cac phuong phap tinh truyen nhiet 2498

Đại học Đà Nẵng Trờng Đại học bách khoa Khoa công nghệ nhiệt điện lạnh PGS, TS Nguyễn Bốn Các phơng pháp tính truyền nhiệt - Đà Nẵng - 2001 - Chơng 1: Mô hình toán dẫn nhiệt 1.1 Định luật Fourier 1.1.1 Thiết lập Tính nhiệt lợng Q dẫn qua mặt dS cách lớp phân tử khí có nhiệt độ T1 > T2 đoạn quÃng đờng tự trung bình * Vì T1 T2 sai khác bé, nên coi mật độ phân tử no vận tốc trung bình r phân tử hai lớp nh Do ®ã, thêi gian dτ, sè ph©n tư ë T1 vµ T2 qua dS lµ nh− nhau, b»ng: d2 n = z T1 λ x O H1 §Ĩ chøng minh định luật Fourier * Lợng động qua dS từ T1 vµ T2 lµ: i no ω dS dτ kT1 d2E2 = E d2n = i no ω dS dτ kT2 Trõ hai phơng trình cho nhau, ta đợc: 2Q = ( E - E 2)d2n = ⎛ dT ⎞ ⎟ ⎝ dx ⎠ V× T1 - T2 = - ⎜ δ2Q = Do ik no ω dSdτ (T1 - T2) 2 λ nªn i dT no k ϖ λ dS dτ dx iR i i µ R 1 no k = no = (no ) ( ) = co nên 2à 6 N N 3 T2 y no ω dS dτ d2E1 = E d2n = λ δ2Q = - ( ρco ω λ ) dT dT dS dτ = - λ dS dτ dx dx δ2Q ⎛ ∂T ⎞ hay =q=-λ ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ dSdτ * Khi dS có vị trí q = - gradT r r hay dạng vectơ dòng nhiệt q = - gradT 1.1.2 Phát biểu: Vectơ dòng nhiệt tỷ lệ thuận với gradient nhiệt độ: r r BiĨu thøc vect¬: q = - λ gradT Dạng vô hớng: q = - gradT, [W/m2]; Q = - λgradT.dS, [W] 1.1.3 HÖ sè dÉn nhiÖt HÖ sè dẫn nhiệt hệ số định luật Fourier: = |q/gradT| [W/mK] Theo chøng minh trªn ta cã: 1 ⎛ p ⎞ ⎛ 8kT ⎞ ⎛⎜ kT ⎞⎟ ⎟⎜ λ = ρ ω λ cv = ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ Cv 3 ⎝ RT ⎠ ⎝ πm ⎟⎠ ⎝ πd p ⎠ cv = d k 3T cho thÊy: λ kh«ng phơ thuộc p, T m cv đờng kính d khối lợng phân tử m giảm Định luật Fourier cho chất rắn, lỏng, khí 1.2 Phơng trình vi phân dẫn nhiệt z 1.2.1 Định nghĩa: Phơng trình vi phân dẫn nhiệt phơng trình cân nhiệt cho dV C q q phân tố dv bên vật q 1.2.2 ThiÕt lËp Lt c©n b»ng nhiƯt cho dV ∈ V lµ: V y x O H2 CBN cho dV [Lợng nhiệt phát sinh dV] - [Thông lợng nhiệt qua dV]= [BiÕn thiªn entanpy cđa dV] Cho tr−íc (qv, , cp, ) dV, viết phơng trình dạng: t r qvdVd - div q dVd = ρdV.cp dτ ∂τ ∂t r q = v div q , dòng nhiệt qua dV là: ∂τ ρc p ρc p r r r r r q = q λ + q ω = - λ gradt + ρ ω cpt, r r r ®ã: div q = div (ρcp ω t- λ gradt ), coi (ρ, cp) = const ta cã : r r r div q = ρcp div (t ω ) - div (λ gradt ) r r r r r r = ρcp (tdiv ω + ω gradt ) - λdiv ( gradt )- gradt gradλ r r r r r = ρcp (tdiv ω + ω gradt ) - 2t - gradt grad hay Vậy phơng trình có d¹ng: ∂t r r qv r r r λ = - tdiv ω - ω gradt + ∇ t + ( gradt grad λ)/ρcp ρc p ∂τ c pρ ∂t ∂t r dt r dt dx dt dy dt dz + ω gradt = + + + = ∂τ ∂τ dx dτ dy d dz d d nên phơng trình vi phân dẫn nhiệt sau đặt a = , Cp lµ: qv r r dt r = a∇ t + ρc + ρc gradt gradt λ) - tdiv ω , víi: p p dτ r r r r gradt grad tích vô hớng vectơ gradt grad , 2t = t toán tử Laplace nhiệt độ, có dạng: 2t = 2t ∂ 2t ∂ 2t , z )vu«ng gãc (xyz)) täatäa x, y®é ⎪ + + (trong (trong ∂y ∂z ⎪ ∂x ⎪⎪ ∂ t ∂t ∂ t ∂ t , z )®é trơ (rϕz)) r , ϕtäa ⎨ + ⋅ + ⋅ + (trong (trong r ∂r r ∂ϕ ∂z ⎪ ∂r ⎪ ∂ t ∂t cos θ ∂t ∂ 2t ∂ 2t (trong r ,θ , ϕ ) + 2 + + ⎪ + ⎪⎩ ∂r r ∂r r ∂θ r sin θ ∂θ r sin θ∂ϕ (trong tọa độ cầu (r)) 1.2.3 Các dạng đặc biệt phơng trình vi phân dẫn nhiệt r * Với vật rắn, = 0, phơng trình có dạng: r ∂t r q gradt gradλ = a∇2t + v + ∂τ ρc p ρc p * VËt r¾n có = const xyz phơng trình là: * Vật rắn có = const , ổn định nhiệt a2t + ∂t q = a∇2t + v ∂τ ρc p t = 0, phơng trình là: qv = Nếu nguồn nhiệt, qv = 0, 2t = 1.3 Các điều kiện đơn trị (ĐKĐT) 1.3.1 Định nghĩa: ĐKĐT điều kiện cho trớc nhằm xác định nghiệm hệ phơng trình 1.3.2 Phân loại ĐTĐT: Theo nội dung, ĐKĐT đợc phân loại sau: Điều kiện hình học: Cho biết thông số hình học đủ để xác định hình dạng, kích thớc, vị trí hệ Điều kiện vật lý: Cho biết luật phân bố thông số vật lý theo nhiệt độ t M hệ; tức cho luật xác định (, cp, λ, a ) = f(t, M∈V) §iỊu kiƯn ban đầu: Cho biết luật phân bố nhiệt độ lúc = điểm M hệ, tức cho biÕt t = t(x, y, z, τ = 0), ∀(x, y, z) V Điều kiện biên: Cho biết luật phân bố nhiệt độ luật cân nhiệt điểm biên W, thời điểm τ, tøc cho biÕt: t = t(M, τ) hc r gradt = f(M, τ, t) ∀M (x, y, z) ∈ V xét 1.3.3 Các loại điều kiện biên (ĐKB) Tại miền Wi mặt biên kín W = Wi, tuỳ theo cách phân bố t cách trao đổi nhiệt, ta cho biết loại ĐKB sau đây: ĐKB loại 1: Cho biết luật phân bố nhiệt độ t điểm M1 ∈ W1 ë mäi thêi ®iĨm: t = t (M1, ), M1 W1, ĐKB loại 2: Cho biết dòng nhiệt dẫn qua biên: q (M2,) = - tøc cho biÕt Khi ∂t , ∂n ∂t −1 = q (M2, τ), ∀M2 ∈ W2, ∀τ ∂n λ ∂t = q = tức biên W2 đợc cách nhiệt tuyệt đối n biên đối xứng, lúc t đạt cực trị W2, đờng cong t(M) có tiếp tuyến nằm ngang ĐKB loại 3: Cho biÕt biªn W3 tiÕp xóc chÊt láng cã tf, α toả nhiệt chất lỏng theo luật: -tn (M3, τ) = α[t(M3, τ) - tf], tøc cho biÕt gradt (M3) = [tf - t(M3)]/(λ/α), ∀M3 ∈ W3, ∀τ ĐKB loại 4: Cho biết luật CBN biên W4 tiếp xúc vật rắn khác, có nhiệt độ t4 4, M4 W4, phơng trình cân nhiệt cã d¹ng : -λ ∂t (M ) ∂t (M ) = λ4 4 vµ t(M4) = t4 (M4) n n ĐKB loại 5: Cho biết luật cân nhiệt biên W5 di động, có chuyển pha, trao đổi chất (khối lợng thay đổi) ®ang biÕn d¹ng: t -λ dx dτ ∂t ∂x -λ -rcρ x5 ∂t ' ∂n dx dτ -λ dx ∂t ' ∂t (M ) = r cρ - λ' (M5), dτ ∂n ∂n xx víi r = nhiƯt chun pha; c dx dτ = vận tốc biên W5; : khối lợng riêng pha H3 CBN biên W5 1.3.4 ý nghĩa hình học loại ĐKB Dạng đờng cong phân bố nhiệt độ t(x, y, z, ) lân cận biên W, tuỳ theo cách cho ĐKB, có đặc điểm hình học sau đây: Đờng cong t(M,) W Cách cho ĐKB t ý nghĩa hình học w tw = const Mo V t(M) ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh Mo ∈W x t ∂t w =0 ∂n t(M) đạt cực trị W cách nhiệt q=0 V β=0 x W ∂t w = const ∂n C¸c tiÕp tun cđa t(M) t¹i W song song, gãc β = const β = const V x W ∂t w t −t = f w ∂n λ/α V -λ Các tiếp tuyến t(M) tf x γ Vo V x dx ∂t w = re ρ ∂n dτ δt 'w -λ δn λ α W3 qua ®iĨm R( , tf) W λ ∂t ow ∂t w = λ ∂x ∂n tW = t4W R t(M) liên tục, không khả vi W4 γ = const W5 di chun víi tèc ®é V dx dτ ω= x dx dτ H4 Minh hoạ ý nghĩa hình học ĐKB 1.4 Mô hình toán dẫn nhiệt Mô hình toán học toán dẫn nhiệt hệ phơng t w1(M,τ ) W5 W1 qv ∂t = a∇ t + ρ vµ c (t) = ∂τ ρ, c, λ,qv ∂ w2 q(M, ) -1 ∂x τ −λ' ∂t' n trình vi phân (t), gồm phơng trình vi phân DN phơng trình mô tả ĐKĐT nh sau: ∂t −λ ∂ n rcf dx dτ M W2 ∂t ∂ w x W3 −λ ∂ t ∂n −λ o ∂ to ∂n W4 -t f] −λ [tw Mục đích truyền nhiệt tìm phơng pháp giải hệ (t) để tìm hàm phân bố t(x,y,z,τ) tho¶ m·n hƯ (t) qv ∂t ∂τ = a t + c phơng trình mô tả ĐKĐT H5 Mô hình toán DN Chơng 2: Phơng pháp giải tích 2.1 phép chuẩn hoá định lý hợp nghiệm: 2.1.1 Nội dung phơng pháp giải tích ý tởng Fourier chuyển phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính thành số phơng trình vi phân thờng tơng đơng, cách tách biến, tìm nghiệm riêng ổn định biến thiên số Các cách đợc sử dụng tuỳ thuộc tính hay không phơng trình dẫn nhiệt phơng trình vi phân mô tả điều kiện biên 2.1.2 Phơng trình vi phân không TN - Định nghĩa: Phơng trình vi phân F(t, tx, txx) = đợc gọi khi: t nghiệm phơng trình ct, ∀c =const, cịng lµ nghiƯm cđa F(t, tx, txx) = - VÝ dô: tτ = atxx, tx(0,τ) = - α t(0,τ) lµ TN λ tτ = a∇2t + qv −α , tx (L, τ) = [t(L, τ) - tf] không TN c Nhận xét: Phơng trình truyền nhiệt không chứa số hạng tự do, nh qv tf, phơng trình 2.1.3 Nguyên lý hợp nghiệm Nếu ti,i = 1ữn, nghiệm riêng toán biên n (tức phơng trình vi phân ĐKB nhất), t = ∑ C i t i cịng lµ i =1 nghiƯm toán TN đó, Ci = const 2.1.4 Phép chuẩn hoá - Định nghĩa: Phép chuẩn hoá hệ phơng trình cách đổi biến thông số có thứ nguyên thành biến thông số không thứ nguyên - Lợi ích phép chuẩn hoá đơn giản hệ phơng trình cách 10 giải, khiến cho nghiệm có tính tổng quát, không phụ thuộc đại lợng có thứ nguyên, vài trờng hợp, nhát hoá điều kiện biên không - Ví dụ: Bài toán làm nguội phẳng với biên Wo/W3 có mô hình: t ∂2t = a ⎪ ∂x ⎪ ∂τ ⎪t ( x,0) = t o (t) ⎨t (0, τ) = ⎪ x ⎪ −α [ t (δ, τ) − t f ] ⎪t x (δ, τ) = λ ⎩ (TN ) (FT) (DKD) (TN ) ( Wo ) (0TN ) ( W3 ) t − tf ⎧ ⎪θ = t − t o f ⎪ x ⎪ §ỉi biÕn ⎨X = δ ⎪ aτ ⎪ F = ⎪ δ2 ⎩ αδ λ ∂t ∂θ ∂F ∂t a ∂θ th× = = (to - tf) ∂τ F F đặt B = t ∂t ∂θ ∂X t o − t f ∂θ = = ∂x ∂θ ∂X ∂x ∂X δ ∂2t ∂ ∂t ∂ t o − t f ∂θ ∂X to − tf ∂ θ = ( ) = ( ) = ∂x ∂x ∂x ∂X ∂X ∂x δ δ ∂X tx (δ, τ) = θx (l, F) = to − tf −α θx (1, F) = [t (δ, τ) - tf] cã dạng TN [1, F] = Bθ(1,F) a ∂θ ∂2t ∂t = (to- tf) =a =a x F ∂θ ∂F = ∂ 2θ ∂X t o − t f có dạng đơn giản X 2 Khi toán (t) đợc chuyển đổi thành toán không thứ nguyên () tơng đơng, có dạng chuẩn hoá là: 11 = ⎪ F ∂ ∂X ⎪⎪ θ ( X ,0) = (θ) ⎨⎪ θ (0, F ) = (TN ) ⎪ x ⎪⎩θ x (1, F ) = B (1, F ) (TN ) Bài toán () có hai điều kiện biên dạng 2.2 Phơng pháp tách biến Fourier 2.2.1 Nội dung phơng pháp Fourier Là tìm nghiệm dạng tách biến, nh tích hàm tọa độ với hàm thời gian Nhờ chuyển phơng trình đạo hàm riêng thành hệ hai phơng trình vi phân thờng tơng đơng Phơng pháp thờng dùng để giải hệ phơng trình 2.2.2 Cách giải toán Các toán giải phơng pháp tách biến Fourier theo bớc: tách biến phơng trình vi phân DN tìm nghiệm tổng quát, xác định nghiệm riêng theo ĐKĐT, hợp nghiệm Đó bớc phơng pháp tách biến 2.2.3 Ví dụ: Bài toán làm nguội phẳng biên (W2+W3) Phát biểu toán: Cho vách phẳng có , a, , to = t(x,0) cách nhiệt x = 0, toả nhiệt x = môi trờng tf, Tìm trờng t (x, ) t Mô hình TH: to t = at xx ⎪ t ( x ,0 ) = t o ⎪⎪ (t) ⎨t x (0, τ) = ⎪ ⎪t x (δ, τ) = − α [ t (δ, τ) − t f ] ⎪⎩ λ a λ q=0 t(x,τ ) α W2 W3 tf x δ O H6 Bài toán (2.2.2) Bằng cách đổi biến: 12 = t − tf x aτ αδ ,X= ,F= 2,B= sÏ thu đợc hệ phơng trình to tf () tơng đơng, dạng chuẩn hoá: () F = θ xx ⎪θ ( x,0) = ⎪ ⎨ ⎪θ x (0, F ) = ⎪⎩θ x (1, F ) = − Bθ (1, F ) T¸ch biến cách tìm nghiệm dạng (X,F) = X(x) F(F) Thay vµo θF=θxx cã X(x) F'(F) = X"(X) F(F) hay X" (X) F" (F) = = -k2 X (X ) F(F) (do hàm độc lập), chuyển thành phơng trình vi phân thờng: X" (X) +k X(X) = → X(X) = c1 sin kX + c cos kX ⎨ ⎪⎩F' (F) +k F(F) = → F(F) = e −k F NghiƯm tỉng qu¸t lµ θ(X,F) = (c1sin kX + c2coskX) e −k F Xác định số theo ĐKĐT x(0,F) = → (kc1cos0 + (-kc2sin0) e −k F = → c1 = vµ θ (X,F) = c2 coskX e −k F θx(1,F) = -Bθ (1,F)= -Bc2 cosk e −k F → = cotgk = cotgk (-kc2sin0) e −k F = cos k sin k k B k , phơng trình có B π O k1 2π k2 3π k3 k 4π k4 k5 vô số nghiệm ki, i = ữ n Các nghiệm riêng thoả mÃn ĐKB có H7 Giải phơng trình cotg k = k dạng: i(X,F) = c2coskiX e k 2F i B , nghiệm hợp (X,F) = ∑ c i cos k i Xe − k 2F i i =1 - Điều kiện đầu (X,0) = → ∑cicoskiX=1 → coski X ∑ c i cos k i X = 1 sin k i = ∫ cos k i X ∑ c i cos k i XdX = coskiX → ∫ cos k i XdX = ki 13 ci ∫ cos k i XdX = ci 2k i + sin 2k i 4k i sin k i → ci = 2k + sin 2k i i VËy nghiệm toán là: 2k (X,F) = i =1 sin k i −k 2F cos(kiX) e i i + sin 2k i * Đồ thị (X,F) t(x, τ) cã d¹ng: θ t F=0 F=0 to τ=0 3 4 5 F =∞ O τ =∞ tf x R x δ O H9 Ph©n bè t(x, τ) H8 Ph©n bố (X,F) 2.3 Phơng pháp nghiệm riêng ổn định 2.3.1 Phạm vi sử dụng phơng pháp NROĐ Để giải toán không có nghiệm riêng ổn định, tức t = F = 2.3.2 Nội dung phơng pháp NROĐ Gồm bớc sau: Tìm nghiệm riêng ổn định (x) toán (), ứng với lúc ổn định, theo phơng trình F = = θxx Thay (v = θ - ) vào toán () để lập toán (v), đợc toán (v) Tìm nghiệm v toán (v) phơng pháp tách biến, sau lập nghiệm toán () ®· cho lµ θ = θ + v 2.3.3 VÝ dụ: Bài toán gia nhiệt vách phẳng biên (W1) Phát biểu BT: Cho vách phẳng có , a, , t(x,0) = to = t(δ, τ) vµ 14 t(0, τ) = 2to Tìm t(x, ) * Mô hình TH: t ⎧t τ = at xx ⎪ t ( x ,0 ) = t ⎪ o (t) ⎨ ⎪t (0, τ) = 2t o ⎪⎩t (δ, τ) = t o ChuÈn hoá cách đặt W'1 2to t to ⎪θ = t o ⎪ ⎪ x ⎨X = δ ⎪ aτ ⎪ ⎪F = δ ⎩ a,λ to t(x,) O W1 x H10 Bài toán (2.3.3) toán (t) trở thành dạng chuẩn hoá () nh sau: ⎧θF = θxx ⎪θ(X,0) = ⎪ (θ) ⎨ Ta giải toán () không (0,F) = ⎪ ⎪⎩θ(1,F) = (0TN) nµy b»ng phơng pháp NROĐ Tìm nghiệm riêng toán ổn định: = = xx = c1X + c ⎪ ( θ ) ⎨θ (1) = = c1 + c → θ =1− X ⎪ θ ( 0) = = c ⎩ Thay v(X,F) = θ(X,F) - θ (X) = (X,F) + X - vào (): toán () trở thành toán (v) nh sau: ⎧v F = θ F = θ xx = v xx − θxx = v xx ⎪ ⎪v( x,0) = θ(X,0) − θ (X) = X − (v) ⎨ ⎪v(1, F) = θ(1, F) − θ (1) = − = ⎪v(0, F) = θ(0, F) − θ (0) = − = ⎩ (TN ) Tìm nghiệm toán (v) phơng pháp tách biến, tơng tự nh toán 2.2.2: - Tách biến phơng trình vF = vxx có nghiệm tổng quát lµ: 15 v(X,F) = X(X)F(F) = (c1sinkx + c2coskx) e - Theo §KB: v(0,F) = → c2 e −k 2F − k 2F = → c2 = → v(X,F) = c1sinkX e Theo v(1,F) = ⇒ c1sink e −k 2F − k 2F = → sin k = → k = nπ ∞ → v(X,F) = ∑ c n sin(nπX) e ( nπ ) 2F n =1 ∞ - Theo §K§: v(X,0) = X-1 → X - = ∑ c n sin(nπX) → x =1 c −2 = n → cn = → n =1 0 nπ nπ 2 sin(nπX) ( n )2 F e Do đó, nghiệm phơng trình (v) là: v(X,F) = - n 1 ∞ ∫ (X − 1) sin(nπX)dX = ∫ sin(nπX) c n sin(nX)dX - nghiệm toán () ®· cho lµ: θ(X,F) = θ (X) + σ(X,F) ∞ sin(nπX) exp (-n2π2F) θ(X,F) = (1-X) ∑ π n =1 n * Phân bố nhiệt độ (X,F) t(x,) cã d¹ng: θ 2t o θ t 2t o 1- t= = -t F ∞ O F=0 = x/ δ o x to x τ= O H11 Ph©n bè θ(X,F) x δ H12 Phân bố t(x, ) 2.4 Phơng pháp biến thiên số 2.4.1 Phạm vi sử dụng: Phơng pháp biến thiên số thời gian An(F) đợc sử dụng khi: - Bài toán () không tồn nghiệm riêng ổn định - có nghiệm riêng ổn định nhng không tìm đợc - Bài toán với vật có nguồn nhiệt trong, đợc gia nhiệt điện 16 2.4.2 Nội dung phơng pháp BTHS Gồm bớc sau: Lập toán (v) nhất, cách cho tất ĐKB không toán () Tách biến v(X,F) = X(X).F(F) tìm X(X) thoả mÃn ĐK biên nhất, đợc nghiệm riêng dạng Xn(X) = cn(X), n(X) = f(n,X) hàm số riêng, thoả mÃn điều kiện trực giao: ⎧0 m ≠ n ⎩c m = n ∫ φ n (X)φ m (X)dX = ⎨ Biểu diễn nghiệm toán () d¹ng θ(X,F) = ∑ A n ( F)φ n ( X ) n =1 biến thiên số thời gian An(F), tức tìm biểu thức xác định An(F) nhờ ®iỊu kiƯn trùc giao cđa φn(X): ∞ n =1 ∫ θ(X, F)φ m (X)dX = ∑ A n (F) ∫ φ n (X)φ m (X)dX = cAn(F) tøc cã quan 1 hÖ An(F) = ∫ θ( x , F)φ n (X )dX c Lập hệ phơng trình thờng An(F) cách tính d An(F), dF tìm nghiệm An(F) thoả mÃn điều kiện ban đầu Viết nghiệm toán () d¹ng θ(X,F) = ∑ φ n ( X )A n ( F) n =1 2.4.3 Bài toán phẳng biên (W2 + W20) Phát biểu: Cho vách phẳng có δ, a, λ, t(x,0) = to, tx (δ, τ) = vµ tx (0, t q = λ to τ) = - o δ δ t (t x = - o ) T×m t(x, τ) δ t t q=0 tx = t o = t(x,0) a,λ O 17 x δ ⎧t τ = at xx ⎪ t ( x ,0 ) = t o * Mô hình TH: (t) ⎨ to t ( , ) τ = − x ⎪ δ ⎪ ⎪⎩t x (δ, τ) = x t − to aτ , X = , F = , sÏ cã: δ to δ chn ho¸ víi θ = ⎧θ F = θ xx ⎪θ (1, F ) = (TN ) ⎪⎪ x (θ) ⎨θ x (0, F ) = δ t x (0,τ ) = −1 (0TN ) ⎪ to ⎪ ⎪⎩θ ( X ,0) = Giải phơng trình 0TN () phơng pháp BTHS: 1) Lập toán (v) thuÇn nhÊt tõ (θ): ⎧v F = v xx ⎪v (1, F) = ⎪ (v) ⎨ x ⎪v x (0, F) = ⎪⎩v(X,0) = (TN) 2) T×m nghiệm riêng toán biên, vx (1,F) = vx(0,F) = 0, b»ng c¸ch t¸ch biÕn v(X,F) = X(x)F(F) cã X(x) = c1 sin kX + c2 cos kX ⎧v x (0, F) = → X x (0) = = c1 → X ( x ) = c cos kX ⎨ ⎩v x (1, F) = → X x (1) = = −kc sin k → k = nπ Do ®ã cã X(X) = cncos (nX) hàm số riêng n(X) = cos(nX) ∞ n =1 n =1 3) §Ĩ θ(X,F) = ∑ A n (F)φ n (X) = ∑ A n (F) cos(nX) nghiệm toán () thời gian An(F) phải xác định theo điều kiện trực giao hàm riêng n(X)= cos (nX), cách nhân phơng trình với cos(nX)dX tích phân khoảng X [0,1]: 18 ⎧A o (F), n = ⎪ ∫ θ(X, F) cos(nπX )dX = An(F) ∫ cos (nπX )dX = ⎨ 0 ⎪⎩ A n (F), n 1 Do đó, An(F) phải xác định theo (X,F) quan hệ: A (F) = θ(X, F)dX ∫ ⎪ o (An) ⎨ ⎪A n (F) = ∫ θ(X, F) cos(nπX)dX, ∀n 0 Lập phơng trình vi phân th−êng cho An(F) b»ng c¸ch tÝnh d An(F) theo hƯ (An): dF - Khi n=0, dA o (F) = ∫ θ F dX = ∫ θ xx dX =θx 10 = θx(1,F) - θx(0,F) = 0 dF (-1) = → Ao(F) = F + c1 Điều kiện đầu cho Ao(0) = (X,0)dX = = c1 ⇒ Ao(F) = F - ∀n ≠ 0, cã: 1 dA n (F) = ∫ θ F cos(nπX)dX = ∫ θ xx cos(nX)dX , 0 dF (phân đoạn tích phân) = { [θ x cos( nπX )] | + nπ ∫ θ x sin(nπX )dX }= 0 2{1+2π [θ sin(nπX) | - nπ ∫ θ cos(nπX)dX]} 0 = 2{1-n2π2 A n (F) }→ phơng trình vi phân cho An(F) là: A'n = - n2π2An →A'n +(n2π2)An = cã nghiƯm tỉng qu¸t An(F) = − ( nπ ) F Điều kiện ban đầu cho A (0) = θ( X ,0) cos( nπX )dX → + c ∫ e n (nπ) 2 2 − ( nπ ) F + c = → c = , ®ã: A (F) = 1 n 2 2 2 e (nπ) n π n π n π VËy nghiÖm toán () đà cho là: (X,F) = Ao(F) + ∞ ∑ A n (F) cos(nπX) , tøc: θ(X,F) = F + n =1 ∞ cos(nπX) ∞ cos(nπX) ∑ ∑ π n =1 π n =1 n2 n2 19 cos(nπX) 1 = X2 - X + , cã: 2 n =1 πn ∞ exp(-n2π2F) hay, tæng ∑ θ(X,F) = F + ( X2 - X + ) - ∞ cos(nπX) exp(-n2π2F) ∑ 2 n =1 n * Phân bố (X,F) t(x,) cã d¹ng: θ t q=0 q=0 2 to x τ =0 x F=0 1δ O O H14 Ph©n bè θ(X,F) H15 Ph©n bè t(x,) Trờng nhiệt độ vách tăng vô hạn, có d¹ng: aτ t(x,τ) = to( x2- x+ ) + to[ - 2δ δ δ π cos( nπx / δ) n π2a exp (- τ)] ∑ n2 n =1 δ ∞ 2.5 Phơng pháp Fourier cho toán không ổn định nhiều chiều Các toán nhiều chiều không ổn định giải phơng pháp tách biến lặp, phơng pháp quy nhiều toán không ổn định chiều 2.5.1 Phơng pháp tách biến lặp 2.5.1.1 Nội dung phơng pháp tách biến lặp gồm bớc: Tách riêng biến thời gian tìm hàm thời gian F(F) Lần lợt tách biến toạ độ tìm nghiệm riêng theo toạ độ Xác định số theo ĐKĐT biểu diễn nghiệm toán z dạng tích nghiệm thu đợc 2.5.1.2 Ví dụ: Bài toán trụ vô hạn biên W1 với điều kiện đầu tổng quát t( , ,0) = g(,) * Ph¸t biĨu BT: Cho trơ l=∞ cã a, t t t a (R, ,) = t1 ĐKĐ bất kú t(ρ,ϕ,0) = ρ ϕ R g(ρ,ϕ) T×m tr−êng nhiƯt độ t(,,) O H16 Bài toán trụ tổng quát 20