Giáo trình IUH Phương pháp tính

KHOA KHOA HỌC co BẢN - TỐ TOÁN HUỲNH HỮU DINH PHƯƠNG PHAP TINH ( Lưu HÀNH NỘI Bộ ) TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP THÀNH PHĨ HỊ CHÍ MINH HUỲNH HỮU DINH PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRƯỞNG ĐẠI HOC CƠNG NGHIỆP TP.HCM THỰ, VIÊN MẲ VẠCH : TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP THÀNH PHĨ HỊ CHÍ MINH Mục ■ lục ■ Lời nói đầu Số xấp xỉ, sai số 1.1 Số gần sai số 1.2 Qui tắc làm tròn số 1.3 Số chử số đáng tin cậy 9 10 11 Phương trình đại số phương trình siêu việt 2.1 Phương pháp chia đôi 2.2 Phương pháp lặp 2.3 Phương pháp tiếp tuyến (Newton) 2.4 Phương pháp dây cung Bài tập chương 13 17 19 31 37 44 Hệ phương trình tuyến tính 3.1 Phương pháp khử Gauss 3.2 Phương pháp phân rã Lư 3.2.1 Phương pháp Crout 3.2.2 Phương pháp Doolittle 3.3 Phương pháp Choleski 3.4 Phương pháp lặp 3.4.1 Chuẩn 1RẪ' Mfc(lR) 3.4.2 Phương pháp lặp đơn 3.4.3 Phương pháp lặp Seidel Bài tập chương 47 48 50 51 53 56 64 64 70 79 84 Đa thức nội suy 89 4.1 Đa thức nội suy dạng Lagrange 90 4.1.1 Đa thức nội suy dạng Lagrange với mốc 90 4.1.2 Đa thức nội suy dạng Lagrange với mốc 99 4.2 Đa thức nội suy dạng Newton 101 MỤC LỤC 4.2.1 Đa thức nội suy dạng Newton với mốc 101 4.2.2 Đa thức nội suy dạng Newton với mốc 105 4.3 Đa thức nội suy Hermite 109 4.3.1 Đa thức nội suy Hermite dạng Lagrange .110 4.3.2 Đa thức nội suy Hermite dạng Newton 117 4.4 Phép nội suy spline 121 Bài tập chương 128 Phương pháp bình phương bé 131 5.1 Trường hợp y = /(x) = ax + b 133 m 5.2 Trường hợp y — f (%) — £2 ữjXỈ, m < n — 142 ' j=0 5.3 Trường hợp 1/ — aebx với a > 146 5.4 Trường hợp y = axb với a > 0, X > Q 148 Bài tập chương 152 Tính gần đạo hàm tích phân 155 6.1 Tính gần đạo hàm 155 6.1.1 Công thức 3—điểm 158 6.1.2 Công thức 5—điểm 161 6.1.3 Tính gần đạo hàm cấp hai 162 6.2 Tính gần tích phân 164 6.2.1 Cơng thức hình thang 168 6.2.2 Cơng thức hình thang mở rộng 170 6.2.3 Công thức Simpson phần ba 174 6.2.4 Công thức Simpson phần ba mở rộng 177 6.2.5 Khai triển Euler-Maclaurin Công thức tích phân Romberg 180 6.2.6 Công thức cầu phương Gauss 187 Bài tập chương 194 Phương trình vi phân 199 7.1 Phương pháp Euler 203 7.2 Phương pháp Euler cải tiến 205 7.3 Phương pháp Runge-Kutta 208 Bài tập chương 211 Tài liệu tham khảo 213 Lịi nói đâu Được chấp thuận Trưởng khoa Khoa học Cơ Tập thể tổ Toán, sách PHƯƠNG PHÁP TÍNH (Tốn chun đề 2) trở thành giáo trình từ năm học 2017 — 2018 Theo đà phát triển máy tính điện tử cơng nghệ thơng tin, xu hướng mơ hình hóa tốn học mơ máy tính trở thành kỹ thuật chủ đạo ngành khoa học kỹ thuật kinh tế ([3]) Điều đòi hỏi việc xây dựng thuật tốn hiệu dễ dàng lập trình ngôn ngữ phổ biến như: c, C++, Fortran Đó củng mục tiêu mơn Phương Pháp Tính giảng dạy trường đại học Giáo trình biên soạn cho sinh viên trường đại học khối kỹ thuật, công nghệ kinh tế với thời lượng khoảng 30 tiết Ngoài kiến thức bản, tác giả giới thiệu thêm số nội dung để bạn đọc tham khảo như: thuật toán Aitken-Steffensen giải phương trình đại số phương trình siêu việt, thuật tốn phân rã LU giải hệ phương trình tuyến tính, đa thức nội suy Hermite tổng quát, đa thức Chebysev, đa thức Legendre, khai triển Euler-Maclaurin, công thức Romberg tỉnh gần tích phân, cơng thức cầu phương Gauss tính gần tích phân Các kiến thức trình bày chi tiết cách logic, dễ hiểu có nhiều hình vẽ minh họa (các hình vẽ thực phần mềm WTPIC Maple) để bạn đọc dễ dàng theo dõi Giáo trình chia thành chương: • Chương Số xấp xỉ, sai số • Chương Phương trình đại số phương trình siêu việt • Chương Hệ phương trình tuyến tính • Chương Đa thức nội suy MỤC LỤC • Chương Phương pháp bình phương bé • Chương Tính gần đạo hàm tích phân • Chương Phương trình vi phân Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới quý thầy cô tổ Toán Khoa Khoa học Cơ - Trường Đại học Cơng nghiệp thành phố Hồ Chí Minh đóng góp nhiều ý kiến q báu Giáo trình lần đầu xuất nên thiếu sót điều khơng thể tránh khỏi Tác giả mong nhận ý kiến phê bình góp ý độc giả Q Thầy Cơ tham gia phản biện giáo trình: Lê Văn Lai, Nguyễn Đức Phương, Trương Thuận, Nguyễn Ngọc Chương, Bùi Văn Liêm, Trần Anh Dũng Đặc biệt, tác giả chân thành cám ơn thầy Nguyễn Đức Phương thầy Lê Văn Lai có nhiều lời khun hữu ích cho Tex giáo trình Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2017 Tác giả MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU ♦ An △n ỏa ỏa A — a ±m * X Tiếp theo, ta chứng tỏ phương trình (7.1) tồn nghiệm I/ e Ta thấy chuỗi hàm [y„ (%) — Ị/ỉĩ-ĩ l.l/n (x) (x)] có K[L(x-a)]” K [L (b — aỴ\" L nỉ ~ L n\ (x)| < + oo Mà chuỗi dương an có n^ỉ K [L(b — a)]n L n“ n! — 1I K eL(b-a) _ L 4-CO ta suy ỵ7 an hội tụ Do đó, theo tiêu chuẩn Weierstrass ([1]) dãy tổng n-1 riêng II [y/ (* ) Vn (x) = - y< -1( )] * + y + co X = I/O 4- lim / f (s, j/„ (s)) ds n—>4 co y X a = yo + / ■.lim f {s,ijn^ỵ (s)) ds J n—ì+ a — yo + ị f (s,y (s)) ds a Phương trình vi phan 202 Từ đẳng thức ta suy y(n) = yo y' (* ) = d dx = f (x,y(x)) Điều khẳng định i/(x) nghiệm phương trình (7.1) dồng thời y thuộc tập Cuối cùng, ta chứng tỏ y (x) nghiệm Nếu phương trình (7.1) cịn có nghiệm z e CM X lyO) -z(x)| = L f \y (s) - z (s)| ds / Csy (s)) -/(s,z(s))]ds a (7.2) Đặt M = max Iy (x) — z (x) |, từ (7.2) ta xc[ứ;fr] X , |y (x) — z (x) I < L J Mds — ML (x — «) (7.3) a Lấy (7.3) thay vào vế phải (7.2) ta X 2\ |y (x) — z (x)| < LM ị L (s — a) ds = M • (7'4) a Lại lấy (7.4) thay vào vế phải (7.2) ta \y (* ) - z (* )l < lm [ g)] ds = J a h O' z Tiếp tục trình ta nhận dược Ịy (x) - z (x)| < M^L ' 7' a-—'* n ỵ- 72 • 72 ỉ ] oo Vì chuỗi ^2 /7=1 n! hội tụ eL(b lim n—> 4-00 tL — nên < = ■ 77! Điều chứng tỏ y (x) = z(x),Vx e [a;b] hay phương trình (7.1) có nghiệm ■ 7.1 Phương pháp Euler 203 Định lý Picard giúp ta biết cách tìm nghiệm y(x) phương trình vi phân (7.1) thơng qua cách xấc dinh dãy hàm {yM} Tuy nhiên, hầu hết trường hợp, việc biểu diễn tường minh hàm yn (x) khơng thể Từ dẫn đến việc khơng thể xác định xác y(x) Trong phần cịn lại chương, tìm hiểu phương pháp số để tìm nghiệm gần phương trình (7.1) Để tiện trình bày, khơng có thích them, hàm /(x,y) thỏa điều kiện Định lý Picard; doạn [a; &] dược chia thành n đoạn mốc chia X/ = X() + ih,i — 0,n với Xo = a;h = Công việc ta với i = 0, H, ta xấp xỉ y(xj) giá trị yz (lưu ý y(xo) = yo) đánh giá sai số |y(x,) - \ji\ 7.1 Phương pháp Euler Giả sử y e cgị7] , theo công thức khai triển Taylor ta y (*>-!-1) = y (Xj) + hy' (Xị) + yy" (£i) với i — 0, n — Vì y(x) nghiệm phương trình vi phân (7.1) nên y' (Xi) = f (Xi,y )) • Ta suy y (x/+i) = y (x,-) + hf (Xị,y (x,.)) + yy" (£,), i = oz n - (7.5) Trong đẳng thức (7.5), bỏ phần dư lịy" (Ịi') thay y(x,.) 1/i ta y;'+i = Ị/i + hf (Xị,yi), i = 0,n~ Công thức (7.6) gọi cơng thức Euler Ví dụ 7.1 Giải phương trình vi phân Cauchy y' = y — X + 1, X e [0; 0,5] y(0) = i phương pháp Euler với h — 0,1 (7.6) Phương trình vi phân 204 Giải Từ giả thiết đề ta có h = 0,1 /(x,y) = y ~ X + Khi đó, mốc chia xác định Xo — 0; X/ = Xo 4- ih = 0, li; i = ì, Sử dụng cơng thức Eưler ta í yo = 1/ Ỉ/Í41 = Vi + hf (Xị,yi) = y, + h (yt - Xị + 1), i = 0,4 Phương trình vi phân ban đầu có nghiệm hàm y(x) = ex + X Bảng giá trị sau so sánh giá trị xác giá trị gần tính cơng thức Euler Xi Vi y(xt) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1,200000000 1,410000000 1,631000000 1,864100000 2,110510000 1,205170918 1,421402758 1,649858808 1,891824698 2,148721271 _JyOí) - t/il 0,005170918 0,011402758 0,018858808 0,027724698 0,038211271 Hình 7.1 Hình 7.1 thể đồ thị nghiệm (đường liền) nghiệm xấp xỉ phương pháp Euler (hình thoi) ■ Phương pháp Euler đơn giản sai số lớn nên sử dụng thực tế Sau đây, ta trình bày phương ấn cải tiến cho phương pháp Euler 7.2 Phương pháp Euler cải tiến 7.2 205 Phương pháp Euler cải tiến Sử dụng cơng thức hình thang ta h /y' (x + s) ds = I [j/ (x) + Ij' (x + h)] + o (h3) Ta suy h y (x + /z) = y (x) + Ị y' (x + s) đ.s = y (* ) +2 + y/ + / )]+ * ° Ợ'3) ■ Thay X — Xị, i — 0,n — vào dẳng thức ta h y(^ii) = 1/0,) + I [/(x;,y (x,-)) + /( */-1-1/ +ơ O) i4i))] * y( (7.7) Trong (7.7), ta lược bỏ o (/z3) thay y(Xị) yz đẳng thức (7.7) trở thành Ị/i f = }fi + ~ [/ (xz,yz) T f (x/.ị 1,1//4-1)] • (7.8) Cơng thức (7.8) cho ta nghiệm xấp xỉ xác cơng thức (7.6) Tuy nhiên, vế phải (7.8) có chứa 1/j I ] nên để tính dược i/j 11/ ta phải giải phương trình (7.8) Việc khó khăn hàm f(x, y) phức tạp Dê’ giải vấn đề này, ta thay yl[Ả vế phải (7.8) biểu thức Ví+1 = Vi + hf {Xi,) Do đó, cơng thức (7.8) có thê’ viết lại sau: ya = yi + \f (Xị,yi) + f (xi+Ả,Xị -yhf (Xí,}/;))],/' = 0,n - (7.9) Cơng thức (7.9) gọi công thức Euler cải tiến Tổng qt hơn, ta cải tiến theo cơng thức yị.H = y, +hf(xiryi) = Vi + ^xi>yà +f i = 0,H - 1;k = Q,l, ^y i-ỉ (7.10) Phương trình vi phân 206 Ví dụ 7.2 Giải phương trình vi phân Cauchy r y' = X (x2 4- 6’V 4- 2) , Vx e [0,5; 0,7] í Ĩ/(O,5) = phương pháp Euler cải tiến với h = 0,1, giá trị cải tiến ba lần Giải Dựa vào giả thiết đề ta h = 0,1; f (x, y) = X (x2 4- ey 4- 2) ; Xo = 0,5, X1 = 0,6, X'2 = 0, 7; I/O = 4- Tính yi, ta có ví0) = yo + hf (* o,yo) = yo 4- hxữ (xồ 4- e1'" 4- 2) = 1,248414 Sử dụng công thức (7.10) cho ỉ = cải tiến lần k + ta í/cíi) 1/1 — , h r / = y» + I [f (X(),Ị/o) + f (jl/l/i J] — yo + *0 + 2) + x-y -ỉ- 2^ Ta tính yP = 1,299551 yị2) = 1,305037 yị3) = 1,305642 Vậy I/Ị = yị3) = 1,305642 + Tính 1/2/ ta có yị°) =1/14- hf (xi, 1/1) =1/14- hxỵ (x2 4- e}/1 4-2) = 1,668645 Sử dụng công thức (7.10) cho ỉ = cải tiến lần k + ta dược ,,(/c+i) •V2 _ h /(^nyi) +f (^y^y = yi + = yi + X1 (x2 4- e-/} 4- 2) 4- X2 f X2 + Ta suy yị1) = 1,759968 yị2) = 1, 777722 yị3) = 1, 781367 Vậy 1/2 = yị3) = 1, 781367 ’ + 2) 7.2 Phương pháp Euler cải tiến 207 Ví dụ 7.3 Giải phương trình vi phân Cauchy í y1 — y — X + 1, X e [0; 0,5] í y(0)-i phương pháp Euler cải tiến với h = 0,1, giá trị cải tiến ba lần Giải Từ giả thiết đề ta có ỈI = 0,1; f(x, y) = y — X + 1; Xị = 0, li; i = 0,5; 1/0 = + l ính ylz ta có ' — yo + hf (xo,yo) = yo — V (yo — *0 +1) = 1,2 Sử dụng công thức (7.10) cho ỉ — cải tiến lần k + ta dược yíÁ,1) =y = hf (xo 4- /ỉ, Ị/o + = °' 269344 ) 7.3 Phương pháp Runge-Kutta 209 Khi đó, yi = I/O + i (fcp + 2fcp + 2^1} + í}) = 1,233025 + Tính 1/2, ta có /cị2) = hf (xlzyi) = 0,269284 k^ = hf (x! + lị,yỵ + ) =0,310165 /cị2) = hf (xj + ^,1/1 + ] = 0,313538 = hf (xi + h,y1 +42)) = 0,360916 Khi đó, 1/2 = 1/1+ I (/