Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề Ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy biên soạn bởi Phan Đức Tiến nghiên cứu tập trung vào phép dời hình, các biểu thức tọa độ của từng phép biến hình, các bài toán cơ bản và ứng dụng các bài toán cơ bản vào giải một số bài toán trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Ứng dụng này giúp học sinh đặt niềm tin vào các tính chất của phép biến hình mà vận dụng vào các mảng toán học khác như hình học không gian, trong hệ trục toạ độ Oxyz, mặt phẳng phức và cả trong đồ thị hàm số một cách linh hoạt nhất.
Chuyên đề : Ứng dụng phép biến hình hệ trục Oxy SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÌNH PHƯỚC TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN TỔ: TỐN TIN CHUN ĐỀ: ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG HỆ TRỤC Oxy GV: Phan Đức Tiến Chun đề : Ứng dụng phép biến hình hệ trục Oxy ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG HỆ TRỤC Oxy Muc lục Tên mục Trang Mở đầu Lý do chọn chuyên đề Mục đích nghiên cứu Giới hạn chuyên đề Phương pháp nghiên cứu Nội dung Kiến thức cơ sở Cơ sở lý luận Giải quyết vấn đề Biện pháp thực hiện Kết luận Tài liệu tham khảo 3 3 4 13 13 13 Chuyên đề : Ứng dụng phép biến hình hệ trục Oxy MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài: Phép biến hình là một mảng kiến thức học sinh thấy hấp hẫn, có tính thực tế nhưng địi hỏi tư duy cao, cách diễn đạt thì gắn gọn đầy thuyết phục. Khi đưa phép biến hình vào hệ trục Oxy để giải quyết bài tốn thì cần phải hiểu rõ bài tốn cần dùng phép biến hình nào, vận dụng tính chất nào, và sử dụng tốt biểu thức tọa độ của từng phép biến hình ra làm sao mới giải quyết được bài tốn Một chun đề ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy sẽ giúp được q thầy cơ và học sinh thích thú hơn trong tiết dạy và học, vừa có thể giải quyết một số bài tốn khó như tìm tập hợp điểm, dựng hình, khoảng cánh , lập các phương trình đường Mục đích nghiên cứu: Chun đề nghiên cứu tập trung vào phép dời hình , các biểu thức tọa độ của từng phép biến hình, các bài tốn cơ bản và ứng dụng các bài tốn cơ bản vào giải một số bài tốn trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Ứng dụng này giúp học sinh đặt niềm tin vào các tính chất của phép biến hình mà vận dụng vào các mảng tốn học khác như hình học khơng gian, trong hệ trục toạ độ Oxyz, mặt phẳng phức và cả trong đồ thị hàm số một cách linh hoạt nhất Giới hạn nghiên cứu chun đề: Khi nói đến phép biến hình thì cịn rất nhiều phép biến hình khơng phổ biến, nhưng nhờ nó mà việc chứng minh một số tính chất hình học được dễ dàng như phép nghịch đảo, phép co. Đề tài chỉ giới hạn các phép biến hình thường dùng trong chương trình trung học cơ sở, trung học phổ thơng nhưng nhờ ứng dụng này mà chúng ta có thể vận dụng để giải quyết được các bài tốn trong mặt phẳng Oxy dễ dàng hơn , ngay cả đề thi tuyển sinh vào cao đẳng và đại học các năm trước và đề thi tốt nghiệp quốc gia Đề tài được bắt đầu nghiên cứu vào tháng 5 năm 2011, và đưa vào khảo sát trên tồn học sinh khối 10 và khối 11của trường Phương pháp nghiên cứu: Cho học sinh tiếp cận phép biến hình, hiểu được tính chất, và định hướng vận dụng vào trung điểm, đường trung trực, đường phân giác, trọng tâm , tỉ lệ độ dài và các tính chất bảo tồn. Tiến hành động viên, tìm hiểu và thống kê những học sinh chưa thích học mơn hình học, ngại khó trong hình học. Khảo sát học sinh về kiến thức phép biến hình, và kiến thức hình học cơ bản. Đưa chuyên đề đến tổ Chuyên đề : Ứng dụng phép biến hình hệ trục Oxy Tốn Tin của trường góp ý và áp dụng cho trường từ năm 2012, đưa lên hội thảo hội đồng bộ mơn của tỉnh. Thơng tin phản hồi từ đồng nghiệp và học sinh về ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy là mới, dễ vận dụng và rất hiệu quả Chun đề : Ứng dụng phép biến hình hệ trục Oxy NỘI DUNG Kiến thức cơ sở: Cho trước một tập hợp T các điểm (chẳng hạn tập hợp các điểm trên mặt phẳng, tập hợp các điểm trong khơng gian hoặc một phần những tập hợp này). Một phép biến hình f trong tập hợp T là một ánh xạ 11 của T vào chính nó. Với mỗi M T, ta kí hiệu ảnh của M là f(M), và gọi M là tạo ảnh của f(M) Với các phép biến hình trong tập T cho trước, chúng ta có những tính chất sau đây: Tích của hai phép biến hình trong T là một phép biến hình trong T Phép đồng nhất biến mỗi điểm M thuộc T thành chính nó cũng là một phép biến hình trong T Cho trước một phép biến hình trong f : , thì ánh xạ f1 là nghịch đảo của f Một khái niệm cũng hay được sử dụng trong phép biến hình là điểm bất động. Một điểm O thuộc T được là điểm bất động của f nếu ta có f(O) = O. Tương tự, một bất biến của phép biến hình f là một tính chất hình học được giữ ngun khơng thay đổi trong phép biến hình f Một phép biến hình bảo tồn độ dài đoạn thẳng là một phép dời hình. Phép dời hình đặc biệt quan trọng trong phép biến hình và có những tính chất sau: i) Phép dời hình bảo tồn độ lớn của góc ii)Phép dời hình biến một điểm thành một điểm, một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng … bảo tồn quan hệ thuộc nhau của các yếu tố hình học iii) Phép dời hình biến hình H thành hình H’ bằng chính nó iv) Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình Căn cứ vào tính chất cịn giữ ngun hướng của góc định hướng hay khơng mà người ta cịn phân biệt phép dời hình thuận và phép dời hình ngược Một số phép dời hình quan trọng Phép tịnh tiến theo : là phép biến hình trong mặt phẳng hay trong khơng gian sao cho vectơ nối tạo ảnh và ảnh ln bằng một vec tơ cho trước ( được là vec tơ tịnh tiến). Tích của hai phép tịnh tiến theo và là phép tịnh tiến theo + Phép quay quanh tâm O với góc α : là phép biến hình trong mặt phẳng sao cho với mỗi điểm M của mặt phẳng và ảnh M’ của nó, ta ln có góc (theo chiều quay từ M tới M’ quanh O) Bằng α. Tích của hai phép quay cùng tâm O với góc α và β là phép quay tâm O với góc α + β Chun đề : Ứng dụng phép biến hình hệ trục Oxy Phép đối xứng tâm O : là phép biến hình trong mặt phẳng hay trong khơng gian biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho đoạn thẳng MM’ nhận điểm O làm trung điểm Phép đối xứng qua đường thẳng( trục) d : là phép biến hình trong mặt phẳng hay trong khơng gian biến mỗi điểm của d thành chính nó và mỗi điểm M khơng thuộc d thành điểm M’ sao cho đoạn thẳng MM’ nhận d làm đường thẳng trung trực Phép quay góc α quanh trục d: là phép biến hình trong khơng gian biến mỗi điểm M thành M’ nằm trên mặt phẳng đi qua M và vng góc với đường thẳng d và sao cho góc Phép đối xứng qua mặt phẳng (P): là phép biến hình trong khơng gian biến mỗi điểm của (P) thành chính nó và biến mỗi điểm M khơng thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn MM’ Một số phép biến hình khơng ln là phép dời hình Phép vị tự hệ số k ≠ 0 với tâm vị tự O: là phép biến hình trong mặt phẳng hay trong khơng gian biến mỗi điểm M thành M’ sao cho Phép nghịch đảo hệ số k ≠ 0 với tâm nghịch đảo S : là phép biến hình trong tập hợp điểm khác S trong khơng gian hoặc trong tập hợp điểm khác S trong mặt phẳng biến mỗi điểm M khác S thành điểm M’ sao cho Cơ sở lý luận: {kiến thức bổ sung} Một số phép biến hình thường dùng trong hệ trục Oxy Bài tốn cơ bản Phép đối xứng tâm trong hệ tọa độ Oxy. Bài tốn 1 (BT1): Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm H(a ; b). Lập cơng thức của phép đối xứng tâm H Giải: Giả sử M(x0 ; y0) là điểm bất kì, M’(x ;y) là điểm đối xứng của M qua tâm H. Ta có 2.Phép đối xứng qua đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy Bài tốn 2 (BT2): Trong hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d : Ax + By + C = 0 (A2 + B2 ≠ 0). Lập cơng thức của phép đối xứng trục d Giải: Chun đề : Ứng dụng phép biến hình hệ trục Oxy Giả sử M(x ; y) là điểm bất kì, M’(x’ ;y’) là điểm đối xứng của M qua đường thẳng d. Ta có trung điểm của đoạn d và (với là vec tơ chỉ phương của d). Ta có hệ phương trình: , ta suy ra được cơng thức sau: i) ii) Phép tịnh tiến trong hệ tọa độ Oxy Bài tốn 3 (BT3): Trong hệ tọa độ Oxy, cho . Lập cơng thức của phép tịnh tiến theo Giải: Giả sử M(x0 ; y0) là điểm bất kì, M’(x ; y) là ảnh của M qua phép tịnh tiến . Ta có Phép quay trong hệ tọa độ Oxy. Bài tốn 4 (BT4): Trong hệ tọa độ Oxy cho phép quay R(I,α). Với I(a ; b) . Tìm biểu thức tọa độ của phép quay đó Giải: (Vận dụng tính chất phép quay khơng khó để ta có biểu thức) Giả sử M(x ; y) là điểm bất kì, M’(x’ ;y’) là ảnh của phép quay R(I,α) Biểu thức tọa độ của phép quay là: Khi tâm quay là O(0 ; 0)ta có : Khi tâm quay là O(0 ; 0) và α = 900 ta có : Phép vị tự trong hệ tọa độ Oxy. Bài tốn 5 (BT5) Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm I(a ; b) và số thực k khác khơng. Lập cơng thức của phép vị tự tâm M với tỉ lệ k Giải: Giả sử M(x ; y) là điểm bất kì, M’(x’ ;y’) là ảnh của M qua phép tâm I với tỉ số k.Ta có Biểu thức tọa độ là: Chuyên đề : Ứng dụng phép biến hình hệ trục Oxy Giải quyết vấn đề: Ứng dụng phép biến hình trong hệ trục Oxy Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD với AB: x – 2y + 2 = 0 , AD : 2x + 3y – 2 = 0 và có tâm I(1 ; 2). Viết phương trình các cạnh cịn lại Giải: Ta có CD là đối xứng của AB qua tâm I(1 ; 2). Với mỗi M’(x ; y) thuộc CD suy ra tồn tạn M(x0 ; y0) thuộc AB nhận I(1 ; 2) làm tâm đối xứng. Ta có biểu thức tọa độ (theo BT1) là : (1) Thay (1) vào phương trình AB ta được : (2 – x) 2(4 – y) + 2 = 0 Vậy phương trình đường thẳng CD: x – 2y + 8 = 0 Ta có BC là đối xứng của AD qua tâm I(1 ; 2). Với mỗi N’(x ; y) thuộc BC suy ra tồn tạn N(x0 ; y0) thuộc AD nhận I(1 ; 2) làm tâm đối xứng. Ta có biểu thức tọa độ (1). Thay (1) vào phương trình AD ta được : 2(2 – x) + 3(4 – y) 2 = 0 Vậy phương trình đường thẳng BC: 2x + 3y – 6 = 0 Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho A(6 ; 5), B(1 ; 1), M(a ; 0), N(a+1; 0) (a >0). Tìm giá trị nào của a để BM+MN+NA nhỏ nhất Giải: Ta có (khơng đổi) Gọi B’(x ; y) là ảnh của của B(1 ; 1) qua phép tịnh tiến .(theo BT3) Ta có B’(0 ; 1). Khi đó BM + MN + NA = B’N +NA +1 nhỏ nhất, suy ra bài tốn tìm N trên trục Ox để B’N + NA nhỏ nhất Xét các điểm A, B điều có tung độ dương nên hai điểm nằm cùng phía trên trục hồnh Ta gọi B’’(x ; y) đối xứng với B’(0 ; 1) qua trục Ox (theo BT2). Ta được B”(0 ; 1). Tính d(B’’,Ox) = 1, d(A,Ox) = 5, AB” cắt Ox tại H suy ra . (theo BT5) Ta được H(1 ; 0) Ta thấy B’N + NA = B”N + NA ≥ B”A = B’’H + HA nên B’N + NA nhỏ nhất khi N≡H hay a + 1 = 1 Vậy để BM + MN + NA nhỏ nhất thì a = 0 Chuyên đề : Ứng dụng phép biến hình hệ trục Oxy Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho A(a ; 0), B( 0 ; a) (a >0) và M( 3 ; 2). Tìm giá trị nào của a để AM + MB nhỏ nhất Giải: Xét phép quay tâm O(0 ; 0) với góc quay 900, ta có M(3 ; 2) biến thành M’(2 ; 3) và A(a ; 0) biến thành A’(0 ; a) (theo BT4) và dễ thấy A’ trùng với B Xét AM + MB = A’M’ + MB = M’B + BM nhỏ nhất, suy ra bài tốn tìm điểm B trên trục tung sao cho M’B + BM nhỏ nhất Tính d(M’,Oy) = 2, d(M,Oy) = 3, MM’ cắt Oy tại B suy ra .(BT5) Ta được . Vậy để AM + MB nhỏ nhất thì Bài 4. (ĐHD2010) Trong mặt phằng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3 ; 7), trực tâm H(3 ; 1), tâm đường trịn ngoại tiếp là I(2 ; 0). Xác định tọa độ của đỉnh C, biết C có hồnh độ dương Giải: Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình: (C): Tìm phương trình (C’) là ảnh của đường trịn (C) qua phép tịnh tiến Phương trình đường trịn (C’): (theo BT3) Phép đối xứng trục BC cũng biến đường trịn (C) thành đường trịn (C’) (vì BC = B’C’) Tọa độ của điểm B, C là nghiệm của hệ: ‘ (xc > 0) Vậy Bài 5.(thử sức trước kì thi THTTsố 403) Tính diện tích của tam giác đều nội tiếp elip , nhận điểm A(0 ; 2) là đỉnh và trục tung làm trục đối xứng Giải: Gọi tam giác đều ABC cần tìm với A(0 ; 2), điểm B, C đối xứng nhau qua trục tung có tọa độ B(x0; y0), C(x0; y0), (theo BT2) với x0 > 0, y0