Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2018-2019 - Trường THPT Lưu Hoàng

Để đạt thành tích cao trong kì thi sắp tới, các bạn học sinh có thể sử dụng tài liệu Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2018-2019 - Trường THPT Lưu Hoàng sau đây làm tư liệu tham khảo giúp rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải đề thi, nâng cao kiến thức cho bản thân để tự tin hơn khi bước vào kì thi chính thức. Mời các bạn cùng tham khảo đề thi.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ  NỘI TRƯỜNG THPT LƯU HỒNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn ­ Lớp: 10 (Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề) Câu 1 (4.0 điểm). Cho parabol (P): y = ax2 + bx – 1 (a, b là hệ số thực) � 11 � a) Tìm các giá trị của a, b để parabol (P) có đỉnh  I �− ; − �   �2 � b) Với giá trị  của a, b  tìm được   câu a), tìm giá trị  của k để  đường thẳng   có  phương trình y = (k + 6)x + 1 cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho trung   điểm của đoạn thẳng MN nằm trên đường thẳng d có phương trình 4x + 2y – 3 = 0.  Câu 2 (2.0 điểm). Giải bất phương trình:  x Câu 3 (2.0 điểm). Tìm m để  bất phương trình:  thuộc R x 2x x + 5x + m x − 3x + −1  có nghiệm với mọi x  Câu 4 (4.0 điểm). Một nơng trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện  tích 5 ha. Để chăm bón các loại cây này, nơng trại phải dùng phân vi sinh. Nếu trồng cà  rốt trên 1 ha cần dùng 3 tấn phân vi sinh và thu được 50 triệu đồng tiền lãi. Nếu trồng  khoai tây trên 1 ha cần dùng 5 tấn phân vi sinh và thu được 75 triệu đồng tiền lãi. Hỏi   nơng trại cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi  cao nhất? Biết rằng số phân vi sinh cần dùng khơng được vượt q 18 tấn Câu 5 (4.0 điểm).  a) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c. Tìm b, c biết mb = 4, mc = 2 và a  = 3 (trong đó mb, mc là độ dài các đường trung tuyến qua đỉnh B, C của tam giác) b) Trong mặt phẳng tọa độ  Oxy. Cho tam giác ABC, biết A(5; 4), B(3; ­2), C(1;   uuur uuur uuuur ­5). Tìm tọa độ điểm M trên trục hồnh sao cho  MA + MB + MC  đạt giá trị nhỏ nhất Câu 6 (3.0 điểm). Giải hệ phương trình sau:  y2 ( y 3) x y 23 x y 12 Câu 7 (1.0 điểm). Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a b c b3 c3 a3 b c a ­­­­­­­­­­­­­­­­HẾT­­­­­­­­­­­­­­­­ Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh:   Số báo danh:  Chữ ký giám thị coi thi số 1: Chữ ký giám thị coi thi số 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ  NỘI TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn thi: Tốn ­ Lớp: 10 ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC I. Hướng dẫn chung 1. Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như  hướng dẫn quy định 2. Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo   khơng sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Ban chấm thi 3. Sau khi cộng điểm tồn bài, làm trịn đến 0,5 điểm II. Đáp án và thang điểm Câu Đáp án Điểm b =− 2a � 11 � − ; − � nên  a) Vì (P) có đỉnh  I �   � � 11 �2 � f �− �= − � 2� b = 3a a=2 −   Câu 1 (4,0  điểm) 3a − 2b + =     b=6 1,0 1,0  Vậy a = 2, b = 6 b)   Để   đường   thẳng   cắt   Parabol     hai   điểm   phân   biệt     phương   trình:    có hai nghiệm phân biệt   hay phương trình: 2x2 ­  kx ­ 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt   có  Khi đó, giao điểm  ,  , nên  trung điểm của  đoạn   là     �k k + 6k + � Theo định lý Viet ta có x1 + x2 = k/4 nên  I � ; � �4 �  nên k  + 8k ­ 2 = 0    k = −4 Do I thuộc đường thẳng  giá trị thỏa mãn bài toán 2x 2x a)  x x x ( 2x Câu 2 (2,0  điểm) x x ( x 1) x x x x)2 (2 1 x x x )2 x 2 2x2 x 4x x x 2 ( x 1) x x 2 x 3x  là  1,0 1,0 1,0 x 0,5  Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm [1/2; 1] 0,5 Ta có: 2x  ­ 3x + 2 > 0, với  x   R nên:  Câu 3 (2,0  điểm) x2 + 5x + m x − 3x + −1 � x + x + m �−(2 x − 3x + 2) � 3x + x + m + �0  (*) Để BPT đã cho có nghiệm với  x   R   (*) có nghiệm với  x   R    ’ ≤ 0 (Vì a  = 3 > 0)   1 ­ 3(m + 2) ≤ 0   m ≥ ­5/3. Vậy m ≥ ­5/3 làm giá trị thỏa mãn bài toán 1,0 1,0 Giả sử trồng x (ha) cà rốt và y (ha) khoai tây Điều kiện:  x 0, y  và  x + y Số   phân vi sinh cần dùng là:  x + y  (tấn). Ta  có  x + y 18 Số tiền thu được là   T = 50 x + 75 y  (triệu đồng) 1,0 x 0, y     (I) x + y 18 Câu 4 Ta cần tìm  x, y  thoả mãn:  x + y (4,0 điểm) 1,0 sao cho  T = 50 x + 75 y  đạt giá trị lớn nhất Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền đa giác OABC  � 18 � �7 � ,  C (5;0) �,  B � ; � 2 � � � � 0; (Kể cả tứ giác, như hình vẽ), với O(0; 0),  A � 1,0 Vì biểu thức  T = 50 x + 75 y  đạt giá trị lớn nhất chỉ tại các đỉnh của miền đa giác   �7 � �2 � nên ta thấy T lớn nhất tại đỉnh  B � ; �  Vậy để lãi nhất khi x = 3,5 ha, y = 1,5 ha mb2 a) Theo công thức:  m c a2 a b2 16 Theo giả thiết ta có hệ:  Câu 5 (4,0 điểm) c2 b2 c2 c2 b2 2 b c 0,5 b2 2b 2c 46 c2 b 14 c2 0,5 0,5 30 Vì b, c dương nên  1,0 b 14 c 30 0,5 uuur uuur uuuur uuuur b) Gọi G là trọng tâm của  ABC   G(3; ­1). Ta có  MA + MB + MC = 3MG , với mọi  điểm M uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur Suy ra   MA + MB + MC = MG  Khi đó   MA + MB + MC   nhỏ  nhất     MG   nhỏ  nhất   M là hình chiếu của G trên trục hồnh   M(3; 0) Câu 6 x R Đi ề u ki ệ n:   Từ phương trình (1)   (y – 3)(x + y – 1) = 0   y = 1 – x (Vì y  (3,0 điểm) y 2) Với y = 1 – x thay vào (2), ta được:  x − + x + = 12 x − −1 x +1− + =0   2( x − − 1) + 5( x + − 2) =     3 x +1 + ( x − 2) + x − + � ( x − 3) + �   �3 ( x − 2) + x − + � � �=   x +1 + � �   x = 3. Vậy hệ  có nghiệm (3;  1,0 1,0 1,0 2,0 ­2)  Áp dụng BĐT Cơsi cho ba số dương, ta được:  a3 a3 + + 33 b b Tương tự, ta có:  a3 a3 a =  (1) b b b 0,25 c3 c3 c b3 b3 b  (2),  + + + +  (3) 3 3 c c c a a a Cộng vế với vế của (1), (2) và (3), ta được: �a Câu 7 2� + (1,0 điểm) � b � b3 c3 � �a b c � + + 3 � + + � (*) 3 � c a � �b c a � � 3 a b c Mặt khác  + + b3 c a3  (**) Cộng   vế   với   vế     (*)     (**),   ta   được:   (Đpcm) Đẳng thức xảy ra khi a = b = c 0,25 0,25 a3 b3 b3 c3 c3 a3 a b b c c  a 0,25 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ  NỘI TRƯỜNG? ?THPT? ?LƯU HỒNG HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ? ?THI? ?CHỌN HỌC? ?SINH? ?GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn? ?thi:  Tốn ­? ?Lớp: ? ?10 ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC I. Hướng dẫn chung 1. Nếu thí? ?sinh? ?làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như ... 2. Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo   khơng sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Ban chấm? ?thi 3. Sau khi cộng điểm tồn bài, làm trịn đến 0,5 điểm II. Đáp án và thang điểm Câu Đáp án Điểm... Theo định lý Viet ta có x1 + x2 = k/4 nên  I � ; � �4 �  nên k  + 8k ­ 2 = 0    k = −4 Do I thuộc đường thẳng  giá trị thỏa mãn bài? ?toán 2x 2x a)  x x x ( 2x Câu 2 (2,0  điểm) x x ( x 1) x x x x)2 (2 1 x x x )2 x 2 2x2 x 4x x x