Giáo trình IUH Phương pháp tính

Số gần đúng và sai số

Trong thực tế, khi muốn biết giá trị đại lượng nào đó người ta tiến hành đo dạc, tính toánbằngmột số phương pháp nhất định Với hầu hết trường hợp, chúng ta không thểnhận được giá trị thật của đại lượng cần biết mà chỉ nhận được giá trị gần đúng (hoặc xấp xỉ) Việc đánh giá độ chính xác của giá trị xấp xỉ và sai số của phép đo (hoặc phương pháp tính toán) là hết sức cần thiết Điều đódẫn tới việc đưa ra kháiniệm về số xấp xỉ và sai số nhận được. Định nghĩa 1.1 Cho A là số đúng và a là sốgần đúng của A Khi đó, các đại lượng Aa “ \A — a\; ỏ a = pq- lần lượt được gọi là sai số tuyệt đối và sai số tương đối của a.

Với Aứ là sai số tuyệtđốicủa a ta kýhiệu A ~ a ± Aa Vì A thường có vô hạn chữ số nên lẽ đương nhiên ta cần a là số có hữu hạn chữ số và khi đó Aíĩ sẽ cùng dạng với A Chẳnghạn, ta lấyA = 7Ĩ = 3,1415926 ;a = 3,14 thì Afl = 0,0015926 Định nghĩa 1.2 Sai số tuyệt đối giới hạn của số xấp xỉ a là số không nhỏ hơn sai số tuyệt đốicủa a, ký hiệu Aa.

Từ Định nghĩa 1.2 ta suy ra Art > Aa Ta thấy sai số tuyệt đối giới hạn của số xấp xỉ a không duynhất.

10 số xấp xỉ, sai số

Ví dụ 1.1 Với A — 7T = 3,1415926 và giá trị xấp xỉ a — 3,14 thì sai số tuyệt đối của a là Aứ = 0,0015926 Do đó, ta có thể lấy sai số tuyệt đối giới hạn của a là Afl = 0,0016 hoặc AÍZ = 0,0017.

Vì ta không biết giá trị của A nên việc tìm sai số tuyệt dối /\íỉ là không thể, thay vào đó ta sẽ xác định sai số tuyệt đối giới hạn Afl và qui ước viết

A — a ± Aff. Đinh nghĩa 1.3 Sai số tương đối giới hạn của số xấp xỉ a là số không nhỏ hơn sai số tương đối của a, ký hiệu ỏa.

Từ Định nghĩa 1.3 ta được ỏa > ỏa — pq- Ta suy ra Ặị|A| > Afl Theo định nghĩa sai số tuyệt đối giới hạn ta có thể lấy Afl = JfZ|A| Vì ta không biết giá trị của A nên ta thay A bằng giá tri xấp xỉ a Khi đó, Art — ỏa \a I Ta suy ra A = a (1 ± ôa).

Ví dụ 1.2 Với A — 7X — 3,1415926 ; a = 3,14 và sai số tuyệt đối giới hạn = 0,0016 thì sai số tương đối giới hạn của a được xác định bởi ỏa = = 0,00051 - 0,051%.

3,14 Đê đánhgiá mộtphép đolà tốt haykhôngtốt, người ta thường sử dụng sai số tương đối giới hạn Chẳng hạn, với một phép đonào đó ta được giá trị xấp xỉ a = 1,2 và sai số tuyệt đối giới hạn = 0,6 Khiđó, ta tính được ỏa ~ 14 = 50% Giá trị của ôa khá lớn, điều đó chứng tỏ phép đo được sử dụng là không tốt.

Ngoài ra, sai số tương đối giới hạn còn được sử dụng để so sánh độ chính xác của các phép đo Chẳng hạn, với phép đo thứ nhất ta được a — 5 và A,7 = 0,1; với phép đo thứ hai ta được b = 20 va = 0,1 Mặc dù Afl — A^ nhưng phép đo thứ hai tốthơn vì

1.2 Qui tăc làm tròn sô

Với mỗi số thực dương A (nếu A < 0 ta xét số —71) ta luôn có biểu diễn

A = sm 10™ -T SfH—ì 10™ 1 + +so + s_ilO 1 + + s_fcio + (1-1)

1.3 Số chữsố đáng tin cậy 11 trong đó Sị,i = — OQ, m là các số nguyên có giá trị từ 0 tới 9 và sm 0 Chẳng hạn, số có biểu diễn

Số 7T CÓ biểu diễn zr 3 I 1 X 10”1 + 4 X 10~2 + 1 X 10 3 +

Nếu A có biểu diễn như công thức (1.1) thì ta ký hiệu

71 = Smsm-1 SO/ S-1S-2 • - • • (1-2) Chữ số thứ 11 của A là số s,lH 1 - „ tính từ trái qua phải Ta ký hiệu í? — smsw —2 So, S—1S—2 • • • Sffí 4-1 — fĩ là Số làm tròn đến chữ số thứ n từ số /1 Qui tắc làm tròn như sau:

Với qui tắc làm tròn nhưtrên ta thấy — 5 X 1OW“H.

Ví du 1.3 Số a — 2,718 là số làm tròn đến chữ số thứ 4 của số A — e =

2,718281 Số a = 1,3333 là số làm tròn đến chữ số thứ 5 của số A = I.

1.3 Số chữ số đáng tin cậy Định nghĩa 1.4 Cho số A có biêu diễn như công thức (1.2) và a là giá trị xấp xỉcủa A Ta nói chữ số thứ n của a là đángtin cậynếu Aa < 5 X 10w"n.

Ví dụ 1.4 Số í7 — 3,1401 là một xấp xỉ của 71 Vì

5 X 10 4 < Aa = 0,0014926 < 5 X 10 3. nên a có ba chữ số đầu tiên 3; 1;4 là đáng tin cậy Chữ số thứ tư (số 0) và thứ nãm (số 1) là không đáng tin cậy.

P hương trình đại số VÀ PHƯƠNG TRÌNH

Trước hết, ta nêu một số ví dụ về phương trình đại số

• X5 + y/x + 2 — 9 = 0, và phương trình siêu việt

• Thứ hai là chính xác hóa nghiệm gần đúng đến sai số cần thiết.

Cácphương trình đại sốvà phương trình siêu việt được nêu ở trên có dạng tổng quát /(x) = 0 Với nhữngphương pháp đã được học, việc tìm nghiệm đúng của các phương trình này là không thể Hơn nữa, các phương trình đại số và phương trình siêu việt, trừ một vài trường hợp đặc biệt có công thức giải đúng, nói chung không có công thức giải nghiệm Ở khía cạnh khác, các hệ số của /(x) trong nhiều trường hợp cũng chỉ là các số gần đúnghoặc nghiệm của /(x) là một biểu thức rất phức tạp, cho nên vấn đề giải đúng phương trình /(x) = 0 cũng không thật sự cần thiết Chính vì thế, chúng ta cần quan tâm đến các phương pháp giải gần đúng, nhất là những phương pháp có thể dùng phần mềm tính toán hỗ trợ Để giải gần đúng phương trình/(x) = 0, ta tiến hànhcác bước sau:

• Thứ nhẩt là ly nghiệm, nghĩa là tìm một đoạn [a; b] đủ nhỏ sao cho phương trình/(x) = 0 có nghiệm duy nhất X * G [a;b].

14 Phương trình đại số và phương trình siêu việt

Cơ sở để ly nghiệm là kết quả quan trọng sau đây: Định lý 2.1 Cho /(x) thuộc C|^ị| (tập các hàm khả vi liên tục trên [a;b]) và thỏa < 0 Nếu f(x) có đạo hàm f'(x) không đổi dấu trên [a; b] thì phương trình /(x) = 0 cá nghiệm duy nhất trong [a; b].

Ví dụ 2.1 Tìmmột đoạn ly nghiệm của các phương trình sau: lj X5 - 4x - 10 = 0.

1) Phương trình X5 — 4x — 10 = 0 có tập xác định D = ]R Đặt /(x) là vế trái của phương trình Khi đó, í/(l)/(2) 0,Vx 4-00 n — >4-00 n— >4-00

Chứngminh Vì X* e [an;bn] c b„-i], Vn > 1 nên {fl„} là một dãy không giảm và bị chặn trên bởi X*, {bn} là một dãy không tăng và bị chận dưới bởi X* Ta suy ra tồn tại a*, b* e [a; b] sao cho lim an ~ a* , lim b-n — b*

Vì an < X* < bn nênfl* < X* < b* Hơn nữa, lim (bn — an) = lim k° a- — 0.

Do đó, — b* = X* hay liín an — lim bn — X* Mặt khác, vì Xn —

+ b n < bn,Vn > 0 Áp dụng định lý giới hạn kẹp ta được lim x„ = X*.

Phương pháp lặp

Tiếp theo, ta chứng minh công thức ước lượng VìX* thuộc một trong hai đoạn [ữ„;x„], [x„;b„] nên

|x„ - x*| < max {!ô„ - x„|; |b„ - x„|) Định lý được chứng minh.

Ví dụ 2.3 Sử dụng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng Xy của phương trinh X3 — X — 10 — 0, biết đoạn ly nghiệm là [2; 3] Đánh giá sai số kết quả tìm được.

Giải Đặt f(x) — X3 — X ~~ 10 Sử dụng phương pháp chia đôi ta được bảng giá trị sau: n bn xn 2”+1 b — a

Từ bảng số liệu trên ta được X* ~ X? = 2,30859375 Sai số của xấp xỉ là

Trong mục này, ta giả thiết /(x) là hàm khả vi liên tục trong đoạn [a;b] Biến đổi phương trình (2.1) về dạng tương đương

Với xấp xỉ ban đầu Xo thuộc đoạn [a; b] ta xây dựng dãy {xn} nhờ vào hệ thức xn+ĩ — cp (xn), Vn > 0 Sau đây, ta phát biểu và chứng minh một kết quả quan trọng, thường được gọi là nguyên lý ánh xạ co Kết quả này cũng chính là nội dung củaphương pháp lặp.

20 Phương trình đại số và phương trình siêư việt Định lý 2.3 Giả sử hàm số n ta có

Xffl xn — Xm X#Ị—1 T“ XpịỊ—1 Xpn —2 + ■ * ■ Xpi-ị-i X ỵi ị

< Xin Xfĩi~~1 I 4“ |xm — i xm — 2I + • ’ ’ 4~ |Xrt4-l Xn\

< Lm-1|xi - Xo| + Lm-2|xi — Xo| + • • ■ + L"|xi - Xo|

Từ bất đẳng thức trên ta được lim |x„! — x„| =0 Do đó, {x„} là dãy m— >4-00 77—>4-00

Cauchy ([15]), ta suy ra tồn tại X để lim xn — X e [a; b].

Ta sẽ chứngtỏ X — X* Thật vậy, từ hệ thức X„+1 — cp(xn) ta suy ra oc — lim Xn+1 n —> 4 oo lim (Ị) (xn) = (p ( lim xn n— > -I co \M—> 4 co

Vậy oc là nghiệm của phương trình (2.2) Sử dụng tính duy nhất nghiệm của phương trỡnh (2.2) trong đoạn [ô; b] ta được a = X*.

Tiếp theo, ta chứng minh các công thức ước lượng Sửdụng địnhlý giá trị trung bìnhLagangre ta được

Mặt khác, ịx„ XH|, ta suy ra xn \- Áp dụng bất đẳng thức (2.3) ta được |x„+i — - xo|-

Ta minh họa phương pháp lặp bằng đồ thị nhưsaư (hình 2.6):

Hình 2.6 Minh họa phương pháp lặp

Thuật toán tìm nghiệm gần đúng của phương trình (2.1) bằng phương pháp lặp

Bước 1: Biến đổi phương trình (2.1) về dạng (2.2) sao cho

Bước 2: Xây dựng dãy {x„J thông qua hệ thức:

• Xo € [a;b] (thông thường ta lấy Xo là trung điểm của đoạn [a;b]ỵ

• XỊ = cp (xo);x2 = (p (xi) ;x3 = cp (x2); ;x„+i = Ịp (x„);

22 Phương trình đại sô và phương trình siêu việt

Bước 3: Đánh giá sai số nghiệm gần đúng dựa trên công thức

Ví dụ 2.4 Giải phương trình X3 — X — 10 — 0 bằng phương pháp lặp (lặp

4bước, đánh giá sai số ở bước 4), biết đoạn ly nghiêm là [2; 3].

Giải Trước hết, ta biến đổi phương trình dã cho về dạng X — I co en

Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: A 0 Ta sẽ chứng tỏ en ~ cAn khi n —> d-oo với c là một hằng số.Thật vậy, từ hệ thức en+ỵ = Aen 4- D (e„), \/n > 0 ta suy ra £}1 I 1 — 2lcz1 + D (c7ỉ)

= Alỉ Ả 1eo + AnD (eo) -Ị- • ♦ 4- AkD (Cn-k) + • • ’ 4“ D (cH)

Từ đẳng thức trên ta dược

Do đó, lim e"+1 — c ‘° + I D ~A (e°) + I D (ei) I + ■ +I -#-T7TD (£"-k) + + D(e„) +

Ta sẽ chứng tỏ chuỗi

-44- + -^2 + ■ • • + a , m + • ■ • + + • • • hội tụ Thật vậy, ta có

28 Phươngtrình đại sô và phương trình siêu việt

Theo tiêu chuẩn Dalembert chuỗi p (gọ) , p 41) , _, p (£n-k) , _ , p 4„)

A A2 An-k+l An +1 hội tụ tuyệt đối nên nó hội tụ về một số (X nào đó. Đặt c = oc + £ q , ta được lim — c hay en ~ cAn khi n 4-00 Vì

/7-4-4-00 + 1 en ~ cAn khi n —> 4-00 nên với n đủ lớn ta có xấp xỉ en ô cAn log|e„| ô nlog \A \ 4- log |c|

Logarithm thập phân của sai số là một xấp xỉ tuyến tính theo n Điều này có nghĩa là số chữ số 0 sau dấu phẩy của sai số tăng tuyến tính theo sốlần lặp Dạng hội tụ như vậy được gọi là hội tụ tuyến tình hoặc hội tụ cấp một.

Trường hợp 2: A — 0 Khi dó, — D (en) Ta suy ra lim ” + 1 = c với

Vì Cn+1 ~ ceK khi n —> 4-00 nênvới n đủ lớn ta có xấp xỉ Êô+1 log 4n+l| 21og|e„| +log |c|

Logarithm thập phân của sai số tăng gấp đôi sau mỗi lần lặp Điều này có nghĩa là số chữ số 0 sau dấu phẩycủa sai sốnhân dôi sau mỗi bước lặp Sự hội tụ như vậy được gọi là hội tụ bình phương hoặc hội tụ cấp hai Sau đây, ta sẽ xét trường hợp hội tụ cấp một và tìmcách làm tăng tốc độ hội tụ Giả sử A = (pf (x*) 0, xét dãy {yn} được xây dựng bởi hệ thức

Bước 1: Ta chứng tỏ yn luôn có nghĩa với mọi n > 0, tức xn+2 — 2x„+i 4- xn Ạ 0, V h > 0.

Ta suy ra |x„+2 - 2xn+i 4- xn\ > (1 — L) |xn+i — xn\ > 0,\/n > 0 Do đó, xn+2 — 2x„+i 4- xn 7^ 0,V h > 0 hay yn luôn có nghĩa.

Bước 2: Ta chứng minh lim 1/H — X* và lim — - ° n—> I ' n-+ I oo xn — X* trongbước 1 ta có

Vì lim —-ùd — 0 nên ta suy ra

Vậy lim yn — X * Ta biến đổi n — >4-00 ‘ Ị/n - X* (xn+2 - X*) (x„ - X*) - (x„ +Ị - X*) 2 x„ — X* (x„ - X*) (x„ I 2 - 2xn I 1 + x„)

Theo định lý giá trị trung bình Lagrange ta có

X„+1 — X* = íp (x„) — cp(x*) = cp' (Un) {xn -x*},Vn >0 trong đó un nằm giữa X* và xn Do đó, lim un — X* Mặt khác,

Kếthợp các kết quả trên ta được

Do tính liên tục của hàm (pf(x) nên ta suy ra

Do đó, lim — -= 0. ằ I oe xn — X*

Kết quả của bước 2 cho ta kết luận là tốc độ hội tụ của dãy {yn} vê X* nhanh hơn tốc độ hội tụ của dãy {x„} về X* Phương pháp chuyển từ dãy

30 Phương trình đại số và phương trình siêu việt củ sang dãy mới như vậy gọi là phiỉơng pháp Aitken ([3]) Và để cho thuận tiện trong việc phân tíchvà tính toán, ta xét thuật toán lặp Aitken - Steffensen sau đây:

Thuật toán tìm nghiệm gần đúng của phương trình (2.1) bằng phương pháp lặp Aitken - Steffensen

Bước 1: Biến đổi phương trình (2.1) về dạng (2.2) sao cho

Nếu L xấp xỉ 0 thì ta tiến hành phương pháp lặp thông thường vì lúc này tốc độ hội tụcủa dóy {x„ } về X* rất nhanh Nếu L ô 1 thỡ ta chuyển sang bước 2.

Bước 2: Chuyển phương trình X = (p(x) về dạng X = Y(x) với

Bước 3: Xây dựng dãy {yM } như sau:

Ví dụ 2.9 Giải phương trình 3x — ex = 0 bằng phương pháp lặp và phương pháp lặp Aitken-Steffensen, biết đoạn ly nghiệm là [0,5; 1].

Giải Biến đổi phương trình về dạng X — e~ Dặt cp(x) “ ta thấy

Chọn Xo = yo — 0,5, ta xây dựng hai dãy lặp ịxn } và {y„ } theo công thức yn I1 — (yô) — Vn

Khi đó, tà lập đượcbảng giá trị sau:

Phương pháp tiếp tuyến (Newton)

Bằng phương pháp lặp Aitken — Steffensen, sau ba lần lặp, nghiệm gần đúngcó đến 10 chữ số đáng tin cậy Trong khi với phương pháp lặp thông thường, đến lần lặp thứ 20 ta chỉ có 5 chữ số đáng tin cậy ■

2.3 Phương pháp tiếp tuyến (Newton)

Trong mục này, ta giả thiết f' (x}, f" (x) liên tục và không đổi dấu trên

[a; b] Nội dung chính của phương pháp tiếp tuyến là với xấp xỉ ban đâu

XQ E [a; b], ta xây dựng dãy {xn} theo công thức

Ta có thể chứng minh được, với một số điều kiện thích hợp, dãy {x„ } hội tụ về nghiệm đúng X* Chẳng hạn, ta xét kết quả sau đây: Định lý 2.4 Cho phương trình fix') = 0 có [a;&] là đoạn ly nghiệm, đồng thời f'(x), f"(x) liên tục và không đổi dấu trên đoạn [a;b] Lấy Xo € [a;b] sao cho /(xo)/z/(xo) > 0 (xo thường được chọn là một trong hai đâu mút a hoặc b) Khi đó, dãy {x„} điỉợc xây dựng theo (2.5) hội tụ đến nghiệm đúng

* và ta có ước lượng xn 4' 1 X ọ (Xh + 1 xn) với 0 < m < \f' (x)|; \f" (x)Ị < A4, Vx G [a;b].

Chứng minh Không giảm tổng quát ta giả thiết f” (x) > Oz Vx e [a; b].

Trường hợp 1: Xo = a Vì (a) > 0 nên > 0 Ta suy ra f(b) < 0 và/'(x) < 0, Vx G Ta sẽ chứng tỏ {x„} là dãy tăng và {xM} c ịa;x*ỵ

Giả sử xn € [a; X*) Ta suy ra /(xn) > 0 và /' (xw) < 0 Khiđó, fM r

^n + l — Áp dụng công thức khai triển Taylor ta được

Ta suy ra "í, \ \ > X,1 — X* Do đó, Xn+1 < Xfi — (x„ — X*) = X*.

Vè X'o = a € [ô;x*) nờn theo kết quả trờn ta được {x„} là dóy tăng và {x„} c [í7;x*) Dãy {x„} tăng và bị chặn trên bởi X* nên có giói hạn lim x„ = K E (a; b) Do tính liên tục của các hàm số y(x) và y'(x) trong n —> -I- co đoạn [a; b] nên từ công thức (2.5) ta suyra lim xn+1 n— >4-00 lim

X — X — /O) Điều này dẫn đến /(x) = 0 Vậy X là nghiệm của phương trình /(x) = 0 trong [a;b] Dựa vào tính duy nhấtnghiệm của phương trình (2.1) ta khẳng định X = X* hay lim xn = X*. n — > 4- co

Tiếp theo, ta chứng minh công thức ước lượng Áp dụng công thức khai triển Taylor ta được

> f (x*) (xn ! 1 - X*) Áp dụng công thức khai triển Taylor lần nữa ta dược f (x„ + i)

2.3 Phương phãp tiếp tuyến (Newton) f" (en)

Do đó, f' (x*) (x„+i - X*) 2 (xn+i — xn) Điêư này dân đên

Trường hợp 2: Xo — b Bằng lập luận tương tự như trường hợp 1, ta chứng minh {x„ } là một dãy giảm và {x„ } c (x*; b] Từ đó ta khẳng định lim xn — X* và tính đúng đắn của công thức ước lượng ■ n — > Ị oo về mặt hình học, đểxácđịnhphần tử Xn+1,xuất phát từ điểm nằmtrên đồ thịhàmsố /(x) có hoành độ xn ta kẻ tiếp tuyếnvới đườngcong Hoành dộ giao điểm của tiếp tuyếnvới trục hoànhsẽ là Xtt+1 Hình2.8 cho ta một cách nhìn trực giác về phương pháp tiếp tuyến.

Hình 2.8 Minh họa phương pháp tiếp tuyến

Thuật toán giải gần đúng phương trình (2.1) bằng phương pháp tiếp tuyến (Newton)

Bước 1: Chứng tỏ f (x) (x) không đổi dấu trên [a;b].

Bước 2: Xây dựng dãy {xn } như sau:

• Nếu f (í?)/" (a) > 0 thì ta chọn Xo = a, ngược lại ta chọn Xo — b.

• Cácsố hạng còn lại xác định bởi hệ xn1 = xn

Bước 3: Đánh giá sai số của nghiệm gầnđúng theo công thức:

2.m với 0 < m < \f' (x)|; \ f" (x)| < M,Vx e [a;b] Thông thường ta lấy m = ^1 = max I/" (x)| xg [/ ớ ; ỉ ằ] xe [a;b]

Ví dụ 2.10 Giảiphương trình X3 — 2x — 10 = 0 bằngphương pháp New ton (lặp4 bước, đánh giá sai số bước 4), biếtđoạn ly nghiệm là [2;3].

Giải Đặt f (x) = X3 — 2x — 10, ta có f (x) = 3x2 - 2 > 0 , Vx e [2; 3 /"(x) = 6x > 0 , Vxg[2;3. c 0 nên ta chọn Xo — 3 Ta xây dựng dãy {x„ } nhưsau:

Từ đây ta tính được

Tiếp theo, ta đánh giá sai số của nghiệm gần đúng x4 Ta có

2m với m = min \ ff (x)ị = min |3x2 — 21 — 10, xe [2-3] u 71 XG[2;3] 1 1

M = max \flỉ (x)| = max |6x| = 18. xe[2;3] XG[2;3] 1

Ví dụ 2.11 Giảiphương trình (x + l)4 (1 — 9,5x) = 1—9,9x bằng phương pháp Newton (lặp 4 bước, đánh giá sai số bước 4) biết đoạn ly nghiệm là [0,1, 0,2].

2.3 Phương pháp tiếp tuyến (Newton) 35

Vì /(0,1)ffỉ (0,1) < 0 nên ta chọn XQ = 0,2 Ta xây dựng dãy lặp {xn } như sau:

= 0,114150 Tiếp theo, ta đánh giá sai số của nghiệm gần đúng X4 Ta có

M = max \f" (x)| = max xe[0,l;0,2] xe[0,l;0,2 m = min \f' (x)I — min xẽ[0,l;0,2] X€[O,1;O,2]

Ví dụ 2.12 Giả sử ông A vay một người bạn 100 triệu đồng với thỏa thuận là sẽ trả cho anh ta trong 5 năm, mỗi năm một lần, các khoản tiên {21 triệu, 22 triệu,23 triệu,24 triệu, 25 triệu} Lợi suất R của dòng tiền tệ này lànghiệm thực (duy nhất) của phương trình

Biết phương trình (2.6) có đoạn ly nghiệm là [0;1], giải phương trìnhbằng phương pháp Newton (lặp 7 bước, đánh giá sai số ở bước 7).

Giải Đặt X = R+ 1, phương trình (2.6) trở thành

Phương trình trên tương đương với

Phương trình (2.7) có đoạn ly nghiệm là [1;2] Gọi /(x) là vế trái của phương trình (2.7) Ta có f' (x) = 500x4 - 84x3 - 66x2 - 46x - 24, f" (x) = 2000x3 - 252x2 - 132x - 46, f" (x) = 6000x2 - 504x - 132.

Ta thấy rằng f" (x) > 6000 - 504 X 2 - 132 = 4860 > 0,Vx e [1;2] nên /"(x) là một hàmtăng ương [1;2], Ta suy ra f" (x) > 2000 X l3 - 252 X l2 - 132 - 46 = 1570 > 0.

Từ đây ta cũng khẳng địnhf(x) là một hàm tăng trên [1;2] Do đó, f (x) > 500 - 84 - 66 - 46 - 24 = 280 > 0.

Vì /(l)//z(l) < 0 nên ta chọn Xo = 2 Xét dãy {x„} được xây dựng như sau: 100x5 - 21x4 - 22x3 - 23 X2 - 24x„ - 25 xn+1 - xn 500x4 _ 84x3 _ 66x2 _ 46%n _ 24 ■

Ta đánh giá sai số nghiệm gần đúng X7

7 -X I < 2^( * 7-Xó) với A4 = max \f" (x)| = \f" (2)1 = 14682, x€fl;2l m= m n |/'(x)| = |/'(1)| (0 xe[l;2]

Vậy |x7 - X* I < 5,2 X 10“9 Ta lấy 1 + R Xy hay R ô 0,047030 ■

Ví dụ 2.13 Sử dụng phương pháp tiếp tuyến, hãy tính gần đúng y/ã với sai số không vượt quá e cho trước, trong đó a không là bình phương của một số hữu tỉ nào.

Phương pháp dây cung

Giải Ta giải bài toáncho trường hợp íỉ = 2 và e — 10-6, trường hợp tổng quát xin dành cho bạn đọc Ta thấy \/2 là nghiệm dương duy nhất của ohương trình X2 — 2 = 0 Phương trình X2 — 2 = 0 có đoạn ly nghiệm là 1;2] chứanghiệm đúng X* = \/2- Đặt f(x} = X2 — 2, ta có f' (x) = 2x > 0, Vx e [1; 2], f" (x) = 2 > 0,Vx G [1; 2]

Vì /(1)/"(1) < 0 nên ta chọn Xo = 2 Xét dãy {x„} được xây dựng như sau:

Ta đánh giá sai số nghiệm gần đúng x4

|x4 - x*| < ^(x4 - X3)2 = 2 X 10- < 10- Vậy \/ĩ ~ 1,414214 với sai số không quá 10~6.

Trong mục này, ta cũng giả thiết fl (x) (x) liên tục và không đổi dấu trên [a; b] Không giảm tổng quát, ta giả sử /"(x) > 0,Vx E [a; b] Khi đó, đồ thị hàm /(x) nằmphía dưới dây cung AB với A(a; f B(b; f (b))’ Trường hợp 1: /(fl) > 0 Ta xây dựng dãy {rM} theo hệ thức:

Khi đó, ta sẽ có dãy {x,i} đơn điệu giảm và {x„} c (r‘; b].

Trường hợp 2: /(í?) < 0 Ta xâydựng dãy {x„} theo hệ thức:

Xn -1-1 ” Xn (x„ — b), Vh > 0 (2.9)Khi đó, ta sẽ có dãy {x„} đơn diệu tăng và {x„} c [ữ;x*).

38 Phương trình đại sốvà phương trình siêu việt

Hỡnh 2.9 Minh họa phươngphỏp dõy cung với /(ô) > 0.

Hỡnh 2.10 Minh họa phương phỏp dõy cung với /"(ô) < 0 Định lý 2.5 Cho phương trình/(x) = 0 cớ [a; b] là đoạn ly nghiệm, đồng thời f'(x) liên tụcvà khôngđổi đấu trên [a; b], f"(x) liên tục và diỉơng trên a;b] Khi đó, dãy {xM} được xây dựng theo hệ thức (2.8) (nếu f(a} > 0) hoặc hệ thức (2.9) (nếu f(à) < 0? hội tụ đến nghiệm đúng X* và ta có ước híợng

Chứng minh Đểchứng minh Địnhlý2.5 ta cần chứng tỏ các kết quả được nêu trong trườnghợp 1 và trường hợp 2 Ở đây, ta chỉ trình bày lời giải cho trường hợp 1, trường hợp 2 xindành chobạn đọc.

Vỡ /(ô) > 0 nờn ta suy ra /(&) < 0 và < 0, Vx G [a;b] Ta sẽ chứng minh {xtt} là dãy giảm và {xn} c (x*;b].

Thật vậy, giả sử xn e (x*;b] Khi đó, f (xn) < 0 Áp dụng định lý giá trị trung bình Lagrange ta được f -/(ô) = f' (cn) (X>1 - với Cfj G (a; x „) Ta suy ra

Tiếp theo, ta chứng tỏ X/H-1 > X* Để thực hiện điều này ta chứng minh hai bổ đề sau:

Bổ đề 2.1 Cho hàm số/(x) thuộc tập C|^ vàfH{x) > 0,Vx E [a;b] Khỉ đó, ta có f (xx + /y) < ocf (x) + // (y) với mọi X, I/ G \a; b] và X, P là hai số dương thỏa X + /ỉ — 1 Đẳng thức xảy ra khivà chỉkhi X = y.

Không mất tính tổng quát ta giả sử X < I/ Đặt F (x) ô/(

T' (x) = ô [f (xx + /5y) - f (x)] Áp dụng định lý giá trị trung bình Lagrange ta được

P' (x) = 0 khi và chỉ khi X = y Ta suy ra hàm số f(x) tăng ngặt trên đoạn [í?;y] Do đó,

/(ax+ /y) < x/(x)+//(y),Vx e [ữ;y]. Đẳng thức xảy ra khi X = y Bổ đề 2.1 đã được chứng minh.

Bổ đề 2.2 Cho hàm sốfix') thuộc tập và f"(x) > 0,Vx e [a; b] Khi đó, ta có bất đẳng thức f f /) > ỉ-iĩl / — với x,y,z e [a; b] và z y z X

X X nên theo Bổ đề 2.1 ta được r/.A z ” y c / X , y — X r f (y) < 7TTÍ/ w + TTT?/ (2) • Ê4 •Á' M ô/V

Bất đẳng thức trên tương đương với

Bổ đề 2.2 đã được chứng minh.

Trở lại Định lý 2.5,vì Xn > X* > a nên theo Bổ đề 2.2 ta được

Bất đẳng thức trên tương đương với f (x„) (x„ - a) fM - f (fl) < xn - X*.

Vậy ta đã chứng tỏ được {x;!} là dãy giảm và {x„ } c (x*; b] Do đó, tồn tại

, , , ' f (xn) (x„ — fl) số thực Cí e (ữ; b) đê lim xn = a Vì Xn+1 = Xu - , —c va f (X) n —> 4- co J ( X n J J (í? J liên tục trôn [a; b] nên ta được f (a) (x — a) /(ô) - ^/(ô) =0.

Vì vậy cc — X* hay lim xn — X*.

Tiếp theo, ta chứng minh công thức ước lượng Áp dụng định lý gìá trị trung bình Lagrange ta được f (Xn+ĩ) = f (x„+l) -/(x*) = f' (u„) (x„ + a - X*) f (x„+ 1) = f(Xn) +f' (ỉ?„) (x„ + ! - x„)

Ta suy ra f' (x„+l - X*) = / (x„) + f' (v„) (x„ + 1 - x„) Áp dụng định lý giá trị trung bình Lagrangelần nữa ta được f (*n) -/(ô)= f' (x„ - a)

Ta suy ra f (x„) = -f' (Un) (xn+ ỵ - x„)

Từ các đẳng thức trên ta được f (tin') (x„+ĩ - X*) = f (xn) +f' (vn) (xn+1 - x„)

Thuật toán tìm nghiệm gần đúng của phương trình (2.1) bằng phương pháp dây cung

Bước 1: Chứng tỏ f'{x),f"(x) khụng đổi dấu trờn [ô;(?] Nếu /z/(x) < 0,Vx e [rt;b] thì ta xét phương trình g(x) = 0 thay cho phương trình/(x) = 0 vớig(x) = — /(x).

Bước 2: Xây dựng dãy {x„} như sau:

• Nếu > 0 thì ta chọn Xo = b, các số hạng còn lại xác định bởi hộ thức

< 0 thì ta chọnXo = a, các số hạng còn lại xác định bởi x„4-l = xn /M

Bước 3: Dánh giá sai số của nghiêm gần đúng dựa vào công thức

M — m m với M, m là hai hằng số thỏa mãn 0 < m < |/z (x) I < M,Vx G [a; b].

Ví dụ 2.14 Giải phương trình X3 + X2 + X — 1 — 0 bằng phương pháp dây cưng (lặp 8 bước, dánh giá sai số bước 8), biết đoạn ly nghiệm là [0; 1].

Vì f (0) = — 1 < 0 nên ta xét dãy {x„} được xây dựng như sau:

Ta đánh giá sai số của x8 Ta có

2.4 Phương pháp dây cung 43 với

Ví dụ 2.15 Giải phương trình ex — 3x2 — 0 bằng phương pháp dây cung với sai số nghiệm gần đúng không quá 10“ 2, đoạn ly nghiệm của phương trình là [3; 5].

Giải Đặt/(x) là vế trái của phương trình Khi đó, ta có

Vì f (3) < 0 nên ta xét dãy {xn} được xây dựng như sau:

Ta đánh giá sai số của nghiệm gần đúng X71 Ta có

71 - x * | < m - ]X71 - *7()| = 1,673 X lo-3 < 10~2 với m - min \f (x)| = 2,085537;M - max \f (x)| - 118,413159. xe|3;5] M v 71 xễ [3;5] 7 1

Bài tập 2.1 Tìm một đoạn ly nghiệm của các phương trình sau:

Bài tập 2.2 Giải các phương trình trong Bài tập 2.1 bằng phương pháp chia đôi (tính nghiệm gần đúng %5 và đánh giá sai số kết quả tìm được).

Bài tập 2.3 Giải các phương trìnhtrong Bài tập 2.1 bằng phươngpháp lặp (lặp 4 bước, đánh giá sai số bươc 4), biết bước lặp ban đầu được chọn là trung điểm đoạn ly nghiệm.

Bài tập 2.4 Sử dụng các kết quả của Bài tập 2.3, ta phải lặp ít nhất bao nhiêu bước đểnghiệm gần đúng của các phương trình trong Bài tập 2.1 có sai số không quá 10~5.

Bài tập 2.5 Cho phương trình X3 sinx — 30 “ 0 có đoạn ly nghiệm là

1 Tìm ít nhất hai hàm 0 với mọi X e {0ÍRk}.

Ví dụ 3.8 Chứng minh rằng ma trận A = xác định dương.

Giải Với mọi X c 1R3\ {0R3} ta có xrAx

Bất đẳng thức trên chứng tỏ A là một ma trận xác định dương E2 Định nghĩa 3.3 Cho ma trận A = (yiịf)k Ma trận B được gọi là ma trận con chíĩih của A nếu B có dạng Định lý 3.1 Neu A e Mfc(]R) là ma trận xácđịnh dương thì A khả nghịch và A~ a cũng là một ma trận xácđịnh dương Hơn nữa, cácma trận con chính của A cũngxác định dương.

Chứng minh Giả sử A không khả nghịch, tức detA = 0 Khi dó, tồn tại một vector X 0RÀ- sao cho Ax — 01Rk, ta suy ra X1 Ax = 0 Điều này mẫu thuẫn với tính xác định dương của ma trận A Do đó, ta phải có A khả nghịch Tiếp theo, ta chứng minh ma trận A~ì xác định dương, tức A~ì đối xứng và xrA“1x > 0 với X Ạ 0RÂ Vì ma trận A khả nghịch nen với mọi X 01Rk luôn tồn tại 1/ /= 0iRÀ dể X — Ay Khi dó, x; A -1x = 1// A7A 1 Ay — yrAy > 0 (3.3)

Hơn nửa, vì A — Ar nên A "1 = (A7)"1 = (A~*y Điều này chứng tỏ

A~1 là ma trận đối xứng Kết hợp với (3.3) ta khẳng định A1 là ma trận xác định dương.

58 Hệ phương trình tuyến tính

Tiếp theo, ta chứng minh mọi ma trận con chính của A đều xác định dương Gọi B là một ma trận con chính của A Khi đó, B có dạng

B = ^2^2 Ỷ aìf>h với 1 < p < k Hiểnnhiên B là một ma trận đối xứng

Với mỗi vector e IRT\{O]R/'} ta xây dựng vector e !Ra'\{0r0 như sau í Zị khi m — ỉjrj = 1, p

[ 0 các trường hợp khác Khi đó, zt B z — xrAx > 0 Vậy B là ma trận xác định dương. Định lý 3.2 Nếu A ỉà ma trận xác định dương thì det A > 0.

Chứng minh Ta chứng minh định lý trênbằng phương pháp qui nạp Với k — 1 ta được A là một ma trận vuông cấp 1, tức A — (fl) Vì A xác định dương nên fl > 0 Do đó, detA — a > 0 Giả sử định lý đúng với mọi ma trận xác định dương có cấp không vượt quá k — 1 Gọi A là một ma trận xác định dương cấp k Theo Định lý 3.1, ma trận A khả nghịch và

3.3 Phươngpháp Choleski 59 là ma trận xác định dương Củng theo Định lý 3.1, ma trân Aĩ — (íXn) là một ma trận con chính của nên nó củng xác định dương, tức >0 Mặt khác, ta có ([9])

\ rtkZ ak3 • • • akk / là một ma trận con chính của A và có cấp k — 1 nên theo giả thiết qui nạp ta có det B > 0 Do vậy det A > 0 s

Hệ quả 3.1 Nếu A là ma trận xác định dương thì mọi ma trận con chính của A đều có định thức là một số dương.

Hộ quả 3.1 cho ta diều kiện cần dể ma trận A là xác dịnh dương Một vấn đề được đặt ra là nếu ma trận đối xứng A có mọi định thức con chính đều dương thì ta có khẳng định được A là xác định dương? Câu trả lời ở đây là khẳng định Hơnnửa, ta có kết quả tốthơn sau đây: Định lý 3.3 Cho ma trận đối xứng A — (aịị)k c lMfc(IR) Ta xét các ma trận con chính Ap = (#//)/> với 1 < p < k Khi đó, ma trận A xác định dươngkhi và chỉ khi detAp > 0, p — 1,k.

Chứngminh Xét dạng toàn phương q(x) = xTAx,x c 1RÂ Theo Định lý Jacobi ([9]) tồn tại một cơsở ợ—chính tắc p của IR^ sao cho biểu thức của q trong cơ sở p có dạng q (x) — det Api/i + det/12dXXX + " ■7 , + det/V det X ,Vt 2 với ị.r]p = ( 1/J Ị/2 ) r Khi đỏ, g(x) > 0,Vx e fRfc\ {0R1 } H

Ví dụ 3.9 Trởlại Ví dụ 3.8, ta xétba ma trận con chính sau của A

VÌ detail — 25 > 0;det/12 = 225 > 0;det/ls ~ 2025 > 0 non theo Dinh ly 3.3, ma trận A là xác định dương.

Sau đây, ta SC phân tích ma trận xác định dương A theo một hướng khấc, rấtcó ích cho việc giải hệ phương trình tuyến tính. Định lý 3.4 Ma trận A là xác định dương khi và chỉ khi tồn tại ma trận tam giác dưới L với các phần tử năm trên đường chéo chính dương sao cho

Chừng minh Trước hết, ta chứng minh rằng nếu ma trận A có thể biếu diễn dưới dạng A — LL1, trong dó L là ma trận tam giélc dưới vơi các phần tử nằm trân đường chéo chính dương thì A là xác dinh dương Thật vậy, vì A 1 = (LL1)1 = (Lz y L1 — LL1 — A nen A là ma trận dối xứng Tiếp theo, ta giả sử

Vì A — LlJ nên với p = ỉ,k ta có

Ta suy ra detAp = /11^22 ’ ’ ■ Ipp > 0, p = 1,k Áp dụng Định lý 3.3, ta khẳng định A là ma trận xác định dương Ngược lại, ta sẽ chứng tỏ nếu A là ma

3.3 Phương pháp Choỉeski 61 trận xấc định dương thì tồn tại ma trận tam giấc dưới L với các phần tử năm trên dường chéo chính dương sao cho A — LL} Ta se thực hiện điều này bằng phương pháp qui nạp.

Với k = 1 ta được A = (n) Vì A xác dịnh dương nên a > 0 Đặt L1 = (\/Ã), ta thấy h-Ị là ma trận tam giác dưới có các phần tử nằm trân đường chéo chính dương và A — LỵLỴ.

Giả sử khẳng định trên đúngvới mọi ma trận xấc định dương có cấp không vượt quá k 1 Gọi A là ma trận xác định dương cấp k Khi dó, A có thổ biểu diễn dưới dạng

\ b' (ỉkk ) với Ak_y = (aij)k_1;b e ]RẦ' 1.

Ma trận Ak-Ì là ma trận con chính của A nen Ak Ị cũng là ma trận xác định dương với cấp /c — 1 Theo giả thiết qui nạp, tồn tại ma trận tam giác dưới La-1 với các phần tử nằm trên dường chéo chính dương sao cho

Xét ma trận L có dạng

Ta sõ xác định c G IRÂ1 và ỉĩỉ > 0 để Ị ịt = ( L k ^ ỵ 0 ( Lĩ-Ỉ c y CT ỉn ) y 0T m / ( 1 V (3-4)

V b Cỉkk J Đẳng thức (3.4) tương đương với í Lk_ỵC^b

Vì Lk-ỵ không suy biến nên từ Lk-ỵC = b ta suy ra c = Trong phương trình thứ hai, nếu c1c > akk thì 7/Z2 < 0.

Từ dẳng thức (3.4) ta suy ra det/1 = (det Lk-Ì)2m2 Do detA > 0 và (det L/c-1)2 > 0 nên ta phải có m2 > 0, diều này mâu thuẫn Do đó,

CTC < akk Ta suy ra m = ỵ/íỉkk — CTC Vậy ta đã xây dựng được ma trận tam giác dtrới L có các phần tử nằm trên đườngchéo chính dương sao cho

A — LLr Theo nguyên lý qui nạp, định lý được chứng minh.

Dựa vào Định lý 3.4, các phần tử lịj, 1 < j < i < k được xác định bởi

Ví du 3.10 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Choleski

Giải Hệ phương trình đã cho có ma trận hệ số

Ta xét ba ma trận con chính sau của ma trận A:

Ta thấy det/11 = 1 > 0;det/42 = 1 > 0;det/l3 = 4 > 0 nên A là ma trận xác định dương Do đó, theo Định lý 3.4, tồn tại ma trận tam giác dưới L với các phần tửnằm trên đường chéo chính dương thỏa A — LLr Khi đó,

Trước hết, ta giải hệ

Tiếp theo, ta giải hệ

Hệ đã cho có nghiệm là X] = l;x'2 = 1;X3 = 1.

Ví dụ 3.11 Giải hệ phương trìnhsau bằng phương pháp Choleski x-ì + x2 4~ x3 + x 4 = 5

Giải Hệphương trình đã cho có ma trận hệ số

Ta thấy A là một ma trận xác định dương (bạn đọc tự kiểm tra) Do đó, theo Định lý 3.4, tồn tại ma trận tam giác dưới L với các phân tử năm trên đường chéo chính dương thỏa A = LLT Khi đó,

\ 1 2 1 4 / Trước hết, ta giải hệ

64 Hộ phương trình tuyến tính

Tiếp theo, ta giải hệ

Hệ da cho có nghiệm là Xi = 1; X2 — 1; = 1; %4 = 2.

Phương pháp lặp

Phương pháp lặp đơn

Xét hệ phương trình tuyến tính Ax — b với A € Mfr (JR) và det A Ạ 0 Khi đó, hệ phương trình Ax = b có nghiệm duy nhất x(*\ Biến đổi hệ phương trình Ax = b về dạng

X = Bx + g;B e Mjt(lR), g e lRfc. Với x(°) e JR\ ta xây dựng dãy vector < x(nì > như sau:

Với một số điều kiện về ma trận B, dãy |x(") I sẽ hội tụ đến nghiệm đúng x(

\ Phươngpháp lặp xác định theo hệ thức (3.10) đểgiải hệ phương trình

Ax = b được gọi là phìỉơng pháp lặp đơn Sau đây, ta xét một số điều kiện của ma trận B đểdãy < x("^ > hội tụ đến nghiệm đúng x(*\ Định lý 3.7 Nếu 11 BII < 1 thì với mọi x(°) e IRfc, dãy |x("> I xác định bởi

(3.Ĩ0) hội tụ đến nghiệm x(*\ Hơn nữa, ta có các ước lượng:

Chứng minh Trước hết, ta chứng minh dãy I xấc định bởi (3.10) hội tụ Theo Tính chất 3.2 ta có x ( h + 1) — x(n) B (xí") -xí"-1) < RI x ( m ) _ xí"-1)

Khi đó, với mọi n > 0,Hỉ > 0 ta được x(n+m) _ x(n) (n4 m-l-1 m

Vậy I là day Cauchy trong IRA Do đó, tồn tại lim = ữ* Ta sẽ chứng minh X* là nghiệm đúng của hệ phương trình Ax — b Thật vậy, từ hẹ thức (3.10) ta suy ra lim x^n 1 = lim

VậyX* là nghiệm của hệ phương trình Ax = b Do đó, x^*' 1 = a*

Tiếp theo, ta chứng minh các công thức ước lượng Ta có x(n4-l) _ x( * ) |b (x(") - x(*)) < ||B|| x(") -x(*)

Kết hợp ước lượngtrôn với bất dẳng thức x(”4-1) _ x(ô) < ||B||" ta suy ra x("4 1) x(*)

X(1) _ x(0) Định lý đã được chứng minh.

Nếu một hệ phương trình tuyến tính có thể đưa về dạng X = Bx +g với IIBII < 1 thì hệ đó có nghiệm duy nhất = lim với dãy I được xác định như trong (3.10) Thật vậy, nếu hệ đó còn có nghiệm x(

Vì I B (x(*> - y H ) < RI _ y( * ) |x< * > - nên ta suy ra x ( * ) _ ị / * ) (vô lý).

Kết quả trân giúp chứng ta bò qua bước tính detTl (tức bước kiểm tra tính duy nhất nghiêm của hộ ban dầu) Một khi dã biến đổi hộ dã cho về dạng

X = 13 X + g vối IIBII < 1 thì ta củng đã khẳng định sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình ban đầu.

Vấn đề dưa hệ phương trình Ax — b về dạng (3.9) với ma trận 13 thỏa mãn điều kiên Ị|R|| < 1 là không tầm thường Với mỗi ma trận A cụ the phải có một kỹ thuật tương ứng kèm theo Như dã trình bày, hai chuẩn II11^; IIII-Ị có nhiều tính chất hay nen ta thường biến dối hệ phương trình Ax - b về dạng (3.9) với 13 thỏa II lloo < 1 hoặc II73II < 1 Kết quả sau dây cho ta vài trường hợp diển hình:

3.4 Phương pháp lặp 73 Định lý 3.8 Giả sử ma trận A = ÍAiị)k thỏa mãn một trong hai điền kiện san:

Khi đó, ta có thểđưa hệ phương trình Ax — b về dạng (3.9) với II B 11^ < 1

(nếu A thỏa điều kiện ĩ) hoặc lịBị^ < 1 (nếu A thủa điều kiện 2).

Chứng minh Ta xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Diều kiện ĩ được thỏa Biến đổi hộ phương trình Ax — b vê dạng tương đương k aaXi + ỴLauxi“ bi'i= rk- iTi 7 = 1

0 Khi đó, hộ Ax = b tương đương với hộ x — Bx T g trong đó

Trường hựp 2: Điều kiệu 2 được thủa Dặt 2, n,-,.Yỉz / - l,/< thì hệ phương trình Ax — b trở thành

Vậy hệ Ax = b tương đương với hệ z — Bz + g, trong đó

Ta thấy II B llì = max i 1 Đối với trường hợp 2, tuyđã đưa ra cáchbiến đổi phương trình Ax = b về dạng (3.9) vói II B 1^ < 1 nhưng ta phải thông qua vector z Do đó,nếu ta dùng công thức ước lượng sai số trong Định lý 3.7 thì ta chỉ đánh giá độ chính xác cho nghiệm gần đúng theo z chứ không phải theo X Vì vậy ta cần xảy dựng công thức đánh giá sai số khi chuyển về X

Giả sử = ( zịn^ z^ z9^ ì ,n > 0 Khi đó,

) T tíkk Áp dụng Định lý 3.7 ta được

Mặt khác, theo định nghĩa của chuẩn IIII1 ta có

Từhai bất đẳng thức trên ta nhận được công thức ước lượng sai số min max \ajị\ l = Bxd) 4-g; ; x(n+1) — Bx(") 4-g; Bước 3: Đánh giá sai số nghiệm gần đúng

Ví dụ 3.12 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn (lặp bốn bước, đánh giá sai số ở bướcbốn)

Giải Ta thấy ma trận hệ số của ẩn thỏa diều kiện 1 trong Định lý 3.8 Biến đổi hệ ban đầu về dạng tương đương ị X1 = 0X1 — 0,2x2 — 0,2X3 4- 1,4

\ -0,05 -0,05 0 / \ 1,1 ) \ X3 / Khi đó, hệ phương trình ban đầu được viết dưới dạng X = Bx 4- g với

IIB11^ — 0,4 < 1 Ta lấy x(°) = g và xét dãy |x(w) Ị được xây dựng bởi hệ

76 Hệ phương trình tuyến tính thức xO' 1 0 = Bx^ + g, \/n > 0 Ta tính được

1,016000 1,009000 1,005500 1,000680 1,000415 1,000253 Đánh giá sai sốnghiệm gần dứng xOO x(4) _ < IIBỊL

Chú ý 3.1 Đê thuận tiện cho việc trìnhbày, các nghiộm gần dũng đôi khi dược trìnhbày dưới dạng bảng như sau:

Ví dụ 3.13 Giải hệ phương trình sau bằng phương phấp lặp dơn (lặp bốn bước, dánh giá sai số ở bước bốn)

Giải Biến đổi hệ ban dầu về dạng

Khi đó, hệ phương trình ban đầu được viết dưới dạng X — Bx + g với ll^llọo = 0'4 < 1- Ta lấy xl°l = g và xét dãy p(") j> dược xây dựng bởi hệ thức x(n 1 h = ỉ3x7B -ị- g, Vn > 0 Bảng số sau đây được thành lập sau bốn lần lặp: n -v2 x3 x■T4W

Ta đánh giá sai số nghiệm gần đúng x(4' ỊỊBIL

Thuật toán tìm nghiệm gần đúng của hê phương trình Ax — b bằng phương pháp lập đơn khi ma trận A thỏa điều kiện 2 trong Định lý 3.8 x(ô I 1)

Ví dụ 3.14 Giải hệ phương trình sau bằngphương pháp lặp đơn (lặp bốn bước, đánh giá sai số ở bước bốn)

Bước 1: Thực hiện phép đổi biến Zị — íỉịịXị, i = 1,/c, sau dó ta đưa hệ phương trình Ax — b về dạng z — Bz + g với II< 1.

Bước 2: Xây dựng dãy thông qua hệ thức:

Bước 3: Xây dựng dãy I dựa vào dãy ịz(")

Bước 4: Đánh giá sai số nghiệm gần đúng

■ 78 Hệ phương trình tuyến tính

Giải Ta thấy ma trận hệ số của hệ thỏa điều kiện 2 trong Định lý 3.8 Ta tiến hành đổi biếnZ-Ị = 10x'i;Z2 — 5x2; Z3 = 10x3 Khi đó, hệ phương trình ban đầu trở thành

Khi đó, hệ phương trìnhban đầu trở thành z = Bz + g với ||B[|1 =0,5 < 1

Ta lấy z((0' ~ g và xét dãy < z00 / được xây dựng bởi hệ thức

Bảng số sau đây được thànhlập sau 4 lần lặp: n z2 z3 Ư'0

Từ đây ta xây dựng được bảng số cho x(") n xiV(A/) x2 x3 _ (ĩl)

4 1,00445 1,017 0, 00446 Ước lượng sai số của nghiệm gần đúng X24'

Phương pháp lặp Seidel

Trong mục này, ta tiếp tục nghiên cứu cách giải gần đúng hệ phương trình

Ax — b Ta đưa hệ phương trình Ax — b về dạng X — Bx + g với B — ( vàg = (gi)kxi-

Giả sử rằng ta đã có xấp xỉ Khiđó, vector x(w I 1) — ớ ( h + 1) (ô+!) Y.(n + 1) V x — V xỉ x2 • • • xk J được xác định bởi

_(ô-♦!) xị — ^11^] + bỵ2X{p + bỉ^p + • + bỵkx{'l} + gi

Dãy |x(n) I được xây dựng như trên được gọi là dãy xấp xỉ Seidel (hoặc dãy Seidel) Ta sẽ xem xét điều kiện của ma trận B đê dãy trên hội tụ về nghiệm x(*) của hệ phương trình Ax — b

Chứng minh Giả sử ( X]*) đúng của hệ Ax = b nên

80_ Ilệ phương trình tuyến tính Với i 1 , l< ta dược ì I

Trường hợp í - 1 ta qui ước )' jbợ|

CO (3.13) ỆIM trong dó (X = max —-—7— -.

1. Áp dụng liên tiếp bất dẳng thức (3.13) ta được

H - >00 x(ằ I 1) x(*) co 0 hay lim 1 ĩl >co nếp theo, ta chứng minh công thức ước lượng sai số Ap dụng còng thức (3.13) ta dược v(ằ I 1)

Gọi iỵ E {1,2, , k} là giá trị sao cho a — —“ Khi đó,

Chú ý 3.2 Để chuyển hệ phương trình Ax = b về dạng X — Bx + g với ịịBlloo < 1 thì ta có thể áp dụng phần 1 của Định lý 3.8.

Thuật toán giải hệ phương trình Ax — b bằng phương pháp lập Sei del khi ma trận A thỏa điêu kiộn 1 trong Định lý 3.8:

Bước 1: Chuyển phương trình Ax — b về dạng X — Bx + g trong dóp|Lvới phép dổi biến t = thì đoạn [a; b] se chuyển thành đoạn [ -1; 1 ], chính vì thế ta luôn có thể xét bài toán với các mốc nội suy trên đoạn [ — !;!].

Xết hàm số Tn (x) — cos (n arccosx) với |x| < 1 úng với n — 1,4 ta dược

Với đa thức Chebysev Tịt (x) ta luôn có

1 Tn(x) có n nghiệm thựcphân biệt trong [-1; 1] là

Từ biểu thức tường minh của hàm Tn (x) ta thu được hộ thức truy hồi

Vậy Tn(x) là một đa thức có degT„(x) — H và hộ số bậc cao nhất là 2n~} Đa thức Tn (x) dược gọi là đa thức Chebysev. Định lý 4.1

3 max -;•“V T ịị (x) < max xc|-l;l] 2"* 1 tỉ{ 7 xc| 1;1|

ZM hệsố bậc cao nhấỉ là 1.

\p (x)| với p(x) là một đa thúc bậc n

Chứng minh Việc chứng minh kết quả 1 và 2 khá dơn giản, xin dành cho bạn đọc như một bài tập Ta sẽ chứng minh kết quả 3.

Theo kết quả 2 ta được

2H'1 Giả sử max \p (x)| < “V- Đặt Q (x) = p-~ĩTi, (x) p (x), ta thấy Q(x) là một đa thức có dcg Q(x) < ĨI — 1 và khác đa thức không Hơn nữa,

4.1 Da thức nội sin/ dạng Lagrange 97

Vì Q (cos (^)) >0 nếu i chằn và Q (cos , ta dặt

Ta thấy hàm số '(y) Vậy y’/y) có ít nhất 2n + 2 nghiệm phân biệt. Tiếp tục áp dụng định lý Roll, hàm y>"(y) có ít nhất 2n T 1 nghiệm phân biệt thuộc (a;b) Bằng phương pháp qui nạp, ta chứng tỏ dược hàm

;o+ h! nĩ

Kết quả này giúp ta mở rộng Định nghĩa 4.1 như sau ([7]): Định nghĩa 4.4 Xe't hàm số y — f(x) với X E các mốc {x/}j_Q^ khônggiảm và chứa trong [a;b] Đặt ựị = f (Xị) ,i — ữ,n Khi đó, tỷ sai phân cắp k của hàm số y — f(x) tại các mốc xp, Xị |-i; ; Xị+k được cho bởi công thức

{ f f\xj ị {k} C — m Xị^k — Xị 1 t k.■ ỊI ' 1 / Xi I k — ' 1 / Xi với k = l,n và i = 0,n — k. Đẻ tính tỷ sai phân các cấp của hàm số trong trường hợp tổng quátmột cách thuận tiện, ta sử dụng bảng tỷ sai phân Ớ đây, các mốc của bảng bao gồm mốc xuất hiện trong giá trị của /(x) và đạo hàm cấccấp của /(x).

Ví dụ 4.14 Cho hàm số y — /(x) có bảng giá trị

Lập bảng tỷ sai phân của hàm số /(x) Từ đó suy ra giấ trị các tỷ sai phân /[%o;Xo;X]], f[xỵ;Xi;x2; x2].

Giải Ta lậpbảng tỷsai phân như sau:

X y TSP1 TSP2 TSP3 TSP4 TSP5

Từ bảng tỷ sai phân ta được y[xo;xo;xi] = 1,/[ xi ; xi ; x 2; x 2] — 23 ®

♦ Biểu thức của đa thức nội suy Hermite dạng Newton

Xét hàm số y — f(x) với X e [a;b], các mốc {Xị}ị tăng và chứa trong

[a; b] Ta trởlạibài toán tìmđa thức H(x) thỏa mãn các điều kiện (4.10) Để đơn giản cho việc trìnhbày, ta đánh lại chỉ số các mốc như sau:

{z0; Zi; ; zn } = < Xọ; „;xq; Xi; Xỳ ; Xĩtỉ; ; Xm

V p p P với n — p(m + 1) — 1 Khiđó, đa thức H(x) được xác định bởi côn/thức

Phép nội suy spline

Đa thức H(x) được xác định bởi (4.13) được gọi là đa thức nội suy Her mite dạng Newton.

Ví dụ 4.15 Xây dựng đa thức nộisuy Hermite dạng Newton của hàm số /(x) cho bởi bảng trong Vídụ 4.14.

Giải Từbảng tỷ sai phân được lập trong Ví dụ 4.14 ta suy ra

H (%) = 1 4-4x + X2 + 3x2 (x — 1) +4x2(x — l)2 T x2(x — l)2 (x — 2). Đơn giản biểu thức trên ta được H(x) — x 5 +4 x + 1 B

Việc xây dựng một đa thức đi qua các điểm nội suy trong trường hợp số mốc lớn là một công việc rất khó khăn và khó ứng dụng Một trong những cách khắc phục là trên từng đoạn liên tiếp của các cặp điểm nội suy ta nối chúng bằng những đường đơn giản và đơn giản nhất là đường thẳng. Tuy nhiên, tại các điểm mốc,hàm xấp xỉ sẽmất tính khả vi Dựa vào hình

4.6 ta thấy đường gấp khúc A()Ai A„ không khả vi tại các mốc Xi (tức không tồn tại tiếp tuyến nào của đồ thị nhận các đỉnh A(ì, /1], , An làm tiếp điểm) Do dó, người ta cố gắng xây dựng dường xấp xỉ bằngcách nối các dường cong nhỏ lại với nhau sao cho vẫn bâo toàn tính khả vi tại các điểm nút Đường cong như vậy gọi là đườngspline (đường ghép trơn) Các đoạn cong nhỏ thường là đồ thị của các da thức Chúng ta sẽ xét đường spline phổ biến nhất là spline bậc ba.

122 Đa thức nội suy Định nghĩa 4.5 Cho hàm số f (x) xác định trên đoạn [a; b] và một phép phân hoạch Xo < Xỵ < < xn với Xo — a; xtl — b Một spline bậc ba g (x) nội suy hàm f (x) trên [a;b] là hàm thỏa các điều kiện:

2 Trên mỗi đoạn con [x/; X/+1] hàm số g (x)

[x,; X, , 1] — gi (x) là một đa thức bậc ba với ỉ = 0, n — 1.

4 Một trong hai điều kiện sau đượcthỏa: a g” (xo) — g" (x„) = 0 (điều kiện biên tựnhiên). b g' (x0) — /' (x0) ;g' (x„) = f' (xH) (điều kiện biên ràng buộc).

Một spline bậc ba thỏa điều kiện biên tự nhiên được gọi là spline tự nhiên Còn nếu thỏa mãn điều kiện biên ràng buộc thì được gọi là spline ràng buộc Sau đây, ta tiến hànhxây dựng spline bậc ba g(x).

Hình 4.7. Đặt hi = Xj+1 - Xisg'/iXi) = niị,i =3 ữ,n - 1; g'fĩ_ỉ(xf1) = mn Vìgị (x) là một đa thức bậc ba trên mỗi đoạn [Xị) X/_|_-1] nên đạo hàm cấp hai nó là một

4.4 Phép nội suy Spline 123 nhị thức bậc nhất Ta suy ra g” (x) có dạng

Theo điều kiện 1 trong Định nghĩa 4.5, hàm số g(x) có đạo hàm cấp hai liên tục nên * g'i' (x/+i) = g" (xí+i) = g'^ ! (x/+1) = m, ,1,2 = 0,n-2.

, X X - Xi t Xf.n—X - - gi (x) = mị.ị! — + m,—th -/ i = 0,n - 1.

Từ hệ thức trên ta được

*' (x) = m,+ + N,.^, (4.14) và g', (*) = q (x-/-)2 _ m/x,u-x)2 _ Ml + Mi' in 2hj ' 2hị /i/ hi ■

Thay X — Xi vào (4.14) ta được

6 Tương tự, thay X = X/11 vào (4.14) ta được

6 Kết hợp các kết quả trên ta được hệ thức f ứ ị M, = ĩ/ị - _

Do đó, để xác định Mị, Nị, ta chỉ cần xác định các số mị, i = 0, n Sử dụng điều kiện 1 lần nữa, ta thấy hàm g' (x) liên tục trong [a; b] Khi đó,

Ta suy ra hi + 3' +/ỉ'4i -Vú2-y/4i 1/7+1-y/ Z X

6 3 6 '7/11 fl ị với i — 0,77 — 2 Hộ phương trình (4.15) gồm 77 — 1 phương trình với 71 T 1 ẩn niị, i — 0,71 Để thu được đầy dủ ta phải dùng thom điều kiện 4íĩ hoặc 4b ơ đây ta chỉ xét điều kiện quan trọng nhât là 4ư, điêu kiện 4b bạn dọc xem như một bài tập.

♦ Trường hơp dùng điều kiên 4fl

Từ hệ phương trình (4.15) và điều kiện 4fl ta được hộ phương trình

1/712 1/71-1 _ 1/7 11 -ỵ/i hM hi ' (4.16) với i ~ 0,77 — 2 Để chứng minh hệ phương trình (4.16) có nghiêm duy nhất ta sử dụng kết quả quan trọng sau: Định lý 4.9 Cho ma trận A ~ (fl;7) e JM„(1R) thỏa tính chất đường chéo trội, tức lỉ

Kill đó, hệphương trình Ax — Orh chi có nghiêm tầm thường Từ dó suy ra dct A 0.

Giải Giả sử hộ phương trỡnh Ax — 0ịrô cú nghiệm khụng tầm thường

X — ( A'l X2 Xfj )7 Khi dó, tồn tại z’o € {1,2, , 77} sao cho ịx,01 = max { l-Vì I; |x21; .; |x„ I} Phương trình thứ 7*0 của hệ Ax — 0|RH có dạng d- (ỉiị)2x2 + 4- ^/níox/o + 4- aịị}lĩxH 0 (4.17)

Kết hợp (4.17) với tính chất đường chéo trội của ma trận A ta được n n ■

KI £ Sz \ xi\ aiọj KI KI’ Điều này chứng tỏ hệ phương trỡnh Ax = 0]Rô chỉ cú nghiệm tầm thường.

Hệ phương trình (4.16) có ma trận hệ sô

Ta thấy ma trận A thỏa tính chất đường chéo trội Thật vậy, với i = 1 hoặc i — n 4- 1, ta có

>2 0' ^(/7•} 1)074 1) Với n > i> 2 ta có Ẻ M hị-2 + fy Ị l^ữ’1 — 3 hj-2 + 6 hi-ĩ

Vậy hộ phương trình (4.16) có duy nhất nghiệm hay tồn tại duy nhất một spline bậc ba tự nhiên.

Tóm tắt thuật toán tìm spline bậc ba tự nhiên nội suy hàm số f (x) trong đoạn [a; b]

Bước 1: Tính các giá trịhị = Xj+1 ” Xi, i = 0, n — 1.

Bước 2: Giải hộ phương trình sau đê tìm mị,i = 0, n. hi , _ hị + hi+ỵ m~ 4- m/ H -

Bước 3: Tính Mị,Nj theo công thức Ỉ M/ = i/, — Vi + — i - ^'-7-/ m/+1 i hỉ, 7, ỉ 0 = 0, = n 7- 0, n — 1 - 1 -X

Bước 4: Xây dựng hàm nội suy spline bậc ba tự nhiên g (x) theo công thức g w = gi w = ”G I 1 - * 6I^ + mr x'' x bhị bhl hị

Ví dụ 4.16 Tìm một spline bậc ba tự nhiên nội suy hàm số I/ = 3X trong đoạn [0; 4] với các mốc nội suy lần lượt là Xo = 0; Xi = 1; x2 = 3; X3 = 4.

Giải Từ giả thiết đề bài ta có hữ = l;hy = 2;h2 = l;yo = l;yi = 3; 1/2 = 27; 1/3 = 81.

Ta lập hệ phương trình mo = m3 = 0 ịmo + + Ịm2 = - ^2 = 10

Giải hệ trên ta đượcmo = 0; mi = — |;ni2 — ^-;ni2 — 0.

Với i = 0 ta có Mo — yo — — 1; No — Vỉ ~ mỉ§ — 4^‘ Do dó,

/ X (* — *o) 3 , (*1 — A*) 3 ( Xi — X , XT% — X() go(x) = - 4L + Mo-i—— + No-

Với i = 1 ta có Ml = ]/i — niỵ = 6; Nỵ = y2 — m2 ^ = Do đóz gi w + OT! -v - , + Mi -2-— + N1 —-2Ỉ

Với i = 2 ta cú M.2 = yi~ ô2^ = N2 = ớ/3 — ằÍ3^ = 81- đú,

Như vậy spline bậc ba cần tìm có dạng

3 < X < 4 Hình4.8 biểu diễn đồ thị của hàm nội suy spline y = g(x) (đường đứt) và

Hình 4.8. hàm 1/ = 3X (đường liền) trên đoạn [0;4].

Bài tập 4.1 Xây dựngda thứcnội suy dạng Lagrange của hàmsố I/ — f(x) có bảng sốlieu:

Bài tập 4.2 Xây dựng đa thức nội suy dạng Newton của hàm I/ — f(x) có bảngsố liệu trong Bài tập 4.1.

Bài tập 4.3 Cho hàm số ự — f(x) = \fx~+ 2 có giá trị tại các mốc nội suy

X() = 0;*1 = 1; X2 — 2; X3 — 4 được cho bởi bảng sau:

1 Xây dựng đa thức nội suy dạng Lagrange của hàm số /(%).

2 Tính gần dúng /(3) và đánh giá sai số kết quả tìm dược.

Bài tập 4.4 Cho hàm số 1/ = f(x) — cosx có giá trị tại các mốc nội suy

1 Xây dựng đa thứcnội suy dạng Newton của hàm số/(x).

2 Tính gần đúng /(0, 750) và đánh giá sai số kết quả tìm dược.

Bài tập 4.5 Hàm lỗi (error function) được cho bởicông thức

Giá trị của hàm erf (x) tại các mốc nội suy Xị — 0,2z; i = 0,5 được cho bởi bảng sau:

1 Xây dựng đa thức nội suy dạng Lagrange với mốc cách đều của hàm số/(x).

2 Xây dựng đa thức nội suy dạng Newton với mốc cách đều của hàm số/(x).

3 Tính gần đúng/(0,750) và đánh giá sai sốkết quả tìm được.

Bài tập 4.6 Xây dựng đa thức nội suy Hermite dạng Lagrange của hàm y — /(*) cbo bởi bảng số liệu:

Bài tập 4.7 Xây dựng đa thức nội suy Hermite dạng Newton của hàm y = f (x) chobởi bảng số liệu:

Bài tập 4.8 lìm một spline bậc ba tự nhiên nội suy hàm số y — 4Y trong đoạn [0; 3] với các mốc nội suy lần lượt là Xo = 0;X] = 1; X2 = 2; X3 = 3.

Bài tập 4.9 Hãy xây dựng thuật toán tìm Splinebậc ba ràng buộc nội suy hàm số /(x) trong đoạn \crf b].

Bài tập 4.10 Tìmmộtspline bậc ba ràng buộc nội suy hàm số I/ — 4Y trong đoạn [0; 3] với các mốc nội suy lần lượt là Xo = 0;X1 = 1; X2 = 2; X3 = 3.

P hương pháp bình phương BÉ NHẤT

Giả sử chúng ta có hai đại lượng X và y với các giá trị thực nghiệm thu được dưới dạng bảng như sau:

Chúng ta muốn xây dựng biểu thức tường minh cho hàm I/ — f (x) dựa trên bảnggiá trị thực nghiệm này Như đã biết, ta có thể sử dụng đa thức nội suy dể giải quyết vấn đề Tuy nhiên, điều này xem ra không phải lức nào cũng hợp lí, ítnhất là do hai nguyên nhân sau:

• Nguyên nhân thứ nhất: khi số mốc nội suy khấ lớn, cácđiểmnút quá sát nhau thì việc sử dụng đa thức nội suy củng trởnên rất phức tạp, số lượng tính toán lớn.

• Nguyên nhân thứ hai ([4]): các số liệu cho trong bảng số không phải lúc nào củng chính xấc Chẳng hạn, khi ta đo đạc độ ẩm của không khí tại một địa điểm cố định nào đó theo thời gian trong năm để tìm ra qui luật biến động của độ ẩm theo tháng hay theo mùa thì các số do không phải tuyệt đối chính xác, nhất là chúng không phải như nhau trong các năm khác nhau Ngoài ra, trong nhiều phép đo, khỏng chỉ yếu tốphụ thuộccó sai số mà yếu tố độc lập củngchịu sai số Ví dụ, khi đo độ nhớt của một chất lỏng ở cùng nhiệt độ nhưng dưới áp suất khác nhau thì không chỉ riêng gì dộ nhớt có sai số mà cả nhiệt độ lẫn áp suất dều có sai số Do dó, yêu cầu hàm xấp xỉ phải nhận đúng giá trị đà cho tại các mốc nội suy là khôngcần thiết. Đểkhắc phục khó khăn trên, ta sẽ tìm hiểu phương pháp bình phương bé nhất Phươngpháp bình phương bé nhất khác với phương pháp nội suy ở chỗ nó không yêu cầu hàm xấp xỉ phải đi qua các mốc nội suy và hàm mà nó dùng để xấp xỉ là một và chỉ một cho cả miền cần xấp xỉ, cho dù miền đó có lớn đến dâu chăngnửa.

132 Phương pháp bình phương bé nhất

Trong mặtphẳng Oxy xét tập hợp các điểm { Aị (x,-;I//)}z với Xị, Ị/ị được cho trong bảng giá trị Thay vì xây dựng một hàm đi qua các điểm đã cho, chúng ta sẽ tìm một hàm f (x) càng đơn giản càng tốt sao cho nó thể hiện tốt nhất dáng điệu của tập hợp điểm {Ai (Xi)yi)}j7-Y7j mà không nhất thiết di qua các điểm dó (xem hình 5.1) Có nhiều phương pháp giải quyết vấn đề này, và một trong những phương pháp như vậy là phương pháp bình phương bé nhất Nội dung của phương pháp là xác định min £3 [f (xỉ) — với f là một hàm khá đơn giản, chăng hạn í-1

Hình 5.1 Điểm dữ liệu và đường xấp xỉ

Chú ý 5.1 Hàm f khôngnhất thiết phải là một trongcác dạng dược liệt kê ở trên Các dạng trên được chọn vì tính đơn giản và phổ biến của chúng Dạng hàm f phụ thuộc rất lớn vào dáng điệu phân bố của các điểm Aị Chẳng hạn, nếu cấc điểm Aị phân bố như dạng sóng thì ta có thể dùng hàm t/ = /(x) — a cos X -+- b sin X + c đê’ xấp xỉ bảng số liệu.

Vì các cặp số (x,-; 1//) trong bảng là do thực nghiệm mà có nên chúng không hoàn toàn xác định nghiệm đúng của phương trình 1/ = ax + b Sai số tại

At (x,;y,) là e,- = \f (x,) - Ị/i| = |í7Xj + b~ Ị/,ị Ta đặt s = Ếcĩ = Ẻ + h “ V')2 í-1 /=1

Mụctiêu của ta là xác định a, b dê’ s dạtgiá trị nhỏ nhất Để thực hiộn diều này ta cần sử dụng cáckết quả của giải tích hàm hai biến ([16]) Trước hết, ta có

Hệ trên tương dương với

Hệ (5.1) có nghiệm duy nhất (fl*; b*) vì

Ví dụ 5.1 Cho hai đại lượng X và 1/ với các giá trị thực nghiêm thu dược dưới dạng bảngnhư sau:

Dùng phương pháp bình phương bé nhất xác định a, b dể dường thẳng t/ = ax + b là xấp xỉ tốt nhất bảng giá trị trên.

Giải Ta lập bảng giá trị

Trường hợp y = /(x) = ax + b

Khi đó, a, b là nghiệm của hệ í 30n

Giải hệ trên ta được a — 2, 7 và b — 2,8 Vậyt/ — 2, 7x 4- 2,8 là đường thẳng tốt nhất xấp xỉ bảng giá trị đã cho Hình 5.3 thể hiện đường thẳng xấp xỉ

Hình 5.3. và bảng số liệu đã cho.

Ví du 5.2 ([11]) Bảng số liệu sau đây liệt kê điểm GPA (điểm trung bình tốt nghiệp Đại học) của 20 nhà toánhọc và chuyên gia khoa học máy tính, cùng với số điểm của họ trong cuộc thi toán học của ACT (kỳ thi chuẩn hóa kiểm tra đầu vào cho các trường Đại học ở Mỹ) khi hợ còn là học sinh trung học Hãy dùng phương pháp bình phương bé nhất xác định a, b để đường thẳng y = ax + b là xấp xỉ tốt nhất bảng số liệu dã cho. Điểm ACT (x) Diềm GPA (v) Diem ACT (x) Diem GPA (v)

Giải Từ bảng số liệu đã cho ta tính được

Khi đó, a, b là nghiêm của hệ r 15034ô + 546b = 1781,97 ị 546ô + 20/7 = 64,80

Giải hệ trên ta được a = 0,10086 và b = 0,48658 Vậy đường thẳng y =

0,10086% 4- 0,48658 là xấp xỉ tốtnhất bảng số liệu đã cho.

Hình 5.4 thể hiện đường thẳng xấp xỉ và bảng số liệu đã cho ■

Ví dụ 5.3 ([11]) Bảng số liệu dưới đây, đã được trình lên Tiểu ban chống độc quyền của Thượng viện Hoa kỳ, thể hiện các loại xc hơi và phần trảm số tai nạn nghiêm trọng (có người tử vong hoặc bị thương nặng) dược ghi nhận do chúng gây ra.

Khối lượng trung bình (x pound)

Tỷ lộ xảy ra tai nạn (1/ %)

Nội địa, sang trọng, vừa 4800 3,1

Nội dịa, tầm trung, vừa 3700 4,0

Nội dịa, tiết kiệm, vừa 3400 5,2

Hãydùng phương phápbình phương bé nhất xác đinh a, b đểdường thẳng y = ax + b là xấp xỉ tốt nhất bảng giá trị.

Giải Từ bảng số liệu đa cho ta tính dược

Khi đó, a, b là nghiệm của hệ

Giải hộ trên ta dược a — —0,00225 và b — 13,14650 Vậy đường thẳng 1/ = —0,00225% 4- 13,14650 là xấp xỉ tốt nhấtbảng số liệu dã cho Hình 5.5 thể hiện dường thẳng xấp xỉ và bảng số liệu ban dầu O

♦ Sai số của xấp xỉ

Sai số của xấp xỉ, ký hiệu Er, được xác dịnh bởi công thức ([11])

Trong Ví dụ 5.2, sai số của dường thẳng xấp xỉ so với bảng số liệu là

Sai số này khá lớn chứng tỏ đường thẳng xấp xỉ chưa mô tả tốt dáng điệu của dử liộu Tương tự, trong Ví dụ 5.3, sai số của đường thẳng xấp xỉ so với bảng số liệu là

Ví dụ 5.4 ([13]) Bảng số liệu sau dây cho ta biết số dân nước Mỹ (triệu người) trong khoảng thời gian từnăm 1900 tới năm 2000:

Nãm (%) Dân số (y) Năm (x) Dân số (1/)

Sử dụng phương pháp bình phươngbé nhất xác định a, b de dường thẳng 1/ — ax T b là xấp xỉ tốt nhất bảng số liệu trôn Với kết quả tìm dược, hãy đánh giá sai số và dự đoán dân số nước Mỹ vào năm 2010.

Giải Từ bảng số liệu ta tính dược

Khi đó, a, b là nghiệm của hệ í 41838500n + 21450/7 = 3778120 [ 2145ŨÍ? +■ lAb = 1926

Giải hộ trên ta được í7 — 1121

~TĨ~ Do đó, dường thẳng I/ 1121 41793 < , , Ẵ '

-X —là xấp xỉ tốt nhât bảng sô liêu dã cho Vì vậy, ta có the dự

'1121 41793 đoán dân số nước Mỹ vào năm 2010 xấp xỉ ~~X 2010 -~ 297

7 r 550 11 triệu người Sai số của xấp xỉ là

Hình 5.6 thể hiện đường thẳng xấp xỉ I/ — ~5501121 x ĩĩ“’ và41793 bảng số liệu

140 Phương pháp bình phương bé nhất đã cho Một cách trực giác, ta thấy đường thẳng xấp xỉ mô tả khá tốt dáng điệu của bảng dử liệu Thống kê chính xác thì năm 2010, dân số Hoa Kỳ là 308.745.539 người, không lệch nhỉềư so với con số mà ta tính dược ■

Chú ý 5.2 Trong nhiều trường hợp, khi sử dụng phương pháp bình phương bế nhất để xấp xỉ bảng số liệu dã cho, hàm dược chọn không phải là dường thẳng (vì không thể mô tả hợp lý sự phân bố dữ liệu) mà có dạng phức tạp hơn, chẳng hạn: 1/ — ax2 4- b, I/ = íỉ sin X 4- bcosX, v.v Tổng quát hơn là y — ag(x) 5- bh(x) (5-3) với /ĩ(x) và g(x) là hai hàm cho định như thế nào Một diều may tương tự như trường hợp 1/ —

\ag(Xị) + bl-i(xị) — Ta đặt trước Vấn dề dặt ra là a, b dưực xác mắn là các bước thực hiện hoàn toàn ax 4- b Sai số tại Aị (Xị;I//) là €ị — s = = Ề + bfl(xí) - V']2 7—1 i:i và gọi là tổng bình phương sai số (hình 5.7).

Hình 5.7. s là một hàm theo hai biến a, b Chúng ta se tìm íỉ, b dể hàm s đạt giá trị í*

)số liệu chính xác về dân số nước Mỹ năm 2010 tác giả xem tại địa chỉ lĩttps://erỉ.ĩưikípedĩ( ỉ.org/wiki/2010 United States Census

5.1 Trường hợp y = = ax + b 141 nhỏ nhất Trước hết, ta có

Hệ trên tương đương với

Hộ (5.4) có nghiệm duy nhất (a*;b*) và mịn s (a;b) = s (a*;b*) (bạn

(a,b)T 61R2 dọc tự chứng minh kết quả này) Khi cho g(x) = X và /i(x) = 1 thì hệ (5.4) chính là hẹ (5.1) và ta nhận được kết quả quen thuộc.

Ví dụ 5.5 Cho hai đại lượng X và y với các giá trị thực nghiệm thu được dưới dạng bảngnhư sau:

Dùng phương pháp bình phương bé nhất xác định a, b đê’ đường cong I/ = a ln(x + 1.) 4- b(x2 + 1) là xấp xỉ tốt nhất bảng số liệu đã cho.

Giải Đặt g(x) — ln(x + 1) và /z(x) = X2 + 1 Từ bảng số liệu ta tính được

Khi đó, a, b là nghiệm của hệ

Giải hệ trân ta được a = 1,16100 và b — 1,13783.

Vậy hàm y = 1,16100 ln(x + 1) + 1,13783(x2 4- 1) là xấp xỉ tốt nhất bảng sốliệu đã cho Hình 5.8 biểu diễn đường xấp xỉ và bảng số liệu Kĩ

Vì các cặp số (xz; ]/ị) trongbảng là do thực nghiệm mà có nên chúng không hoàn toàn xác định nghiệm đúng của phương trình Ị/ — flyxA Sai số tại Ĩ -0

Aị là Cị = E ni ílịx’ - Ị/i ỈU

Ta đăt và gọi là tổng bình phương sai số s là một hàm số theo m 1 biến am, ÍỈỊTỊ-Ì, , ÍZ() Ta sẽ tìm am, am_ỵf ,CỈQ để hàm s đạt giá trị nhỏ nhất Khi đóz am,,fl() sẽ là nghiệm của hệ

Tasẽ chứng tỏhệ (5.5) có nghiệm duy nhất (n* z; ■ •; Thật vậy, gọi

A là ma trận hệ số của hệ (5.5) Khi đó, A — {aij}I j YụũÃ-V) với aiị ỉ

(^Mưốn nắm đầy đỉi việc tìm cực trị của hàm có số biến từ ba trờ lên bạn dọc nên xem

[13] Công cụ chính để thực hiện điều này ỉà ma trận Hess (Hessian) và tính xác định dương (âm) của ma trận này.

Nếu det/1 = 0 thì tồn tại ư — (um; U ịh - ì ; ;no) r £ \ {0^11} sao cho AU — 0|R,H-I, ta suy ra UrAU — 0 Ta thấy

Vì ưTAU = Onên m \ 2 Ỉ1Ỉ £ uixk = ° o £ uixk =O;k= 1, n

7=0 / 7=0 Điều này chứng tỏ đa thức p (x) — 22 UịXĨ có ít nhất n nghiêm phân biệt

*1, X2/ • •, xn.Kết quả này làvô lý vì P(x) có bậc nhỏhơn n — 1 Vậy det A 7^

0 hay hộ phương trình (5.5) có duy nhất nghiệm Ilơn nữa, min s = s ( 0, X > 0 Để sử dụnghàm y = axb, (x > 0, a > 0) xấp xỉ bảng số liệu nào đó thì yêu cầu đầu tiên là bảng số liệu phải có Xị > o,i/j > ũ,\/i = 1,K Giống như trường hợp I/ — aebx, dối với hàm y — axb, nếu ta sử dụng trực tiếp dịnh nghĩa, tức cực tiêu hóa hàm số thì việc tìm a, b củng rất khó khăn Thay vào dó, ta sẽ thực hiện phép đối biến để dưa hàm I/ — axb về dạng đơn giản hơn Cụ thổ, ta tiến hành logarithm tự nhiên hai vế của đẳng thức 1/ = axb Khi đó,

In y = In — In 4- In xb — Ina + b InX.

Nếu dặt Y — In y, X = In X, A — b và B = In a thì đẳng thức trên có thể viết dưới dạng Y = AX 4- B Khi đó, bài toán ban đầu sẽ được chuyển thành bải toán sau đây: Xác định các hệso A, B để đỉíờng thẳng Y = AX 4- B là xấp xỉ tốt nhất bảng số liệu:

Sử dụng kết quả trọng Mục 5.1, ta suy ra A, B là nghiệm của hẹ

Như đã trình bày, hệphương trình (5.8) luôn có nghiệm duy nhất (rì*; B*). Khi đó, các hệ số a,b sẽ được xác định bởi công thức í a — eB*

Ví dụ 5.8 Cho hai đại lượng X và y với các giá trị thực nghiệm thu dược dưới dạng bảng như sau:

X 1 2 4 8 11 13 y 1 3 11 13 30 50 Đùng phương pháp bình phương bé nhất xấc định các hộ số a, b để hàm 1/ — axb là xấp xỉ tốt nhất bảng số liệu đà cho.

Giải Đặt Y = In y,X — In X, A — b và B = InLĩ Từ bảng số lieu trên ta tính được

Khi dó, /1, B là nghiệm của hệphương trình

Giải hệ trên ta được nghiệm A = 1,40255751; B = 0,09682160 Khi đó, các hệ số a, b được xác định như sau: a = eB = 1,10166382 b = A = 1,40255751

Vậy đường cong y = 1,10166382X1'40255751 là xấp xỉ tốt nhất bảnggiá trị đa cho Hình 5.11 biểu diễn đường xấp xỉ và bảng số liệu s

Ví dụ 5.9 ([11]) Trong một bài báo về hiệu quả sử dụng năng lượng của các ấu trùng thuộc loài bướm có tên khoa học là Pachysphinx modesta, nhà khoa học L Schroeder đã sử dụng các số liệu dưới đây dể xấc định mối liên hệ giữa w, trọng lượng của ấu trùng (đơn vị gram), vả R, lượng tiêu thụ oxy của ấu trùng (đơn vị ml / giờ) L Schroeder giả định rằng có một mối quan hệ R — aWb tồn tại giữa vv và R.

Hình 5.12 Bướm Hình 5.13 Àu trùng w /\ w R vv R w R

Hãy dùng phương pháp bình phương bé nhất xác định các hệ số a, b đổ hàm R — aWb là xấp xỉ tốt nhất bảng số liệu trên.

Giải Đặt Y = In R,X = In w,A — b và B — In a Từ bảng số liệu trên ta tính được

Khi đó, A, B là nghiệm của hệ phương trình í 142,8614493/1 - 12,875479013 = 78,82967142 t -12,8754790171 + 37B = 2,380288340

Giải hệ trên ta được nghiệm A = 0,5756426029, 3 = 0,2646476376 Khi đó, các hệ số a, b dượcxác định như sau: Ị a = eB = 1,302971777

[ b = A = 0,5756426029Vậy đường cong R = 1,302971777 X pv0'5756426029 là xấp xỉ tốt nhất bảng giá trị dã cho Hình 5.14 biểu diễn dường xấp xỉ vàbảng số liệu ■

152 Phươngpháp bình phương bé nhất

Bài tập 5.1 Dùng phương pháp bình phương bé nhất xác dịnh a, b để đường thẳng ỵ — ax + b là xấp xỉ tốt nhất các bảng số liệu sau đây:

Bài tập 5.2 Dùngphương pháp bình phương bé nhấtxấc định a, b để hàm số y — ax + b sinx là xấp xỉ tốt nhất bảng số liệu trong Bài tập 5.1 (chỉ cần chọn 2 bảng).

Bài tập 5.3 Dùng phương phấp bình phương bé nhất xác dịnh a, b dể hàm số y = aebx là xấp xỉ tốt nhấtbảng số liệu trong Bài tập 5.1 (chỉ cần chọn 2 bảng).

Bài tâp 5.4 Dùng phương phápbình phương bé nhất xấc địnha, b để hàm số I/ = axb là xấp xỉ tốt nhất bảng số liệu trong Bài tập 5.1 (chỉ cần chọn 2 bảng).

Bài tập 5.5 Dùng phương phápbình phương bé nhấtxác định a, b để hàm số y — ữ(x2 + 1) + bỵ/x + 1 là xấp xỉ tốt nhất bảng số liêu trong Bài tập 5.1 (chỉ cần chọn 2 bảng).

Bài tập 5.6 Dùng phương pháp bìnhphương bénhất xác định a, b dehàm số y — ay/x2 + 1 + b(x + 1) H- 1 là xấp xỉ tốt nhất bảng số liêutrong Bài tập 5.1 (chỉ cần chọn 2 bảng).

Bài tập 5.7 Dùng phương pháp bình phương bé nhất xác định a, b, c để hàm số I/ — ax2 + bx + c là xấp xỉ tốt nhất bảng số liệu trong Bài tập 5.1 (chỉ cần chọn 2 bảng).

Bài tập 5.8 Dùng phương pháp bình phương bé nhất xác dinh a,b,c dế hàm số y = a(x2 + 1) + b(x + 1) + c là xấp xỉ tốt nhất bảng số liệu trongBài tập 5.1 (chỉ cần chọn 2 bảng).

Bài tập 5.9 ([13]) Độ tuổi trung bình lần đầu kết hôn của phụ nữ Nhật Bản từ năm 1950 tới năm 2000 được cho bởi bảng số liệu sau: t /ơ) t /(0

Trường hợp y = axb với a > 0, X > Q

Để sử dụnghàm y = axb, (x > 0, a > 0) xấp xỉ bảng số liệu nào đó thì yêu cầu đầu tiên là bảng số liệu phải có Xị > o,i/j > ũ,\/i = 1,K Giống như trường hợp I/ — aebx, dối với hàm y — axb, nếu ta sử dụng trực tiếp dịnh nghĩa, tức cực tiêu hóa hàm số thì việc tìm a, b củng rất khó khăn Thay vào dó, ta sẽ thực hiện phép đối biến để dưa hàm I/ — axb về dạng đơn giản hơn Cụ thổ, ta tiến hành logarithm tự nhiên hai vế của đẳng thức 1/ = axb Khi đó,