(TIỂU LUẬN) TIỂU LUẬN CHUYÊN đề PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG

TIỂU LUẬN CHUYÊN ĐỀ: PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG Thành Viên Thực Hiện NGUYỄN BÍCH TRÂM TRẦN NGỌC DUY KHÁNH VÕ PHONG PHÚ LÊ HOÀI PHONG KHUẤT THỊ LAN HƢƠNG MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHUYÊN ĐỀ : PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG .4 Lý thuyết: A Phƣơng trình tham số phƣơng trình tắc đƣờng thẳng: .4 I Định nghĩa Phƣơng trình tham số đƣờng thẳng Phƣơng trình tắc đƣờng thẳng Phƣơng trình tia đoạn thẳng II Phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng: .6 Định nghĩa Phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng Các dạng đặc biệt phƣơng trình đƣờng thẳng Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng Chùm đƣờng thẳng III Khoảng cách góc: Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng 10 Đƣờng phân giác 10 Góc hai đƣờng thẳng 11 B Các dạng tập thƣờng gặp 12 có VTCP 12 có VTPT 13 Dạng 1: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng ∆ qua Dạng 2: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng ∆ qua điểm Dạng 3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua điểm M(x0,y0) biết hệ số góc k cho trƣớc 14 Dạng 4: Xét vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng .15 Dạng 5: Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng: 16 C Bài tập nâng cao: 17 D Bài tập tự luyện: 22 LỜI MỞ ĐẦU Quyển tiểu luận đƣợc viết chuyên đề đƣờng thẳng với mục đích củng cố kiến thức rèn luyện kĩ tính tốn phần “Phƣơng pháp tọa độ mặt phẳng” Đây kiến thức quan trọng chƣơng trình tốn THPT, đặc biệt chƣơng trình lớp 10 Chúng em đƣa lý thuyết chƣơng trình tốn THPT lớp 10 chứng minh số định lý - tính chất Cùng với lý thuyết, chúng em cố gắng phân loại dạng tập thƣờng gặp nhƣ số tập nâng cao ứng dụng thực tiễn toán học vào đời sống ngày Để hoàn thành tiểu luận nay, chúng em xin chân thành cảm ơn Thầy Trần Nam Dũng với tri thức tâm huyết để truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho chúng em suốt q trình học tập Bên cạnh đó, chúng em xin gửi lời cảm ơn đến anh-chị-bạn khoa góp ý, giúp đỡ chia sẻ kinh nghiệm nhƣ kiến thức cho chúng em trình viết tiểu luận Bƣớc đầu vào tìm hiểu, kiến thức kỹ chúng em nhiều hạn chế Do vậy, tiểu luận không tránh khỏi thiếu sót điều chắn, em mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp quý báu quý thầy cô bạn để kiến thức em lĩnh vực đƣợc hoàn thiện hơn, hỗ trợ tốt cho việc học tập giảng dạy sau TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2018 Nhóm thực Nguyễn Bích Trâm Trần Ngọc Duy Khánh Võ Phong Phú Lê Hoài Phong Khuất Thị Lan Hƣơng CHUYÊN ĐỀ : PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG A I Lý thuyết: Phƣơng trình tham số phƣơng trình tắc đƣờng thẳng: Định nghĩa Vecto khác có giá song song trùng với đường thẳng ∆ gọi vecto phương đường thẳng ∆ Từ định nghĩa đó, ta suy ra: + Mỗi đƣờng thẳng có nhiều vecto phƣơng, chúng phƣơng với + Một đƣờng thẳng đƣợc xác định biết điểm thuộc vecto phƣơng Phƣơng trình tham số đƣờng thẳng Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đƣờng thẳng qua điểm Khi đó, điều kiện cần đủ để điểm vecto phƣơng vecto phƣơng với , tức có số cho có nằm Từđó, ta có: { ( (1) Hệ phương trình (1) gọi phương trình tham số đường thẳng ∆ , với tham số t * Chú ý: 1) Với giá trị tham số t, ta tính đƣợc x y từ công thức (1), đƣợc điểm nằm ∆ Ngƣợc lại, điểm M nằm ∆ phải có số t cho tọa độ điểm M thỏa mãn hệ phƣơng trình (1) 2) Nếu cho trƣớc hệ phƣơng trình dạng (1) có đƣờng thẳng nhận hệ có làm phƣơng trình tham số Đó đƣờng thẳng qua điểm vecto phƣơng Phƣơng trình tắc đƣờng thẳng Nếu phương trình (1), hệ số a b khác cách khử t từ hai phương trình (1), ta phương trình: (2) Phương trình (2) gọi phương trình tắc đường thẳng Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho đƣờng thẳng d qua hai điểm A(1,2), B(3,-4) a) Viết phƣơng trình tham số phƣơng trình tắc đƣờng thẳng d b) Tìm tọa độ điểm M nằm d cho OM = c) Tìm tọa độ điểm H nằm đƣờng thẳng AB cho OH ⊥ AB Giải: a) Vì = (2,-6) nên =(1,-3) vecto phƣơng đƣờng thẳng d Vậy d có phƣơng trình tham số là: { có phƣơng trình tắc b) Điểm M nằm d nên có tọa độ xM =1+ t, yM = − 3t Vì OM = nên hay Vậy Khi , ta đƣợc điểm M (0,5) Khi , ta đƣợc điểm M (3,-4) c) Điểm H nằm đƣờng thẳng AB nên ta có tọa độ đó, ta có: Vì nên Phƣơng trình tia đoạn thẳng Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm phân biệt Khi đó, đường thẳng AB qua A có vecto phương nên có phương trình tham số { Ta xét tia AB, tức tia có điểm M cho kiện Vecto gốc A có chứa điểm B Hiển nhiên tia gồm phƣơng với vecto , tức với điều gọi vecto phƣơng tia AB Vậy phƣơng trình tia AB là: { Đoạn thẳng AB gồm điểm M cho Vậy phƣơng trình đoạn thẳng AB là: { Ví dụ: Cho tam giác ABC với A (3,1), B (6,4), C (0,5) a) Viết phƣơng trình tham số tia phân giác góc A b) Viết phƣơng trình tham số tia phân giác góc A a) Ta có: Đặt Tia phân giác góc A tia có gốc A vecto phƣơng (√ Vậy tia phân giác góc A có phƣơng trình tham số là: b) Đƣờng phân giác ngồi góc A có vecto phƣơng AI Phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng: Định nghĩa Vecto khác có giá vng góc với đường thẳng ∆ gọi vecto pháp tuyến đường thẳng ∆ Từ định nghĩa đó, ta suy đƣợc: √ + Mỗi đƣờng thẳng có nhiều vecto pháp tuyến, chúng phƣơng với + Vecto pháp tuyến vecto phƣơng đƣờng thẳng ln vng góc với + Một đƣờng thẳng đƣợc xác định biết điểm thuộc vecto pháp tuyến Phƣơng trình tổng qt đƣờng thẳng Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ qua điểm vecto pháp tuyến đường thẳng Nếu ta đặt (1) với Phƣơng trình (1) gọi phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng điểm M nằm (1) Ta chứng minh điều ngƣợc lại: Mọi phƣơng trình dạng lấy cặp số qua điểm d phƣơng trình (1) Ví dụ: Cho tam giác ABC với A(1,2), B(-2,3), C(0,4) a) Viết phƣơng trình tổng quát phƣơng trình tham số đƣờng cao AA’ tam giác ABC b) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC a) Đƣờng cao AA’ qua Vậy AA’ có phƣơng trình tổng qt là: Vecto phƣơng tuyến đƣờng cao AA’ { b) Trực tâm H tam giác ABC phải nằm đƣờng cao AA’ nên H có tọa độ hay Mặt khác, ta có Ta có: Vậy Các dạng đặc biệt phƣơng trình đƣờng thẳng - Đƣờng thẳng - Đƣờng thẳng - Đƣờng thẳng vng góc với trục Ox vng góc với trục Oy qua gốc tọa độ O Xét đường thẳng trình đường thẳng viết dạng: Trong đó, Phương trình (1) gọi phương trình đường thẳng theo đoạn chắn Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đƣờng thẳng có phƣơng trình Điểm M nằm hai đƣờng thẳng tọa độ nghiệm hệ gồm hai phƣơng trình Ta suy đƣợc: (1) Hai đƣờng thẳng cắt | | (2) Hai đƣờng thẳng song song | hai số | || | (3) | khác | Hai đƣờng thẳng trùng | | | | | (4) biệt, Hai đƣờng thẳng vuông góc với ∆ cắt ∆ ∆ song song ∆ ∆ trùng ∆ Chùm đƣờng thẳng Định nghĩa: Tập hợp đường thẳng qua điểm cố định gọi chùm đường thẳng, điểm cố định gọi tâm chùm đường thẳng Định lý: Giả sử hai đường thẳng phân biệt chùm có phương trình Khi đó, điều kiện cần đủ để đường thẳng thuộc chùm phương trình có dạng: Ví dụ: Cho tam giác ABC biết đƣờng thẳng AB, BC, AC lần lƣợt có Viết phƣơng phƣơng trình trình đƣờng cao AH tam giác Đƣờng cao AH thuộc chùm đƣờng thẳng tâm A xác định đƣờng thẳng AB AC nên ta có phƣơng trình: Ta cần tìm cho AH vng góc với BC Ta lại có vecto pháp tuyến BC là Mặt khác, ( Cho nên ta có: vecto pháp tuyến AH , ta đƣợc phƣơng trình AH có ng: Hay BI Khoảng cách góc: Giải { Ta có d1 d2 cắt I Nên tọa độ I nghiệm hệ phƣơng trình: Vậy Chọn Ta có ( – – ) – Vậy ( (-6;6) ( + TH1 : (-6;6) qua nhận { VTCP Có phƣơng trình tham số là: +TH2 : : ( qua nhận VTCP Có phƣơng trình tham số là: { Bài 2: Cho tam giác , diện tích tam giác Gọi Nên tọa độ điểm I nghiệm hệ phƣơng trình : { Vậy Gọi Do trọng tâm tam giác { Vậy Ta lại có SABC = + Gọi { { Suy : Vậy Bài 3: Trong hệ tọa độ – , – diện tích hình thoi 75 đỉnh có hồnh độ âm Ta có Khi Gọi Theo tính chất hình thoi ta có : { Ta có SABCD = trung điểm ( -7a + ) + ( a - )2 = ( a - )2 = hoặc Bài 4: Trong hệ tọa độ | đạt giá trị nhỏ Gọi trung điểm Khi ta có Ta có Vì | dƣờng thẳng Đƣờng thẳng – – Khi tọa độ điểm { , cho điểm hai đƣờng Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cắt Viết thẳng : ; : phƣơng trình đƣờng thẳng qua tạo với tam giác vuông cân có diện tích – – Giải Vì=1 { Vậy Gọi ∆1 ∆2 lần lƣợt đƣờng phân giác góc tạo Khi phƣơng trình ∆1: Theo đề ta có 3 tạo với vng góc với ∆1 ∆2 Vậy phƣơng trình (2) Ta lại có: Vậy Mặc khác diện tích ta giác cho =√ TH1: TH2: Vậy Bài 6: đƣờng phân giác A: giác Giải: + Viết phương trình đường thẳng BC: Ta có Vì Đƣờng thẳng A : A nên + Viết phương trình đường thẳng AB: Tọa độ điểm nghiệm hệ phƣơng trình: { Vậy Gọi Đƣờng phân giác nhận Phƣơng trình đƣờng thẳng qua Gọi { trung điểm giao qua + Viết phương trình đường thẳng AC: qua D có VTCP = Nên phƣơng trình là: Bài tập tự luyện: Bài 1: Viết phƣơng trình tham số phƣơng trình tắc đƣờng thẳng trƣờng hợp sau: – a) Đi qua điểm có VTCP = = vng góc với đƣờng thẳng b) Đi qua gốc tọa độ có VTCP c) Đi qua điểm d) Đi qua điểm ĐS: { (t a) PTTS: ; PTCT: { ; PTCP : (t b) PTTS: { (t c) PTTS: ; PTCP : { d) PTTS: (t ; PTCP : Bài 2: Xét vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng sau: a) { b) { c) { ĐS: a) Hai đƣờng thẳng song song b) Hai đƣờng thẳng cắt c) Hai đƣờng thẳng trùng Bài 3: Cho điểm đƣờng thẳng : – Viết phƣơng trình đƣờng thẳng: a) Đi qua song song với b) Đi qua vng góc với ĐS: a) { b) Bài 4: Cho tam cạnh lại đƣờng cao thứ ĐS: Đƣờng thẳng đƣờng thẳng Đƣờng thẳng đƣờng thẳng Đƣờng cao đƣờng thẳng Bài 5: Trong mặt phẳng qua điểm cắt đƣờng thẳng d1 : lần lƣợt ĐS: : – – Bài 6: Trong mặt phẳng thẳng qua lần lƣợt ĐS: – Bài 7: Trong mặt phẳng Cạnh trung điểm cạnh dƣơng Đƣờng thẳng qua ĐS: Bài 8: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng trƣờng hợp sau: a) Đi qua cắt trục tam giác vuông cân b) Đi qua điểm cắt trục trung điểm đoạn thẳng lần lƣợt lần lƣợt cho tam giác cho ĐS: a) b) : – – : – – Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(2,1) Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d qua M tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích S = ĐS: – – ho ặc – Bài 10: Giải sau a) Tính bán kính đƣờ ng trịn tâm tiếp xúc với đƣờng thẳng (d1): b) Lập phƣơng trình đƣờng phân giác góc hai đƣờng thẳng 2: 1: c) Tìm phƣơng trình tập hợp điểm cách hai đƣờng thẳng: ∆1: d) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua ĐS: a) b) c) d) Bài 11: Trong mặt phẳng lần hoành độ số nguyên Xác định tọa độ đỉnh tam giác ĐS: Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ : thẳng ĐS: Bài 13: – cho Trong mặt phẳng hệ toạ đ – √ ĐS: Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cạnh lƣợt ĐS: Bài 15: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ phƣơng trình biết ĐS: Bài 16: Trong mặt phẳng tọa độ lần lƣợt thuộc cạnh Trực tâm tam giác Xác định tọa độ thẳng ĐS: Bài 17: Trong mặt phẳng tọa độ Gọi chữ nhật biết lần lƣợt trung điểm Điểm – ĐS: Bài 17: Trong mặt phẳng đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ̂ góc – ĐS: – Bài 18: Trong mặt phẳng tâm giao điểm đƣờng thẳng Trung điểm cạnh giao điểm của hình chữ nhật ĐS: Bài 19: Trong mặt phẳng giác góc Xác định tọa độ đỉnh ĐS: Bài 20: Cho hình thang cân hai đƣờng chéo Biết phƣơng trình đƣờng thẳng Viết phƣơng trình đƣờng thẳng biết điểm có hồnh độ dƣơng ĐS: – – ... hệ phƣơng trình (1) 2) Nếu cho trƣớc hệ phƣơng trình dạng (1) có đƣờng thẳng nhận hệ có làm phƣơng trình tham số Đó đƣờng thẳng qua điểm vecto phƣơng Phƣơng trình tắc đƣờng thẳng Nếu phương trình. .. phƣơng trình đƣờng thẳng qua điểm thẳng PQ b) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng trung trực đoạn thẳng PQ a) Phƣơng trình đƣờng thẳng PQ qua Vậy VTPT đƣờng thẳng PQ Gọi d đƣờng thẳng qua Mặt khác,... lại đƣờng cao thứ ĐS: Đƣờng thẳng đƣờng thẳng Đƣờng thẳng đƣờng thẳng Đƣờng cao đƣờng thẳng Bài 5: Trong mặt phẳng qua điểm cắt đƣờng thẳng d1 : lần lƣợt ĐS: : – – Bài 6: Trong mặt phẳng thẳng