Số âm trong máy tính ppt

Số âm trong máy tính Số âm trong máy tính Trong Trong toán học toán học , các số âm (bất kể thuộc , các số âm (bất kể thuộc hệ cơ số hệ cơ số nào) đều nào) đều được biểu diễn bằng cách thông thường là đặt trước số được biểu diễn bằng cách thông thường là đặt trước số dương tương ứng một dấu "−" (trừ). Ví dụ: với hệ thập phân, dương tương ứng một dấu "−" (trừ). Ví dụ: với hệ thập phân, số nguyên âm năm được biểu diễn là −5. Tuy nhiên, trong số nguyên âm năm được biểu diễn là −5. Tuy nhiên, trong máy tính máy tính , khi mọi ký hiệu, con số, đều được biểu diễn , khi mọi ký hiệu, con số, đều được biểu diễn dưới dưới hệ nhị phân hệ nhị phân thông qua hai chữ số 0 và 1 thì mọi chuyện thông qua hai chữ số 0 và 1 thì mọi chuyện lại trở nên phức tạp hơn. lại trở nên phức tạp hơn. Có nhiều cách được sử dụng để biểu diễn số âm trong máy Có nhiều cách được sử dụng để biểu diễn số âm trong máy tính. Bài này chỉ giới thiệu bốn phương pháp chủ yếu nhất, tính. Bài này chỉ giới thiệu bốn phương pháp chủ yếu nhất, đó là: phương pháp dấu lượng ( đó là: phương pháp dấu lượng ( sign-and-magnitude sign-and-magnitude ), ), bù 1 bù 1 , , bù 2 bù 2 và số quá và số quá N N ( ( excess-N excess-N ). ). Các máy tính hiện nay hầu hết đều sử dụng phương pháp Các máy tính hiện nay hầu hết đều sử dụng phương pháp biểu diễn số bù 2. Tuy nhiên, trong vài tình huống, các biểu diễn số bù 2. Tuy nhiên, trong vài tình huống, các phương pháp khác vẫn có thể được sử dụng. phương pháp khác vẫn có thể được sử dụng. Dấu lượng Dấu lượng  Phương pháp dấu lượng dùng Phương pháp dấu lượng dùng bit cực trái bit cực trái làm làm bit dấu bit dấu ( ( sign sign bit bit ) – tức đại diện cho dấu của số – theo quy ước: nếu bit dấu là ) – tức đại diện cho dấu của số – theo quy ước: nếu bit dấu là 0 thì số là số dương (0 tương đương với dấu "+"), ngược lại, 0 thì số là số dương (0 tương đương với dấu "+"), ngược lại, nếu nó là 1 thì số là số âm (1 tương đương với dấu "−"). Các bit nếu nó là 1 thì số là số âm (1 tương đương với dấu "−"). Các bit còn lại được dùng để biểu diễn độ lớn của số (hay còn lại được dùng để biểu diễn độ lớn của số (hay giá trị tuyệt đối giá trị tuyệt đối – – absolute value absolute value – của số). – của số).  Theo phương pháp này, một byte 8 bit sẽ có 7 bit (trừ đi bit Theo phương pháp này, một byte 8 bit sẽ có 7 bit (trừ đi bit dấu) được dùng để biểu diễn cho các số có giá trị từ 0000000 dấu) được dùng để biểu diễn cho các số có giá trị từ 0000000 (0) đến 1111111 (127). Khi sử dụng bit dấu, ý nghĩa của 7 bit (0) đến 1111111 (127). Khi sử dụng bit dấu, ý nghĩa của 7 bit trên sẽ thay đổi, và ta có thể biểu diễn các số từ −127 đến +127. trên sẽ thay đổi, và ta có thể biểu diễn các số từ −127 đến +127. Phương pháp này làm cho số âm lẫn trị tuyệt đối của nó (như Phương pháp này làm cho số âm lẫn trị tuyệt đối của nó (như −5 với +5) đều được biểu diễn theo cùng một cách ở 7 bit biểu −5 với +5) đều được biểu diễn theo cùng một cách ở 7 bit biểu diễn độ lớn. Trong phương pháp dấu lượng, số 0 có thể được diễn độ lớn. Trong phương pháp dấu lượng, số 0 có thể được biểu diễn ở hai dạng, đó là 00000000 (+0) và 10000000 (−0). biểu diễn ở hai dạng, đó là 00000000 (+0) và 10000000 (−0). Dấu lượng –Ví dụ Dấu lượng –Ví dụ  Ví dụ: giả sử mẫu 8 bit, khi sử dụng phương pháp dấu lượng, Ví dụ: giả sử mẫu 8 bit, khi sử dụng phương pháp dấu lượng, số 5 được biểu diễn sang hệ nhị phân là: 00000101, còn số −5 số 5 được biểu diễn sang hệ nhị phân là: 00000101, còn số −5 là 10000101. là 10000101.  So sánh với cách biểu diễn số âm mà ta thường sử dụng, ta So sánh với cách biểu diễn số âm mà ta thường sử dụng, ta thấy phương pháp dấu lượng có nhiều điểm tương đồng. Trong thấy phương pháp dấu lượng có nhiều điểm tương đồng. Trong hệ thập phân, khi muốn biểu diễn số có dấu, ta đặt dấu cần hệ thập phân, khi muốn biểu diễn số có dấu, ta đặt dấu cần biểu diễn ngay trước giá trị tuyệt đối của số. Phương pháp dấu biểu diễn ngay trước giá trị tuyệt đối của số. Phương pháp dấu lượng cũng đặt dấu ngay trước giá trị tuyệt đối của số, chỉ có lượng cũng đặt dấu ngay trước giá trị tuyệt đối của số, chỉ có khác ở chỗ thay dấu "+" bằng "0" và "−" bằng "1". Có lẽ vì sự khác ở chỗ thay dấu "+" bằng "0" và "−" bằng "1". Có lẽ vì sự tương đồng này, một vài máy tính thế hệ đầu tiên (như tương đồng này, một vài máy tính thế hệ đầu tiên (như IBM 7090 IBM 7090 ) đã sử dụng phương pháp dấu lượng khi biểu diễn ) đã sử dụng phương pháp dấu lượng khi biểu diễn số âm. số âm. Phương pháp bù 1 Phương pháp bù 1  Phương pháp bù 1 biểu diễn số âm theo cách sau: Phương pháp bù 1 biểu diễn số âm theo cách sau:  Thứ nhất, bit dấu là 0 nếu số là số dương, và 1 nếu số là số âm. Thứ nhất, bit dấu là 0 nếu số là số dương, và 1 nếu số là số âm.  Thứ hai, sử dụng Thứ hai, sử dụng toán tử thao tác bit toán tử thao tác bit (bitwise) (bitwise) NOT NOT để đảo tất cả để đảo tất cả các bit của số nhị phân dương (dĩ nhiên không tính bit dấu) để biểu các bit của số nhị phân dương (dĩ nhiên không tính bit dấu) để biểu diễn số âm tương ứng. diễn số âm tương ứng.  Như vậy, phương pháp bù 1 hoàn toàn giống như phương pháp dấu Như vậy, phương pháp bù 1 hoàn toàn giống như phương pháp dấu lượng, duy chỉ khác ở cách biểu diễn độ lớn của số. lượng, duy chỉ khác ở cách biểu diễn độ lớn của số.  Ví dụ: dạng bù 1 của 00101011 (43) là 11010100(−43) ( Ví dụ: dạng bù 1 của 00101011 (43) là 11010100(−43) ( xem xem bài chính về bù 1 bài chính về bù 1 để biết cách biểu diễn số thập phân sang nhị để biết cách biểu diễn số thập phân sang nhị phân bằng phương pháp bù 1 phân bằng phương pháp bù 1 ). ).  Giống phương pháp dấu lượng, một byte 8 bit áp dụng phương Giống phương pháp dấu lượng, một byte 8 bit áp dụng phương pháp bù 1 cũng có thể biểu diễn các số từ −127 đến +127 (chú ý: đã pháp bù 1 cũng có thể biểu diễn các số từ −127 đến +127 (chú ý: đã mất đi một bit dùng làm bit dấu). Bù 1 cũng có hai dạng biểu diễn mất đi một bit dùng làm bit dấu). Bù 1 cũng có hai dạng biểu diễn cho số 0, bao gồm: 00000000 (+0) và 11111111 (−0) (mẫu 8 bit). cho số 0, bao gồm: 00000000 (+0) và 11111111 (−0) (mẫu 8 bit). Bù 1 ( tt) Bù 1 ( tt)  Khi thực hiện phép cộng giữa hai số biểu diễn theo Khi thực hiện phép cộng giữa hai số biểu diễn theo phương pháp bù 1, ta cũng thực hiện theo quy tắc phương pháp bù 1, ta cũng thực hiện theo quy tắc cộng nhị phân thông thường, tuy nhiên, sau khi đã cộng nhị phân thông thường, tuy nhiên, sau khi đã thực hiện xong, nếu còn phát sinh bit nhớ thì phải tiếp thực hiện xong, nếu còn phát sinh bit nhớ thì phải tiếp tục cộng bit nhớ này vào kết quả vừa thu được. Về tục cộng bit nhớ này vào kết quả vừa thu được. Về vấn đề này, xin xem thêm ở vấn đề này, xin xem thêm ở bài chính về bù 1 bài chính về bù 1 . .  Phương pháp biểu diễn số bù 1 được sử dụng rộng rãi Phương pháp biểu diễn số bù 1 được sử dụng rộng rãi trong các thế hệ máy tính cũ, điển hình là các dòng trong các thế hệ máy tính cũ, điển hình là các dòng máy máy PDP-1 PDP-1 và và UNIVAC 1100/2200 UNIVAC 1100/2200 . . Bù 1 (tt) Bù 1 (tt)  Bù 1 Bù 1 ( ( tiếng Anh tiếng Anh : : one's complement one's complement ) là một số trong hệ ) là một số trong hệ nhị phân nhị phân mà nó mà nó chính là chính là bù cơ số trừ 1 bù cơ số trừ 1 ( ( radix-minus-1 complement radix-minus-1 complement ) của một số khác. Một ) của một số khác. Một số bù 1 có thể có được do đảo tất cả các số bù 1 có thể có được do đảo tất cả các bit bit có trong số nhị phân (đổi 1 có trong số nhị phân (đổi 1 thành 0 và ngược lại). thành 0 và ngược lại).  Bên cạnh phương pháp Bên cạnh phương pháp bù 2 bù 2 , bù 1 cũng thường được sử dụng để biểu diễn , bù 1 cũng thường được sử dụng để biểu diễn số âm số âm trong trong máy tính máy tính . Theo phương pháp này, bit cực trái (là bit nằm bên . Theo phương pháp này, bit cực trái (là bit nằm bên trái cùng của byte) được sử dụng làm bit dấu ( trái cùng của byte) được sử dụng làm bit dấu ( sign bit sign bit - là bit tượng trưng - là bit tượng trưng cho dấu của số) với quy ước: nếu bit dấu là 0 thì số là số dương, còn nếu cho dấu của số) với quy ước: nếu bit dấu là 0 thì số là số dương, còn nếu nó là 1 thì số là nó là 1 thì số là số âm số âm . Ngoài bit dấu này ra, các bit còn lại được dùng để . Ngoài bit dấu này ra, các bit còn lại được dùng để diểu diễn độ lớn của số. diểu diễn độ lớn của số.  Ví dụ: số −5 được biểu diễn trong máy tính theo phương pháp bù 1 như Ví dụ: số −5 được biểu diễn trong máy tính theo phương pháp bù 1 như sau (với mẫu 8 bit): đầu tiên, xác định số 5 được biểu diễn trong máy tính: sau (với mẫu 8 bit): đầu tiên, xác định số 5 được biểu diễn trong máy tính: 0000 0101. Tiếp theo, đảo tất cả các bit có trong số 5: kết quả sau khi đảo: 0000 0101. Tiếp theo, đảo tất cả các bit có trong số 5: kết quả sau khi đảo: 1111 1010. Vì là biểu diễn số âm nên bit bên trái cùng luôn giữ là 1. 1111 1010. Vì là biểu diễn số âm nên bit bên trái cùng luôn giữ là 1.  Vậy với phương pháp bù 1, số −5 được biểu diễn trong máy tính như sau: Vậy với phương pháp bù 1, số −5 được biểu diễn trong máy tính như sau: 1111 1010. 1111 1010. Bù 1 (tt) Bù 1 (tt)  Khi thực hiện phép tính cộng với số âm biểu Khi thực hiện phép tính cộng với số âm biểu diễn theo phương pháp bù 2, ta thực hiện như diễn theo phương pháp bù 2, ta thực hiện như phép cộng nhị phân phép cộng nhị phân bình thường. Trong trường bình thường. Trong trường hợp khi đã thực hiện phép cộng đến bit cực trái hợp khi đã thực hiện phép cộng đến bit cực trái mà vẫn phát sinh mà vẫn phát sinh bit nhớ bit nhớ thì ta cộng tiếp bit thì ta cộng tiếp bit nhớ này vào kết quả vừa nhận được. nhớ này vào kết quả vừa nhận được.  Ví dụ: Ví dụ:  1. Cộng hai số thập phân −5 với 2 (mẫu 8 bit): 1. Cộng hai số thập phân −5 với 2 (mẫu 8 bit): Ví dụ Ví dụ  1111 1010 (số bù 1 của −5) 1111 1010 (số bù 1 của −5)  + 0000 0010 (số 2 ở hệ nhị phân) + 0000 0010 (số 2 ở hệ nhị phân) =========== ===========  1111 1100 (số bù 1 của −3) 1111 1100 (số bù 1 của −3) Công bù với 8 bits Công bù với 8 bits 2. Cộng hai số thập phân −5 với −7 (mẫu 8 bit): 2. Cộng hai số thập phân −5 với −7 (mẫu 8 bit): 1111 1010 (số bù 1 của −5) 1111 1010 (số bù 1 của −5) + 1111 1000 (số bù 1 của −7) + 1111 1000 (số bù 1 của −7) =========== =========== 1111 0010 (còn nhớ 1) 1111 0010 (còn nhớ 1) + 1 (cộng tiếp với bit nhớ) + 1 (cộng tiếp với bit nhớ) =========== =========== 1111 0011 (số bù 1 của −12) 1111 0011 (số bù 1 của −12) Ví dụ Ví dụ  Ta thấy: khi cộng hai bit cực trái của hai Ta thấy: khi cộng hai bit cực trái của hai số 1111 1010 và 1111 1000, ta được kết số 1111 1010 và 1111 1000, ta được kết quả là 1111 0011 và còn nhớ 1, do đó, ta quả là 1111 0011 và còn nhớ 1, do đó, ta tiếp tục cộng bit nhớ vào kết quả vừa tiếp tục cộng bit nhớ vào kết quả vừa nhận được để ra kết quả cuối cùng nhận được để ra kết quả cuối cùng [...]... đạt được Thực chất, số biểu diễn ở dạng bù 2 là số biểu diễn ở bù 1 rồi sau đó cộng thêm 1 Phương pháp bù 2 thường được sử dụng để biểu diễn số âm trong máy tính Theo phương pháp này, bit cực trái (là bit nằm bên trái cùng của byte) được sử dụng làm bit dấu (sign bit - là bit tượng trưng cho dấu của số) với quy ước: nếu bit dấu là 0 thì số là số dương, còn nếu nó là 1 thì số là số âm Ngoài bit dấu này... 1011 Bước 4: vì là biểu diễn số âm nên bit bên trái cùng luôn giữ là 1 Vậy số −5 ở hệ thập phân được biểu diễn trong máy tính theo phương pháp bù 2 là: 1111 1011 (hoàn toàn giống như kết quả trong ví dụ trên) Thực hiện phép cộng với số bù 2    Khi thực hiện phép tính cộng với số âm biểu diễn theo phương pháp bù 2, ta thực hiện như phép cộng nhị phân bình thường, tuy nhiên, trong trường hợp khi đã thực... dụ: 1 Cộng hai số thập phân −5 với 2 (mẫu 8 bit): Ví dụ Ví dụ: 1 Cộng hai số thập phân −5 với 2 (mẫu 8 bit): 1111 1011 (số bù 2 của −5) + 0000 0010 (số 2 ở hệ nhị phân) =========== 1111 1101 (số bù của −3) Ví dụ Cộng hai số thập phân −5 với −7 (mẫu 8 bit): 1111 1011 (số bù 2 của −5) + 1111 1001 (số bù 2 của −7) =========== 1111 0100 (số bù của −12) Tràn Số Xét trường hợp ta đang có hai số âm −6 và −4... nếu nó là 1 thì số là số âm Ngoài bit dấu này ra, các bit còn lại được dùng để diểu diễn độ lớn của số Ví dụ  Ví dụ: số nguyên −5 ở hệ thập phân được biểu diễn trong máy tính theo phương pháp bù 2 như sau (với mẫu 8 bit):      Bước 1: xác định số nguyên 5 ở hệ thập phân được biểu diễn trong máy tính là: 0000 0101 Bước 2: đảo tất cả các bit nhận được ở bước 1 Kết quả sau khi đảo là: 1111 1010... sau khi cộng: 1111 1011 Bước 4: vì là biểu diễn số âm nên bit bên trái cùng luôn giữ là 1 Vậy với phương pháp bù 2, số −5 ở hệ thập phân được biểu diễn trong máy tính như sau: 1111 1011  Ngoài cách làm theo định nghĩa như trên ra, ta còn có thể áp dụng phương pháp bù 2 theo quy tắc sau: với biểu diễn nhị phân của một số dương cho trước, để biểu diễn số âm tương ứng, ta bắt đầu tìm từ phải sang trái... 0100 Nếu đổi ra hệ thập phân, đây là số nguyên dương 4 chứ không phải −11 như mong đợi Vấn đề như trên được gọi là tràn số Nó xảy ra khi ta lấy số lượng bit để biểu diễn quá ít (như trong ví dụ trên là mẫu 4 bit) Bù 2      Trong phương pháp bù 2, các số âm được biểu diễn giống như phương pháp bù 1, tuy nhiên, phải cộng thêm 1 vào kết quả (ở hệ nhị phân) Ví dụ: số −5 được biểu diễn sang hệ nhị phân... thêm 1 vào số nhị phân ở bù 1, tức cộng 1 cho 11111010: 11111010 + 1 = 11111011 Vậy 11111011 là biểu diễn bằng bù 2 của −5 trong máy tính Phương pháp biểu diễn số bù 2 ra đời khi người ta gặp vấn đề với hai phương pháp dấu lượng và bù 1, đó là: Có hai cách biểu diễn cho số 0 Bit nhớ phát sinh sau khi đã thực hiện phép tính phải được cộng tiếp vào kết quả Bù 2 (tt)   Với phương pháp bù 2, số 0 chỉ... biểu diễn tốt các số nguyên có giá trị từ −128 đến +127 (so với từ −127 đến +127 theo phương pháp dấu lượng và bù 1) do được lợi từ việc tiết kiệm được một cách biểu diễn số 0 (không phân biệt giữa −0 và +0) Bù 2 (tt)   Bù 2 (tiếng Anh: two's complement) là một số trong hệ nhị phân là bù đúng (true complement) của một số khác Một số bù 2 có được do đảo tất cả các bit có trong số nhị phân (đổi 1...Bù 1 và tràn số   Xét trường hợp ta đang có hai số âm −5 và −6 ở hệ thập phân Biểu diễn nhị phân bằng phương pháp bù 1 với mẫu 4 bit của hai số trên lần lượt là 1010 và 1001 Giả sử, bây giờ, ta cần cộng hai số này Ta thực hiện phép cộng: Bù 1 và tràn số (tt) 1010 (số bù 1 của −5) + 1001 (số bù 1 của −6) ====== 0011 (còn nhớ 1) + 1 ====== 0100  Ta thấy,... luôn nhớ: bit cực trái là 1  Ví dụ: ta cũng biểu diễn lại số nguyên −5 ở hệ thập phân sang hệ nhị phân theo quy tắc mới này (giả sử với mẫu 8 bit):      Bước 1: xác định số nguyên 5 ở hệ thập phân được biểu diễn trong máy tính là: 0000 0101 Bước 2: bắt đầu tìm (từ phải qua trái) bit đầu tiên có giá trị 1, ta thấy, đó là bit thứ nhất (tính từ phải qua) Bước 3: đảo tất cả các bit nằm trước bit . Số âm trong máy tính Số âm trong máy tính Trong Trong toán học toán học , các số âm (bất kể thuộc , các số âm (bất kể thuộc hệ cơ số hệ cơ số . thập phân, số nguyên âm năm được biểu diễn là −5. Tuy nhiên, trong số nguyên âm năm được biểu diễn là −5. Tuy nhiên, trong máy tính máy tính , khi mọi