SKKN rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình,hệ phương trình

1 ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lí chọn đề tài a) Cơ sở lí luận Tốn học mơn khoa học có tính tư cao trừu tượng- địi hỏi tính hệ thống, lơgic Để giải tốn, u cầu đề địi hỏi người giải tốn phải có hệ thống kiến thức định đó, kĩ phương pháp giải toán tương ứng, đặc biệt khả tư phân tích, tổng hợp suy luận Tốn học Trong trình giải tập lực suy nghĩ, sáng tạo học sinh phát triển đa dạng, mạnh mẽ, giải tốn cách lập phương trình tốn khó nhận dạng xác định hướng giải Đối với học sinh muốn giải đòi hỏi phải trang bị kiến thức tốt phương pháp giải hợp lí Q trình học sinh nắm vững kiến thức tự phát mà q trình có mục đích rõ rệt, có kế hoạch tổ chức chặt chẽ, trình nỗ lực tư học sinh phát huy tính tích cực, tính tự giác đạo giáo viên Trong trình mức độ tự lực học sinh cao việc nắm kiến thức sâu sắc, tư độc lập sáng tạo phát triển cao, kết học tập tốt Quá trình dạy học trình thống bao gồm q trình dạy q trình học, hệ thống tác động lẫn giáo viên học sinh, chủ thể tác động lẫn có vai trị chức Trong trình dạy học lấy học sinh làm trung tâm, khơng có nghĩa hạ thấp vai trị giáo viên mà vai trị giáo viên định đến trình học học sinh Giáo viên đồng thời người hướng dẫn, người cố vấn, người mẫu mực cho học sinh, điều có nghĩa hoạt động dạy xây dựng quy trình, thao tác đạo hoạt động nhận thức học sinh, hình thành cho học sinh nhu cầu thường xun học tập, tìm tịi kiến thức, kích thích lực sáng tạo, hình thành cho em tự kiểm tra, đánh giá kết học tập mình, rèn luyện phương pháp học tập, phương pháp suy nghĩ Điều quan trọng hình thành cho em cách học có hiệu nhất, đáp ứng nhu cầu kiến thức môn b) Cơ sở thực tiễn: Trong trình giảng dạy tốn trường THCS tơi thấy dạng tốn giải tốn cách lập hệ phương trình, phương trình ln ln dạng tốn bản, tương đối khó học sinh Đặc trưng dạng toán đề cho dạng lời văn có đan xen nhiều dạng ngôn ngữ khác ngôn ngữ thông thường, ngơn ngữ tốn học, vật lý, hố học… Trong nhiều tốn lại có kiện ràng buộc lẫn nhau, ẩn ý dạng lời văn buộc học sinh phải có suy luận tốt tìm mối liên hệ đại lượng để dẫn đến lập phương trình Tác giả: Nguyễn Thị Thúy Quyên Mặt khác, loại tốn tốn có nội dung gắn liền với thực tế Chính mà việc chọn ẩn thường số liệu có liên quan đến thực tế Do giải học sinh thường mắc sai lầm thoát ly với thực tế dẫn đến quên điều kiện ẩn, không so sánh đối chiếu kết với điều kiện ẩn Hoặc học sinh không khai thác hết mối liên hệ ràng buộc thực tế Ngoài ra, kĩ phân tích, tổng hợp học sinh q trình giải tập cịn yếu Với lý mà học sinh sợ ngại làm loại toán Ngồi ra, q trình giảng dạy giáo viên truyền thụ cho học sinh kiến thức theo nội dung sách giáo khoa mà chưa ý phân loại dạng toán, chưa khái quát cách giải cho dạng Chính giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình đạt kết tốt biết cách diễn đạt mối quan hệ thành mối quan hệ tốn học Vì nhiệm vụ người thầy giải tập cho học sinh mà vấn đề đặt người thầy phải dạy học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải tập giải tập Trong trình giảng dạy trường THCS qua trao đổi, học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp nhà trường Được động viên, giúp đỡ đồng nghiệp mạnh dạn viết sáng kiến với suy nghĩ mong muốn trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệm trình giảng dạy loại toán “ Giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình ” sáng kiến kinh nghiệm ''Rèn kỹ giải toán cách lập phương trình,hệ phương trình'' cho học sinh lớp trường TH&THCS Hoài Phú 1.2 Xác định mục tiêu nghiên cứu - Giúp học sinh có nhìn tổng quát dạng toán giải toán cách lập phương trình, để học sinh sau học xong chương trình tốn THCS phải nắm loại toán biết cách giải chúng - Rèn luyện kỹ giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình có hiệu cao - Rèn luyện cho học sinh khả phân tích, xem xét toán dạng đặc thù riêng lẻ Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy khả tư linh hoạt, nhạy bén tìm lời giải tốn, tạo lịng say mê, sáng tạo, ngày tự tin, khơng tâm lý ngại ngùng việc giải tốn cách lập phương trình - Học sinh thấy mơn tốn gần gũi với mơn học khác thực tiễn sống - Giúp giáo viên tìm phương pháp dạy phù hợp với đối tượng học sinh, làm cho học sinh có thêm hứng thú học mơn tốn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài ''Rèn kỹ giải toán cách lập Tác giả: Nguyễn Thị Thúy Quyên phương trình, hệ phương trình'' chương trình tốn THCS lớp 1.4 Đối tượng khảo sát, thực nghiệm Đối tượng khảo sát, thực nghiệm đề tài học sinh lớp trường TH&THCS Hoài Phú 1.5 Phương pháp nghiên cứu Trên sở lí luận, thực tiễn nhiệm vụ đề tài, chọn phương pháp nghiên cứu đề tài qua: Các phương pháp dạy học toán học Nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên toán 8, toán 9, đề thi tuyển sinh vào 10 Tỉnh Bình Định dạng toán: Giải toán cách lập phương trình từ năm 2006 đến năm 2019 Các tiết dạy học lớp mà thân trực tiếp giảng dạy Các tiết thao giảng trường ngành tổ chức Quá trình học, thực hành học sinh 1.6 Phạm vi thời gian nghiên cứu Đề tài nghiên cứu áp dụng giảng dạy cho học sinh THCS lớp sở toán “Giải toán cách lập hệ phương trình” Chương III Đại số Tốn tập 2, toán “Giải toán cách lập phương trình” Chương IV - Đại số Tốn tập 2, tốn giải cách lập phương trình hệ phương trình sách tham khảo Lựa chọn tập liên quan đến phần “Giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình” sách giáo khoa, sách tập lớp 8, 9, đề thi tuyển sinh vào lớp 10 số tài liệu khác Thời gian nghiên cứu từ năm học 2016-2017 đến năm học 2018-2019 NỘI DUNG 2.1 Những nội dung lí luận có liên quan trực tiếp đến vấn đề nghiên cứu Trong chương trình giáo dục phổ thơng nước ta nhìn chung tất môn học cho tiếp cận với khoa học đại khoa học ứng dụng Đặc biệt mơn tốn, em tiếp thu kiến thức xây dựng tinh thần toán học đại Trong có nội dung xun suốt q trình học tập em phương trình Ngay từ cắp sách đến trường em làm quen với Tác giả: Nguyễn Thị Thúy Quyên phương trình dạng đơn giản điền số thích hợp vào trống cao tìm số chưa biết đẳng thức cao lớp 8, lớp em phải làm số toán phức tạp Cụ thể: -Ở lớp em làm quen với phương trình dạng tìm số thích hợp vào trống: 9=3 -Tới lớp 2, lớp em làm quen với dạng phức tạp hơn: x + +6 = -Lên lớp 4, 5, 6, em bước đầu làm quen với dạng tìm x biết: x : = 16 : x - = 12 3x + 58 = 25 x- 11 = Các dạng toán mối quan hệ đại lượng mối quan hệ toán học, đại lượng số tập hợp em học Hàm ý phương trình viết sẵn, học sinh cần giải tìm ẩn số hoàn thành nhiệm vụ -Lên đến lớp 8, lớp đề tốn chương trình đại số phương trình khơng đơn giản nữa, mà có hẳn loại tốn có lời Các em vào lời tốn cho phải tự thành lập lấy phương trình, hệ phương trình giải phương trình, hệ phương trình Kết tìm khơng phụ thuộc vào kỹ giải phương trình mà cịn phụ thuộc nhiều vào việc thành lập phương trình Việc giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình bậc THCS việc làm mới, đề tốn đoạn văn mơ tả mối quan hệ đại lượng mà có đại lượng chưa biết, cần tìm yêu cầu học sinh phải có khả phân tích, khái qt, tổng hợp, liên kết đại lượng với nhau, chuyển đổi mối quan hệ toán học Từ đề toán cho học sinh phải tự thành lập lấy phương trình, hệ phương trình để giải Những tốn dạng nội dung hầu hết gắn liền với hoạt động thực tiễn người, tự nhiên, xã hội Nên trình giải học sinh phải quan tâm đến ý nghĩa thực tế Khó khăn học sinh giải tốn kỹ em hạn chế, khả phân tích khái qt hố, tổng hợp em chậm, em không quan tâm đến ý nghĩa thực tế toán Tác giả: Nguyễn Thị Thúy Quyên Bằng kinh nghiệm rút sau nhiều năm giảng dạy trường THCS mạnh dạn viết đề tài ''Rèn kỹ giải tốn cách lập phương trình,hệ phương trình'' cho học sinh lớp trường TH&THCS Hoài Phú 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trong q trình giảng dạy tốn trường TH&THCS Hồi Phú tơi thấy dạng tốn giải tốn cách lập phương trình dạng tốn Dạng tốn khơng thể thiếu kiểm tra chương thi học kỳ mơn tốn lớp đại đa số em bị điểm có học sinh biết cách giải không đạt điểm tối đa vì: - Đọc đề chưa kỹ, nắm bắt kiệc chưa đầy đủ - Thiếu điều kiện đặt điều kiện khơng xác - Khơng biết dựa vào mối liên hệ đại lượng để thiết lập phương trình Lời giải thiếu chặt chẽ - Giải phương trình chưa - Quên đối chiếu điều kiện thiếu đơn vị vv Vì nhiêm vụ giáo viên phải rèn cho học sinh kỹ giải loại tập tránh sai lầm học sinh hay mắc phải Do đó, hướng dẫn học sinh giải loại toán phải dựa quy tắc chung là: Yêu cầu giải toán, quy tắc giải toán cách lập phương trình, phân loại tốn dựa vào trình tham gia đại lượng làm sáng tỏ mối quan hệ đại lượng, từ học sinh tìm lời giải cho tốn 2.3 Mơ tả, phân tích giải pháp 2.3.1 Mơ tả giải pháp đề tài Giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình thường có bước giải sau: Bước : Lập phương trình, hệ phương trình: + Chọn ẩn xác định điều kiện cho ẩn + Biểu thị đại lượng chưa biết đại lượng biết qua ẩn + Tìm mối liên quan số liệu để lập phương trình, hệ phương trình Bước : Giải phương trình, hệ phương trình Bước : Chọn kết thích hợp trả lời Tác giả: Nguyễn Thị Thúy Quyên 2.3.2 Phân tích giải pháp Thực trạng chung học sinh tìm lời giải giải với toán “ Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình” a/ Đối với HS: - Ở bước bước quan trọng có lập phương trình, hệ phương trình phù hợp với đề có kết tốn Đây khâu khó học sinh, khó khăn thường gặp: + Khơng biết tóm tắt toán để đưa toán từ nội dung thực tế tốn mang nội tốn học Khơng xác định đại lượng phải tìm số liệu cho, đại lượng cho + Không biết cách chọn ẩn, điều kiện ẩn + Không biết biểu diễn lập luận mối liên hệ ẩn theo dự kiện tốn Khơng xác định tình xảy đại lượng mà số liệu chưa biết Những lí dẫn đến học sinh khơng thể lập phương trình, hệ phương trình - Ở bước thơng thường học sinh khơng giải phương trình, hệ phương trình mà lí học sinh chưa phân dạng phương trình, hệ phương trình để áp dụng cách giải tương ứng với phương trình, hệ phương trình học sinh khơng biết cách giải phương trình, hệ phương trình - Đối với bước học sinh thường gặp khó khăn trường hợp sau: + Không trọng khâu thử lại nghiệm phương trình với dự kiện tốn điều kiện ẩn + Không biết biện luận: Chọn câu trả lời, yếu tố có phù hợp với điều kiện thực tế không ? b) Các giải pháp 1.1.Các giai đoạn giải toán: Trên sở quy tắc chung thao tác bước hình thành trình làm việc qua giai đoạn giúp học sinh triển khai toán dễ dàng Giai đoạn 1: Phân tích ghi giả thiết - kết luận toán: - Giúp học sinh hiểu tốn: Cho kiện gì? u cầu tìm gì? - Mơ tả hình vẽ - sơ đồ không? Giai đoạn 2: Biểu diễn đại lượng Tác giả: Nguyễn Thị Thúy Quyên - Chọn ẩn, đơn vị ẩn điều kiện phù hợp với yêu cầu toán - Đại lượng, đối tượng biểu diễn thông qua ẩn biểu thức đại số Giai đoạn 3: Lập phương trình, hệ phương trình - Thơng qua mối liên hệ ràng buộc toán từ biểu thức đại số viết thành phương trình, hệ phương trình (Ba giai đoạn bước qui tắc chung) Giai đoạn 4: Giải phương trình, hệ phương trình - Vận dụng kĩ giải phương trình, hệ phương trình đưa phương trình, hệ phương trình dạng - Tìm giá trị ẩn (hợp lý - nhanh chóng) Giai đoạn 5: Nhận định, đánh giá kết quả: Xem xét nghiệm qua phương trình, hệ phương trình vừa tìm phù hợp với tốn chưa? Có phù hợp với ý nghĩa thực tế không? Giai đoạn 6: Trả lời tốn Trên sở giai đoạn 5, tính phù hợp Ta khẳng định số nghiệm toán Giai đoạn 7: Phân tích biện luận cách giải Sau thực xong lời giải cần phát huy tính sáng tạo, bồi dưỡng học sinh thơng qua việc: - Tổng quát hoá toán: + Thay đổi kiện toán giữ nguyên ẩn số + Thay đổi ẩn số giữ nguyên kiện yếu tố khác - Có thể giải tốn cách khác tốt khơng? VÍ DỤ MINH HỌA CHO CÁC GIAI ĐOẠN GIẢI BÀI TỐN: Bài tốn: Anh Tuấn lái xe tải từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc trung bình 40km/h Sau 1h30 phút anh Hà lái xe từ thành phố A đến thành phố B với vân tốc trung bình 60km/h Anh Tuấn gặp anh Hà quãng đường từ thành phố A đến thành phố B Hỏi hai thành phố cách kilômet? Tác giả: Nguyễn Thị Thúy Quyên Hướng dẫn: Giai đoạn 1: Hai xe chạy chiều từ A đến B chúng gặp quãng đường Xe tải: v1 = 40km/h Thời gian t1 Xe con: v2 = 60km/h Thời gian t2 Thời gian nhau: t2 − t1 = (giờ) Tính quãng đường AB = ? Giai đoạn 2: Gọi khoảng cách hai thành phố A B là: x (km); (điều kiện x>0) Hai xe gặp quãng đường nên xe được: Thời gian xe tải: Thời gian xe con: x (km) x x :40 = (h) 80 x x :60 = (h) 120 Giai đoạn 3: Vì xe tải xuất phát trước 1h30phút = (h) nên ta có phương trình: x x = (1) 80 120 Giai đoạn 4: (1) ⇔ 3x - 2x = 360 ⇔ x = 360 Giai đoạn 5: Với x = 360 thoả mãn điều kiện toán Thử lại: 360 360 − = (nghiệm đúng) 80 120 Giai đoạn 6: Vậy hai thành phố cách 360 (km) Giai đoạn 7: - Thay đổi vị trí gặp hai ơtơ yêu cầu tìm khoảng cách hai thành phố Tác giả: Nguyễn Thị Thúy Quyên - Thay đổi thời gian xuất phát (vận tốc xe) tìm khoảng cách hai thành phố Lời giải: Gọi khoảng cách hai thành phố A B x (km); (điều kiện: x>0) Theo hai xe gặp quãng đường nên xe được: x (km) Do đó: Thời gian xe tải là: Thời gian xe là: x x :60 = (h) 120 Vì xe tải xuất phát trước 1h30phút = x x − = 80 120 x x :40 = (h) 80 ⇔ 3x - 2x = 360 (h) nên ta có phương trình: ⇔ x = 360 Với x = 360 thoả mãn điều kiện toán Vậy khoảng cách hai thành phố A B là: 360 km 1.2.Yêu cầu giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình: Ở bước bước quan trọng có lập phương trình, hệ phương trình phù hợp với đề có kết tốn Để giải đúng, nhanh tốn giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình giáo viên học sinh cần ý : + Đọc kĩ đề tóm tắt tốn để hiểu rõ: đại lượng phải tìm, đại lượng số liệu cho, mơ tả hình vẽ cần, chuyển đổi đơn vị cần + Thường chọn trực tiếp đại lượng phải tìm làm ẩn, ý điều kiện ẩn cho phù hợp với yêu cầu toán với thực tế + Xem xét tình xảy đại lượng mà số liệu chưa biết + Khi chọn số chưa biết đại lượng tình ẩn lập phương trình, hệ phương trình phải tìm mối liên quan số liệu đại lượng khác tình khác Mối liên hệ thể so sánh ( bằng, lớn hơn, bé hơn, gấp lần ) + Khi lập phương trình, hệ phương trình cần vận dụng tốt kỹ giải dạng phương trình, hệ phương trình học để tìm nghiệm phương trình, hệ Tác giả: Nguyễn Thị Thúy Quyên 10 phương trình + Cần ý so sánh nghiệm tìm phương trình với điều kiện toán với thực tế để trả lời.Mặc dù có quy tắc chung để giải loại tốn Xong người giáo viên trình hướng dẫn học sinh giải loại toán cần cho học sinh vận dụng theo sát yêu cầu sau : a Bài tốn khơng sai sót : Để giải học sinh khơng sai sót, trước hết người giáo viên phải phân tích cho học sinh hiểu tốn hiểu sai đề trả lời sai Học sinh cần hiểu rõ mục đích công việc làm, ý không bỏ qua điều kiện ẩn, đơn vị ẩn b Lời giải phải có lập luận Trong q trình giải bước phải có lập luận chặt chẽ với Xác định ẩn khéo léo, mối quan hệ ẩn kiện cho phải làm bật nên ý phải tìm Nhờ mối tương quan đại lượng mà lập phương trình, hệ phương trình.Từ tìm giá trị ẩn c Lời giải phải mang tính tồn diện Cần hướng dẫn học sinh hiểu kết toán tìm phải phù hợp với chung, với thực tế trường hợp đặc biệt kết d Lời giải phải đơn giản : Lời giải ngồi việc phải đảm bảo ba u cầu nói cần phải chọn cách làm đơn giản mà đa số học sinh hiểu tự làm lại e Trình bày lời giải phải ngắn gọn khoa học : Khoa học mối quan hệ bước giải toán phải logic, chặt chẽ với nhau, bước sau tiếp nối bước trước suy từ bước trước, kiểm nghiệm chứng minh điều biết từ trước f Lời giải phải rõ ràng Nghĩa bước giải phải không chồng chéo lên nhau, phủ định lẫn Các bước giải phải thật cụ thể xác g Những lưu ý khác: - Cần trọng việc đưa toán thực tế tốn mang nội dung tốn học thơng qua việc tóm tắt chuyển đổi đơn vị - Để thuận tiện tạo điều kiện dễ dàng khai thác nội dung toán cần: Tác giả: Nguyễn Thị Thúy Quyên 11 Khối lượng đồng không đổi nên tỷ lệ đồng hợp kim lúc sau là: Theo đề tỷ lệ đồng lúc sau 40% nên ta có phương trình: 5,4 12 + x 5,4 40 = 12 + x 100 Giải phương trình ta có: x = 1,5 (TM) Vậy khối lượng thiếc nguyên chất cần thêm vào 1,5 kg Khai thác toán: Thay đổi số liệu đối tượng toán ta có tốn tương tự: Có 200 (g) dung dịch chứa 50 (g) muối Cần pha thêm nước để dung dịch chứa 10% muối Bài toán :(Bài 50 trang 59 sách giáo khoa toán tập 2) Miếng kim loại thứ nặng 880 gam, miếng kim loại thứ hai nặng 858 gam (g) Thể tích miếng thứ nhỏ thể tích miếng thứ hai 10 cm , khối lượng riêng miếng thứ lớn khối lượng riêng miếng thứ hai 1gam/cm3 Tìm khối lượng riêng miếng kim loại? Hướng dẫn: Trong tốn có đại lượng nào? (Bài tốn có đại lượng: Khối lượng kim loại m, khối lượng riêng D, thể tích vật V) Mối quan hệ chúng nào? (Liên hệ công thức: D = m ) V - Hãy lập bảng phân tích phương trình tốn Khối lượng Thể tích Khối lượng riêng Kim loại 880g 880 (cm3) x Kim loại 858g 858 (cm3) x −1 Phương trình x( g ) cm3 x −1( g ) cm3 858 880 − = 10 x −1 x Lời giải: Gọi khối lượng riêng miếng kim loại thứ là: x (g/cm3) , x > ; Khối lượng riêng miếng kim loại thứ hai là: x − 1(g/ cm3) Thể tích miếng kim loại thứ là: Thể tích miếng kim loại thứ hai là: Tác giả: Nguyễn Thị Thúy Quyên 880 (cm3) x 858 (cm3) x−1 52 Theo đề ta có phương trình: Giải phương trình ta được: 858 880 − = 10 x−1 x x= 8,8 (thỏa mãn) Vậy :Khối lượng riêng miếng kim loại thứ 8,8 g/cm3 Khối lượng riêng miếng kim loại thứ 7,8g/cm3 DẠNG 8: DẠNG TOÁN CỔ: a/KIẾN THỨC CẦN NHỚ: + Chọn ẩn điều kiện cho ẩn + Hướng dẫn học sinh tìm lời giải thơng qua bảng sau: Các đại lượng Các trường hợp Đại lượng Đại lượng Mối liên hệ đại lượng Ban đầu Về sau Phương trình lập b/ BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài tốn 1: (Ví dụ trang 24 Sách giáo khoa toán tập 2) “ Vừa gà vừa chó Bó lại cho trịn Ba mươi sau Một trăm chân chăn” Hỏi có gà, chó? Hướng dẫn: + Gọi số gà x ( < x < 36, x∈ 36 ) + Hướng dẫn học sinh lập mối liên hệ theo ẩn theo bảng sau: Các đại lượng Tác giả: Nguyễn Thị Thúy Quyên Số Số chân Tổng 53 Các loại Con gà x 2x 36 Con chó 36 - x 4(36 - x) 100 Phương trình lập 2x + 4(36 – x) =100 + Căn vào GV hướng dẫn HS tìm lời giải Lời giải: Gọi số gà x (con) (0