(TIỂU LUẬN) thảo luận nhóm TMU môn học toán đại cương chủ đề MA TR n ĐỊNH THỨC và áp DỤNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI KHOA QUẢN TRỊ NHÂN LỰC  TIỂU LUẬN GIỮA KÌ Mơn học: Tốn Đại Cương Chủ đề MA TR N ĐỊNH THỨC VÀ ÁP DỤNG Nhóm thực hiện: Nhóm : 2189AMAT1011 á: 57 ảng viên hướng dẫn: Cô Ngô Thị Ngoan Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2021 0 DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHĨM 01 – LỚP HP: 2189AMAT0111 Nhóm trưởng: Hà Đức Anh STT Họ tên Phân công nhiệm vụ Đỗ Duy Anh Hà Đức Anh Lê Ngọc Anh Làm nội dung Phân nhiệm vụ, làm nội dung Làm nội dung Lê Phương Anh Làm nội dung Lê Quỳnh Anh Nguyễn Hoàng Anh Tổng hợp word, làm nội dung Làm nội dung Nguyễn Ngọc Anh Làm nội dung Nguyễn Thị Ngọc Anh Làm nội dung Trần Lan Anh Làm nội dung 10 Trần Thị Mai Anh Làm nội dung Đánh giá Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2021 Nhóm trưởng Hà Đức Anh 0 Mục Lục Phần Cơ Sở Lý Thuyết .3 I Lý thuyết Ma trận .3 Các phép toán ma trận Các phép biến đổi sơ cấp ma trận II Định thức .6 Khái niệm Tính chất định thức Cách tính định thức III Hạng ma trận 10 Khái niệm 10 Tính chất hạng ma trận 11 Cách tính hạng ma trận 11 IV Ma trận nghịch đảo 13 Khái niệm 13 Tính chất ma trận nghịch đảo 13 Cách tính ma trận nghịch đảo .13 Dùng ma trận giải phương trình ma trận 15 Phần Bài Tập Vận Dụng 16 I Dạng 1: Tính tốn ma trận .16 II Dạng 2: Tính định thức 16 III Dạng 3: Tìm hạng ma trận 18 IV Dạng : Tìm ma trận nghịch đảo giải phương trình 18 Phần Ứng dụng ma trận vào thực tế .22 I Vận dụng tính doanh số bán hàng 22 II Ứng dụng khoa học 23 III Ứng dụng ma trận nghịch đảo .23 0 Phần Cơ Sở Lý Thuyết I Lý thuyết Ma trận 1.1 Khái niệm - Định nghĩa: Một bảng số gồm m×n số thực aij, xếp thành m dòng, n cột gọi ma trận cỡ m×n A = (aij)m×n = [aij]m×n = + aij phần tử nằm dòng i, cột j ma trận A + Ma trận dòng thứ i: di = (ai1, ai2, …, ain ) + Ma trận cột thứ j: ci = - Các ma trận đặc biệt : + Ma trận đối ma trận A: -A = (-aij)m×n + Ma trận 0: ma trận có phần tử 0, kí hiệu là: 0m×n + Ma trận nhau: ma trận có cỡ tất phẩn tử vị trí tương ứng Cho hai ma trận A = (aij)m×n B = (bij)m×n A = B ˂=˃ aij = bij (i = ; j = ) + Ma trận chuyển vị A, ký hiệu A' AT, ma trận nhận từ A cách đổi cột thành dòng, dòng thành cột tương ứng AT = A’= (aij’)m×n VD: A = A= 1.2 Ma trận vng - Khái niệm : Ma trận vuông ma trận có cỡ n×n, tức ma trận có số dịng số cột A = (aij )m×n = - Các phần tử a11, a22, …, ann gọi phần tử nằm đường chéo - Các dạng đặc biệt : 0 + Ma trận tam giác ma trận có phần tử nằm đường chéo A= = + Ma trận tam giác ma trận có phần tử nằm đường chéo A= = + Ma trận đường chéo ma trận có phần tử nằm ngồi đường chéo A= + Ma trận đơn vị : Kí hiệu In En E= Các phép toán ma trận 2.1 Phép cộng, trừ ma trận phép nhân số với ma trận Cho hai ma trận A = , B = - Tổng A B ma trận : A+B= - Hiệu A B ma trận : A–B= - Tích số thực k với ma trận A ma trận : k.A = - Một số tính chất: Các ma trận xét có cỡ thích hợp: A + B = B+A (A, B) A + (B + C) = (A + B) + C A +0 =A A+ (-A) = k.(A + B) = k.A + k.B (k ; A, B cỡ) (k + l).A = k.A+ l.A (k,l ; A) (k.l).A = k.(l.A) = l.(k.A) (k,l; A) 1.A = A 2.2 Phép nhân hai ma trận Cho ma trận A = ; B = Tích A.B (A trước, B sau) ma trận 0 C = A.B= với cij = , (i= ; j=) * Chú ý số cột A phải số dòng B thực phép nhân A.B * Tính chất: Cho A, B, C ma trận có cỡ thích hợp, ta có đẳng thức: A.(B.C) = (A.B).C A.(B + C) = A.B + A.C (A + B).C = A.C + B.C A.E = E.A = A Các phép biến đổi sơ cấp ma trận Sử dụng phép biến đổi sơ cấp sau để đưa ma trận dạng tam giác tính định thức: Đổi chỗ hai dòng (hai cột) Nhân dòng (một cột) với số k khác Nhân dòng (một cột) với số cộng vào dòng (một cột) khác Định thức đổi dấu Định thức tăng k lần Định thức không thay đổi II Định thức Khái niệm - Định nghĩa : Cho ma trận vuông cấp n : A= Định thức ma trận A số thực có kí hiệu |A| det(A) độ lớn xác định theo cách đây: + Định thức ma trận vuông cấp A = số thực xác định sau: |A| = || = + Giả sử có cơng thức tính định thức đến cấp n-1 Khi đó, độ lớn định thức ma trận vng cấp n : A= xác định sau: |A| = = + Trong : định thức cấp n-1 nhận từ |A| cách xóa dịng thứ i cột thứ j, i dòng tùy ý ma trận 0 * Hệ Định thức cấp hai: = VD: Định thức cấp ba (công thức Sarraut): = VD: * Chú ý : - Ta thường chọn dịng i có nhiều phần tử để dễ tính tốn - Có thể đổi vai trị i j trog cơng thức trên, nghĩa khai triển định thức theo cột j tùy ý - Khái niệm định thức phát biểu cho ma trận vuông - Khi |A| ≠ nói A ma trận vng khơng suy biến - Ma trận phép biến đổi sơ cấp khơng suy biến Tính chất định thức |A’| =|A| VD: - Tính chất nói lên vai trị bình đẳng "cột" "dịng" định thức Vì vậy, tính chất sau phát biểu với "dòng" với "cột": + Định thức có dịng gồm phần tử VD: + Định thức chứa hai dịng tỉ lệ Hệ 1: + Định thức chứa hai dịng giống VD: + Nếu giao hốn hai dịng khác định thức đổi dấu VD: 0 + Nếu nhân phần tử dịng với số k định thức nhân lên k Hệ 2: + Thừa số chung dịng đưa ngồi dấu định thức VD: + Nếu nhân dịng với số cộng vào dòng khác định thức khơng thay đổi Hệ 3: Cộng vào dịng tổ hợp tuyến tính dịng khác định thức khơng đổi Hệ 4: + Nếu có dịng tổ hợp tuyến tính dịng khác định thức + Nếu phần tử cột j tổng cặp số hạng phân tích định thức thành tổng hai định thức, đó: Các cột khác giữ ngun cịn cột thứ j số hạng phần tử phân định thức thành phần VD: = + + A B ma trận vuông cỡ |AB| = |A||B| + Nếu A có dạng tam giác tam giác định thức A tích phần tử đường chéo VD: = 2.1.6 = 12 + Nếu B, D ma trận vng A có dạng A = |A| = |B||D| || = 1, ∀n Cách tính định thức 3.1 Tính định thức định nghĩa Tức phân tích định thức theo dòng, cột để đưa tổng định thức có cấp thấp theo cơng thức: 0 = = VD: 3.2 Tính định thức biến đổi sơ cấp - Tính định thức theo cách khai triển theo dòng theo cột thường dẫn đến tổng n định thức cấp n−1 - Khi n lớn định thức khơng có hình dáng đặc biệt cách tính dài, cần nhiều phép tính - Trong đó, định thức có nhiều phần tử 0, nằm góc số số hạng khai triển giảm đáng kể - Vậy, trước phân tích định thức ta nên đưa định thức dạng đặc biệt (thường dạng tam giác dạng Khi ta cần dùng phép biến đổi sơ cấp sau: - Giao hốn hai dịng hai cột (định thức đổi dấu) - Nhân phần tử dòng cột với số α ≠ (định thức nhân lên α lần) - Nhân phần tử dòng (hoặc cột) với số cộng vào phần tử tương ứng dòng (cột) khác (định thức không đổi) Chú ý : (Về cách biến đổi sơ cấp) - Nên đưa dạng ma trận tam giác để dễ theo dõi Tuy nhiên, điều khơng phải bắt buộc - Sẽ thuận tiện bước biến đổi phần tử phía bên trái (a11) −1 ước số chung phần tử phía dưới, cột - Nếu a1j = ±1 đưa phần tử phía phần tử - Nên chia cho thừa số chung (đưa dấu định thức) để phần tử bé - Nên tránh xuất phân số VD: 0 III Hạng ma trận Khái niệm Cho ma trận cỡ m × n:A = (a ) ij m×n Định thức con: Với số nguyên dương k ≤ min{m,n} ta lấy k dòng k cột ma trận A Các phần tử nằm giao k hàng k cột cho ta ma trận vuông cấp k Định thức ma trận gọi định thức cấp k ma trận A, ứng với k dòng, k cột chọn Định nghĩa - Hạng ma trận O - Khi A ≠ O, nói ma trận A có hạng r A có định thức cấp r khác khơng có định thức có cấp r + trở lên khác ( Nói cách khác, hạng ma trận A ≠ cấp định thức có cấp cao định thức khác A.) VD: Nhìn vào dạng đặc biệt ma trận A, dựa vào định nghĩa hạng, ta thấy ngay: Tính chất hạng ma trận r(A) = r(A’) với ma trận A Nếu A có cỡ m × n ≤ r(A) ≤ min{m,n} r(AB) ≤ min{r(A); r(B)} Thêm dịng thêm cột hạng ma trận khơng giảm (tăng giữ nguyên) Cách tính hạng ma trận 3.1 Phương pháp định thức bao 10 0 - Trong ma trận tất định thức cấp k định thức cấp cao k - Định lý 1.1 : Nếu ma trận có định thức cấp r khác định thức cấp r +1 bao r(A) = r VD: Tìm hạng ma trận Ta thấy: Tính định thức bao : Ta thấy: - Định thức bao cấp khác: - Khơng cần tính tiếp định thức bao cấp khác Định thức khác có định thức cấp bao : (vì ) Vậy r(A) = 3.2 Phương pháp biến đổi cấp Định lý: Ba phép biến đổi sơ cấp dòng hay cột ma trận không làm thay đổi hạng ma trận Các phép biến đổi sơ cấp thường biểu thị biểu tượng kéo theo: “=>” VD : Tìm hạng ma trận =B Dễ thấy định thức cấp cao khác ma trận cuối định thức cấp = 22 Vậy IV Ma trận nghịch đảo 11 0 Khái niệm - Khái niệm: Cho A ma trận vuông cấp n Nếu tồn ma trận X, cho AX = XA = E (E ma trận đơn vị cấp n) nói ma trận A khả nghịch X gọi ma trận nghich đảo ma trận A, kí hiệu X = A-1 Như : A-1A = A A-1 = E - Điều kiện khả nghịch : Ma trận vuông cấp n khả nghịch định thức khác Tính chất ma trận nghịch đảo - Ma trận vng A khả nghịch A-1 xác định - Ma trận vng A khả nghịch ( A-1)-1 = A - Nếu hai ma trận A, B cỡ khả nghịch (AB)-1 = A-1B-1 - E-1 = E với E ma trận đơn vị cấp tùy ý - Ma trận vuông A khả nghịch (A-1)’= (A’)-1 Cách tính ma trận nghịch đảo Cách 1: Phương pháp định thức Nếu định thức ma trận A khả nghịch ma trận nghịch đảo A tính bằng: - Bước 1: Tính định thức ma trận ma trận A + Nếu det(A) = khơng có ma trận nghịch đảo A-1 + Nếu det(A) ≠ A có ma trận nghịch đảo A-1  Chuyển sang bước - Bước 2: Lập ma trận chuyển vị A’ A - Bước 3: Lập ma trận phụ hợp A định nghĩa sau : A* =(Aij’)nn với A’= Aij’ phần bù đại số phần tử hang cột i, cột j ma trận A’ - Bước 4: Tính ma trận A-1 = Cách 2: Phương pháp biến đổi sơ cấp Cho ma trận A vuông cỡ nxn với |A| ≠0 Lập ma trận (A|E) cỡ nx2n gồm khối, E ma trận đơn vị cấp với ma trận A Ma trận (A|E) gọi ma trận bổ sung ma trận A Biển đổi sơ cấp liên tiếp dòng ma trận bổ sung 12 0 cho khối bên trái A trở thành E (điều thực |A| ≠0) khối bên phải E trở thành A-1 Chú ý: + Sau lập ma trận bổ sung phép biến đổi sơ cấp theo dòng ma trận đó, khơng phép biến đổi sơ cấp theo cột Biến đổi đồng thời hai khối A E + Trước lập ma trận bổ sung , không biến đổi sơ cấp ma trận A VD: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: Lời giải Cách 1: Sử dụng phương pháp định thức Ta có : Ma trận nghịch đảo A là: Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp Xét ma trận: A Ma trận nghịch đảo A là: Dùng ma trận giải phương trình ma trận - Cho A ma trận vuông khả nghịch , B có cỡ phù hợp X ma trận chưa biết cần tìm Ta có: AX = B ⇔ X = A-1B - Ta kiểm tra cách nhân A-1 vào bên trái hai vế phương trình: XA = B ⇔ X =BA-1 13 0 Phần Bài Tập Vận Dụng I Dạng 1: Tính tốn ma trận Bài Cộng trừ ma trận sau: a + b Lời giải + = - = Bài Nhân ma trận: Lời giải x = Bài Cho = ma trận = Tính Lời giải Ta có: = = - 3- 14 0 = II Dạng 2: Tính định thức Bài Tính định thức sau: a b c Lời giải a.= b c Bài Lời giải b III Dạng 3: Tìm hạng ma trận Bài Tính hạng ma trận sau : a A = b B = Lời giải a Ta có : A= Vậy r (A) = b Ta có : B= Vậy r(B) = với a IV Dạng : Tìm ma trận nghịch đảo giải phương trình 15 0 Bài Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau : a A b A c A Lời giải a Lập ma trận bổ sung ta có: = A ma trận khả nghịch b Ta có : = = - 27 6 6 6 3 Ma trận nghịch đảo A là: c Ta có : = 3 0 Ma trận nghịch đảo A là: Bài Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau : A Lời giải Xét hệ : 16 0 (1) (2) (3) (4) ( ) (*) (*) (1) ( ) (*) (2) ) (*) (3) ) (*) (3) ) Vậy Bài Dùng ma trận nghịch đảo giải phương trình ma trận sau: X= b X = Lời giải a Đặt A = ; B = Ta có: A.X = B X = B Bằng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ta có: = Suy ra: X = = b Đặt A = ; B = Ta có: X.A = B X = B Bằng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ta có: = Suy ra: X = = Phần Ứng dụng ma trận vào thực tế I Vận dụng tính doanh số bán hàng 17 0 VD: Cơng ty có cửa, bán mặt hàng M1, M2, M3, M4 với đơn giá 10; 20; 30; 40 (ngàn đồng/cái) * Doanh số tháng 1/2021 : M1 M2 M3 M4 A= * Doanh số tháng 2/2021 : M1 M2 M3 M4 B= Tính doanh thu tổng doanh số cửa hàng tháng ? Lời giải : Tổng doanh số tháng tháng : A+B= + Doanh thu cửa hàng tháng 1/2021 : C = A x = x = (Nhân ma trận) Vậy doanh thu cửa hàng tháng 1/2021 2.250.000 đồng doanh thu cửa hàng tháng 1/2021 3.250.000 đồng Doanh thu cửa hàng tháng 2/2021 là: D = B x = x = (Nhân ma trận) Vậy doanh thu cửa hàng tháng 2/2021 1.620.000 đồng doanh thu cửa hàng tháng 2/2021 2.240.000 đồng II Ứng dụng khoa học Cần thành phần khác A, B C, để sản xuất lượng hợp chất hóa học A, B C phải hòa tan nước cách riêng biệt trước chúng kết hợp lại để tạo hợp chất hóa học Biết kết hợp dung dịch chứa A với tỉ lệ 1,5 g/cm với dung dịch chứa B với tỉ lệ 3,6 g/cm dung dịch chứa C với tỉ lệ 5,3 g/cm tạo 25,07 g hợp chất hóa học Nếu tỉ lệ A, B, C phương án thay đổi thành tương ứng 2,5; 4,3 2,4 g/cm (trong thể tích giống nhau), 22,36 g chất hóa học tạo Cuối cùng, tỉ lệ tương ứng 2,7; 18 0 5,5 3,2 g/cm, tạo 28,14 g hợp chất Thể tích dung dịch chứa A, B C bao nhiêu? Lời giải : Gọi x, y, z tương ứng thể tích (cm) phương án chứa A, B C Khi 1,5x khối lượng A trường hợp đầu, 3,6y khối lượng B 5,3z khối lượng C Cộng lại với nhau, ba khối lượng tạo 25,07 g Do đó: 1,5x +3,6 y +5,3z =25,07 Tương tự cho hai trường hợp cịn lại, ta có hệ phương trình tuyến tính: Ma trận bổ sung hệ là: Biến đổi ma trận cho ta nghiệm x = 1,5; y = 3,1; z = 2,2 III Ứng dụng ma trận nghịch đảo Một nhóm du lịch tàu lửa chi phí triệu đồng/trẻ em triệu đồng/người lớn tổng chi phí 39 triệu đồng Khi học máy bay với chi phí triệu đồng/trẻ em triệu đồng/người lớn tổng chi phí 141 triệu đồng Sử dụng ma trận nghịch đảo tìm số lượng trẻ em số lượng người lớn tham gia nhóm ? Lời giải : Gọi a số lượng trẻ em nhóm, b số lượng người lớn nhóm Theo giả thiết tốn, ta có phương trình sau: = Suy ra: =x =x= Vậy nhóm có trẻ em 15 người lớn 19 0 20 0 ... Phương Anh Làm n? ??i dung Lê Quỳnh Anh Nguy? ?n Hoàng Anh Tổng hợp word, làm n? ??i dung Làm n? ??i dung Nguy? ?n Ngọc Anh Làm n? ??i dung Nguy? ?n Thị Ngọc Anh Làm n? ??i dung Tr? ? ?n Lan Anh Làm n? ??i dung 10 Tr? ? ?n Thị... m? ?n Định thức con: Với số nguy? ?n dương k ≤ min{m ,n} ta lấy k dịng k cột ma tr? ? ?n A Các ph? ?n tử n? ??m giao k hàng k cột cho ta ma tr? ? ?n vng cấp k Định thức ma tr? ? ?n gọi định thức cấp k ma tr? ? ?n A, ứng... phương pháp định thức Ta có : Ma tr? ? ?n nghịch đảo A là: Cách 2: Sử dụng phương pháp bi? ?n đổi sơ cấp Xét ma tr? ? ?n: A Ma tr? ? ?n nghịch đảo A là: Dùng ma tr? ? ?n giải phương tr? ?nh ma tr? ? ?n - Cho A ma tr? ??n