học sinh tự đề tương tự để giải thành thạo dạng Thứ hai, xét trường hợp tốn có xuất hai giá trị tuyệt hai biến khác nhau, chẳng hạn: Bài tốn 4.2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: D = + + 2019 Học sinh tự đề, seri tập Thứ ba, xét trường hợp tốn có xuất hai giá trị tuyệt biến, chẳng hạn: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: E = + Lời giải 1: Ta có:   nên +  Hay E  Vậy giá trị nhỏ Nếu cho thêm điều kiện để ta tìm giá trị a, b, c chẳng hạn: + + = vế phải có giá trị 2, ta toán: Bài toán 6.1: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: + + = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = + + Thay đổi giả thiết toán, chẳng hạn quy đồng vế trái giả thiết toán ta được: + + = Muốn có giả thiết tốn tăng độ khó tốn ta cho mối quan hệ ab + bc + ac abc, ta toán: Bài toán 6.2: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: ab + bc + ac = abc Tìm giá trị lớn biểu thức: P = + + Phát triển: Áp dụng (*) cho số a+b, b+c, c+a, ta toán: Bài toán 6.3: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng: + +  ( + +) Kết hợp toán tốn 6.3, ta có Bài tốn 6.4: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng: + +  ( + + ) Nhận xét: Từ +  , ta biến đổi: +  Nếu thay số chữ đại diện cho số vế trái kết vế phải nào? Cho học sinh lấy số khác 1(nên chọn số phương), từ dự đốn kết tổng quát, ta được: 4.3 Bất đẳng thức: +  Với a, b số dương Chứng minh: Ta có: (ay - bx)   ay - 2abxy + bx   bx + ay  2abxy ( Chuyển vế đổi dấu)  abx+bx+aby+ay  abx + 2abxy + aby (Thêm vào hai vế với abx+ aby)  (bx + ay)(a+b)  ab( x + 2xy + y) dụng phép toán ngược phép nhân số với tổng) (Áp  (bx + ay)(a+b)  ab(x+y)   (Chia hai vế cho ab(a+b) > 0)  +  (Áp dụng phép toán ngược phép cộng hai phân số mẫu rút gọn) 13 Dấu “=” xẩy (ay - bx) =  ay = bx  = Qua ta thấy x = 1, y = bất đẳng thức 4.2 Bất đẳng thức 4.2 4.3 gọi bất đẳng thức Cauchy- Swacht, số địa phương gọi bất đẳng thức cộng mẫu Mở rộng ( BĐT 4.2 ): Nếu vế trái có phân số, ta kết nào? 4.4 Bất đẳng thức: + +  Với a, b, c ba số dương Tổng quát: Cho ba số x, y, z bất kì, a, b, c ba số thực dương ta có: 4.5 Bất đẳng thức: + +  Với a, b, c ba số dương Chứng minh: Áp dụng BĐT 4.3 hai lần ta đpcm Bài toán 7: Chứng minh rằng: + + a+b+c với a, b, c số thực dương Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Swacht, ta có : + +  = a + b + c Suy điều phải chứng minh Dấu xảy = =  a = b = c Bài toán 7.1: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: + +  ( Trích đề thi vào THPT, Nghệ An, Năm học 2013 - 2014) Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Swacht, ta có : + +  = Bài toán 7.2: Chứng minh a, b, c số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ac = abc + + < Lời giải: Cách 1: Từ ab + bc + ac = abc suy ra: + + = Đặt x = ; y = ; z = x + y + z = Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Swacht, ta có: a + 2b + 3b = + +    Tương tự ta có:  ;  Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta có: + +  = < 14 Cách 2: Ta có: =  ( + + )  ( + + ) Tương tự ta có:  ( + + ) ;  ( + + ) Cộng vế với vế ta có: + +  ( + + ) = < Suy điều phải chứng minh Dấu xảy a = b = c = Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh: a) + +  b) + +  Bài tập 2: Cho x, y, z > x + y + z = Chứng minh : + +  Bài tập 3: Cho a, b, c > a+b+c = Chứng minh: + +  Bài tập 4: Cho x, y, z > x + 2y + 3z = 18 Chứng minh: + +  Bài tập 5: Cho a, b, c, d > Chứng minh: + + +  4.6 Phương pháp dùng bất đẳng thức tam giác Kiến thức: Các bất đẳng thức tam giác: +) Với a, b, c cạnh tam giác a, b, c số dương +) < a < b + c; < b < a + c; < c < a + b +) Tỉ số cạnh với cạnh lại bé +) Nếu a > b > c số đo góc A, B, C với bất đẳng thức Công thức liên quan đến tam giác: p= p-a= ; p-b= ; p-c= Khai thác: Từ tính chất: < a  < (b - c ) < a  < a - (b - c ) < a < b  < (a - c) < b  < b - (a - c) < b < c  < (a - b) < c  < c - (a - b) < c Nhân vế theo vế ta được: [a - (b - c )][b - (a - c)][c - (a - b)] < abc  (a + b – c)( a – b + c)( b – c +a)( b + c – a)( c – a + b)( c + a – b)  abc  (a + b – c)2( b + c – a)2( c + a – b)2  abc  (a + b – c)( b + c – a )( c + a – b)  abc (*) Vì a, b, c cạnh tam giác nên abc > 15 Ta có tốn: Bài tốn 8: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b)  abc Khai thác: Từ tính chất: a < b + c  <  < Tương tự: < ; < Cộng vế BĐT trên, ta có toán: Bài toán 8.1: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: + + < Khai thác: Từ tính chất: a < b + c  a < a(b + c) = ab + ac Tương tự: b < ab + bc; c < ac + bc Cộng vế theo vế ta bất đẳng thức, nội dung toán: Bài toán 8.2: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: a + b + c < 2(ab + bc + ac) Khai thác: Từ tính chất: b + c - a > 0; c + a - b > 0; a + b - c >  +  = ( Áp dụng bđt 4.2 ) Tương tự: +  ; +  Cộng vế theo vế ta toán HAY sau: Bài toán 8.3: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: + +  + + Khai thác: Nhân hai vế bất đẳng thức toán với ta được: + +  2( + + ) Mặt khác: + + = + + = + + Với p = hay a + b + c = 2p, chu vi tam giác Ta có toán : Bài toán 8.4: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi a + b +c = 2p Chứng minh rằng: + + ≥ 2( + + ) Khai thác: Đặt x = b + c – a (1); y = c + a – b (2); z = a + b – c (3) Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên x > 0; y > 0; z > Từ (2) (3) ta có: 2a = y + z  a = Tương tự ta có: b = c = 16 Xét biểu thức: + + = + + = [( + ) + ( + ) +( + )]  ( + + 2) = Ta có tốn: Bài tốn 8.5: Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh rằng: + +  Hoặc: Cho a, b, c cạnh tam giác Xác định dạng tam giác để biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất: M = + + Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh , , cạnh tam giác Bài tập 2: Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh : + +  a + b + c Bài tập 3: Cho a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi tam giác Chứng minh rằng: < + + < Bài tập 4: Cho a, b, c cạnh tam giác Tìm GTNN biểu thức: P = + + Bài tập 5: Đề thi chọn HSG Toán 9, TP HCM, 2001-2002 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị lớn biểu thức: P = Bài tập 6: Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh rằng: + +  Bài tập 7: Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh rằng: + +  C THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM: Đối tượng: Áp dụng cho khối lớp Mục đích thực nghiệm: Kiểm chứng tính khả thi đề tài Thời gian thực nghiệm: Học kỳ II năm học 2018 – 2019 Bài kiểm tra: Bài 1: Chứng minh: a + b + c  ab + bc + ca với a, b, c 17 Bài 2: Cho a, b số không âm Chứng minh: (a + b)(ab + 1)  4ab Bài 3: Cho a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi tam giác Chứng minh rằng: ( p - a )( p - b )( p - c )  abc Bài 4: Cho số dương x, y có tổng khơng q Chứng minh: +  Bài 5: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: + +  ( BĐT Nestbit ) Kết quả: a Trước thực đề tài: Kết Giỏi Lớp Sĩ số Khá TB Yếu Kém SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL 7A 25 12% 20% 12 48% 20% 0% 7B 24 8,3% 16,7% 11 45,8% 29,2% 0% b Sau thực đề tài: Kết Giỏi Khá TB Yếu Kém Lớp Sĩ số SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL 7A 25 20% 32% 11 44% 4% 0% 7B 24 16,7% 25% 12 50% 8,3% 0% PHẦN 3: KẾT LUẬN I Kết quả, đánh giá Đề tài góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn THCS Kích thích tính tị mị, khả ham thích học tập mơn, dần hình thành khả tự giác học tốt mơn Tốn, để học tốt mơn khác Hình thành óc thẩm mỹ, linh hoạt, nhạy bén, tích cực tư duy, học tập hoạt động khác Qua mơn, dần hình thành em tình cảm người, với khoa học, với đất nước đến tính tích cực sáng tạo học tập đời sống, cụ thể: 1.1 Đề tài giải số phương pháp chứng minh bất đẳng thức như: Phương pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc, phương pháp sử dụng tính chất bắc cầu, phương pháp dùng tính chất tỉ số, phương pháp làm trội, phương pháp 18 dùng bất đẳng thức tam giác, phương pháp đổi biến số 1.2 Với việc trình bày tốn từ dễ đến khó, với ví dụ minh họa tập áp dụng sau đó, giúp tăng cường giảng cho thầy, cô giáo với em học sinh dễ hiểu biết cách trình bày bài, học sinh biết vận dụng thành thạo kiến thức học làm sở cho việc sáng tạo toán 1.3 Đặc biệt phương pháp từ toán khai thác mở rộng lớp tốn tương tự, tìm lời giải cho số toán khác, khắc sâu kiến thức giúp người học kích thích khả sáng tạo Củng cố hiểu biết chưa thật thấu đáo, với cách nhìn nhận vấn đề đặt cho người học khả tìm tịi nhằm đạt hiệu cao kỳ thi 1.4 Luyện tập cho người học thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận tìm tịi để phát huy trí thơng minh, óc sáng tạo, khả phân tích, tổng hợp, tư độc lập thông qua việc thảo luận, tranh luận mà học sinh phát triển khả nói lưu lốt, biết lí luận chặt chẽ giải tốn 1.5 Người học biết vận dụng kiến thức đơn lẽ để giải tốn tổng hợp nhiều kiến thức 1.6 Ngồi có nhiều tốn giải nhiều cách khác giúp em học sinh trở nên linh hoạt việc lựa chọn phương pháp giải 1.7 Với phong cách trình bày vậy, tài liệu nhằm giúp cho em học sinh rèn luyện lực vận dụng lý thuyết học Tạo khơng khí sơi nổi, niềm say mê hứng thú cho học sinh toán sinh động, hấp dẫn thực biến học, lớp học không gian tốn học cho học sinh II Về tính ứng dụng đề tài - Trước hết đề tài phù hợp câu lạc Toán học, đội tuyển học sinh giỏi, luyện thi vào THPT - Học sinh dùng làm tài liệu học tập, vừa có kinh nghiệm học, vừa bồi dưỡng kiến thức sáng tạo học toán - Giáo viên dùng làm tài liệu giảng dạy, đồng thời nâng cao trình độ chun mơn, đúc rút kinh nghiệm - Tạo tiền đề để học sinh có phương pháp, có kiến thức bất đẳng thức trước bước vào lớp cao Sau học sinh học phương pháp chứng minh bất đẳng thức cách đầy đủ hơn, tự tin hơn, sáng tạo có móng vững lĩnh vực Cuối cùng, cho dù cố gắng việc tham khảo lượng lớn tài liệu sách Cùng với việc tiếp thu có chọn lọc ý kiến bạn đồng nghiệp, khó tránh khỏi thiếu sót hiểu biết kinh nghiệm cịn hạn chế, mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo, em học sinh đề tài để rút kinh nghiệm cho việc viết đề tài lần sau Tôi xin chân thành cảm ơn! 19 Quỳ Hợp, ngày 25 tháng năm 2021 Tác giả Nguyễn Đình Quang 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Tuyển tập đề thi HSG cấp tỉnh qua năm NXB ĐHQG Hà Nội - Tài liệu 23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp, Nguyễn Văn Vĩnh (chủ biên) - Nguyễn Đức Đồng NXB GD - Kinh nghiệm dạy toán học tốn Vũ Hữu Bình, NXB GD - Cẩm nang dạy học Tốn THCS Vũ Hữu Bình, NXB GD - Phương pháp bồi dưỡng HSG toán, NXB GD - Nâng cao phát triển Toán 8, Vũ Hữu Bình, NXB GD - Olympic tốn học Châu Thái Bình Dương - Nhà xuất giáo dục - Nguyễn Văn Nho - Tuyển tập 250 toán bồi dưỡng học sinh giỏi tốn cấp phần hình học Võ Đại Mau, NXB Trẻ ( in lần thứ tư ) - Toán học tuổi thơ toán học tuổi trẻ toàn tập, NXB - Bộ giáo dục tạo - Mạng Internet 21 MỤC LỤC TT Tên mục Trang PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ…………………………………… I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI……………………………………… II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ……… III TÍNH MỚI VÀ TÍNH SÁNG TẠO…………… …….… PHẦN 2: NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Cơ sở lí luận Cơ sở thực tiễn II BIỆN PHÁP THỰC HIỆN………………………………… 10 A KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẦU CẤP THCS 11 B KHAI THÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN, TỪ ĐĨ HÌNH THÀNH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 12 Hình thành phương pháp “ xét phần tử đại diện ” hay gọi phương pháp làm trội ( làm giảm) 13 Hình thành phương pháp “ sử dụng tính chất tỉ số 14 Hình thành phương pháp “ sử dụng bđt giá trị tuyệt đối ” 11 15 Hình thành sử dụng số bất đẳng thức quen thuộc 12 16 4.1 Bất đẳng thức: +  với ab > 13 17 4.2 Bất đẳng thức: +  15 18 4.3 Bất đẳng thức: +  Với a, b số dương 16 19 4.4 Bất đẳng thức: + +  Với a, b, c > 17 20 4.5 Bất đẳng thức: + +  Với a, b, c > 17 21 4.6 Phương pháp dùng bất đẳng thức tam giác 18 22 C THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM……………………………… 22 23 PHẦN 3: KẾT LUẬN………………………… …………… 23 24 I Kết quả, đánh giá………………………………….………… 22 với a, b dương 22 25 II Về tính ứng dụng đề tài 23 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………… ……… 25 23 ... cho việc viết đề tài lần sau Tôi xin chân thành cảm ơn! 19 Quỳ Hợp, ngày 25 tháng năm 2021 Tác giả Nguyễn Đình Quang 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Tuyển tập đề thi HSG cấp tỉnh qua năm NXB ĐHQG Hà Nội