MỘT SỐ VẤN ĐỀ GIẢNG DẠY KINH TẾ LƯỢNG KINH TẾ LƯỢNG CƠ BẢN Bài ĐỊNH THỨC Định thức của ma trận vuông cấp n là tổng đại số của n (n giai thừa) số hạng, mỗi số hạng là tích của n phần tử lấy trên các hàng và các cột khác nhau của ma trận A, mỗi tích được nhân với phần tử dấu là +1 hoặc 1 theo phép thế tạo bởi các chỉ số hàng và chỉ số cột của các phần tử trong tích. Gọi Sn là nhóm các hoán vị của n phần tử 1,2,...,n ta có:(Công thức Leibniz)
- Bài : ĐỊNH THỨC I Định nghĩa ví dụ Cho A aij nn ma trận vuông cấp n Định thức A số ký hiệu det ( A) aij nn A Và định nghĩa sau: Nếu n=1 A a11 A a11 Nếu n>1 a11 a12 a1n 11 1 A ( 1) a M ( 1) a12 M12 11 11 (1)1 n a A =[-5] Khi Định thức ma trận cấp A 5 a11 A a21 Khi a12 a22 A (1)11 a11M 11 (1)1 a12 M 12 =a11 a22 –a12 a21 a A 11 a21 a12 a22 Xóa dịng 1, cột M11= a 11 a11 Định thức cấp a11 a12 a13 A a21 a22 a23 A (1)11 a11M11 (1)1 a12 M12 (1)13 a13M a31 a32 a33 a22 a23 a21 a23 a21 a22 = a11 a32 a33 a12 a31 a33 a13 a31 a32 = a11 (a22 a33 –a23 a32 ) -a12 (a21 a33 –a23 a31 )+a13 (a21 a32 –a22 a31 ) Vậy ta có định thức ma trận vuông cấp sau: Phép trừ ma trận Ví dụ Tính 1 2 4 Giải Viết them cột 1, vào bên phải định thức dung quy tắc Sarrus ta có 1 3 1 25 4 4 = 3.2.9+(-1).2.4+3.5.(-4)-4.2.3-(-4).2.3-9.5.(-1)=? Ví dụ 3 Tính định thức det (A), với A 2 4 1 Nghĩa tính 3 2 4 1 0 4 2 A (1)11 a11M11 (1)1 a12 M12 (1)13 a13M13 (1)1 a14 M14 = 2M11 (3) M12 5M13 0M14 M 11 4 1 M 12 2 1 M 12 2 4 2) Tính chất định thức a) Có thể tính định thức cách khai triển theo hàng cột tùy ý * A ai1 i 1 ain (1) ai1M i1 (1) i2 M i * a1 j A * a2 j * 1 j (1) a1 j M1 j (1) 2 j a2 j M j (1) n j a Ví dụ 3 A 5 2 4 0 Tính định thức det (A), với Giải Khai triển theo hàng thứ 3 1 A5 2 (1) 0 1 31 2 (1) 0 31 1 2 32 Ví dụ 3 Tính định thức det (A), với A 2 1 2 4 2 Giải Khai triển theo cột thứ hai 3 1 (1)1 (3) M12 (1) 2 M 22 (1) 23 M 32 (1) 4 M A 2 2 1 87 VD Nếu 1 x y a)12 b)-12 z 3 x 2 y z 1 4 0 c) d)8 13 1 2 Vd Cho hai ma trận A = 4 B = a b 8 12 c 4 17 a b c 1 2 1 2a 2b 4 2c 12 17 4 Khẳng định sau ĐÚNG? a ) A B b) A B c) A 2 B d ) A B VD Cho A ma trận vng cấp có det(A) = Định thức ma trận 2A là: A 14 B C 56 D -56 14 b)Sử dụng biến đổi sơ cấp hàng để tính định thức h h i i i).Nếu A B hi hi h j B ii).NếuA hi h j iii) Nếu A B Từ i) ta có : Nếu A vng cấp n | B | | A | | B || A | thì| B | | A | c A c n A Từ ii) ta có Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, det (A) = Ma trận có hàng (cột) khơng, det (A) = det(AB) = det(A) det(B) det (AT) = det (A) Chú ý: det(A+B) det(A) + det(B) 1 2 Vd Cho hai ma trận A = 4 B = a b 8 12 c 4 17 a b c 1 2 1 2a 2b 4 2c 12 17 4 Khẳng định sau ĐÚNG? a ) A B b) A B c) A 2 B d ) A B VD Cho A ma trận vng cấp có det(A) = Định thức ma trận 2A là: A 14 B C 56 D -56 17 Ví dụ Sử dụng phép biến đổi sơ cấp, tính định thức A 1 2 II Tính chất định thức Giải h2 h2 2h1 h3 h3 3h1 | A | 2 h4 h4 2h1 2 1 | A| | A | 15 1 1 1 1 (1)11 1 1 Khai triển theo cột 1 1 (1) 1 15 19 1 det (AT) = det (A) det(AB) = det(A) det(B) Ma trận có hàng (cột) khơng, det (A) = Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, det (A) = Chú ý: det(A+B) det(A) + det(B) ... Khẳng định sau ĐÚNG? a ) A B b) A B c) A 2 B d ) A B VD Cho A ma trận vng cấp có det(A) = Định thức ma trận 2A là: A 14 B C 56 D -56 14 b)Sử dụng biến đổi sơ cấp hàng để tính định thức. .. a31 )+a13 (a21 a32 –a22 a31 ) Vậy ta có định thức ma trận vuông cấp sau: Phép trừ ma trận Ví dụ Tính 1 2 4 Giải Viết them cột 1, vào bên phải định thức dung quy tắc Sarrus ta có 1 3 1... 2M11 (3) M12 5M13 0M14 M 11 4 1 M 12 2 1 M 12 2 4 2) Tính chất định thức a) Có thể tính định thức cách khai triển theo hàng cột tùy ý * A ai1 i 1 ain (1) ai1M i1 (1)