ậ ẩấầ ặ ậá ầ ỉể ệ ắẳẵẵá ẻểé ắá ễ ẵ ạẵ ề ìá ặ ệểì éé ìá éé ệ ặ ểề ề ậểềề ề ệ ệá ỉểệì ặè ẻầ èầ ặ ấẻặ ấ ầầấ ặ è ậ ầấ ẩ ấ ầ ầặậ ấẻ èầặ ẽậ ểềề ẹ ềỉ è ặ ểề Ư ĨÙ Ù ÐÐ Ị Ư º Ë ¸ ź Å Ị Đ Ừ Ị ¸ ểỉểề ìỉệ ỉ è ì ễ Ơ Ư Ð× Û Ø Ø × Ị Ĩ Ị Ø ÚĨÐÙĐ ƠƠƯĨÜ Đ Ø ĨỊ Ĩ ÝƠ Ư ĨÐ ĨỊ× ƯÚ Ø ĨỊ Ð Û× Ị ÙƯÚ Ð Ị Ư ĨĨƯ Ị Ø ×º ËÙ ĨĨƯ Ị Ø × Ư Ị ĨÙỊØ Ư Ị ØÙƯ ÐÐÝ Ị Đ ỊÝ ƠƯĨ Ð Đ× × ĨƯ Ị×Ø Ị Ị Ø Ị ÐÝ× × Ĩ Ð Ư ỊÙĐ Ư Ĩ ĐĨ Ð× ĨĐ Ị ƯĨĐ Đ Ị Ø ĨỊ Ị Đ ỊØ Ù× ĨỊ Ị ØĨ Đ ×º ÁỊ Ø × Ơ Ơ Ư Û ƯÚ Ị Û Ị Ø ÚĨÐÙĐ Đ Ø Ĩ ĨƯ ÝƠ Ư ĨÐ ĨỊ× ƯÚ Ø ĨỊ Ð Û× Ị ÙƯÚ Ð Ị Ư ĨĨƯ Ị Ø ×º Ì Đ Ø Ĩ × Ư×Ø × Ư Ị Ị Ư Ð × ØØ Ị Ị Ø Ị × ÐÐÙ×ØƯ Ø ề ắ ễểé ệ ểểệ ề ỉ ì ặẹ ệ Ð ÜƠ Ư Đ ỊØ× × ĨÛ Ø× Ú ỊØ × Û Ø Ư ×Ơ Ø ØĨ Ø Ù× Ĩ ệỉ ì ề ểểệ ề ỉ ì ẵ ềỉệể ẽ Ư ĨỊ ƯỊ Û Ø ĨỊ× ƯÚ Ø ĨỊ Ð Û׺ ËÙ Ơ Ý× Ð ĐĨ Ĩ ỊØ Ư ×Ø ƠÐ ×Đ × ØĨ Ø Ð ÙỊ Ư ÅĨƯ ƠƯ × Ðݸ Ị Đ Ð Ð Ị ׺ Ì Ĩ ỊĨØ ĨỊ×Ø ØÙØ ĨƯ À Đ ĨĨƯ Ị Ư ÐÐÝ ỊĨØ Ø ƯĐ× Ị × ×ØƯ ÐĨ×Ø Ý Ø Ư Ø Ĩ× × Ư Ị Ø Ị Ø × Ư Ø ễệ è ểệ ệ ỉ ệẹì ì ỉ × Ị × Ư Ø × Ø ĨỊº º ĨỊỊ Đ ỊØ Û × ×ÙƠƠĨỪ ỊĨØ ØĨ Ư ĨƯĐ ƠƠ Ư Ị Ø Ừ × Ị ĨĨƯ ØÛĨ Å Ư ĨĨƯ Ø Ð Ị × Ø Ø ÕÙ Ø ĨỊ׺ Ì Ị Ø × Ị ĨỊ× Ð Ê Ư Ĩ ĨỊ Ị Đ ỊØ Ị Ø Ú Ø × Ị ệ é ị ỉ ì ề ệểìì ẹ ệỉ ì Ị ĨĨƯ ÙƯÚ Ð Ị Ị Ø ÚĨÐÙĐ Ư × × Ị Ø × ĨỊØ ÜØ ĨỊ ƯỊ× Ø ĨỊ é ẩệể ề éễ ìạ ỉ ệ ề ỉ × Ư ×Ý×Ø Đ× ỊØ× ĐÙÐØ ƠÐÝ Ø Ị Ĩ ề ỉ ì ểỉ ểểị ệ ểểệ ệ ỊØ Đ Ø Ĩ Ø ĨỊ ÐÐÝ ĐƠĨỪ ỊØ ĨỊ× ƯÚ Ø ĨỊ ƠƯĨƠ Ừ Ø Ð× ×ØƯĨƠ Ý× Ð ễé ìẹ ềìỉ ề ỉ ì ìíìỉ ẹì ẵá ắá ẹ ỉệ ể ểệ éểề ểềì ế ề × ƠÐ ĨĨƯ ÐÐÝ Ú ƯÝ Ị × Ĩ Ø Ơ Ý× Ð ĐĨ Ư Đ Ú ĨÙƯ× Ĩ Ơ ệỉ é ìá ế ỉ ểềì ệ ỉỉ ề ề Ø ×Ơ Ø Ù× ĨỊ ÝƠ Ư ĨÐ ƠƯĨƠ Ừ á ẵẳ ễé ìẹ ễ íì ì ỉ Ð Ị Ø × ĨƯ ÙƯ Ø ÐÝ Ø Ị ĐƠĨỪ ỊØ ƯĨÐ º Ì Ị Ø Ừ ×Ø Ị Ø Ư Ư Ð Ú ỊØ ÕÙ ×Ø ĨỊ Ø Ị ễ ệỉ í ỉ ểì ể ỉ ì ệ ể ƯỊ Ị Đ Ø ĨỊ× ĨỊ × ĨƯ Ị×Ø Ị Ð Ị ỜÙƯ Ị Ơ Ừ Ð × ĐĨØ ĨỊ Ị ×ĨÐ Ư Û Ị × Ị Ø Ị ×ĨØƯĨƠ Ị ×ØƯ Ø ĨỊ× ƯÚ Ø ĨỊ Ð Û× Ø ĨỊ Ð ×ĨÙƯ Ư Ư Đ Ø Ĩ × Ị ÙƯÚ Ð Ị × ỊØ Ư ×Ø Ị Ø × ×Ý×Ø Đ ƠÐ Ý Ư Ù× ĨỊ Ư ×Ý×Ø Đ ØĨ ƯƯ ĨĨƯ Ơ Ừ Ð × Ị ÐÝ ÚĨÐÙĐ ề ểề ễé ìẹ ỉ ì ỉể ễễệểễệ Ị Ø × Ị Ư Ị Ø Ð Û ệẹểề é ề ỉ ị ì é ệ ệ ỉ ểề Ị Û ØƯ Ị×ƠĨỪ Ĩ ×Ý×Ø Đ× Ĩ ĨĨƯ ∗ Ư ĨỊ× ĨƯ Ị×Ø Ị ℄ ĨƯ Ø ĨỊ×ØỨ Ø ĨỊ Ĩ Đ × Ị Ø ĨỊ Ĩ ĨỊØƯĨÐÐ Ị Ø ỊĨØ Ø × Ù Ø ĨỊ Ư Ð × × Ị ệ ễệ ì ềỉ ỉ ểề ịệ ặấ ậểễ ềỉ ễểé ì ề ệì ỉ ặ ậểễ ềỉ ễểé ìá ấ ặấậ ắẵ ệ ề àá ạẹ é ệ í ểềề ẹ ềỉề ệ ề ệì ỉ ẻ é ề ềề ìá ấ ặấậ ắ ệ ề àá ạẹ é Ø Ư º Ư ĨÙ ÙỊ Ú¹Ú Ð Ị ỊỊ ì ệ ặấ ậểễ ềỉ ễểé ì ề ệì ỉ ặ ậểễ ềỉ ễểé ìá ấ ặấậ ắẵ ệ ề àá ạẹ é ÖÚ º Ù ÐÐ Ö ÒÖ º Ö ề ệì ỉ ặ ậểễ ềỉ ễểé ìá ấ ặấậ ắẵ ặấ ậểễ ềỉ ễểé ì ệ ề àá ạẹ é ẹ ệ ẹ ệỉ ềề ệ ề ệì ỉ èểéểì ấ ặấậ ắẵ ệ ề àá ạẹ é é ĩ ề ệ ẹểỉểềẹ ỉ ề ạỉểéểì ệ ề ệì ỉ ặ ậểễ ềỉ ễểé ìá ấ ặấậ ắẵ ặấ ậểễ ềỉ ễểé ì ệ ề àá ạẹ é ểề ề ểề ề ệ ề ệì ỉ ặ ậểễ ềỉ ễểé ìá ấ ặấậ ắẵ ặấ ậểễ ềỉ ễểé ì ệ ề àá ạẹ é ềỉểì ề ẹề ệ ẩ ậ ề ìá ậ ắẳẵẵ Article published online by EDP Sciences and available at http://www.esaim-proc.org or http://dx.doi.org/10.1051/proc/2011019 ẵ ậ ể ỉểệì × × ĨƯ Ư Ị Ø ×Ơ Ø Ĩ Ĩ Ø Ơ Ị Ịغ ÐÐÝ Ĩ× Ị ÙƯÚ Ð Ị ỊÙĐ Ư Ð ƠĨ ỊØ Ĩ Ú ƠƯĨƠ Ừ × ể ỉ ệẹì ề ì ầệ ỉ ễễệể ề ề ỉ ìá ề ề ề ì ệ ệ ễễệểễệ ỉ ƯĐ× Ị Ơ Ý× Ð ĐĨ ĨỊ× ×Ø ỊØ Đ ỊỊ Ư Ị × Ơ Ơ Ư × ĨƯ Ị Þ ÚĨÐÙĐ Đ Ø Ĩ × Ị Ø ÝÐ Ị Ư Ð ĨĨƯ ĨỊ ÐÙ× ĨỊ × × Ø ÐĨ é ị í ỉì ì ề ì éí ểẹ ỉ ề ĩ ẹễé ểệệ ìễểề : xá  Ĩ Û Û ỊØÐÝ Ĩ Ø Ư Ị Ị ĨĨƯ × Ị Đ ØƯ Ü MJ Ð x= Ư ĨĨƯ Ị Ø × ×Ý×Ø Đ φ × ƠĨ× Ø Ú º ÌĨ ỊØƯĨ Ù ek ××Ĩ Ø ØĨ ỉ ệ k = 1, 2, 3á ìíìỉ ẹ è ØĨ Ø Ð Ị Đ × Ơ Ư ×Ý×Ø Đ ì ỉ iá j ềỉ ì ề ệ jk ẽ Ø Ø × Ø × ÃƯ Ị ÕÙ ỊØ Ø Ð × ƯĨĐ ĨÙØ ×ĨÙƯ ℄º Ư ÕÙ Ø ĨỊ× Ị Ú ØĨƯ Ð ÕÙ Ø ĨỊ׺ Ĩ ỜÙƯ Ị ỉ ềạ ệ ỉ ễệ ề ễ é ềểềạ ểềì ƯÚ Ø Ú º Ư ĨĨƯ Ị ĨƯ Ị Ø × Ư ØĨ ÐÐÙ×ØƯ Ø Ư Ư ÐÐ ØÛĨ¹ ĨÙƯ º Ị Ø Đ Ị× ĨỊ Ð ƠƠƯĨ º Ị ééíá ểẹễ ỉ ề ỉ ì ề é ỉểểéì ểề Ơ Ý× Ð ĨĐ Ị t (x , x2 , x3 )º ËÙƠƠĨ× ĨĐ ξ Ω(ξ) Ị × ÙƯÚ é ề ìỉ C 1ạ ềể ỉ ỉ ỉ ÐÐ Ư ĨĨƯ Ω(x) ⊂ R3 ¸ Ư Û Ư M (x) Ĩ Ω(x) ƠĨ ỊØ Ð ÙỊ Ư ĨỊ× Ơ Ý× Ð ĐĨ Ð Ị ƯƯ ĨĐỚØ Ø ĨỊ é ỉể ì ỉ ề ỉ ì ầ ểìéíá ỉ ểẹểệễ ễ íì é ẹể ìẹá Đ Ư ÐĨĨ Ü ×Ø× Ị× Ø Ø ξ Ø MJ = k Ö ek × × ∂x1 ∂ξ ∂x1 ∂ξ ∂x2 ∂ξ ∂x2 ∂ξ ∂x2 ∂ξ ∂x3 ∂ξ ∂x3 ∂ξ ∂x3 ∂ξ ÜƠƯ ×× ĨỊ× Ó Ø Û ÐÐ φ ∂x1 ∂ξ Ú Ö Ị J Ø × Ư Ø ĨỊ Ø ƯĨÙ ĨĐ ỉ ềá ề ểề ạỉểạểề ề ẹ ễ ỉ ệẹ Ị ỊØ Ĩ Ø Ú Ị Ù× Ư ỊØ Ị Ø × Ơ Ơ ệá ỉ ì ì é ỉể ệ ềỉ ể ỉ V = ề ểễ ệ ỉểệìá ỉ Ãá éể Ð ĨÚ Ư ỊØ Û Ø × × Ý ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x = k i + k j + k k, k ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ Ú ØĨƯ× Ĩ Ø ××Ĩ Ø Ị Ø Ø ØĨ ỊĨỊ Ð ek × × ĨƯƯ ×ƠĨỊ × ƠƯĨÚ Ø ƯĨÙ Ø Ú ØĨƯ ∂V ⊗ ek = ∂ξ k Ð V (ξ) × Ú Ị Ị ØĨ Ø Ư Ð Ø ểềì ệ ỉ ềìểệ ìá ỉ ểạ ểềì ệ ỉ ểề ề ề ì ỉ ểề ặẹ ệ é Ø ×Ø× Ù× Ị Ị × Ø ĨỊ ÐĨ×غ Ơ× Ø ƠƠƯĨÜ Đ Ø ek · ej = δjk , Û ĨƯ ÙÐ ØĨ Ø ĨỊ× Û Ø ÙØĨĐ Ø ÐÐÝ Ø × Ù× ÕÙ Ø ĨỊ× Ư Ị Ú Ư Ý ØƯ Ị× ĨƯĐ Ø ĨỊ Ị × Ị ỉ ì ìíìỉ ẹìá ìể ỉ ỉ é ề ệ ĨĨƯ ĨỊØƯ Ú Ư ÚĨÐÙĐ Ị Ø ĨĐ ØƯ Ì ek = Û Ị Ư ×Ơ Ø ØĨ Ø Ĩ ỉ ệẹì ỉ ỉ ề ỉ ìá ỉ ểệệ ìễểề ÕÙ Ø ĨỊ × Ø ƠƠƯĨÜ Đ Ø ĨỊ Ĩ Ø ĨỊ Û ÐÐĨÛ× ØĨ Ư Ư ×Ơ Ø ØĨ ÙƯÚ Ð Ị Ị Ư ĨĨƯ × × Ĩ Ø × × Û Ø × ỚƯƠĨ× ĨƠ Ý× Ð ÚĨÐÙĐ Ư Ị ĨỊ× Ị Ị Ø × ỊĨØ ××ÙĐ Ĩ × Ị ÙƯÚ Ð Ị ÐĨ Ð Ø ĨỊ× Ĩ ÐĨ Ð ĨƯ Ø ÙƯÚ Ð Ị Ị Ø × Ø ξ = t (ξ , ξ , ξ )º Ư × Ị º Ị ĨĨƯ × Ư Ω(ξ)¸ ¸ Ø ƯĐ Ị ƠƠƯĨ Ư ĨĨƯ Ơ Ý× Ð ĐĨ Ừ × ÜƠƯ ×× Ú ØĨƯ Ị Ø Ú Ư ÐÐ Ị Ị Ø ¾º Ư Ư ƠƠƯĨÜ Đ Ø ĨỊ Ĩ Ø ĨỊ×ØỨ Ø × Ë × ểééểì ề ì ỉ ểề ắá ễệ ệ ế ì Ø × ĨỊ ÙƯÚ Ð Ị Ú Ị Ị × Ø ĨỊ Ä Ø Ù× ĨỊ× ƯĨĐ Ø Ị× Ø Ø Ø Ơ Ị ÙƯÚ Ð Ị Ị Ø × Ú ØĨƯ× ỊÝ ƠƯ Ð Đ Ị Ư ƠƯĨ Ð׺ è ặ ỉ ểề ể ểệ ểé ì ểệ ề ỉ ìá ỉ ểỉ ẩấầ ểềì ệ ỉ ểề Ð Û× ĨƯĐ Ĩ Ø ÕÙ Ø ĨỊ× Ư Đ ÙÐÐÝ Ĩ× Ị ×Ĩ Ø Ø × ƠƯĨ Ø ĨỊ× ×Ø× Ị ĨỊ×ØỨ Ø Ị Ư ĨĨƯ Ư Ø Ư × ể è ỉ ỉ ệẹì ểẹ ề ééể ỉ ệ ìíìỉ ẹìá ểệ ỉể ệ é ệ é Ị ÕÙ ỊØ Ø Ư ĨĨƯ ×Ý×Ø Đ Ĩ ểệ ềìỉ ề ỉ ề ỉ ì ìíìỉ ẹ ỊØƯĨ Ù × ×ĨÙƯ Ĩ Ø × × Ị Û ÁÅ Ý ∂V i + V m Γimk ei ⊗ ek ∂ξ k Ừ × Ị ĨĨƯ Ị Ø × Ë ´Ì Ị×Ø Ú Ị Ị ×ÙĐĐ Ø ểề ểề ềỉ ểề ì ììẹ ẩấầ ặ ỉ ệể ỉ ẵ ậ ì ễ ễ ệà imk Ư Ư Ø Ư ×ØĨ Ð ×ÝĐ ĨÐ× Ý ∂em = Γimk ei , ∂ξ k Ị Ư ƠƯ × ỊØ Ø Ì Ú Ư Ị ƠƯĨ Ĩ Ø Ø ĨỊ ĨỊØĨ Ú ØĨƯ Ð Ø ỊØ ØÝ ∂J = Γiki ¸ J ∂ξ k Ị Ĩ Ø Ị ĨỊ × Ø Ø× Ø Ư Ị Ø Ị×ĨƯ Tá é ỉì ệ ể ệ é ỉ ểề ề ÜƠ Ị Ú Ư Ị Ĩ Ø Ø Ị×ĨƯ Ð ềỉ ì ề ệ é ỉ ểề ắẵà ỉ × Ð Ư ỊĨÛ Ư Ý ØĨ Ư ỊØ ÜƠƯ ×× ĨỊ ∂T ⊗ ek ∂ξ k ∂T ij + T mj Γimk + T im Γjmk ei ⊗ ej ⊗ ek ∂ξ k T × Ú Ị ắẵà í T à ek k ì ỉể ∇·T = Ï ξk º ØĨ Ý ∇·T = Í× Ị Ị × ĨÐÐĨÛ× ∇T = Ì ĨƯ ∂(JV · ek ) J ∂ξ k ∇T = Ì em ĨỊØƯ Ø ĨỊ Ĩ Ø ĨĐƠ Ø ∇·V = ĨỊ× Ú ØĨƯ ∂V k ∂V i m i k + V Γ e · e = + V k Γiki i mk ∂ξ k ∂ξ k ∂V · ek = ∂ξ k ∇·V = Ý Ù× Ị ei Ĩ Ø V (ξ) × × Ị Ị Ø ÚĨÐÙĐ ∂ JT · ek J ∂ξ k Ñ Ø Ĩ × Ị ÙƯÚ Ð Ị Ư ĨĨƯ Ị Ø × ĨƯ ÝƠ Ư ĨÐ ĨỊ× ƯÚ Ø ĨỊ Ð Û׺ ĨỊØỨ Ø ĨỊ Ĩ ¿º Ä Ø Ù× ĨỊ× Ư Ị Ư Ð Ị Ø ÚĨÐÙĐ × ÝƠ Ư ĨÐ ĨỊ× ƯÚ Ø ĨỊ Ð Û Đ × Ị ÙƯÚ Ð Ị ÕÙ Ø ĨỊ× ÛƯ ØØ Ị Ị Ư ĨĨƯ ĨĨƯ Ị Ø Ị Ø × Ư Đ ỊỊ Ư × ∂W + ∇ · F (W ) = , ∂t Û Ư W × Ø Ä Ø Ù× Ư ×ÙÐØ× Ĩ Ø ÕÙ Ø ĨỊ ×Ø Ø Ð×Ĩ ĨỊ× Ú Ư Ư Ð Ị ÙƯÚ Ð Ị ƠƯ Ú ĨÙ× × Ø ĨỊ Ị F (W ) ì ỉì ĩ : xá t J = 0á ỉ ề ệ ỉệ ềì ểệẹ ỉ ĨỊ ỊĨØ Ị Ø Ø Û Ĩ× × ÁỊ ĨƯ Ø ƯĐ Ị ỊØ Ĩ  Ĩ Ø Ị Ø × ĨĨƯ Ị × Jº Í× Ị Ị Ø × ×Ý×Ø Đ¸ Ø Ø ĨÚ ĨĐ × ∂ ∂J W + k JF (W ) · ek ∂t ∂ξ ỊØĨ ØÛĨ Ị Ø Ư ØĨ × Ø ĨỊØĨÙƯ Ĩ Ø ệ ềỉ ì ì è ễệể é ẹá ệìỉ ĨỊ Ð× Û Ø = Û ÐÐ ×ØÙ Ý × Ơ Ư Ø ÐÝ Ø Ø × Ð Ư × ¸ Ø Ø × Ø ĨỊ×ØỨ Ø ĨỊ Ĩ ×Ø Ø Ú Ư Ð Ị Ø W ÚĨÐÙĐ × Đ ỉ ể ì é ệ ề ỉì ẵ ậ F (W ) ÙÜ × Ú ØĨƯº ÁỊ × ĨỊ ×Ø ễá ẩấầ éé ểềì ặ ệ ỉ Ë × Û W Ư × Ú ØĨƯ Û Ð Ø× ÙÜ F (W ) × Ø Ị×ĨƯº Ë Ð ệ ế ỉ ểề ẵ è W =S ì ểệệ ×ƠĨỊ × ØĨ Ø × Ð Ư F (W ) = V Ị Ú ØĨƯ¸ Ø ∂(J S) ∂ + k JV · ek ∂t ∂ξ ÌÝƠ Ð Ü ĐƠÐ × ĨƯ Ị×Ø Ị ĨƯ Ị ØĨ Ø Ị Ø ĨỊØƯĨÐ Ðк ÌĨ ÚĨÐÙĐ × ĨỊ (Ωi )i∈ N ĐĨƯ è ệ ểéẹ ỉ éểìểễ íá ỉ ì ệ ỉ ễệ ì é ỉ ì ểềì ề ềỉ ệ Ø Ị Ư Ị ÐÐ Ị Ư ÛƯ ØØ Ò Ωi ∂(J S) dΩ + ∂t |Ωi | Ư Ωi Ù ÝỊ Đ ×º × ĐƠÐÝ Ĩ Ø Ị Ý ỊØ ĨĐỚØ Ø ĨỊ Ð Ị Ú Ị Ø ĨĐ Ư ×ÙÐØ Ư Ø Ị Ω(ξ) Ị Ý ỉ ắà ểề ềỉể ểềỉệểé |i |á ểéẹ ềỉệể Ò Ø |Ωi | Si = Ú Ö ÙÜ Ø ƯĐ × Ωi J S dΩ Ωi Ð×Ĩ ĐĐ ∂Ωi Û Ư Ä ỊÙĐ Ư Ð Ị Ø × Ø × Ù Đ ĨÙỊ ×ÙƯ ÚĨÐÙĐ Đ Ø Ĩ × ×ÙƯ ĨƯ Ø Ý |Ωi | × Ø Ωi ∂ JV · ek dΩ = ∂ξ k í ỉ ểỉ ệ ệ ỉ ì ì ỉ ì ệ ề ệ é ề é ìá é ¸ × Ị º Ì ∂ JV · ek dΩ = ∂ξ k Ωi Ú Ö ∂ JV · ek dΩ = ∂ξ k Ωi ¸ n ệí ể ểề ỉ ĩ ì á + Ø ÐÝ ØÖ Ø Ωi Ø Ωi |Ωi | J S dΩ + ∂ Si ∂t Ì ∂ JV · ek dΩ = , ∂ξ k × ∂ ∂t |Ωi | ÐÝ × Ú ØĨƯ Ị × ´¿º¿µ ÙỊ Ø Ú ØĨƯ ỊĨƯĐ Ð ØĨ Ø Ĩ ì ẹẹ ề ỉ ề ỉ ì ìíìỉ ẹ ểệ ẹá ểề i ì ệ ểểệ ỉ JVk n · ek dσ(Ω) , ƠĨ ỊØ Ị Ị Ị Ø Ø Ị Ư × ỊĨ Ị Ừ × ×ÙƯ Ø éí é é ệ ề ỉ i é ì ×ĨĨỊ Ị Ø Ị dσ(Ω) × ĨỊ × ĨỊ×ØỨ Ø ĨỊ Ĩ Ị ĨỊ º Ỵ ØĨƯ Ð ÕÙ Ø ĨỊ ắ è ì ì W =V éì ỉ F (W ) = T ỉ ềìểệá ỉ (J V ) + k JT · ek ∂t ∂ξ ÅĨĐ ỊØÙĐ Ý Ù× Ị ÕÙ Ø ĨỊ Ị Ø × Đ Ù ÝỊ Đ × × ×Ù ƠƯĨ ÙƯ Ø Ư×Ø ểẹễểề ềỉ é ề ỉ ì ì ì í ĨĐƠĨỊ ỊØ ĨỊ Ị Ĩ × Ị × Ð Ư × ¸ ĨỊ ∂ ∂t |Ωi | Ị ĨĐ ì ắà ề ệ í ề ì ểề ể ỉ ế ỉ ểề ắà ể ệ ế ỉ ểề = ÕÙ Ø ĨỊ× ×Ù ÝƠ Ư ĨÐ Ø× |Ωi | Û ÕÙ Ø ĨỊ× Ĩ ĨỊØ ỊÙ ØÝ Ơ Ị Ø J V dΩ + Ωi Đ× × Đ Ð Ư ØĨ Ø Ú Ị × ×º Ì ÝƠ Ư ĨÐ = ´¿º µ Ωi ĨÐÐĨÛ ề ì ệ ỉ ỉ ểề é ì ẹ JT · ek dΩ = , ∂ξ k × é ệ ểề ể ệá ì ề ỉệ ÕÙ Ø ĨỊ ØÙƯỊ× ỊØĨ ÕÙ Ø ĨỊ׺ Ø× Ø |Ωi | Ị Ø ƠƠƯĨ V × ĨỊ× ×Ø× ề ỉ ỉểệá ỉ ề ỉ ì ØĨ ×ØĨƯ × Ð Ư ƠƯĨ Ù Ø Ĩ Ë ÕÙ Ø ĨỊ ´¿º µ Ĩ Ø Ú ØĨƯ Ø Ư ×ÙÐØ× Ĩ Ì ÝØ × V Ð × ĨỊ Û ỉ ẽ ỉ ệ ek ìễ ẩấầ ề ỉ ệ ềỉ ặ ì ế éá éé ì Ð ĨƠ Ư ØĨƯ× ƠƠƯĨÜ Đ Ø ĨỊ Ĩ Ø ề ì Vk ề ỉ ì ỉ ệ ểệ Ị × Ð Ư ÕÙ Ø ĨỊ× ĨƯ Ø Ì Ø Ị Ø × × Ð Ư × Đ Ø Ĩ Ø × Ø × × Ú ØĨƯ× ×ĨÙƯ Ø ệẹì ì ẵ ậ ề ỉể ể ỉ ềỉ ểẹễểề ỊØ× ĐƠĨỪ ỊØ × ĨỪ ĨĐ Ị Ø ĨƯ Ị×Ø Ị µº Ì ×Ý×Ø Đ Ù× ek ´Ư ´Ư ×Ơº ĨỊØƯ ệ ì ỉ ểề ẵ ề ỉ ễễệể ểẹẹỉ × × Ú ØĨƯ× k ÁÅ Ø ƯĐ× ƠƠ ƠƯĨ Ư ×Ơ Ø Ư Ị Ø ÙÐØ Ị ĐĨƯ ĨÚ Ö Ø ÙÖ Ø Ø Û ÓÚ Ö ÕÙ Ø ểềì ềỉ ểẹễểề ềỉì ệ ì ệ ỉ ị ỉ ểềạ ềỉ ééí ễ ề ềỉá ỉ ế ỉ ểềì ì Ơ Ị × ĨỊ Ø Ù× Ị Ư Ø ĨỊ Đ Ø Ĩ º Ý Ĩ ỊĨØ ÕÙ Ø ĨỊ ắẵà ìễ ệ é ề ệ ểệ ÚĨ Ø Ø Ù× Ĩ Ø ĨÐÐĨÛ Ị ƠƯĨ Û ÐÐ ÐÐ Ø ỊØ Ư Ø ĨỊ¹ƠƯĨ Ø ĨỊ Đ Ø Ĩ º Ư×Ø Û Ị Ị Ú Ư × × Ị Ø Ωi ÐÐ Ý ei,k = ×Ĩ Ø ỉ ểề ể ỉ ềìá ììẹ ề ỉ Vi,k ỉ ei,k ĨĨƯ kØ × Ø Vi,k Ị Ø ĨỊ Ú Ư Ú ØĨƯ Ị Ø Ư ƠƯ × ỊØ× Ø Ị Ø ×º Ì Ú Ư × Ư Ø Ị Ø ÚĨÐÙĐ J V dΩ = Vi,k ei,k ÐÐ Ú ÐÙ Ĩ (ei,k )k Ư Ì × ƠƯĨ × Ø Ø Ị ÜØ × Ø ĨỊ Û ÙƯ ĨỊØƯ Ú Ư × ÕÙ Ø Ø Ωi V ĨỊ×ØỨ Ø ĨỊ Ĩ 2D º½º Ị Ø Ý Ư 2D ƠĨÐ (x, y) = φ(r, θ) ĨỊ× ĨĨƯ Ư Ø Ị Ø × (r, θ) ××Ĩ Ĩ Ø Ωi ØĨ ÚĨÐÙĐ Ư ĨĨƯ Ú Ị 2D Đ Ø Ĩ Ø ƯĐ Ị ỊØ (er , eθ ) × Ú Ị ××Ĩ Ø Ị Ĩ× Ị ÙƯÚ Ð Ị ĨƯ Ị Ị ØĨ Ø ệ ểểệ ểệệ ìễểề ề ỉ ìá ề ề í ÙƯÚ Ð Ị Ư Ý ´¿º µ (ei,k )k º ễểé ệ ểểệ ễệểễểì ẹễé ỉà ì ệ ỉ ì ỉ ĨỊ Ĩ Ø ×ĨÙƯ Ø ƯĐ׺ ÁỊ Ị Ø ×º ƠĨÐ Ư ĨĨƯ Ị Ø × Ị × Ø ĨỊ ¿ × ÐÐÙ×ØƯ Ø Ị 2D ƠĨÐ Ư ĨĨƯ Ị Ø ×º Ị Ø ÚĨÐÙĐ Đ Ø Ĩ Ị Ø × ỊĨØ (r, θ) ∈ (0, +∞[×[0, 2π) Ý Ư Ð Ø ØĨ Ừ × Ị ĨĨƯ Ị Ø × × ĨÐÐĨÛ׸ × × (ex , ey ) Ĩ r cos θ , r sin θ R2 ¸ Ị Ø Ị Ø ĨÚ Ư ỊØ × × ××Ĩ Ø Û Ø Ø Ý er = Ì Ú ØĨƯ Ị ệ é ề ễễé ỉ ểề ỉể ắ ì Ð ĨỪ ĨỊĨƯĐ Ð × kØ ∂ JT · ek dΩ = , ∂ξ k x = y = Ï Ư ×Ơ Ø ØĨ Ø Ø ÐÐĨÛ× ĨƯ × ƠĨÐ Ư ĨĨƯ Ị Ø × Ị Ä Ø Ù× ĨỊ× (x, y) Ø Û Ø ÐĨỊ ƠƠƯĨÜ Đ Ø ĨỊ × Ø × × Ị Ð Ø Ị Ø è ềỉ ì ẹễé ééá i ei,k Vi,k + ∂t |Ωi | Û J ek dΩ , Ωi × ĨỊ×Ø ỊØ Ị |Ωi | À Ư ¸ |Ωi | ØÓ Ø cos θ sin θ ØƯ Ị× ĨƯĐ Ø ĨỊ , φ −r sin θ r cos θ eθ = × J = r Û Ð Ø ĨỊØƯ Ú Ư Ý er = cos θ sin θ , eθ = r − sin θ cos θ ỊØ × × Û Ø Ư ×Ơ Ø ØĨ ½ Ë ÏĨƯ Ị Û Ø ƠƠƯĨƠƯ Ø Ø ĨÚ Ư ØĨ ĨỊ× eθ ỊØ Ú ØĨƯ ệ ỉ ệ ììể ỉ ề ỉ ềá ểệ ềìỉ Ị ÕÙ ƠƠ Ư Û Ø ỊØ Ĩ V Ú ỉểệ ỉ ì ề S ặ ỉ ỉểệ V ì ì ề ệ ỉ ề ễểé ệ ểểệ ặểá ĨỊ× Ư Ø Ị×ĨƯ T eθ Ð × ØĨ × é ỉểệ rá ỉ ì ỉ ề V = V r er + V θ e˜θ º ĨÛỊ Ø ÜƠƯ ×× ĨỊ× Ĩ Ư ỊØ Ị Ú Ư Ị ĨƠ Ư ØĨƯ׺ Ì Ị Ø × ÛƯ Ø × V = V r er + V θ e˜θ ¸ ∇·V = ỊØ Ú ØĨƯ eθ , e˜θ = r eθ r ∇S = ∂r S er + Ä ỉ ì ệ ỉ ậ ề ỉ ỉểệìá ệ ỉỉ ề ềểỉ ỉ ểềìá ì é ệ ề ỉ ểề ẩấầ ểềỉệ ệ e = è ỉì Ú Ư ∂θ S e˜θ r Ị × Ú Ò Ý 1 ∂r (r V r ) + ∂θ (r V θ ) = ∂r V r + V r + ∂θ V θ r r r ĨĐƠĨ× × T = T r,r er ⊗ er + T r,θ er ⊗ e˜θ + T θ,r e˜θ ⊗ er + T θ,θ e˜θ ⊗ e˜θ Ì Ú Ư Ị Ĩ T × Ú Ị Ý Ø ĨÐÐĨÛ Ị ĨƯĐÙÐ ¸ 1 ∂r (rT · er ) + ∂θ (rT · e˜θ ) r r 1 = ∂r (r T r,r er + r T r,θ e˜θ ) + ∂θ (r T θ,r er + r T θ,θ e˜θ ) r r ∇·T = ặểá é ỉ V = V r er + V θ e˜θ Ú ØĨƯ Û Ø ĐƠĨƯ Ð ÚĨÐÙØ ĨỊ × ∂ ∂(J V ) + k JT · ek ∂t ∂ξ Û Ư T × ƠƠÐÝ Ị ệ Vi,r ỉểệì ề ỉ íá = 0, ỉ ềìểệ ỉ ễệể ệ éểễ ề ỉ ễệ ểì ì ỉ ểềá ểề Vi, ∂Vi,r ei,r + ei,θ + ∂t ∂t |Ωi | Û ĨÚ ƯỊ Ị Vi,θ Ư ÐÐ Ωi ¸ Ú Ư Ú ÐÙ × Ĩ ei,r = Vr |Ωi | ề V ểééể ề ì ẹ JT · ek dΩ = , ∂ξ k Ư ×Ơ Ø Ú ÐÝ Ò Ø rer dΩ , Ωi Ωi ỉì ỉ ei, = |i | éé i re˜θ dΩ Ωi Û ´ º µ Ð ei,r ề ei, ệ ệ ậ ẩấầ ặ ẵ Ë B C A D θB A ểệ ì ẹễé ỉíá ỉ ỉ ỉ ỉ ÐÐ Ú ØĨƯ× ei,r Ωi Ị Ị ei,θ Ø Ị×ĨƯ T éể é ị ề ì ììẹ í ỉ ĩễệ ×× ½ ÐÐ Ị ƠĨÐ Ư ĨĨƯ ỉể ìíẹẹ ỉệ ì ẹ ềỉì ễệể Ù Ø Ị Ø ×º T r,θ = T θ,r º Ï [rD , rA ] × [θA , θB ] ì éìể ểì ệ ỉ ềìểệ ẵà è ề ỉ Ð Đ × ×Ĩ Ú Ư × (e˜θ − e˜θB ) , θB − θA A (er − erA ) , = θB − θA B ei,r = ei,θ Û Ö er A = er D = cos θA sin θA , e˜θA = e˜θD = − sin θA cos θA , er B = er C = cos θB sin θB , e˜θB = e˜θC = − sin θB cos θB Ị Ị ÐÐݸ ĨƯ ỊÝ × Ð Ư ÙỊ Ø ĨỊ f = f (r, θ)¸ Û Ù× Ø ĨÐÐĨÛ Ị ƠƠƯĨÜ Đ Ø ĨỊ× fˆ|rD ≈ f (rD , θ) , fˆ|rA ≈ f (rA , θ) , ∀ θ ∈ [θA , θB ] , fˆ|θA ≈ f (r, θA ) , fˆ|θB ≈ f (r, θB ) , ∀ r ∈ [rD , rA ] Ì Ị ÕÙ Ø ĨỊ ´ º ểẹ ìá rD T|r, (eA eB ) + rA Tˆ|r,θ − rD Tˆ|r,r |Ωi | (∂t Vi,r ei,r + ∂t Vi,θ ei,θ ) + rA Tˆ|r,r r r r r D A D A er B − er A + (rD − rA ) Tˆ|r,θ erB + Tˆ|θ,θ eθB − Tˆ|r,θ erA − Tˆ|θ,θ eθ A = θ θ θ θ B B A A ẵ ẳ ậ ỉ ì ềỉ ệ ×Ø Ị ØĨ ÜƠ Ị ÕÙ Ø ĨỊ ´ º ểề ỉ ễ ẩấầ ặ ậ ei,r ệ ể ểệỉ ể ểề é ỉểệì ei, ề Û Ý Ð × θB − θA sin(θB − θA ) (rA − rD ) (Tˆ|r,θ − Tˆ|r,θ ) θB θA − cos(θB − θA ) Tˆ|θ,θ + Tˆ|θ,θ θB θA = 0, − (θB − θA ) (rA − rD ) )+ − rD Tˆ|r,r |Ωi | ∂t Vi,r + (θB − θA ) (rA T|r,r r r D A ề ẵẳà B θA sin(θB − θA ) )+ − rD Tˆ|r,θ |Ωi | ∂t Vi,θ + (θB − θA ) (rA Tˆ|r,θ (rA − rD ) (Tˆ|θ,θ − Tˆ|θ,θ ) rD rA θB θA − cos(θB − θA ) Tˆ|r,θ + Tˆ|r,θ θ θA = + (θB − θA ) (rA − rD ) B Ý ƠƯĨ Ø ểềì ế ỉ ểềì ẵẳàạ ẵẵà ề ểềì ệ × Ư ×ÙÐØ× Ĩ ỊØ Ư Ø ĨỊ ĨÚ Ư i ểééể ei, ể è ì ểễ Ư Ø ĨỊ × Ư ƯƯ ØĨ × ỊØ Ư ỉ ểềạễệể ỉ ểề ễệể ệ ỉ ì ểề Ị ỊØ ỊØ ØĨ ĨĐƠ Ư Ư Ø ĨỊ ƠƯĨ ệ ế ỉ ểềì ẵẳàạ ẵẵà ỉ ễễé ỉể è ễệể ỉ ệ ìéỉ ể Ø Ø ĨỊ Ĩ ´ º µ ĨỊØĨ ØƯ er Ø ĨỊ Ð eθ Ị Ð ƠƠƯĨ ¸ Ø ´ ẵẵà ểềỉể ỉ ì ễệể ei,r ỉ ểềạ ì ỉểá ∂t (r Vr ) + ∂r (r T r,r ) + T r, = T , , ẵắà ∂t (r Vθ ) + ∂r (r T r,θ ) + T , = T r, ẵà ề ế ỉ ểềì ẵắàạ ẵà ệ ỉ ệ ể ỉểệì ểềì er ề ệ ặểá ềỉ ỉ ĨƯ eθ Ị Ð Ư Ø Ị Ư Ị Ð Û Ø ỊĨ ÐĨỊ Ư ĨỊ× ƯÚ Ø Ú ÕÙ ỉ ểề ệ ìễ ỉ ỉể Ĩ ƠĨÐ Ư ĨĨƯ θº Ì × Ị × ÐĨ×Ø ÙƯ Ị × Ĩ Ị Ø Ý ĨÛỊ Ư Ø ƠƯĨ ×ĨÙƯ Ø Ị × Ø ƯĐ× Ĩ × ỊĨØ ễễ ẵắàạ ẵà í D B A ) + (rA − rD ) (Tˆ|θ,θ − rD Tˆ|r,θ |Ωi | ∂t Vi,θ + (θB − θA ) (rA Tˆ|r,θ − Tˆ|θ,θ )=− r r θ θ D A ÈƯĨƠĨ× Ø ĨỊ ½º Ì ÕÙ Ø ĨỊ ÛƯ ØØ Ị Ị ế ỉ ểề ẵẳà ỉ ềỉ 2D ỉ ệẹìá ỉ ì ệ ì ệỉ ì ểềì ệ Ø Ú ØĨ Ú Ư Ị ĨĨƯ Ø ĨỊ× Ĩ ề ỉ ì ệ é A ểẹễ ệ ìểề Ĩ Ì Ị Ø ×º ) + (rA − rD ) (Tˆ|r,θ − rD Tˆ|r,r |Ωi | ∂t Vi,r + (θB − θA ) (rA Tˆ|r,r − Tˆ|r,θ )= r r θ θ Ì ×ĨÙƯ Ø ĨỊ ĨƠ Ư Ø ểề ệ ỉ ểềạễệể ễểé ệ ểểệ B ẵ àá ỉ ểề ễệể ề ỉ ì ệ ề ẵẵà ỉ ệ ề ễệể ế é ềỉ Ò T θ,θ (r, θ) dr dθ = (θB − θA ) (rA − rD ) 1− Ø ĨỊ¹ ỊØ Ø T r,θ (r, θ) dr dθ Ò Ø ệ ỉ ểề ểễ ệ ỉ ểề ìểệ ẵ ẵ i ẵ ì ìẹẹ ệ ị ểềéí ỉ ệẹì ệ ểééể ề ễễé ì ệ ỉ ị ệ ìéỉ ỉể ỉểệ ì é ểééểì Tˆ|θ,θ + Tˆ|θ,θ θ θ B A Ωi + A T θ,θ (r, θ) dr dθ , Ωi θB − θA sin(θB − θA ) − cos(θB − θA ) (rA − rD ) (Tˆ|r,θ − Tˆ|r,θ ), B A ẵ T r, (r, θ) dr dθ = (θB − θA ) (rA − rD ) Tˆ|r,θ θB Ωi − ÅĨƯ ĨÚ Ư¸ Ø × × Ư Ø × Ø ĨỊ 1− × ĨỊ× ×Ø ÒØ + Tˆ|r,θ θA θB − θA sin(θB − θA ) − cos(θB − θA ) ÓØ ÓÒ r Ò θº (rA − rD ) (Tˆ|θ,θ − Tˆ|θ,θ ) θ θ B A Ë ỈĨØ Ø ỉ ỉ ì ểìạé ì ệ ỉ ỉ ệẹ è ỉ ĨÙƠÐ × Ø Ú Ư× ĨỊ Ĩ ÜƠƯ ×× ểề ể ỉ ểẹễểề ềỉì ể ỉ ìểệ ẩấầ ặ ẵ ẵ ậ ỉ ệẹ ề ìễé ỉ ềỉể × Ú × ĨÙ× Ø ƯĐ × Ị Û ØĨ Ø Ø Ị×ĨƯ ỊØ Ư ×Ø Ĩ ĨÙƯ ´ ØƯ Ø ểề é ỉ ệẹ ềểé ặểỉ ìễ ề ÐÐÝ Ø ÌĨĨÐ× ĨƯ ƠƯ Ø Ð ĐƠÐ Đ ỊØ ỉ ểề ắ ề ỉ ì ì ỉ ểề ÙÐÐ ĐĨ Ø Ư ØĨ Ð ×Ý×Ø Đ ĨĐƠĨ× Ĩ Ø Ư ØĨĨÐ× Ø ĨỊØ ỊÙ ØÝ Ø Ư Ị ĐƠĨỪ ỊØ ĐĨĐ ỊØÙĐ ĨƯ ƠƯ Ø Ð ĐƠÐ Đ ỊØ Ø ĨỊ Ĩ Ơ Ừ ĨƯ Ĩ À Ư ¸ n × Ø Đ Ø Ĩ × Ì V 2D ềì ỉí ễ ệ ề ỉ ẹ ììá ìíìỉ ẹ ẵ ệ ề ỉì ểềỉ ệễ ệỉ Ị ĨĐƠ Ư ÐÐ× Ĩ Ø Đ × Ù× Ị Ừ × Ị ĨĨƯ Ị Ø × ×Ý×Ø Đº ÁỊ ỉ ỉể ì ìá ééì ệ ểểệ ệ ềỉ ƯĨĐ ĨỊ Ø ỊÙĐ Đ × ∆θ ×Ø Ơ× 2π = N º θ Ư Ĩ Ư Ư Ù× ÁỊ Ị Ø Ωi Ư Ị Ý × Đ Ø Ĩ ƠĨÐ Ư ĨĨƯ Ú Ị Ư × Đ ỊĨ Ị Ø × ×Ý×Ø Đ ØĨ Nr = Û ∆r Ị ∆θ ĨƯ Ð ÐÐ× ỊĨØ ÚĨÐÙĐ 2D Ð Ø Ĩ× × ỊĨ Ừ × Ý Ø ÙỊ Ø Ø ềìểệ ỉ ề ề ệ ề ệ ị ẹỉ Ø ĨƯ Ị ØĨ Ư Ð Ø Ư Ð× Û é ì ỉể ểềìỉệ ỉ ỉ ể ắ ì ệ ểỉ Ị Ø Ø Ý Ø Ừ × Ị Ú Ư× ĨỊ Ĩ Ư ×ÙÐØ× Ĩ Ø Ú ÐÙ ÙƯÚ Ị Ý ĨỊ × Ị ÙØ Û ×ƠÐ Ý ØÛĨ ×Ù ÙỊ ĨƯĐ Đ × A, B, C, Ư Đ × ¸ Nθ = º Ð ĨỊ × × ƠĨÐ Ư Đ × ỊĨÛ Ø Ý Ø× ĨÙƯ ỊĨ ĨØ Ị Ì ĐƠ Ư Þ ĐÙØ ƠĨÐ Ư Ø Ø Ø Ị × Ĩ Đ × Ð Ð 2D × ị ề ị ẹỉ ệ ỉ ểềá ểề ì é × ×º Ĩ Ư Ị D ×Ĩ Đ × × ề ééì ệ ểềì ẵá ỉ ẹ ệ ề ệ ×ÙƯ Ĩ Ø × Ý¸ × Ư Ù× ØĨ ĨỊ×ØỨ Ø ÐÐ Ωi Ị ∆θ ×Đ ÐÐ º º ∆θ → Ị r+ Ị ∆r Ừ × |Ωi |x,y = ặểá ỉ ề ìỉ ế ề éíá ìể ỉ ẹễé ẹ ềỉ ỉ ểềá ề ỉ ì éể Ð Þ ỊĨØ |Ωi |r,θ = Á Ø I Ư ề ỉ ì ỉ ắ éé ề ề ỉ ì éể ỉí ẵ ểểệ ệ ì Ø ƠĨÐ Ư ĨĨƯ Ø ÕÙ Ø ĨỊ× ∂t n + ∇ (nV ) = , ∂t (nV ) + ∇ (nV ⊗ V + nI) = Û Ø Tº r+ ∆r ∆θ Ị ĨĨƯ ∆r ẵ ề ỉ ìá ỉ ẹ ìệ Ĩ Ø Ư ∆r sin ∆θ ÕÙ Ø ĨỊ ẵ àá ểề ể ỉ ì éé éé ẵ ỉì |i |r, |i |x,y , Û Ư Đ × Ĩ Ú ĨÙ× Ø ƠƠƯĨÜ Đ Ø ÐÝ Õ٠к Ø Ø Ø ĨƯ Ð ệ N ẹ ì ì ể ỉ ề ề Ừ × Ị Ị 2D ƠĨÐ Ư ĨĨƯ Ị Ø ì ìíìỉ ẹì ẵ ắ ậ ặ ĩỉá ì Đ× ØĨ Ư ỊØ Ư ×Ø Ø Ĩ× Ị Ú ÐÙ Ø Ị ĨƯƯ ×ƠĨỊ Ị Ø ỊØ ØĨ ÙƯÚ ẩấầ ặ ậ ệ é ể ềểệẹ é ØĨƯ× × × × ĨÛỊ Ị ÙƯ ÐĨỊ × Ĩ Đ × ¿º Ì Ị × ØĨ Ø Ị Ø × Ĩ Ø ỊĨ ÐÐ׺ Ì Ú Ư Ị ØƯ Ý ĨỊ Ø ĨƯ и n dl = , Û Ù n dl = d AB Û Ò ÑÑ Ø ÐÝ Ð ÙÐ Ø Ý n dl , AB ỊĨÛỊ Ị ĨỊÐÝ Ø ĨĨƯ × A Bº Ị A n n B ¿ Ï Ư ỊĨÛ ĨỊ ƯỊ ÙƯÚ Ð Ị Ø Ư ĨĨƯ Ð׺ Ì ĨĨƯ ĨÐÐĨÛ Ị ề ỉ ì ể ééì ã ẽệ ỉ ỉ ề ỉ ì ề ắ ỉ ì i ểề ij Ø • ĨĐỚØ Ø ∂Ωij ÈƯĨ Ø Ø Ư Ø ij ểì ề ềẹ ệ é ã ì ể ỉ ÙÜ Φij Û Ø ÐÐ× Ị Ø ƯĨĐ Ø Ư ×ÙÐØ× Ĩ Ø ÙÜ Ú Ị ĨÙƯ Ð ĨƯ Ø Đ Ø Ð ÕÙ ỊØ Ø ƯÝ Ωi Ωj Ð Û Ø Ị ÙÜ × ĨƯ ÝƠ Ư ĨÐ ỊÙĐ Ư Ð ÙÜ ƠƯĨ ÐÐĨÛ× Ù× ØĨ ĨỊ×ØỨ Ø ÕÙ Ø ĨỊ× ÛƯ ØØ Ị Ị ỊÙĐ Ư Ð ÙÜ Ị Ị Ư Ð ÙƯÚ Ð Ị Ωi Ị ÐÐ× Ωi ÐÐ Ωi Ωj ØĨ Ø Ị ĨƯ Ị ØĨ Ø Ωj ¸ ´nij ÐÐ Ωj ¸ τij ĨỪ Ĩ ĨỊ Ð Ị × Ø × × ĨÙØÛ Ư (nij , τij ) ƠĨ ỊØ Ị Ị ÙỊ Ø Ú ØĨƯ ĨỪ Ĩ ĨỊ Ð ØĨ Ï (ei,r , ei,θ ) × Ø nij µº Ø ×Ø Ø × Ωi Ị Ị Ωj Ωj Û Ø Ư ×Ơ Ø ØĨ Ø ệí ij ệ ìễ ỉ éíá ểệ ề ì Ø Ĩ× ÐÐ Ωj º ỊØ Ư ÐÐ ĨÙỊ ÐÐ× Ú Ư ØÙƯỊ ỊĨÛ ØĨ ỊÙĐ Ư Ð Ø ×Ø× ề ỉ ỉ í ì ề ĩ á ℄ ĨỊØĨ Ø Ĩ × ×Ø Ơ Ωi ØĨ Ø ÙÜ × Φi Ị Φj Φj = (Φij · ej,r ) ej,r + (Φij · ej,θ ) ej,θ , Ö Ư ÙỊ Ø Ú ØĨƯ Φi = (Φij · ei,r ) ei,r + (Φij · ei,θ ) ei,θ , Û ề ệ é ệ ểềìéỉ á ểệ ĐĨƯ Ωj ỊĨƯĐ Ð ØĨ Ø Ị ĨỊ×ØỨ Ø ĨỊ Ĩ ỊÙĐ Ư Ð ××ÙĐ ƠĨ×× Ị Ú ØĨƯ ỊØ Ư éé ỉ ặểệẹ éì ỉểệ 2D ì ì Ị Ø ƠĨÐ Ư ĨĨƯ ÐÐ Ωi ¸ (ej,r , ej,θ ) Ị Ø × Ị ĨƯ Ư ØĨ Ú Ð Ø ĨÙƯ Ĩ Ø ƠƠƯĨ º ØĨ Ë ÁÅ ẩấầ ặ ẵ ậ ỉ ểề ế ỉ ĨỊ Ø ×Ø º¿º Ì Ư×Ø Ø ×Ø ĨỊ ƯỊ× ểềìỉ ềỉ ị ẹỉ ì é ệ ỉ ểề ÕÙ Ø ĨỊ Û Ø Ð Ú ÐĨ Øݸ ∂t n + ∇ (nV ) = , Û Ị ƠĨÐ Ư ĨĨƯ Ị Ø × Ø × Ø ĨƯи ∂t rn + ∂r (rnVr ) + ∂θ (nVθ ) = Ï ĨỊ× Ư Ø ĨÐÐĨÛ Ị ∀(r, θ) ∈ Ω • ĨƯ Ø • ĨƯ Ø Ú Û Ư n0 Ị V0 V0 = 0.5º ĨƯ Ø ÁỊ Ø ÜƠ Ø ÐÐ ĨÙỊ º Ì Ư × ĨỊ×Ø ỊØ׺ ƯÝ ĨỊ × × ¸ Û Ð ÓÒ n(r, θ) = n0 , Vr (r, θ) = Ị× ØÝ ÐĨ ØÝ Ư Ị Ø Ĩ Ø ỉ ểềì V (r, ) = V0 ¸ n0 = Ị Ị ĨƯ ĨÙƯ Ø ×ظ × Ø ỊÙÐÐ ĨØ × × × Ị Ø Ư ÒØ ÙØ Ø ÙÜ × Ø Á Ùܺ Ò × Đ Ð Ư Ư ×ÙÐØ× Û Ø ƯƯĨƯ Ị Ư Ø ĨỊ× ´ Ừ × ĨƯ × Đ Ư Ĩ Û Ị Ị ƠĨÐ Ư Đ Ø Ĩ × Ø ẹ ề ễì éểề ặểỉ ỉ ề ỉ ỉ Ø Ừ × ×ĨÐÙØ ĨỊ× ĨƯ × Ð Ư Ư Ị Đ × º ƠƯ × ƯÚ × ÕÙ Ø ểềá ểềéí ỉ ì ẹ é ệ ệ ìéỉì ìểỉ ƯĐ Ð ÙÐ Ư ×Ý×Ø Đ º º Ì ĨÐÐĨÛ Ị Ø ×Ø× ĨỊ ƯỊ Ø × ĨỊ× ÕÙ Ị ¸ ÅĨƯ × Û ÐÐ ƠƯ × Ðݸ Û × ỉ ệ ìểỉ ệ ệẹ é ìá ỉ ềỉ ệ ×Ø ÙÐ Ư ×Ý×Ø Đº À Ư ¸ Û ĨĐỚØ Ø ĨỊ Ĩ Ø Ị Ø ĨÐÐĨÛ Ị ĨỊ× ÙÜ × × Ư × Ð Ư Ị Ú ØĨƯ Ð ÕÙ Ø ĨỊ׺ Ư Ịغ Đ Ị× ĨỊÐ ×× ×Ý×Ø Đ Û Ư Ø Ø ĐƠ Ư ØÙƯ × ×ÙƠƠĨ× ểềìỉ ềỉá t n + (nV ) = , ∂t (nV ) + ∇ (nV ⊗ V ) + ∇n = Ï Ï Ø Ù× Ø ẵ è ệ ỉ ì ìíìỉ ẹ ểệ ỉể ỉ ìỉ ì ì è ì ểề ểề ỉ ểềìỉ ềỉ ềì ỉí ề ỉ é ểề ã ĨƯ Ø • ĨƯ Ø Ú n0 Ị V0 ĨƯ ỉ ệ ì ặểỉ ểề ệ ì ể ỉ ìỉá Û Ị Ø Ư× ĨỊ×Ø ỊØ Ị× ØÝ ØÛĨ Đ ỉ ể ì ểề ề ề ị ẹỉ é ÐĨ Øݺ ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×ĨÐÙØ ĨỊº Ú ÐĨ ØÝ Ø ĨỊ× Ị Ø × Ø ×Ø Ư ĨỊ×Ø ềỉ ềì ỉí ề ề ị ẹỉ n(r, ) = n0 , ∀ (r, θ) ∈ Ω¸ ÐĨ ØÝ Vr (r, θ) = Ò Vθ (r, θ) = V0 ¸ ∀ (r, θ) ∈ Ω¸ Ư ĨỊ×Ø ỊØ׸ ØÝƠ ÐÐÝ n0 = Ị V0 = 0.5 ĨƯ ĨÙƯ ƯÝ ĨỊ Ø ĨỊ× Ð Ú ÐĨ ØÝ Ị× ØÝ Ø ĨỊ× Û Ư ƠƯ × ỊØ Ø Ư Ø ệìỉ ểề ề ểẹễ ệ ắẳà ệ ệỉ ì Ð Ú ÐĨ ØÝ ÙÐ Ư ×Ý×Ø Đ Ị ƠĨÐ ệ ểểệ ẹễểì ề ễễ ề ỉ ìá Ị Ø ×غ ×Ð ƠƠ ƯÝ Û ÐÐ׺ ƠĨÐ Ư Ư ×ÙÐØ׺ Ư× Ị Ĩ Ø Ị ĨĐ × ƯĨĐ Ø ×ĨÙƯ Ø ƯĐº ÁỊ ∂t n + ∂r (rnVr ) + ∂θ (nVθ ) = , ∂t rVr + ∂r (r(nVr2 + n)) + ∂θ nVr Vθ = nVθ2 + n , ∂t rVθ + ∂r r(nVθ Vr ) + ∂θ (nVθ2 + n) = −nVr V ểềì ệỉ ìểỉ ệẹ é ắẵà ẵ ậ ệỉ ì ề ệ ìéỉì ểệ ềì ØÝ ÁÅ t = 0.83, 1.69 Ø ÈÊÇ ĨỊ Ø ề ỉ é ểề ỉ ểềìá ỉ ì ểề ậ ệìỉ é ề ì ểề ẽ ỉ ặ ễểé ệ Ư ×ÙÐØ× ĨƯ Ị× ØÝ Ø t = 0.82, 1.65 ĨỊ Ð Ị º ÕÙ Ø ĨỊ Ĩ Ø ×Ý×Ø ẹ ắẵà ểẹ ìá t rVr = nV2 × ĨỊ× ÕÙ Ị ¸ Ï ỊĨØ Ị Ø Ø Ị Ø Ø ỊØƯ Ơ Ø Ð ĨƯ Ị Û ƠƯĨ Ð Ĩ Ø ƠƯ × ỊØ × Đ Ð ệ ệ ìéỉìá ỉ ì ắ ễễ ềẹ ệ é ệ ìéỉì ệì ề ỉ ẹ Ø Ị× ØÝ × Ĩ Ø Ị ÙÐØ ØĨ ĨĐƠ Ư Ị Ư Ø Ĩ× Ð Ú ÐĨ ØÝ × ệ ặ ệỉ ỉ ỉể é ììá Ị Ø ƠƠƯĨ × Ị × Ị º Ừ × Ĩ Ư Ị Ị Ð Ú ÐĨ ØÝ Ø ƠƠ Ư× ƠĨÐ Ư Đ Ø Ĩ × ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×ĨÐÙØ ĨỊº Ư × Ĩ Ø ×Ø Ì Đ Ĩ Ø × Ð ×Ø Ø ×Ø × ØĨ ĨĐƠ Ư ÜƠÐ ØÐÝ Ø ƠĨÐ Ư Ị ×ĨÐÙØ ĨỊº ÌĨ Ø Ĩ Ơ Ý× Ð ƠƯĨ Ð Đ× Ị Û ìỉ ỉ ểề ệí ìểéỉ ểềá ệìỉá ìễễểì ¸ Vr = Ò ∂θ = Ø Ừ × Ị Đ Ø Ĩ × Û Ø ×Ø ỉ ểề ệí ậ ẽ ỉ ỉ ì ììẹễỉ ểềìá ìíìỉ ẹ ắẵà ẩấầ ặ ẵ ậ ểẹ ׸ Ï Ú ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×ĨÐÙØ ÓÒ ∂t n = , ∂t rVr + r∂r n = nVθ2 , ∂t Vθ = ỉ éể ỉí ề ỉ ắắà ềì ỉí × Ø × Ý¸ r∂r n = nVθ2 ĨƯ ĩ ẹễé ểểì ỉ éể ỉí ì ắà ểềìỉ ềỉá V = , ỉ ế ỉ ểề ắàá ể ỉ ề ỉ ểééể ề ềì ỉí ễệể é n(r) = n(1)r ĨƯ Ø ĨÙỊ ƯÝ ĨỊ ĨÙØ ÙÜ ĨĐỚØ Ø ĨỊ× Û ƯĨĐ Ø ĨĨ× Ị× ØÝ Ị Ị ÙÜ Ø Ị Ú ÐĨ ØÝ Ị ÐÝØ ƠƯĨ Р׺ ệ ì ểì é ỉ éíá ề ÐÙ n(1) = Ư Ị Ị Ư θ¸ Ø ề ẹ ỉ ể ì ệ ìễ ỉ ỉ Ú Ị ƠĨÐ Ư Đ Ø Ĩ Û Ị Nθ Ị Ø Ư Ø Ú × × Ø Đ × × ×Đ Ðи Ø Û Ư × ỊĨØ ×ĨÐÙØ ĨỊ ÐĨ× Ừ × Ư Ịغ Ừ × Nθ = ¸ ×Đ ÐÐ × ĨĐƠÐ Ø ÐÝ × × ¸ ỉỉ ệ ỉ ệỉ ì ỉ ìỉ Ø ĨỊ ƯÝ ĨỊ ×ĨÐÙØ ĨỊ Ø Ị × Ĩ× ề ặểỉ ề ỉể ỉ ềì ỉí ễệể é ì ĨƯ ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ ×ĨÐÙØ ĨỊ ƠĨÐ Ư Ị ẹ ỉ ể ì ểềì ế ề ề ễểé Ư Đ Ø Ĩ × Ị× ØÝ ƠƯĨ Ð × ểệ ìỉ ỉ ểề ệíá ễểé ệ ệỉ ì ề Ị ×ĨÐÙØ ĨỊ׺ Ị ĨỊ º Error 1.2 polar cartesien Error 0.8 0.6 0.4 0.2 0 100 200 ÈĨÐ Ư 300 Ị 400 500 Nbtheta Ừ × 600 Ị 700 L2 − 800 ƯƯĨƯ× 900 1000 Ị× Øݺ Ị× ØÝ ƠƯĨ Ð × ĨƯ ƠĨÐ Ư ×ĨÐÙØ ĨỊ× Ị Ø ×Ø Ø ĨỊ ƯÝ Ị × × N r = 10, 20, 50 Û Ø Nθ = 4º ½ Ë ÙƯ Ø ƯƯĨƯ ĨƯ Ø ×ÙƠ Ư ĨƯ ỉí ể ỉ ễểé ệ ì N é ììá ểệ ìẹ éé ệỉ ì ặ ệỉ ề Đ Ø Ĩ × Ø Ị L − Ø L2 − × ĨÛ× Ø ƯƯĨƯ × Ø Đ × Û ỉể ì ẹ ì ễ ễ ệá ề ề ×Ø Ø Ị Ø ÐƯ Ừ × Ý ỊĨØ ÕÙ é ềỉá ì ểẹ ỉệíá ễệ ì éí ề × ĨỊ ƯĐ Ø ĨÙỪ ĨĐ Ị Ị ØĨ ƠƠÐÝ Ø Ị Đ Ø Ĩ × Ị ƠƠƯĨ 2D × ƠĨÐ Ư ĨĨƯ Ú ỊØ ØĨ Ù× ØÙƯ ÙÐ Ị ề ì ắ ẵẳ ễểé ệ ề ệệểệì ệ ẹ ề ỉ ệệểệ ệỉ ì ề ẹ ỉ ể ìá ề ìẹ éé ỉ ểềá ề N ềểỉ Ị Ø ĨĐ × Ð Ư Ø Ơ Ị × ĨỊÐÝ ĨỊ Ø ĨỊ ƯĐ× ƠĨÐ Ư Đ Ø ể ỉ ểì ề ỉ N ỉ Ư Ø Nr ´ × Ù× ƠĨÐ Ư º Ị ểì ềá ểề éì ểề ề ệ é ệ é Ị ƠƠÐ ØĨ Ư Ư ĨĨƯ Ị Ø × ĨƯ Ð ×Ø ƠƯĨ Ð Đ× ĨĐ Ị ĨĐƠ Ư ×ĨỊ Û Ø Ị Ø ÚĨÐÙĐ ÝƠ Ư ĨÐ ĨỊ× ƯÚ Ø ĨỊ Ð Û× ƯĨĐ Ị Ù Ừ × ÝỊ Đ × Ị ØĨ Ị ĨĨƯ Ú Đ Ị Ø × ×Ý×Ø Đ ƠƠƯĨ º ÜØ Ị Ị ĨÙƯ ƠƠƯĨ Đ × ØĨ Ơ Ý× Ð ƠƯĨ Ð Đ× Ĩ ỉể ỉểệể é ì ểề ề ỉể ểẹ ỉệíá ẹ ề ỉể ềìỉệ ỉệ ìá ểệ ềìỉ ề ềìỉ ẹ × Ð Ø ×¸ × ƠÐ ×Đ × × ĐÙÐ ỉ ểềì ấ ẵ ậ ễệ ểì ễ ệỉá ì ỉ ì ểé ề ỉ ì ĨÙƯ ÛĨƯ × Û ÐÐ ĨỊ× ×Ø Ị Ĩ Ø Ị Û Ø Ị ĨỊ º Ị Ø Ị ƠĨÐ Ư Đ Ø Ĩ º ÁỊ ÚĨÐÙĐ º Ì ÁỈ ềì ỉí ểẹễỉ ể ệ ỉ ề ỉ ẩấầ ệ ề ì ệá ậ ểé íá ẽ ẹẹ ỉỉá é é ề ểểệ ề ỉ ì ĨƯ ỊĨỊÐ Ị Ư × ĐÙÐ Ø ĨỊ× Ĩ ØĨ ẹ ỉệ é ề ẩ íì ì ắá ắ ẵ ẹ ỉìá é ì ẹé ỉ ểềì Ĩ ØĨ Đ ØÙƯ ÙÐ Ị Ị ÕÙ × ÐÐĨĨỊ ề ểểệ ề ỉ ìá ẩ íì é ấ ì ẳ ẳ ẵ éé ệ ấ ệ ééá ể é ì ỉ ểề ặẹ ệ ế ì é ì ểẹễệ ìì é ìá ậ ệ ì ề ễễé ỉ ẹ ỉ ìá ỉ ệạ ẻ éé ệìá ẩ ệ ìá ặểệỉ ạểéé ề ẹìỉ ệ ẹ ắẳẳẵà ẩ ể éể ậ ẩể ỉá ẩệ ề ễé ì ể ề ØĨ Ý ƯĨ ÝỊ Đ × Ï Ø ƠƠÐ Ø ĨỊ× ØĨ Ä ĨƯ ØĨƯÝ Ị ×ØƯĨƠ Ý× Ð ÈÐ ×Р׸ Đ Ư ÍỊ Ú Ư× ØÝ ÈƯ ×׸ ẹ ệ ắẳẳ ể é ì ẩạ ấ ệỉá ặẹ ệ é ễễệểĩ ẹ ỉ ĨỊ Ĩ ÀÝƠ Ư ĨÐ ËÝ×Ø Đ Ĩ ĨỊ× ƯÚ ỉ ểề ìá ễễé ỉ ẹ ỉ ì ậ ề ìá ẵẵ ậễệ ề ệá ặ ểệ ẵ ấ ị éỉ ề ììá ẩé ìẹ ểề ề ẹ ềỉá ể ệ ễ é ỉ ểềì ặ ề ểé ặ ểệ ắẳẳà ẩ éểì íá ểễ íì é é íề ẹ ìá 2nd ỉ ểềá ậễệ ề ệá ặ ểệ ẵ ểẹỉì èể ẹ ễé ìẹ ểẹễé ĩ ễ íì é ìíìỉ ẹá ềìỉ ỉỉ ể ẩ íì ì ẩ é ì ề ệ ìỉểé ẵ èểệểá ấ ẹ ềề ậểé ệì ề ặẹ Ư Ð Å Ø Ĩ × Ị ÐÙ ÝỊ Р׸ ÈƯ Ø Ð ÁỊØƯĨ Ù Ø ĨỊ¸ 3rd Ø ĨỊ¸ ậễệ ề ệá é ệ ắẳẳ ẽ ××ĨỊ¸ ÌĨ Р׸ Ø Ư Ø ĨỊ¸ ÁỊØ ƯỊ Ø ĨỊ Ð Ë Ư × Ĩ ÅĨỊĨ Ư Ơ ì ểề ẩ íì ìá ẵẵ ầĩ ểệ ậ ề ì ẩ é ỉ ểềìá ầĩ ểệ ắẳẳ Ĩ ÈÐ ×Đ ... Ωi × ĨỊ×Ø ỊØ Ị |Ωi | À Ư ¸ |Ωi | ØĨ Ø cos θ sin θ ØƯ Ị× ĨƯĐ Ø ĨỊ , φ −r sin θ r cos θ eθ = × J = r Û Ð Ø ĨỊØƯ Ú Ö Ý er = cos θ sin θ , eθ = r − sin θ cos θ ÒØ × × Û Ø Ư ×Ơ Ø ØĨ ½ Ë ÏĨƯ Ị Û... , = θB − θA B ei,r = ei,θ Û Ö er A = er D = cos θA sin θA , e˜θA = e˜θD = − sin θA cos θA , er B = er C = cos θB sin θB , e˜θB = e˜θC = − sin θB cos θB ề ề ééíá ểệ ềí ì é ệ ề ỉ ểề f = f (r,... sin(θB − θA ) (rA − rD ) (Tˆ|r,θ − Tˆ|r,θ ) θB θA − cos(θB − θA ) Tˆ|θ,θ + Tˆ|θ,θ θB θA = 0, − (θB − θA ) (rA − rD ) )+ − rD Tˆ|r,r |Ωi | ∂t Vi,r + (θB − θA ) (rA Tˆ|r,r r r D A ề ẵẳà B A sin(B