DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG MỐI LIÊN HỆ VỚI KINH TẾ HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Tạp chí Khoa học số 27 (08-2017) DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG MỐI LIÊN HỆ VỚI KINH TẾ HỌC y Lê Thái Bảo Thiên Trung(*), Phạm Hoài Trung(**) Tóm tắt Trong báo, đề cập đến việc dạy học nghĩa khác khái niệm đạo hàm Tiếp theo, số hoạt động dạy học xây dựng với mục đích tạo cầu nối nghĩa khái niệm tri thức kinh tế học Từ đó, học sinh vận dụng đạo hàm để giải tình bối cảnh kinh tế Từ khóa: khái niệm đạo hàm, nghĩa hình học, nghĩa xấp xỉ, kinh tế học Đặt vấn đề Bài toán xác định tiếp tuyến đường cong lĩnh vực hình học nguồn gốc chủ yếu làm nảy sinh hình thành tư tưởng khái niệm đạo hàm [2, tr 17] Vào kỉ 17, “thừa hưởng phương pháp xuất trước việc giải tốn tìm tiếp tuyến tính diện tích, tiếp thu ý tưởng nhà toán học trước Fermat hay Barrow… Newton Leibniz tổng hợp chúng hai khái niệm tổng quát đạo hàm tích phân” [2, tr 23] “Ban đầu, khái niệm đạo hàm công cụ tường minh để giải toán tiếp tuyến tốn khác thuộc lĩnh vực vật lí tốn học” [4, tr 21] Sau đó, với phát triển xã hội, người ta tìm thấy nhiều ứng dụng khác đạo hàm lĩnh vực, khoa học khác Hóa học, Sinh học, Kinh tế học… Điều mang lại nghĩa riêng cho khái niệm đạo hàm lĩnh vực Mặc dù thể chế dạy học tốn bậc phổ thơng có đề cập đến nghĩa khác khái niệm cịn mờ nhạt Chính thế, học sinh (HS) gặp khó khăn việc huy động nghĩa để giải vấn đề bối cảnh kinh tế Điều gây ảnh hưởng không nhỏ đến việc học tập HS bậc học sau này, đặc biệt sinh viên chuyên ngành kinh tế Cụ thể, [9, tr 95-96], Lê Thái Bảo Thiên Trung ghi nhận qua câu hỏi: “Cho hàm số y = 24, 48 + 0, 78x với x mức thu nhập y mức chi tiêu Nếu thu nhập tăng thêm đơn vị tiền mức chi tiêu biến đổi nào?” Khi đó, phần lớn sinh viên lớp quan sát không đưa câu trả lời Vì thế, viết này, đề cập đến việc (*) Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Học viên cao học, Trường Đại học Đồng Tháp (**) việc bổ sung cho HS nghĩa thiếu khái niệm đạo hàm Từ đó, HS vận dụng nghĩa khái niệm để giải tình bối cảnh kinh tế Các nghĩa khác khái niệm đạo hàm Theo Ngô Minh Đức [3, tr 42], “Trong lịch sử toán học, đạo hàm hàm số điểm (nếu tồn tại) mang nhiều ý nghĩa khác gắn với đặc trưng khác nhau: Nghĩa hình học: Đạo hàm điểm với hệ số góc tiếp tuyến điểm Nghĩa xấp xỉ: Một hàm số f (x ) có đạo hàm x xấp xỉ hàm số tuyến tính (hàm số tiếp tuyến) quanh lân cận x theo công thức xấp xỉ f (x) ≈ f '(x0)(x − x0) + f (x0) Nghĩa tổng quát: Đạo hàm hàm số đặc trưng cho tốc độ thay đổi (biến thiên) hàm số theo biến số nó” Một đồ án dạy học khái niệm đạo hàm mối liên hệ với kinh tế học 3.1 Khung lí thuyết tham chiếu Để tìm sở cho nghiên cứu mình, chúng tơi vận dụng cơng cụ lí thuyết Didactic Tốn Bessot A tác giả (2009) Cụ thể, lí thuyết tình với khái niệm đồ án dạy học Tuy nhiên, khuôn khổ báo, khơng thể trình bày đầy đủ nội dung lý thuyết Độc giả tham khảo đầy đủ [1] 3.2 Đối tượng mục đích thực nghiệm Chúng tiến hành thực nghiệm đối tượng em HS lớp 11 trung học phổ thông, học xong chương giới hạn chưa học khái niệm đạo hàm Mục đích chúng tơi xây dựng đồ án dạy học xây dựng tình giúp HS hình thành nghĩa “hình học” nghĩa 27 Tạp chí Khoa học số 27 (08-2017) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP “xấp xỉ” khái niệm đạo hàm Từ việc hiểu nghĩa này, bước đầu giúp em soi sáng ứng dụng đạo hàm kinh tế học 3.3 Dàn dựng kịch bản, số yếu tố phân tích tiên nghiệm hoạt động thực nghiệm Chúng phân đồ án dạy học thành hoạt động, dàn dựng thành buổi: Buổi thứ dành cho việc hình thành nghĩa “hình học” nghĩa “xấp xỉ” khái niệm đạo hàm, dự kiến diễn 80 phút thơng qua nhóm toán 1, 2, Buổi thứ hai để tạo cầu nối khái niệm đạo hàm vấn đề kinh tế học; đồng thời soi sáng ứng dụng đạo hàm kinh tế thông qua nhóm tốn 4, 5, 7, 8, Thời gian dự kiến cho buổi thứ hai 75 phút 3.3.1 Buổi thứ Hoạt động 1: (dự kiến 25 phút, làm việc theo nhóm) Giáo viên (GV) bắt đầu hoạt động cách phát phiếu học tập (Bảng 1) gồm thông báo tốn kèm theo câu hỏi cho nhóm, u cầu HS thảo luận điền câu trả lời vào phiếu học tập Trong trình HS thực yêu cầu, GV đưa gợi ý hướng dẫn cho HS cần thiết Bảng Phiếu học tập hoạt động THÔNG BÁO - Một dây cung AB đường cong đường thẳng nối hai điểm A B đường cong - Độ dốc (hay hệ số góc) dây cung AB (hay ⎡⎣AB⎤⎦ ) mAB = yB − yA A(x A ; yA ) B(x B ; yB ) xB − xA - Tiếp tuyến đường thẳng tiếp xúc với đường cong điểm Hình Hoạt động Bài tốn Hãy tìm hệ số góc tiếp tuyến với đường cong f (x ) = x điểm A(1;1) Câu hỏi 1: Giả sử điểm B nằm đường cong B có tọa độ (x ; x ) Hình a) Hãy tìm hệ số góc dây cung AB ? b) Hoàn thành bảng sau: x 1, 1,1 1, 01 28 Điểm B (2;4) Bảng Hệ số góc ⎡⎣AB ⎤⎦ x ( m AB ) 0, 0, 0, 99 0, 999 Điểm B (0; 0) Hệ số góc ⎡⎣AB ⎤⎦ ( m AB ) Tạp chí Khoa học số 27 (08-2017) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP c) Hãy đưa nhận xét hệ số góc ⎡⎣AB⎤⎦ x tiến gần 1? Câu hỏi 2: Khi x tiến gần điểm B tiến gần điểm A Bên hình ảnh minh họa trình điểm B tiến gần điểm A Các em có nghi ngờ hệ số góc tiếp tuyến A ? Hình Quá trình điểm B tiến gần điểm A Với câu hỏi 1, GV HS đến tổng kết sau: “Khi x tiến gần (từ bên phải bên trái) hệ số góc ⎡⎣AB⎤⎦ tiến gần ” Tiếp theo, việc chọn lựa đưa câu hỏi với mục đích giúp HS nhận ra: hệ số góc tiếp x2 − = x ≠ tuyến A mT = lim x →1 x − Đây chiến lược chúng tơi mong đợi Đến HS tạo “tâm thế” sẵn sàng, thời điểm nghĩa hình học khái niệm đạo hàm hình thành Hoạt động 2: (dự kiến 15 phút, làm việc theo nhóm tập thể) GV nêu toán yêu cầu nhóm thảo luận tìm phương án trả lời (Bảng 2) Bảng Phiếu học tập hoạt động Hoạt động Bài tốn Xét hàm số có dạng tổng quát y = f (x ) A điểm (a; f (a )) B điểm (x ; f (x )) Dây cung AB có hệ số góc gì? Khi cho B dần A, em có nhận xét mối liên hệ hệ số góc ⎡⎣AB⎤⎦ hệ số góc tiếp tuyến với đường cong y = f (x ) A ? Hình Tiếp tuyến t Bằng cách giải tương tự tốn 1, chúng tơi dự đốn chiến lược mong đợi chiến lược thường gặp hoạt động là: Dây cung AB có hệ số góc f (x ) − f (a ) Khi cho B dần A, hệ số góc x −a Hình Cát tuyến AB đường cong dây cung AB dần độ dốc tiếp tuyến A Vì thế, độ dốc tiếp tuyến f (x) − f (a) điểm (a; f (a )) mT = lim Từ đó, GV x →a x −a thể chế hóa cho HS nghĩa hình học khái niệm đạo hàm 29 Tạp chí Khoa học số 27 (08-2017) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Hoạt động 3: (dự kiến 40 phút, làm việc theo nhóm) GV phát phiếu học tập gồm thơng báo tốn cho nhóm GV yêu cầu HS thảo luận điền câu trả lời vào phiếu học tập (Bảng 3) Bảng Phiếu học tập hoạt động THÔNG BÁO Đường thẳng qua điểm M (x ; y ) có hệ số góc m có phương trình y = m(x − x ) + y0 Hoạt động Bài toán Cho hàm số y = f (x ) = x a) Viết phương trình tiếp tuyến g (x ) với (P ) điểm A(1;1) b) Quan sát hình ảnh đồ thị hàm số f (x ) = x tiếp tuyến g (x ) điểm A(1;1) trả lời câu hỏi sau: Nếu xét khoảng nhỏ xung quanh điểm A(1;1), em có nhận xét đồ thị (P ) tiếp tuyến g (x ) nó? Hình Parabol tiếp tuyến c) Hãy xác định hàm ε cho f (1 + Δx ) = f (1) + 2(Δx ) + Δx ε (Δx ) Chứng minh lim ε (Δx ) = Δx → Chúng lựa chọn cung cấp cho HS đồ thị (P ) tiếp tuyến g (x ) hệ trục tọa độ nhằm tạo điều kiện cho nghĩa xấp xỉ khái niệm đạo hàm hình thành Trước hết, HS thấy xấp xỉ mặt đồ thị, sau hướng đến xấp xỉ mặt giá trị hàm số Khi HS thảo luận làm câu a) b), GV hỗ trợ HS tìm câu trả lời cách cho HS quan sát đồ thị (P ) tiếp tuyến x = phóng to quanh lân cận tiếp điểm Sau hồn thành, GV gọi nhóm lên trả lời để nhóm khác tranh luận Kế tiếp, GV đưa kết luận xấp xỉ đồ thị hàm số tiếp tuyến quanh lân cận tiếp điểm đưa chiến lược mong đợi cho câu c) là: Ta có : f (1 + Δx ) = (1 + Δx )2 = + 2Δx + (Δx )2 = f (1) + 2Δx + Δx Δx ε (Δx ) = lim Δx = Do ε (Δx ) = Δx Δlim x →0 Δx →0 Hơn câu c), GV đưa nhận xét cho HS sau: Chúng ta thực việc tính gần 30 giá trị hàm số điểm x gần với (x = + Δx ) điều nói lên: Khi Δx dần 0, ta f (1) + 2Δx giá trị gần f (1 + Δx ) hay f (1) + 2(x − 1) giá trị gần f (x ) x điểm lân cận Hơn f (1) + 2(x − 1) phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm A Cuối cùng, GV thể chế hóa cho HS nghĩa xấp xỉ hàm số có đạo hàm 3.3.2 Buổi thứ hai Hoạt động 4: (dự kiến 25 phút, làm việc theo nhóm) Nếu dừng lại việc hình thành cho HS nghĩa hình học nghĩa xấp xỉ khái niệm đạo hàm, có lẽ việc vận dụng tri thức vào giải tình ngữ cảnh kinh tế thử thách lớn HS Vì thế, chúng tơi lựa chọn đưa vào ba toán 5, 6, để tạo cầu nối khái niệm đạo hàm với tri thức kinh tế học GV phát phiếu học tập yêu cầu HS thảo luận điền câu trả lời vào phiếu học tập (Bảng 4) Tạp chí Khoa học số 27 (08-2017) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Bảng Phiếu học tập hoạt động Hoạt động Bài tốn Tìm đạo hàm hàm số y = f (x ) = mx + b (m ≠ 0; m, b hai số cho trước) Bài toán Giá trị hàm số bậc y = mx + b (m ≠ 0; m, b hai số cho trước) thay đổi biến số x tăng đơn vị? Bài toán Các em biết công thức xấp xỉ hàm số tiếp tuyến lân cận tiếp điểm f (a + Δx ) ≈ f (a ) + f '(a )Δx A(a ; f (a )) tiếp điểm Tại điểm x = a, giá trị hàm số f (x ) thay đổi biến số x tăng thêm đơn vị? Chúng lựa chọn đưa vào tốn với mục đích chung tìm lượng thay đổi giá trị hàm số biến số tăng thêm đơn vị, điều đặc biệt quan tâm kinh tế học Đối với tốn 4, chúng tơi dự đốn hai chiến lược xảy Chiến lược 1: Tính đạo hàm hàm số cho định nghĩa Chiến lược 2: Nhận xét đường thẳng cho có hệ số góc m, f '(x) = (mx + b)' = m Tiếp theo, toán 5, lượng thay đổi giá trị hàm số biến số tăng đơn vị m Lượng thay đổi đạo hàm hàm số y = mx + b Cuối cùng, muốn đề cập đến thay đổi giá trị hàm phi tuyến y = f (x ) biến số x tăng đơn vị Chiến lược mong đợi là: Chúng ta có f (a + Δx ) ≈ f (a ) + f '(a )Δx x tăng lên đơn vị tức Δx = 1, f '(a ) ≈ f (a + 1) − f (a ) Suy ra, giá trị hàm số thay đổi lượng xấp xỉ f '(a ) Hoạt động (dự kiến 50 phút, làm việc theo nhóm) Qua hoạt động này, đánh giá lực vận dụng nghĩa khác khái niệm đạo hàm HS vào việc giải thích, đưa phương án giải cho tình ngữ cảnh kinh tế GV đưa toán 7, cách phát phiếu học tập gồm ba toán 7, cho nhóm GV yêu cầu HS thảo luận điền câu trả lời vào phiếu học tập (Bảng 5) Bảng Phiếu học tập hoạt động Hoạt động Bài tốn Một nhóm họa sĩ thuê đến vẽ trang trí tường quán cà phê Số tiền nhận C (đơn vị triệu đồng) phụ thuộc vào t vẽ theo phương trình M = 5, + 3,1t Lời giải thích hợp lí cho số 3,1 phương trình gì? Bài tốn Giả sử tổng chi phí chế tạo q đơn vị hàng hóa định C (q ) = q + (triệu đồng) Nếu mức sản xuất 40 đơn vị hàng hóa, ước tính tổng chi phí thay đổi 41 đơn vị hàng hóa sản suất Tìm chi phí sản xuất thực tế đơn vị hàng hóa thứ 41 Bài tốn Một nhà máy sản xuất vải với chiều rộng cố định Chi phí sản xuất x mét vải C = f (x ) trăm nghìn đồng Phát biểu f '(1000) = có nghĩa gì? Sau nhóm hồn thành, GV thu lại phiếu học tập để đánh giá Cuối cùng, GV trình bày chiến lược mong đợi cho HS Bài toán 7: Trong phương trình trên, 3,1 đạo hàm hàm đường thẳng M = 3,1t + 5, 8, cho biết thay đổi M t tăng đơn vị Do đó, sau giờ, nhóm họa sĩ nhận thêm 3,1 triệu đồng Bài toán 8: Giá trị biến q = 40 thay đổi biến đơn vị, từ chi phí tương ứng thay đổi C (41) − C (40) ≈ C '(40) Chúng ta có C '(40) = qlim →40 C (q) − C (40) q − 40 = 80 Do đó, C (41) − C (40) ≈ C '(40) = 80 triệu đồng Hơn nữa, chi phí sản suất thực tế đơn vị sản phẩm thứ 41 C (41) − C (40) = 81 triệu đồng 31 TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Từ đây, ta thấy chi phí sản xuất đơn vị sản phẩm thứ 41 xấp xỉ với C '(40) Bài tốn 9: Khi nói f '(1000) = có nghĩa rằng, sau 1000 mét vải sản xuất, mức tăng chi phí triệu đồng/mét Vì Δx = nhỏ so với x = 1000, nên có f (1000 +1) − f (1000) ≈ f '(1000) = nói chi phí sản xuất mét vải thứ 1001 khoảng triệu đồng 3.4 Một số yếu tố phân tích hậu nghiệm Thực nghiệm triển khai lớp 11A2 ( 37 HS) Trường Trung học phổ thông Thiên Hộ Dương, thành phố Cao Lãnh, tỉnh Đồng Tháp Dữ liệu thu bao gồm phiếu làm nhóm file ghi âm Trước phân tích làm nhóm, chúng tơi đánh giá lại diễn tiến q trình thực nghiệm so với kịch ban đầu 3.4.1 Diễn tiến thực nghiệm Thực nghiệm diễn giống kịch xây dựng Nhìn chung, hoạt động diễn theo hình thức GV tạo mơi trường để học sinh tự khám phá vấn đề, giáo viên sử dụng câu hỏi gợi mở số gợi ý, hướng dẫn để định hướng theo kịch Chúng đánh giá phần triển khai kịch dạy học đạt yêu cầu đặt 3.4.2 Phân tích làm nhóm Buổi thứ Hoạt động Tất nhóm trả lời hệ số góc dây cung AB hồn thành xác bảng đưa Có nhóm nhận xét hệ số góc dây cung AB tiến x tiến Cuối cùng, có nhóm nhận xét hệ số góc tiếp tuyến điểm A giới hạn tỉ số x2 −1 x → Kết cho thấy HS bắt x −1 đầu có ý niệm nghĩa hình học khái niệm đạo hàm Hình Bài làm tốn - câu hỏi nhóm học sinh lớp thực nghiệm 32 Tạp chí Khoa học số 27 (08-2017) Hoạt động Sau GV trình bày lời giải mong đợi hoạt động 1, có đến 5/8 nhóm cho thấy mối liên hệ hệ số góc dây cung AB hệ số góc tiếp tuyến điểm A Qua đó, nghĩa hình học khái niệm đạo hàm hình thành cho HS mong đợi chúng tơi Hình Bài làm tốn nhóm học sinh lớp thực nghiệm Hoạt động Đúng nghĩa xấp xỉ phải hình thành qua hình ảnh trực quan đồ thị f (x ) = x tiếp tuyến điểm A Đã có 3/8 nhóm đưa câu trả lời xác xét lân cận nhỏ xung quanh điểm A, đồ thị (P ) tiếp tuyến gần trùng Ngồi 5/8 nhóm cịn lại nhận xét chúng trùng khơng thể nhận khác biệt chúng Cuối cùng, qua câu 3c), giải thích GV nghĩa xấp xỉ khái niệm đạo hàm hình thành cho HS Hình Bài làm tốn - câu b) nhóm học sinh lớp thực nghiệm Buổi thứ hai Hoạt động Vì nghĩa hình học khái niệm đạo hàm hình thành ý niệm HS nên tất nhóm đưa câu trả lời xác cho toán cách sử dụng chiến lược 2, chiến lược tính đạo hàm hàm số định nghĩa khơng diễn Hình 10 Bài làm tốn nhóm học sinh lớp thực nghiệm TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Có 4/7 nhóm xác giá trị hàm số thay đổi lượng m biến số tăng đơn vị Tạp chí Khoa học số 27 (08-2017) chi phí sản xuất đơn vị sản phẩm thứ 41 C '(40), điều không xảy Hình 11 Bài làm tốn nhóm học sinh lớp thực nghiệm Có nhóm HS làm câu 6, em nhận Δx = 1, từ điểm x biến số x tăng thêm đơn vị lượng thay đổi giá trị hàm số f (x ) khoảng f '(a ) Qua hoạt động này, đánh giá đa số HS lớp nhận lượng thay đổi giá trị hàm số biến số tăng thêm đơn vị Hình 14 Bài làm tốn nhóm học sinh lớp thực nghiệm Kết toán nằm ngồi dự kiến chúng tơi, có nhóm đưa câu trả lời xác Có thể thay đổi biến số khơng thể tường minh nên hầu hết nhóm HS khơng đưa lời giải cho tốn Hình 12 Bài làm tốn nhóm học sinh lớp thực nghiệm Hoạt động Kết hoạt động phản ánh phần lớn mong đợi khả vận dụng đạo hàm để giải tình kinh tế học Đã có 5/7 nhóm đưa lời giải thích cho số 3,1 xác cho tốn Hình 13 Bài làm tốn nhóm học sinh lớp thực nghiệm Đối với tốn 8, có 5/7 nhóm đưa ước lượng xác tổng chi phí thay đổi, có nhóm tìm chi phí sản xuất thực tế đơn vị hàng hóa thứ 41 Chúng tơi mong đợi thêm nhận xét từ HS mối quan hệ gvvvviữa Hình 15 Bài làm tốn nhóm học sinh lớp thực nghiệm Kết luận Kết thực nghiệm cho thấy nghĩa hình học nghĩa xấp xỉ khái niệm đạo hàm hình thành cho HS Qua tình tạo cầu nối nghĩa khái niệm tri thức kinh tế học, HS vận dụng vào giải tình bối cảnh kinh tế học Từ đó, HS rèn luyện, bồi dưỡng thêm ứng dụng khác khái niệm đạo hàm kinh tế góp phần vào thực cơng đổi tồn diện giáo dục phổ thơng - dạy học mơ hình hóa, dạy học tích hợp, dạy học liên môn./ Tài liệu tham khảo [1] Bessot, A., Comiti, C., Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố Didactic Toán (Éléments fondamentaux de didactique des mathématiques) - Sách song ngữ ViệtPháp, NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, Thành phố Hồ Chí Minh 33 TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Tạp chí Khoa học số 27 (08-2017) [2] Ngô Minh Đức (2013), Khái niệm đạo hàm dạy học tốn vật lí trường phổ thơng, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Thành phố Hồ Chí Minh [3] Ngơ Minh Đức (2016), “Dạy học khái niệm đạo hàm mối quan hệ liên mơn với Vật lí”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, (số 7), tr 41-48 [4] Trần Thanh Hà (2015), Dạy học khái niệm đạo hàm lớp 11 theo quan điểm tích hợp, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Cần Thơ, Cần Thơ [5] Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ tiếp tuyến đạo hàm - Một nghiên cứu khoa học luận sư phạm, Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Thành phố Hồ Chí Minh [6] Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên) (2015), Đại số giải tích 11 - Nâng cao, NXB Giáo dục [7] David Martin, Robert Haese, Sandra Haese, Michael Haese, Mark Humphries (2012), Mathematics for the international student, Third Edition, Australia [8] Stewart J (2012), Caculus: Early Transcendentals, Senventh Edition, Cengage Learning [9] Lê Thái Bảo Thiên Trung (2015), “Một số tri thức tốn phổ thơng kinh tế lượng”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, (số 9), tr 95-105 TEACHING THE CONCEPT OF DERIVATIVE IN RELATION TO ECONOMICS Summary In the article, we present the teaching of different senses of “derivative” concept Then, some teaching and learning activities are designed with the aim of linking the concept senses and economics knowledge Thereby, students can apply derivatives to deal with economic situations Keywords: derivative concept, geometric sense, approximate sense, economics Ngày nhận bài: 31/3/2017; Ngày nhận lại: 10/7/2017; Ngày duyệt đăng: 25/7/2017 34