ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

TIẾT 60,61: BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG II TÍNH THỂ TÍCH CÁC VẬT THỂ BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ Cho hình phẳng giới hạn đường thẳng y = 2x + 1; y = 0; x = x = a) Dùng cơng thức hình học tính diện tích hp I =  (2x + 1)dx b) Tính tích phân sau Giải: Ta có S = (AD + BC).CD =28 (đvdt) I = (x +x) = 28 o BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành  y = f(x) lt u' c/[a;b]  Bài tốn: Tính diện tích hp  y =  x = a; x = b  y y = f(x) b S  S =  f(x) dx a a o b x y A’ b b a a - Nếu f(x) ≥ [a;b] S =  f(x).dx =  f(x) dx - Nếu f(x) ≤ [a;b] S = S' = b b   -f(x) dx =  f(x) dx a a - Nếu f(x) ≥ [a;c] [d;b], f(x) ≤ [c;d] S = S1 + S2 + S3 c d b a c d =  f(x).dx +   -f(x) dx +  f(x).dx c d b b a c d a =  f(x) dx +  f(x) dx +  f(x) dx   f(x) dx y = - f(x) B’ S’ o a S A y = f(x) b x B BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành  y = f(x) lt u' c /[a;b] b  Bài tốn: Tính diện tích hp  y =  S = f(x) dx a  x = a; x = b  Chú ý: Khi tính tích phân phải xét dấu f(x) để bỏ dấu gt tuyệt đối  y = x3  Ví dụ: Tính diện tích hp giới hạn  y =  x = -1; x =  S=  -1 17 x dx   ( - x ).dx +  x 3.dx  (đvdt) -1 y y = f(x) S o a b x BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Hình phẳng giới hạn hai đường cong  y = f (x) lt u c/[a;b] ' Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng   y  x   = f (x) lt u' c/[a;b] = a; x = b BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành Hình phẳng giới hạn hai đường cong  y = f (x) lt u c/[a;b] '   Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng  y = f (x) lt u c/[a;b] '  x = a; x = b   b  S =  f1(x) - f (x).dx a Em tính S thơng qua S1 S2 khơng? - Xét TH f (x) ≥ f (x) ≥ x  [a;b] Và tính nào?  f (x).dx - f (x).dx = (f (x) - f (x)).dx Khi S = S1 - S2 b a b a b a BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Hình phẳng giới hạn hai đường cong y =  Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng  y =  x=   f (x) lt u' c/[a;b] f (x) lt u' c/[a;b]  S = a; x = b b a f1 (x) - f (x).dx Cách tính: x  c [a;b] - Giải pt f1(x) = f2(x)   x  d (f1(x) - f2(x) = 0) - Tách tích phân thành S= b c d b a f1(x) - f (x).dx = a f1(x) - f (x)dx + c f1(x) - f (x) dx + d f1 (x) - f (x) dx c d b a c d =  [f1 (x) - f (x)]dx + [f1 (x) - f (x)]dx + [f1 (x) - f (x)]dx Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng:  y = f1 (x) = 2x - 4x +1   y = f (x) = x - 3x +  x = 0; x =  BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Hình phẳng giới hạn hai đường cong  y = f (x) lt u c/[a;b] '  Bài tốn: Tính diện tích hình phẳng  y =  x=   f (x) lt u' c/[a;b] a; x = b  y = f1 (x) = 2x - 4x +1  Ví dụ: Tính diện tích hp:  y = f (x) = x - 3x +  x = 0; x =  Giải: - Ta có f1(x) - f2(x) = x2 - x - =  x = -1[0;3]   x = (t/m) 2 - Ta có S = [f (x) - f1(x)]dx +  [f1 (x) - f (x)]dx =  (-x +x+2)dx +  (x -x-2)dx  31 (đvdt)  S= b a f1 (x) - f (x).dx BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Hình phẳng giới hạn hai đường cong Ví dụ: Cho hình phẳng sau Nhóm 1: Hãy cho biết S1 giới hạn đường nào? Nhóm 2: Hãy nêu cơng thức tính diện tích S1 tích phân phá bỏ (khơng có) dấu giá trị tuyệt đối? Nhóm 3: Hãy cho biết S2 giới hạn đường nào? Nhóm 4: Hãy nêu cơng thức tính diện tích S2 tích phân phá bỏ Tóm lại I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành  y = f(x) lt u' c/[a;b]  Bài tốn: Tính dt S  y =  x = a; x = b  y y = f(x) S b  S =  f(x) dx a o a b Chú ý: Tính tích phân phải xét dấu f(x) để bỏ dấu gt tuyệt đối Hình phẳng giới hạn hai đường cong y =   y =  x=   f (x) lt u' c/[a;b] Bài tốn: Tính dt S f (x) lt u' c/[a;b]  S = a; x = b x  c  [a;b] Cách tính: - Giải pt f1(x) - f2(x) =  x  d  b a f1(x) - f (x).dx - Tách tích phân đưa dấu giá trị tuyệt đối ngồi dấu tích phân S= b c d b a f1(x) - f (x).dx = a f1(x) - f (x)dx + c f1(x) - f (x) dx + d f1(x) - f (x) dx x Tính diện tích hình trịn Elíp R S  4S1   R  x Ta có: 2 y R Đặt x = Rsint  S  4R  /2   t   0;   2  cos tdt S1 R x O  2R2  /2    cos2t  dt  sin 2t   / 2  2R  t    R 0   Với Elíp tương tự ta có: y b S   ab a x O 11 BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC  y  x2  Bài tập nhà: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau:  y  x y   BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC b S = |f1(x)- f2(x)|.dx a  Ví dụ : (2) h diện tích hình phẳng giới hạn y = x3 -3x y = x Giải : Xét PT hđộ Diện tích hình phẳng cần tìm là: x3gđiểm: -3x = x 2  x3 - 4x = S= |x3- 4x|.dx = (x3- 4x)dx + (x3- 4x)dx x=  x= x= -2 |  -2 | x4 = ( -2x2) | | -2 | -2 | | x4 + ( -2x2) | | = |- 4+8 | + | 4-8 | = (ñ.v.d.t) | 2/ Tính diện tích hình tròn x2 + y2 = R2 Giaû i  y  f (x)  R2  x2 (c ) 1 Đặt x = R sint; Với    t  ,   2 (1)     R  x  R Ta dx = R cost dt 2  y  f (x)   R  x (c )  Coù  2 x   R  sint  1 t    x  R f1(x)  f2(x)     x  R  x  R  sint  1 t    R S R2  x2  R2  x2 dx R 2 R  R R  x dx 2 S     2   R2 1 sin2 t R costdt  1 cos2t  2R  cos tdt  2R  dt   2 2   sin2t   R2  t    R dvdt     BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Hình phẳng giới hạn hai đường cong  y = f1 (x) lt u c/[a;b] ' Bài tốn: Tính dt hình phẳng S Ví dụ: Tính diện tích hp: Giải:   y =  x=    y = ex  y =  x = 1;  f (x) lt u' c/[a;b] a; x = b x=2 - Ta có pt ex =  x =  [1;2] 2 - Ta có S =  e - 1dx =  (e x - 1)dx x 1 = (ex - x) = e2 - e - (đvdt)  S= b a f1 (x) - f (x).dx Thể tích vật thể: II.THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ b CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH y V   S  x  dx a    S(x) S(X) O a x b x 17 THỂ TÍCH CỦA khối nón, chóp, nón cụt chóp cụt Cho khối chóp (nón) có diện tích đáy S, đường y cao h Tính thể tích khối chóp (nón)  Ta có: b  V   S  x  dx S a Xét phép: x h O x2 V : S  S  x  S  x  S h h S Sh  V   x dx  h O S(x) x x h 18 THỂ TÍCH CỦA khối nón cụt chóp cụt • Từ cơng thức cách tính thể tích khối nón, chóp, xác định cơng thức tính thể tích khối nón cụt chóp cụt? y  Ta có:  h S S V   x dx   h3  h '3  h h' 3h S 2 h  h '  h  hh ' h '   S S’ h H V  S  SS '  S '   O h’ h x 19 THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRỊN XOAY a) Vật thể trịn xoay sinh cho y = f(x) ltục [a;b], x = a, x = b quay quanh Ox tích: y ) f(x S(x) O x a b x b V   S  x  dx    y dx Ta có: a b Vậy: b a V    y dx a 20 Ví dụ: 1/ Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình giới hạn đồ thị hàm số y= sinx , đoạn [0;] quay quanh Ox Ta coù: y  V =  sin2xdx =  - cos2x dx 0 = π (x - sin2x 2 =  2 (ñ.v.t.t)   )|0  O x 2/ Tính thể tích y= x2-4x quay quanh Ox, với  x  Giaûi: V= π ( ∫x - x ) dx = π (x - 8x + 16 x )dx ∫ 1 16 = π ( x - 2x + x ) 619π (ñ.v.t.t) = 15 x b) Vật thể tròn xoay sinh cho x = g(y) liên tục [a;b], y = a, y= b quay quanh Oy tích: y Tương tự ta có: b V    x dy a O x 23 ... BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC  y  x2  Bài tập nhà: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau:  y  x y   BÀI TẬP ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC b S = |f1(x)- f2(x)|.dx... phân sau Giải: Ta có S = (AD + BC).CD =28 (đvdt) I = (x +x) = 28 o BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành  y = f(x)... dx +  f(x) dx   f(x) dx y = - f(x) B’ S’ o a S A y = f(x) b x B BÀI 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành  y = f(x)