LP3 hoai 2

Thuật tốn đơn hình giải tốn quy hoạch tuyến tính tắc (Buổi 3) Lecturer: Phạm Thị Hồi Department of Applied Mathematics - School of Applied Mathematics and Informatics Hanoi University of Science and Technology hoai.phamthi@hust.edu.vn / 11 Content Thuật tốn đơn hình Thuật tốn đơn hình dạng bảng hoai.phamthi@hust.edu.vn / 11 Thuật tốn đơn hình Dạng tắc tốn QHTT minimize cx subject to Ax = b, (P) x ≥ 0, A ∈ Rm×n (m < n) có rankA = m; kí hiệu Aj , j = 1, , n; véc tơ cột A; b ∈ Rm , b ≥ 0; Giả thiết (P) tốn khơng suy biến biết pacb x với sở tương ứng B = {Aj | j ∈ J(x )} hoai.phamthi@hust.edu.vn / 11 Thuật tốn đơn hình Giả sử ta biết pacb ksb x toán (P) Do B = {Aj | j ∈ J(x )} sở A nên zjk Aj hay Ak = BZ k , Ak = j∈J(x ) Ta có xj0 Aj = b hay Z k = B −1 Ak j∈J(x ) f (x ) = xj0 cj j∈J(x ) zjk cj − ck , k ∈ {1, , n} ∆k = j∈J(x ) hoai.phamthi@hust.edu.vn / 11 Thuật tốn đơn hình Cơ sở lí thuyết TH1: Nếu ∆k ≤ ∀k ∈ / J(x ) x pa tối ưu (P) Nếu ∆k < ∀k ∈ / J(x ) x nghiệm tối ưu (P) Nếu ∃k ∈ / J(x ) cho ∆k = x ko phải nghiệm tối ưu (P) TH2: ∃s ∈ / J(x ) cho ∆s > xây dựng hướng giảm −zjs e j + e s điểm x¯ (θ) = x + θD s , θ ≥ Ds = j∈J(x ) Khi f (¯ x (θ)) = f (x ) − θ∆s Nếu zjs ≤ 0, ∀j ∈ J(x ) hàm giảm vơ hạn theo hướng D s Nếu tồn j ∈ J(x ) cho zjs > tìm θ0 cho f (¯ x (θ0 )) < f (x ) (θ0 ← min{ xj0 x0 | zjs > 0} = r ) zjs zrs x¯ (θ0 ) đỉnh kề với x hoai.phamthi@hust.edu.vn / 11 Thuật tốn đơn hình Thuật tốn đơn hình Initialization: pacb ksb x , J ← {1} While J = ∅ J ← {j ∈ {1, , n} | xj0 > 0}; B = {Aj | j ∈ J}; CB ← (cj )j∈J for each k ∈ {1, , n} \ J Z k = (zjk )j∈J(x ) ← B −1 Ak ∆k = CB Z k − ck J ← {k ∈ {1, , n} \ J | ∆k > 0} if J = ∅ then STOP and x is an optimal solution else if {k ∈ J | Z k ≤ 0} = ∅ then STOP and problem (P) is infeasible x0 else s ← argmaxk∈J ∆k ; θ ← min{ zjsj | zjs > 0} = xj0 ← xj0 − θzjs (j ∈ J); xs0 ← θ; end xr0 zrs end end hoai.phamthi@hust.edu.vn / 11 Thuật tốn đơn hình Nhận xét tốn ksb thuật tốn ln dừng sau hữu hạn bước lặp sau lần cải tiến pacb, giá trị hàm giảm thực số pacb (P) hữu hạn toán xuất pacb suy biến θ = 0; (tại sao?) → loại Ar khỏi sở thực thuật tốn bình thường → dễ gặp tượng xoay vòng, tức quay lại sở cũ sau số bước lặp (hiện tượng nói chung gặp) x0 θ ← min{ zjsj | zjs > 0} đạt nhiều số (tại sao?) → chọn ngẫu nhiên Ar để loại khỏi sở hoai.phamthi@hust.edu.vn / 11 Thuật tốn đơn hình Cách tìm pacb xuất phát Dùng thuật tốn đơn hình giải toán phụ m minimize (P’) ui i=1 subject to Ax + u = b, x ≥ 0, u ≥ 0, với pacb xuất phát (0, b) tương ứng với ma trận sở đơn vị Bài toán (P’) ln có nghiệm (x , u ) (tại sao?) Nếu g(x , u ) > D = ∅ (D tập chấp nhận toán (P))(tại sao?) Nếu g(x , u ) = x pacb (P) (tại sao?) Chú ý: Nếu ma trận A có véc tơ cột đơn vị độc lập tuyến tính (0 ≤ ≤ m) ta cần bổ sung thêm m − biến giả toán (P’) hoai.phamthi@hust.edu.vn / 11 Thuật tốn đơn hình Ví dụ Giả sử tốn (P) có tập ràng buộc cho hệ sau x1 +2x2 + x3 2x1 +x2 − x1 +x2 + x3 +3x4 + 2x5 =9 +3x4 +3x6 = −x4 =3 tốn phụ cần bổ sung thêm biến u1 , u2 , u3 Nhưng tập ràng buộc cho x1 +2x2 + x3 2x1 +x2 − x1 +x2 + x3 +3x4 + x5 =9 +3x4 +x6 = −x4 =3 xi ≥ 0, i = 1, , cần bổ sung thêm biến u3 vào ràng buộc hoai.phamthi@hust.edu.vn / 11 Thuật tốn đơn hình Phương pháp hàm phạt Đưa việc giải toán (P) (chưa biết pacb) việc giải toán phạt m minimize cx + M (P") ui i=1 subject to Ax + u = b, x ≥ 0, u ≥ 0, thuật tốn đơn hình với pacb xuất phát (0, b) ma trận sở đơn vị tương ứng Trong M số dương lớn tùy ý Chú ý: Bài tốn (P) có nghiệm tối ưu x tốn (P") có nghiệm tối ưu (x ∗ , 0), (tại sao?) hoai.phamthi@hust.edu.vn / 11 Thuật tốn đơn hình dạng bảng Thuật tốn đơn hình dạng bảng J(x ) = (J(x ) \ {r }) ∪ {s} As = j∈J(x ) zjk1 Aj , với zjk1 ∆1k = ∆k −  zrk  zjs , zjk − = zrk zrs   zjs , zrs j ∈ J(x ) \ {s} j =s zrk ∆s zrs hoai.phamthi@hust.edu.vn 10 / 11 Thuật tốn đơn hình dạng bảng Ví dụ: Giải toán sau hai cách: max f (x ) = −x1 + 3x2 s.t x1 − x2 ≤ x1 + 2x2 ≥ x1 , x2 ≥ hoai.phamthi@hust.edu.vn 11 / 11 ... thêm m − biến giả toán (P’) hoai. phamthi@hust.edu.vn / 11 Thuật tốn đơn hình Ví dụ Giả sử tốn (P) có tập ràng buộc cho hệ sau x1 +2x2 + x3 2x1 +x2 − x1 +x2 + x3 +3x4 + 2x5 =9 +3x4 +3x6 = −x4 =3... sung thêm biến u1 , u2 , u3 Nhưng tập ràng buộc cho x1 +2x2 + x3 2x1 +x2 − x1 +x2 + x3 +3x4 + x5 =9 +3x4 +x6 = −x4 =3 xi ≥ 0, i = 1, , cần bổ sung thêm biến u3 vào ràng buộc hoai. phamthi@hust.edu.vn... {s} j =s zrk ∆s zrs hoai. phamthi@hust.edu.vn 10 / 11 Thuật tốn đơn hình dạng bảng Ví dụ: Giải toán sau hai cách: max f (x ) = −x1 + 3x2 s.t x1 − x2 ≤ x1 + 2x2 ≥ x1 , x2 ≥ hoai. phamthi@hust.edu.vn