Tài liệu môn Toán về bất đẳng thức và bất phương trình: Phần 1 - Trần Quốc Nghĩa

Mời các bạn cùng tham khảo Tài liệu tự học môn Toán lớp 10: Chủ đề 4 - Bất đẳng thức và bất phương trình được biên soạn bởi giáo viên Trần Quốc Nghĩa. Phần 1 cuốn sách có nội dung tìm hiểu về bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Hy vọng sẽ giúp ích cho quý thầy cô và các em trong quá trình giảng dạy và học tập của mình.

Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) Phần BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT  Phần BẤT ĐẲNG THỨC GTLT - GTNN Chủ đề BẤT ĐẲNG THỨC Dạng Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất .4 Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM-GM) .7 Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz .11 Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT C.B.S 12 Dạng Chứng minh BĐT dựa vào tọa độ vectơ .13 Dạng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối 14 Dạng Sử dụng phương pháp làm trội 15 Dạng Ứng dụng BĐT để giải PT, HPT, BPT 16 Bài tập trắc nghiệm chủ đề 1: Bất đẳng thức 18 Chủ đề GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 21 Dạng Dùng tam thức bậc hai .21 Dạng Dùng BĐT Cauchy 22 Dạng Dùng BĐT C.B.S 24 Dạng Dùng BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối 25 Dạng Dùng tọa độ vectơ 26 Bài tập trắc nghiệm chủ đề 2: GTLN-GTNN 27 BÀI TẬP TỔNG HỢP PHẦN 29 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHẦN 32 Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình BẤT ĐẲNG THỨC Chủ đề Tóm tắt lí thuyết Tính chất: Điều kiện Nội dung Cộng hai vế với số a 0, c > 0  a  b   ac  bd 0 c  d (5) Nhân hai vế Nâng lên lũy Mũ lẻ a  b  a 2n1  b2 n1 (6a) thừa với n   Mũ chẵn  a  b  a 2n  b2 n (6b) a0 ab a  b (7a) a ab a  b (7b) Lấy hai vế Nghịch đảo 1  a b 1 ab  a b ab a, b dấu a, b khác dấu  Lưu ý:  Khơng có qui tắc chia hai bất đẳng thức chiều  Ta nhân hai vế bất đẳng thức biết chúng dương  Cần nắm vững đẳng thức đáng nhớ cách biến đổi Bất đẳng thức cạnh tam giác: Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, ta có:  a b  c  a b  a, b, c   bc  a  bc  ca b ca Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối:   x  x  x , với số thực x  x  0; x  x; x   x , với số thực x  x  a   a  x  a với a   x  a  x   a x  a với a   Định lí:  a, b ta có: a  b  a  b  a  b (8a) (8b) Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (Bất đẳng thức Cơ-si hay AM-GM)  Định lí: Với hai số khơng âm a, b ta có: ab  ab  ab hay a  b  ab hay    ab   Dấu “=” xảy a = b  Hệ 1: Nếu hai số dương thay đổi có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số Tức với hai số dương a, b có a + b = S khơng đổi thì: S2 S2 ab  S  ab   (ab) max  , đạt a = b 4 Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn  Hệ 2: Nếu hai số dương thay đổi có tích khơng đổi tổng chúng lớn hai số Tức với hai số dương a, b có a b = P khơng đổi thì: a  b  P  ( a  b )  P , đạt a = b Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có diện tích hình vng có chu vi nhỏ  Mở rộng: ① Với số a, b, c khơng âm, ta có: abc  a bc   abc hay a  b  c  3 abc hay    abc 3   Dấu “=” xảy a = b = c a  a  a   an n ② Với n số a1, a2, a3, …, an khơng âm, ta có:  a1a2 a3 an n Dấu “=” xảy a1 = a2 = a3 = … = an Bất đẳng thức Bunhiacôpxki (chứng minh trước dùng)  Dạng tổng quát: Cho 2n số thực tùy ý a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn,khi đó:  Dạng 1: ( a1b1  a2 b2   an bn )  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) Dấu “=” xảy   Dạng 2: a1b1  a2 b2   anbn  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) Dấu “=” xảy   Dạng 3: a1 a2 a    n b1 b2 bn a1 a2 a    n b1 b2 bn a1b1  a2b2   anbn  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) Dấu “=” xảy  a1 a2 a    n  b1 b2 bn  Hệ quả:  Nếu a1 x1  a2 x2   an xn  c số thì: min( x12  x22   xn2 )  c2 x x x     n 2 a1  a2   an a1 a2 an Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình  Nếu x12  x12   xn2  c số thì: max(a1 x1  a2 x2   an xn )  c a12  a22   an2  x1 x2 x    n  a1 a2 an max(a1 x1  a2 x2   an xn )   c a12  a22   an2  x1 x2 x    n  a1 a2 an  Trường hợp đặc biệt: Cho a, b, x, y số thực, ta có:  Dạng 1: ( ax  by )  ( a  b )( x  y ) Dấu “=” a b  x y  Dạng 2: ax  by  (a  b )( x  y ) Dấu “=” a b  x y  Dạng 3: ax  by  (a  b )( x  y ) Dấu “=” a b   x y Phương pháp giải toán Dạng Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để chứng minh A  B định nghĩa, ta lựa chọn theo hướng sau: Hướng Chứng minh A – B  Hướng Thực phép biến đổi đại số để biến đổi bất đẳng thức ban đầu bất đẳng thức Hướng Xuất phát từ bất đẳng thức Hướng Biến đổi vế trái vế phải thành vế lại Chú ý: Với hướng hướng công việc thường biến đổi A – B thành tổng đại lượng không âm Và với bất đẳng thức A – B  cần dấu “=” xảy ? B BÀI TẬP MẪU VD 1.1 Cho a , b, c, d số thực Chứng minh bất đẳng thức sau: ① a  b  ab ② a  b   ab  a  b ③ a  b  c  ab  bc  ca ④ Nếu ⑤ a  b  a 2b  b a  ab ( a  b ) ⑥ a a ac   b b bc a  x  b  y  (a  b)2  ( x  y )2 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.1 Cho a , b, c, d số thực Chứng minh bất đẳng thức sau: ① a  b  c   2( a  b  c ) ③ a2  b  c  ab  ac  2bc ⑤ a (1  b )  b (1  c )  c (1  a )  abc ⑦ ② a  b  c  2( ab  bc  ca ) ④ a  b  c   2a ( a 2b  a  c  1) ⑥ a  b  c  d  e  a (b  c  d  e) 1 1 1      , với a, b, c  ⑧ a  b  c  ab  bc  ca , a b c ab bc ca với a, b, c  1.2 Cho a , b, c, d số thực Chứng minh bất đẳng thức sau: a  b3  a  b   ①  , với a , b    ② a  b  a 3b  ab ③ a   4a ④ a  b  c3  abc , với a,b,c  a b6 ⑤ a  b   , với a, b  b a ⑦ 1   , với a, b  2  a  b  ab ⑥ a2  a2  2 ⑧ ( a  b )( a  b )  ( a  b )( a  b ) ,với ab  Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 1.3 Cho a, b, c, d , e   Chứng minh a  b  2ab (1) Áp dụng bất đẳng thức (1) để chứng minh bất đẳng thức sau: ① ( a  1)(b  1)( c  1)  8abc ② ( a  4)(b  4)(c  4)( d  4)  256abcd ③ a  b  c  d  4abcd 1.4 Cho a, b, c   Chứng minh a  b  c2  ab  bc  ca (2) Áp dụng bất đẳng thức (2) để chứng minh bất đẳng thức sau: ① ( a  b  c)  3( a  b  c ) ② a  b  c  abc ( a  b  c ) ③ ( a  b  c)  3( ab  bc  ca ) ⑤ 1.5 a bc  ④ ab  bc  ca , với a, b, c  Cho a, b , c, d  Chứng minh rằng: a2  b2  c2  a  b  c    3   ⑥ a  b  c  abc , với a  b  c  a a ac   (3) Áp dụng bất đẳng thức (3) để b b bc chứng minh bất đẳng thức sau: a b c a b c d ①   2 ② 1    2 a b bc ca a bc bc d c d a d a b a b bc cd d a ③ 2    3 abc bcd cd a d ab 1.6 Cho a, b, c   Chứng minh a3  b3  a 2b  b a  ab(a  b) (4) Áp dụng bất đẳng thức (4) để chứng minh bất đẳng thức sau: a  b b3  c c  a ①    2( a  b  c ) ab bc ca 1 1 ② 3  3   , a, b, c  a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 1 ③ 3  3   , với abc  a  b  b  c  c  a3  1 1 ④    , với a, b, c  abc  a  b 1 b  c 1 c  a 1 ⑤ 1.7  a3  b3    b3  c3    c3  a   2(a  b  c) , a, b, c  Cho a, b, x, y   Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min-côp-xki): a  x  b  y  (a  b)2  ( x  y )2 (5) Áp dụng (5): ① Cho a , b  thỏa a  b  Chứng minh:  a   b  ② Tìm GTNN P  a  1  b  , với a , b  b a ③ Cho x, y , z  thỏa x  y  z  Chứng minh: x2  1  y   z   82 x y z Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM-GM)  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Các dạng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM):  x  y  xy ①  Với x, y   Dấu “=” xảy x  y 2  x  y  xy ②  x  y 2  xy ③   Với x, y     Dấu “=” xảy x  y  ( x  y )  xy ④  x  y  z  3 xyz ⑤   Với x, y, z   x  y  z 3 Dấu “=” x  y  z  xyz ⑥     B BÀI TẬP MẪU Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân ngược lại: VD 1.2 Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: ① ( a  b )  ab ② 2( a  b )  ( a  b ) ③ 1   a b ab ④ 1    a b c abc Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình Loại 2: Tách cặp nghịch đảo VD 1.3 Chứng minh bất đẳng thức sau: a b    a, b   b a x ③    x   x2 ① x 18    x   x 10 ④ a   a  3 a ② Loại 3: Sử dụng bổ đề suy luận từ BĐT Cauchy (AM-GM): 1 1 1    hay   (1) Dấu “=” xảy x = y x y x y x y Dạng 1:  x  y  Dạng 2:  x  y  z 1 1 1     hay    (2) Dấu “=” xảy x=y=z x y z x yz x y z VD 1.4 Cho a, b  Chứng minh 1   (1) Áp dụng bất đẳng thức (1) để chứng minh a b ab bất đẳng thức sau: 1 1   ①    2      a, b, c   a b c  a b bc ca  ② 1 1 1      2    ab bc ca  2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b   a , b , c   Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) Loại 4: Đặt ẩn phụ để áo dụng BĐT Cauchy: VD 1.5 Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức (BĐT Nesbit) sau: a b c    bc ca a b b  c  x  HD: Đặt c  a  y a  b  z  C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân ngược lại: 1.8 Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: ① a  b  2ab ② (a  b)(1  ab)  4ab 1 1 ③ (a  b  c )      a b c 1 1 ④ (a  b)     a b  a  b   c  ⑤      1     b  c   a  ⑥ 1 1 16     a b c d abcd ⑦ (1  a  b )( a  b  ab)  9ab ⑧  ⑨ 3a  7b  9ab ⑩ ( a  b )(b  c)(c  a )  8abc ⑪ 1.9  a b   2(a  b) ab ⑫ a b   64ab(a  b)2 a4  2, a  3 a3 Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: ① a  b  c  ab  bc  ca ab bc ac    abc c a b a b ⑤ ab    a  b  b a ③ ② ab  bc  ca  abc  a b c a b c 1      bc ca ab a b c a b3 c ⑥    ab  bc  ca b c a ④ 1.10 Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: a b2 c2    abc b c a a b3 c3 a b c ③ 2 2    b c a b c a 3 a b c ⑤    ab  bc  ca b c a ① a3 b3 c    abc b2 c a a b3 c ④    abc bc ca ab a5 b5 c ⑥    a  b2  c b c a ②  Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 34 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM PHẦN 1 C B C D D A B C A 10 C 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B B D B D A A D A D 21 D 22 D 23 C 24 B 25 C 26 A 27 D 28 A 29 B 30 D 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C D D A D D 41 C 42 A 43 B 44 B 45 C 46 A 47 A 48 D 49 C 50 D 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 D B A D C B C C B 61 A 62 C 63 D 64 D 65 A 66 D 67 B 68 B 69 D 70 A 71 72 73 74 75 76 C B D A B D TN1.32 A  ; B  ; C  TN1.33 A sai; B đúng; C TN1.34 A  ; B  ; C  ; D  TN1.35 A sai; B đúng; C sai; D TN1.56 2 x  ;  17 x  Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 35 Phần BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH  Chủ đề BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ BPT BẬC NHẤT MỘT ẨN 36 Dạng Tìm điều kiện xác định bất phương trình 36 Dạng Bất phương trình tương đương 38 Dạng Giải bất phương trình bậc ẩn 40 Dạng Giải hệ bất phương trình bậc ẩn 41 Dạng Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc ẩn chứa tham số 42 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 45 Chủ đề DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT BPT QUI VỀ BPT BẬC MỘT ẨN 49 Dạng Xét dấu biểu thức 49 Dạng Giải bất phương trình tích 51 Dạng Giải bất phương có ẩn mẫu 52 Dạng Dấu nhị thức miền 54 Dạng Giải PT, BPT chứa dấu giá trị tuyệt đối 55 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 56 Chủ đề BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 58 Dạng Bất phương trình bậc hai ẩn 58 Dạng Hệ bất phương trình bậc hai ẩn 59 Dạng Một ví dụ áp dụng vào kinh tế 60 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 62 Chủ đề DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 67 Dạng Xét dấu biểu thức 67 Dạng Giải bất phương trình bậc hai 69 Dạng Giải bất phương trình tích, thương 70 Dạng Giải hệ bất phương bậc hai 71 Dạng Phương trình & Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 73 Dạng Phương trình & Bất phương trình chứa thức 74 Dạng Bài toán chứa tham số phương trình & bất phương trình 77 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 81 BÀI TẬP TỔNG HỢP PHẦN 84 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHẦN 87 Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 36 Chủ đề BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỆ BPT BẬC NHẤÂT MỘT ẨN Tóm tắt lí thuyết Điều kiện xác định bất phương trình: Điều kiện bất phương tình điều kiện mà ẩn số phải thõa mãn để biểu thức hai vế bất phương tình có nghĩa Cụ thể, ta có trường hợp sau: ① Dạng  Điều kiện: Q ( x )  Q( x ) ② Dạng Dạng 2n P ( x ) ( n   )  Điều kiện: P ( x )  n 1 P ( x ) ( n   )  Điều kiện: P ( x ) có nghĩa Q( x) ③ Dạng  Điều kiện: Q ( x )  Hai bất phương trình tương đương: Hai bất phương trình gọi tương đương với chúng có tập nghiệm Chú ý: Hai bất phương trình vơ nghiệm tương đương Giải biện luận bất phương trình bậc dạng: ax + b < Điều kiện Kết tập nghiệm b  S   ;   a  a0  b  S    ;    a  S  S  a0 a0 b0 b0 Các dạng: ax  b  , ax  b  , ax  b  làm tương tự Phương pháp giải tốn Dạng Tìm điều kiện xác định bất phương trình  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng Q( x ) Dạng 2n Dạng Dạng  Điều kiện: Q ( x )  P ( x ) ( n   )  Điều kiện: P ( x )  n 1 P ( x ) ( n   )  Điều kiện: P ( x ) có nghĩa Q( x)  Điều kiện: Q ( x )  Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 37 B BÀI TẬP MẪU VD2.1 Tìm điều kiện xác định bất phương trình sau: 1 2x ①  1 ②  x x 1 x  x  4x  ④  x  3x  ⑤  x  x 1  x2 x4 ③ x 1  x   ⑥ x 2x x 1 1  1 x x VD2.2 Chứng minh bất phương trình sau vơ nghiệm: ① x  x   3 ②  x2   x2  ③  2( x  3)   x  x  Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 38 C BÀI TẬP CƠ BẢN 2.1 Cho bất phương trình: x 1  x 1 ( x  2)2 ① Tìm điều kiện bất phương trình cho ② Tìm tất giá trị x thỏa mãn điều kiện 2.2 Tìm tập hợp giá trị x thỏa mãn điều kiện bất phương trình: Từ suy bất phương trình cho vơ nghiệm 2.3 Tìm điều kiện bất phương trình sau: ① 2x    x2  x x 5 ③ x2  x   2.4  x  x   10 ② x3  ④ Chứng minh bất phương trình sau vơ nghiệm: 1 ① x2  1 ② x2  x   2 x 1 x  x 1 x  x   x2   ③ x2   x4  x2   x6  D BÀI TẬP NÂNG CAO 2.5 Tìm điều kiện bất phương trình sau: ① ④ 3x  2.6 ② x2  2 x 1  2 x2 x2 ⑤ 2x   1 2x  1  2 ( x  1) x 3 x  x 3 ⑥ x 1 1   x  ( x  2)( x  3) x  x 3 Chứng minh bất phương trình sau vô nghiệm: ① ② ( x  1)  x  3 x  1  ④  2( x  1)  10  x  x  ③ x  ( x  3)   ( x  3)  x  2.7 ③ Chứng minh bất phương trình sau với x   ① x4  x2   ② ( x  2) 0 x2  ③ x  ( x  1)2  Dạng Bất phương trình tương đương  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bất phương trình tương đương:  Hai BPT tương đương chúng có chung tập nghiệm  Hai BPT vơ nghiệm tương đương Các phép biến đổi tương đương: Cho BPT f  x   g  x  , có TXĐ D h  x  xđ D  f  x  g  x  f  x  h  x  g  x  h  x  f  x   g  x   f  x  h  x   g  x  h  x  h  x   , x  D  f  x   g  x   f  x  h  x   g  x  h  x  h  x   , x  D  x2 x 1 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 39 B BÀI TẬP MẪU VD2.3 Giải thích cặp bất phương trình sau tương đương ? ② x   x  x  x   ① 4 x   v x   ③ x   x   1  x 1 x 1 ④ x   x (2 x  1) x   x(2 x  1) VD2.4 Trong hai bất phương trình sau đây, bất phương trình tương đương với bất phương trình 2x –1  ? ① 2x 1  1  ② x3 x3 2x   1  x3 x3 C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.8 2.9 Các cặp bất phương trình sau tương đương khơng ? Vì ? 1 1 ① 2x   x    ② 2x   x    x2 x2 x2 x2 ③ x   x ( x  3)  ④ x   x ( x  3)  ⑤ x   ( x  2)  ⑥ x   ( x  2)( x  x  2)  Trong bốn cặp bất phương trình sau đây, chọn cặp bất phương trình tương đương (nếu có): ① x   x ( x  2)  ② x   x ( x  2)  ③ x   x ( x  2)  ④ x   x ( x  2)  Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 40 Dạng Giải bất phương trình bậc ẩn  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI - Bước Đặt điều kiện cho bất phương trình có nghĩa (nếu có) - Bước Chuyển vế giải - Bước Giao nghiệm với điều kiện tập nghiệm S B BÀI TẬP MẪU VD2.5 Giải bất phương trình sau: ① ( x  2)(2 x  1)   x  ( x  1)( x  3) ③ x2  x 1  x  3 ⑤ (1  2) x   2 ② (2 x  1)( x  3)  x   ( x  1)( x  3)  x  ④ 3x  x   x   ⑥ ( x  3)  ( x  3)  Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 41 C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.10 Giải bất phương trình sau: 3x  x2 ① 1  x ② 2( x  1)  x  ③ ( x  2)  ( x  2)  ⑤ x3 3 ④ x(7  x )  6( x  1)  x (2  x) x  x  x 1 x    3 ⑥ ( x  1)(2 x  1)  x   x ⑧ ( x  1)( x  2)( x  3)  x  x  x  ⑦ x  x  (2 x  3)( x  1) 2.11 Giải bất phương trình sau: ① ( x  4) ( x  1)  ② ③ ( x  2) x  x   ⑤ ( x  2) ( x  3)  ④ ( x  2) ( x  3)( x  4)  ( x  1) ( x  2)  ⑥ x   x  21  Dạng Giải hệ bất phương trình bậc ẩn  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI - Bước Đặt điều kiện cho hệ bất phương trình có nghĩa (nếu có) - Bước Giải bất phương trình hệ lấy giao tập nghiệm thu - Bước Giao nghiệm với điều kiện tập nghiệm S B BÀI TẬP MẪU  6 x   x  VD2.6 Giải hệ bất phương trình sau: ①  8x   2x   ②  15 x   x   2( x  4)  x  14  Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 42 C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.12 Giải hệ bất phương trình sau:  x   3x  ② 5 x   x  5x     x ③   x  3x   13 (1  x)   3x  x ④ 3 ( x  2)  x  x  x   4x    x  ⑤  3x   x    x 1  2x  3x  x  ⑥   3x  x    6 x   x  ⑦  x   x  25   15 x   x  ⑧ 2( x  4)  x  14  2x   2 x   ⑨  x   5(3x  1)  2  3x   x x  x      ⑩ 3  x   x   3  3 x   x  ⑪  6x   2x    4x    x  ⑫ 2 x   x   5 x   x  ① 5 x   x  2 2.13 Tìm tất nghiệm nguyên hệ bất phương trình sau:  45 x   x  42 x   28 x  49    ① 8 x  ②   x  25 2(3x  4)  x  14  Dạng Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc ẩn chứa tham số  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Giải biện luận bất phương trình bậc dạng: ax + b < Điều kiện Kết tập nghiệm b  S   ;   a0 a  a0 a0 b0 b0  b  S    ;    a  S  S  Giải biện luận bất phương trình dạng: ( a x  b1 )( a x  b2 )   Đặt x1   a1 x  b1 0 a2 x  b2 b1 b , x2   Tính x1 – x2 a1 a2  Lập bảng xét dấu chung a1 a2 ; x1 – x2  Từ bảng xét dấu, ta chia toán thành nhiều trường hợp Trong trường hợp ta xét dấu a x  b1 ( a1 x  b1 )( a2 x  b2 ) nhờ qui tắc đan dấu a2 x  b2 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 43  a x  b1  ( ) Giải biện luận hệ BPT bậc dạng:   a x  b2  ( 2)  Giải (1); (2) tìm tập nghiệm S1 , S tương ứng  Tập nghiệm hệ S  S1  S  Hệ có nghiệm S  S1  S    Hệ vô nghiệm S  S1  S    f ( x; m)  a  Hệ có nghiệm hệ có dạng  ab  g ( x; m)  b B BÀI TẬP MẪU VD2.7 Giải biện luận bất phương trình sau theo tham số ① mx   x  m m: ② 2mx  x  4m  VD2.8 Tìm x  m  m để hệ bất phương trình  có nghiệm ?  x   Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình VD2.9 Tìm 44 x   m để hệ bất phương trình  vơ nghiệm ? mx  m  12 VD2.10 Tìm m để bất phương trình mx  3m   có tập nghiệm khoảng (0;  ) C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 2.14 Giải biệt luận bất phương trình sau: ① m( x  m )  x  ② mx   x  3m ③ ( x  1) k  x  x  ④ ( a  1) x  a   x  ⑤ m ( x  m )  2(4  x ) ⑥ x  m  m ( x  3) ⑦ k ( x  1)  x  ⑧ b ( x  1)   x 2.15 Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm: ① m x  4m   x  m ② m x   m  (3m  2) x ③  mx  2( x  m )  ( m  1) ④ mx  m  mx  2.16 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: ① m( x  m)  x  ② mx   x  3m ③ ( m  1) x  m  3m  ④ mx   m  x 2.17 Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: 3 x   4 x  ① ② 3 x  m    x  4m  2mx  ③ 3 x   x  x    m  x  4 x   3 x  ④ 3x  2m   2.18 Tìm m để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm: Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 45 ( x  3)2  x  x  ② 2m  x  2 x   x  ① 2 x  m   mx   x  m 2 x   x  ③ ④ m   x 4 x    x  2.19 Tìm m để bất phương trình sau có tập nghiệm D cho trước: ① x  m 1 có tập nghiệm D  [  2;   ) ② x  m  3( x  1) có tập nghiệm D  (4;   ) ③ mx  16  2( x  m ) có tập nghiệm D  [  38;   ) ④ m3 ( x  2)  m ( x  1) có tập nghiệm D   ⑤ m( x  m )  có tập nghiệm D   BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ  TN2.1 Cho mệnh đề sau: (I) x  nghiệm bất phương trình x   (II) x  1 nghiệm bất phương trình x   1  (III) S   ;   tập nghiệm bất phương trình x   2    (IV) S   ;   tập nghiệm bất phương trình x   2  Số mệnh đề là: A B C D TN2.2 Cho bất phương trình  x  Hãy giá trị x nghiệm bất phương trình cho giá trị sau : 1 A x   B x   C x  D x  3 3 TN2.3 Cho bất phương trình x  TN2.4 Cho bất phương trình x    x Hãy chọn khẳng định khẳng định sau Tập nghiệm bất phương trình A S   3;   B  ;3 C S  3 D S   TN2.5 Cho bất phương trình TN2.6 Cho bất phương trình | x | 2 x  Tập nghiệm bất phương trình 3  2 (1) Hãy chọn khẳng định khẳng x2 x2 định sau Tập nghiệm phương trình A S   2;   B S   2;   C S   \ 2 D S   ;  x    Hãy khẳng định sai khẳng định sau  1  A Bất phương trình cho có nghiệm với x thuộc  ;   2 B Bất phương trình cho có nghiệm với x thuộc  0;  C Tập nghiệm bất phương trình cho   1  D Tập nghiệm bất phương trình cho  ;   2  A  B  0;  C  ;0 D  0;  Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình TN2.7 46 Tập nghiệm bất phương trình x   x  1  A  B  0;   x x C  0;  D 1;  TN2.8 Cho bất phương trình   x  3x   (1) Hãy kết luận sai kết luận sau Bất phương trình (1) có nghiệm với x cho 3 A   x  B  x  C   x  D x  3 2 TN2.9 Hãy chọn kết luận kết luận sau Tập nghiệm bất phương trình x   x   A  B 1;2 C  D  ;1   2;   TN2.10 Trong bất phương trình cho sau đây, bất phương trình tương đương với bất phương trình x   1 : x  x 1  x 1 x   2 :  x2   x2 x 1 A 1   B     3 : x   x 1  x x2  x  x2  C     D 1    4 : x  TN2.11 Hãy sai lầm bước bước giải bất phương trình  (*): x 1 x A Điều kiện bất phương trình: x  1 x  B (*)  x  x  C  x  D Tập nghiệm bất phương trình cho 1;  TN2.12 Hãy sai lầm bước bước giải bất x  x    x  1 x   (*) phương trình A (*)   x  1 x  3   x  1 x   B  x   x  C x  8 D Tập nghiệm bất phương trình cho  ;8  TN2.13 Hãy sai lầm bước bước giải bất phương trình x   x  (*) A (*)  x    x   B  x2   x  x  C  x  3 D  x  TN2.14 Xét mệnh đề sau, mệnh đề mệnh đề sai ? 3  A Tập nghiệm x   S   ;    2  3  B Tập nghiệm  x  S   ;  2    C Tập nghiệm x   S    ;      3  D Tập nghiệm 3  x  S   ;   2  4 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 47 2 x   x  1  TN2.15 Hệ bất phương trình  có tập nghiệm  m  1 x   m x A S   ; 3 B S   C S   3;   D S   3;2  x2   x  TN2.16 Hệ bất phương trình  x   A S   3;   B S   D  ; 2 2 x    x  3  2  x TN2.17 Hệ bất phương trình   x 3   x   A S   B S   7;   có tập nghiệm C S   2;3 có tập nghiệm 8  C S   ;8  3  D  7;8 | x  | TN2.18 Hệ bất phương trình  có tập nghiệm |1  x | 3  A S   ;   2  4  C S   ;2  3  B S   2;   3  D S   ;     2;   2  TN2.19 Cho bất phương trình ax  (*) Mệnh đề sau mệnh đề sai ? A Khi a  tập nghiệm phương trình (*) S   3  B Khi a  tập nghiệm phương trình (*) S   ;  a  3  C Khi a  tập nghiệm phương trình (*) S   ;    a  D Khi a  tập nghiệm phương trình (*) S   TN2.20 Cho bất phương trình ax  (*) Mệnh đề sau mệnh đề sai ? A Khi a  tập nghiệm phương trình (*) S   ;0 B Khi a  tập nghiệm phương trình (*) S   0;    C Khi a  tập nghiệm phương trình (*) S   D Khi a  tập nghiệm phương trình (*) S   TN2.21 Cho bất phương trình ax  (*) Mệnh đề sau mệnh đề sai ? 1  A Khi a  tập nghiệm phương trình (*) S   ;   a   1  B Khi a  tập nghiệm phương trình (*) S   ;  a  C Khi a  tập nghiệm phương trình (*) S   D Khi a  tập nghiệm phương trình (*) S   TN2.22 Cho bất phương trình  m  1 x  m  (*) Mệnh đề sau mệnh đề sai ? A Khi m  tập nghiệm phương trình (*) B Khi m  tập nghiệm phương trình (*) C Khi m  tập nghiệm phương trình (*) D Khi m  tập nghiệm phương trình (*) S  S   ; m  1 S  S   m  1;   Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình TN2.23 Chọn khẳng định sai Bất phương trình m2 x  x  vô nghiệm A m  B m  C m  2 D m  m  2 TN2.24 Cho bất phương trình mx   x  m (*) Khẳng định sau khẳng định sai ? A Khi m  tập nghiệm phương trình (*) S   B Khi m  tập nghiệm phương trình (*) S   2;   C (*)   m  1 x   m  1  x  D (*) Có nghiệm với giá trị m TN2.25 Khẳng định sau khẳng định sai ? A Bất phương trình bậc ẩn ln có nghiệm B Bất phương trình ax  b  vô nghiệm a  b  C Bất phương trình ax  b  có tập nghiệm  a  b  D Bất phương trình ax  b  vơ nghiệm a  2 x    x TN2.26 Cho hệ bất phương trình  Hãy chọn kết luận kết luận sau x  m  Hệ bất phương trình cho có nghiệm 1    1 A m   ;  B m       3  1  C m   ;   D m     TN2.27 mx  2m   Cho hệ bất phương trình  x  3x Xét mệnh đề sau:    (I) Khi m  hệ bất phương trình cho vơ nghiệm (II) Khi m  hệ bất phương trình cho có tập nghiệm  2  (III) Khi m  hệ bất phương trình cho có tập nghiệm  ;   5  2  (IV)Khi m  hệ bất phương trình cho có tập nghiệm  ;   5  Trong mệnh đề có mệnh đề ? A B C D 48 ...  13 B  16 , 19 ,  13 C 19 ,  13 ,  16 D  13 ,  16 , 19 TN1 .10 Nếu a  2c  b  2c bất đẳng thức sau đúng? A 3a  3b B a  b C 2a  2b TN1 .11 Nếu 2a  2b 3b  3c bất đẳng thức. .. Cauchy: 1. 15 Cho x  2 014 Chứng minh bất đẳng thức sau: x  2 013 x  2 014 1    HD: Đặt x2 x 2 015 2 014 a  x  2 013   b  x  2 014  1. 16 Cho x, y, z  Chứng minh bất đẳng thức sau:... TN1.76 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ A   x  x  với 2  x  A 18 B 18 C D Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 34 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM PHẦN 1 C B C D D A B C A 10 C 11 12 13