Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 23 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
23
Dung lượng
1,76 MB
Nội dung
TIẾT 60,61: BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG II TÍNH THỂ TÍCH CÁC VẬT THỂ BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ Cho hình phẳng giới hạn đường thẳng y = 2x + 1; y = 0; x = x = a) Dùng cơng thức hình học tính diện tích hp I = (2x + 1)dx b) Tính tích phân sau Giải: Ta có S = (AD + BC).CD =28 (đvdt) I = (x +x) = 28 o BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành y = f(x) lt u' c/[a;b] Bài tốn: Tính diện tích hp y = x = a; x = b y y = f(x) b S S = f(x) dx a a o b x y A’ b b a a - Nếu f(x) ≥ [a;b] S = f(x).dx = f(x) dx - Nếu f(x) ≤ [a;b] S = S' = b b -f(x) dx = f(x) dx a a - Nếu f(x) ≥ [a;c] [d;b], f(x) ≤ [c;d] S = S1 + S2 + S3 c d b a c d = f(x).dx + -f(x) dx + f(x).dx c d b b a c d a = f(x) dx + f(x) dx + f(x) dx f(x) dx y = - f(x) B’ S’ o a S A y = f(x) b x B BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành y = f(x) lt u' c /[a;b] b Bài tốn: Tính diện tích hp y = S = f(x) dx a x = a; x = b Chú ý: Khi tính tích phân phải xét dấu f(x) để bỏ dấu gt tuyệt đối y = x3 Ví dụ: Tính diện tích hp giới hạn y = x = -1; x = S= -1 17 x dx ( - x ).dx + x 3.dx (đvdt) -1 y y = f(x) S o a b x BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Hình phẳng giới hạn hai đường cong y = f (x) lt u c/[a;b] ' Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng y x = f (x) lt u' c/[a;b] = a; x = b BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành Hình phẳng giới hạn hai đường cong y = f (x) lt u c/[a;b] ' Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng y = f (x) lt u c/[a;b] ' x = a; x = b b S = f1(x) - f (x).dx a Em tính S thơng qua S1 S2 khơng? - Xét TH f (x) ≥ f (x) ≥ x [a;b] Và tính nào? f (x).dx - f (x).dx = (f (x) - f (x)).dx Khi S = S1 - S2 b a b a b a BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Hình phẳng giới hạn hai đường cong y = Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng y = x= f (x) lt u' c/[a;b] f (x) lt u' c/[a;b] S = a; x = b b a f1 (x) - f (x).dx Cách tính: x c [a;b] - Giải pt f1(x) = f2(x) x d (f1(x) - f2(x) = 0) - Tách tích phân thành S= b c d b a f1(x) - f (x).dx = a f1(x) - f (x)dx + c f1(x) - f (x) dx + d f1 (x) - f (x) dx c d b a c d = [f1 (x) - f (x)]dx + [f1 (x) - f (x)]dx + [f1 (x) - f (x)]dx Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng: y = f1 (x) = 2x - 4x +1 y = f (x) = x - 3x + x = 0; x = BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Hình phẳng giới hạn hai đường cong y = f (x) lt u c/[a;b] ' Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng y = x= f (x) lt u' c/[a;b] a; x = b y = f1 (x) = 2x - 4x +1 Ví dụ: Tính diện tích hp: y = f (x) = x - 3x + x = 0; x = Giải: - Ta có f1(x) - f2(x) = x2 - x - = x = -1[0;3] x = (t/m) 2 - Ta có S = [f (x) - f1(x)]dx + [f1 (x) - f (x)]dx = (-x +x+2)dx + (x -x-2)dx 31 (đvdt) S= b a f1 (x) - f (x).dx BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Hình phẳng giới hạn hai đường cong Ví dụ: Cho hình phẳng sau Nhóm 1: Hãy cho biết S1 giới hạn đường nào? Nhóm 2: Hãy nêu cơng thức tính diện tích S1 tích phân phá bỏ (khơng có) dấu giá trị tuyệt đối? Nhóm 3: Hãy cho biết S2 giới hạn đường nào? Nhóm 4: Hãy nêu cơng thức tính diện tích S2 tích phân phá bỏ Tóm lại I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành y = f(x) lt u' c/[a;b] Bài tốn: Tính dt S y = x = a; x = b y y = f(x) S b S = f(x) dx a o a b Chú ý: Tính tích phân phải xét dấu f(x) để bỏ dấu gt tuyệt đối Hình phẳng giới hạn hai đường cong y = y = x= f (x) lt u' c/[a;b] Bài tốn: Tính dt S f (x) lt u' c/[a;b] S = a; x = b x c [a;b] Cách tính: - Giải pt f1(x) - f2(x) = x d b a f1(x) - f (x).dx - Tách tích phân đưa dấu giá trị tuyệt đối ngồi dấu tích phân S= b c d b a f1(x) - f (x).dx = a f1(x) - f (x)dx + c f1(x) - f (x) dx + d f1(x) - f (x) dx x Tính diện tích hình trịn Elíp R S 4S1 R x Ta có: 2 y R Đặt x = Rsint S 4R /2 t 0; 2 cos tdt S1 R x O 2R2 /2 cos2t dt sin 2t / 2 2R t R 0 Với Elíp tương tự ta có: y b S ab a x O 11 BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC y x2 Bài tập nhà: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: y x y BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC b S = |f1(x)- f2(x)|.dx a Ví dụ : (2) h diện tích hình phẳng giới hạn y = x3 -3x y = x Giải : Xét PT hđộ Diện tích hình phẳng cần tìm là: x3gđiểm: -3x = x 2 x3 - 4x = S= |x3- 4x|.dx = (x3- 4x)dx + (x3- 4x)dx x= x= x= -2 | -2 | x4 = ( -2x2) | | -2 | -2 | | x4 + ( -2x2) | | = |- 4+8 | + | 4-8 | = (ñ.v.d.t) | 2/ Tính diện tích hình tròn x2 + y2 = R2 Giaû i y f (x) R2 x2 (c ) 1 Đặt x = R sint; Với t , 2 (1) R x R Ta dx = R cost dt 2 y f (x) R x (c ) Coù 2 x R sint 1 t x R f1(x) f2(x) x R x R sint 1 t R S R2 x2 R2 x2 dx R 2 R R R x dx 2 S 2 R2 1 sin2 t R costdt 1 cos2t 2R cos tdt 2R dt 2 2 sin2t R2 t R dvdt BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Hình phẳng giới hạn hai đường cong y = f1 (x) lt u c/[a;b] ' Bài tốn: Tính dt hình phẳng S Ví dụ: Tính diện tích hp: Giải: y = x= y = ex y = x = 1; f (x) lt u' c/[a;b] a; x = b x=2 - Ta có pt ex = x = [1;2] 2 - Ta có S = e - 1dx = (e x - 1)dx x 1 = (ex - x) = e2 - e - (đvdt) S= b a f1 (x) - f (x).dx Thể tích vật thể: II.THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ b CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH y V S x dx a S(x) S(X) O a x b x 17 THỂ TÍCH CỦA khối nón, chóp, nón cụt chóp cụt Cho khối chóp (nón) có diện tích đáy S, đường y cao h Tính thể tích khối chóp (nón) Ta có: b V S x dx S a Xét phép: x h O x2 V : S S x S x S h h S Sh V x dx h O S(x) x x h 18 THỂ TÍCH CỦA khối nón cụt chóp cụt • Từ cơng thức cách tính thể tích khối nón, chóp, xác định cơng thức tính thể tích khối nón cụt chóp cụt? y Ta có: h S S V x dx h3 h '3 h h' 3h S 2 h h ' h hh ' h ' S S’ h H V S SS ' S ' O h’ h x 19 THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRỊN XOAY a) Vật thể trịn xoay sinh cho y = f(x) ltục [a;b], x = a, x = b quay quanh Ox tích: y ) f(x S(x) O x a b x b V S x dx y dx Ta có: a b Vậy: b a V y dx a 20 Ví dụ: 1/ Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình giới hạn đồ thị hàm số y= sinx , đoạn [0;] quay quanh Ox Ta coù: y V = sin2xdx = - cos2x dx 0 = π (x - sin2x 2 = 2 (ñ.v.t.t) )|0 O x 2/ Tính thể tích y= x2-4x quay quanh Ox, với x Giaûi: V= π ( ∫x - x ) dx = π (x - 8x + 16 x )dx ∫ 1 16 = π ( x - 2x + x ) 619π (ñ.v.t.t) = 15 x b) Vật thể tròn xoay sinh cho x = g(y) liên tục [a;b], y = a, y= b quay quanh Oy tích: y Tương tự ta có: b V x dy a O x 23 ... BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC y x2 Bài tập nhà: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: y x y BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC b S = |f1(x)- f2(x)|.dx... phân sau Giải: Ta có S = (AD + BC).CD =28 (đvdt) I = (x +x) = 28 o BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành y = f(x)... dx + f(x) dx f(x) dx y = - f(x) B’ S’ o a S A y = f(x) b x B BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành y = f(x)