TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI KẾT HỢP CẶP THÊM VÀ BỚT PHOTON HAI MODE

Tạp chí Khoa học Đại học Huế: Khoa học Tự nhiên Tập 131, Số 1A, 75–83, 2022 pISSN 1859-1388 eISSN 2615-9678 TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI KẾT HỢP CẶP THÊM VÀ BỚT PHOTON HAI MODE Hồ Sỹ Chương1, 2, Hồ Ngọc Trung1, Trương Minh Đức1* Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, 34 Lê Lợi, Huế, Việt Nam Khoa Sư phạm Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Đồng Nai, Lê Quý Đơn, Tp Biên Hịa, Đồng Nai, Việt Nam * Tác giả liên hệ Trương Minh Đức (Ngày nhận bài: 05-09-2021; Ngày chấp nhận đăng: 09-10-2021) Tóm tắt Trong báo chúng tơi nghiên cứu tính chất phi cổ điển tính chất nén tổng hai mode, nén hiệu hai mode tính chất phản kết chùm hai mode bậc cao trạng thái kết hợp cặp thêm bớt photon hai mode (PAASTMPCS) Các kết khảo sát tính chất nén cho thấy trạng thái PAASTMPCS có tính chất nén tổng hai mode khơng có tính chất nén hiệu hai mode Tính chất nén tổng hai mode trạng thái PAASTMPCS xuất thêm bớt photon vào trạng thái kết hợp cặp (PCS) Ngoài ra, kết khảo sát trạng thái PAASTMPCS cịn có tính chất phản kết chùm hai mode bậc cao tính chất tăng cường thêm bớt photon vào PCS Qua đó, vai trị việc thêm bớt photon khẳng định thông qua việc tăng cường tính chất phi cổ điển trạng thái PAASTMPCS Từ khóa: Trạng thái kết hợp cặp, trạng thái kết hợp cặp thêm bớt photon hai mode, tính chất nén tổng hai mode, tính chất nén hiệu hai mode, tính chất phản kết chùm hai mode bậc cao Non-classical properties of photon-added-and-subtracted two-mode pair coherent state Ho Sy Chuong1, 2, Ho Ngoc Trung1, Truong Minh Duc1* Department of Physics, University of Education, Hue University, 34 Le Loi St., Hue, Vietnam Dong Nai University, Le Quy Don St., Bien Hoa City, Dong Nai, Vietnam * Correspondence to Truong Minh Duc (Received: 05 September 2021; Accepted: 09 October 2021) Abstract In this paper, we study the non-classical properties such as two-mode sum squeezing, twomode difference squeezing, and higher-order two-mode antibunching properties of the photon-addedand-subtracted two-mode pair coherent state (PAASTMPCS) The results in the squeezing property show that the PAASTMPCS has two-mode sum squeezing but no two-mode difference squeezing The two-mode sum squeezing of the PAASTMPCS always appears when adding and subtracting photons to two modes of a pair coherent state (PCS) Furthermore, the PAASTMPCS has higher-order two-mode antibunching in any order, and this property is enhanced when photons are simultaneously added and subtracted to two modes of the PCS Thereby, the role of the photon addition and the photon subtraction has been confirmed by enhancing the non-classical properties of the PAASTMPCS DOI: 10.26459/hueunijns.v131i1A.6508 75 Hồ Sỹ Chương CS Keywords: Pair coherent state, photon-added-and-subtracted two modes pair coherent state, two-mode sum squeezing, two-mode difference squeezing, higher-order two-mode antibunching Giới thiệu việc ứng dụng trạng thái phi cổ điển vào lĩnh vực thơng tin lượng tử điều Các tính chất trạng thái phi cổ điển quan tâm nghiên cứu từ sớm mà mở đầu công trình Mandel vào năm 1986 trạng thái phi cổ điển trường điện từ [1] Một trạng thái gọi trạng thái phi cổ điển thể tính chất phi cổ điển mà trạng thái cổ điển khơng thể có Các tính chất phi cổ điển thường gặp tính chất nén, tính chất phản kết khiển lượng tử Trạng thái PCS [9, 10] mà Argawal đưa trạng thái riêng toán tử hủy cặp aˆ bˆ toán ˆ = aˆ † aˆ − bˆ † bˆ sau tử Q ˆ ˆ ,q =  ,q , ab ( aˆ aˆ − bˆ bˆ )  , q † chùm, tính chất thống kê sub-Poisson, superPoison vi phạm bất đẳng thức CauchySchwarz Sau này, tính chất đan rối tính chất phi cổ điển trạng thái đa mode Về tính chất nén, năm 1989, Hillery đưa điều kiện nén tổng nén hiệu [2] cho trạng thái hai † (1) = q ,q Trong không gian trạng thái Fock, trạng thái PCS khai triển dạng n   , q = Aq  n=0 n !( n + q )! n, n + q ab , (2) mode Các điều kiện sau tác giả i  =  e số phức Trong báo khác phát triển thêm nén đa mode nén đa này, chọn  = ; q  N tham số suy mode bậc cao [3-5] Về tính chất phản kết chùm, biến; Aq hệ số chuẩn hóa xác định năm 1986, Mandel nghiên cứu tính chất phản kết chùm ánh sáng kết hợp [1] Đến năm 1990, Lee [6] đưa điều kiện để trạng thái có tính chất phản kết chùm bao gồm điều kiện phản kết chùm đơn mode, phản kết chùm đa mode phản kết chùm đa mode bậc cao   A = −2 q n=0 2n (3) n !( n + q )! Trạng thái hai mode kết hợp cặp thêm m photon lên mode (PAPCS) [12] Hong Guang-can đưa năm 1999 Một số tính chất phi Năm 1963, Glauber [7] Sudar Shan [8] cổ điển PAPCS nhóm nghiên đề xuất trạng thái kết hợp để mơ tả tính chất cứu tính phân bố sub-Poisson, vi phạm bất chùm sáng laser Đến năm 1988, trạng thái kết đẳng thức Cauchy-Schwarz tính chất nén hai hợp cặp (PCS) đặc tính Argawal mode Trong thời gian gần đây, trạng thái kết hợp đưa nghiên cứu [9-11] ơng nhận thấy cặp thêm bớt photon hai mode (PAASTMPCS) nhiều vấn đề quang phi tuyến, đảo đề xuất [23] cách đồng thời thêm k ngược hay trộn bốn sóng, photon tạo photon vào mode a bớt l photon khỏi mode b theo cặp hay hai photon đồng thời bị hủy Từ trạng thái PCS Trạng thái PAASTMPCS đến nay, tác giả khác Hong [12], Zavatta viết dạng [13, 14] số tác giả gần [15-22] đề xuất trạng thái phi cổ điển việc thêm  , q; k , l ab = Bq;k ,l ( ) aˆ † k bˆl  , q ab , (4) bớt photon lên trạng thái PCS Việc thêm bớt k, l số nguyên không âm photon vào trạng thái PCS làm tăng tính chất Bq;k ,l ( ) hệ số chuẩn hóa xác định có dạng phi cổ điển trạng thái, từ cải thiện tính hiệu 76 pISSN 1859-1388 eISSN 2615-9678 Tạp chí Khoa học Đại học Huế: Khoa học Tự nhiên Tập 131, Số 1A, 75–83, 2022    2m ( m + k ) !   Bq;k ,l ( ) =    m=0 ( m !)2 (m + q − l )!    Trong không −1/ gian (5) Fock, trạng ab   , q; k , l V  (8) N a + Nb + , (9)  ab =  Cn;k ,h ( ) n + k , n + h n =0 ab , (6) h đặt h = q − l Cn;k , h ( ) xác định    2m ( m + k )!   Cn;k , h ( ) =    m =0 ( m !)2 (m + h)!     có giá trị bất kỳ, Na trị Nb trung bình số hạt tương ứng mode a b, V = V − Vˆ trị trung bình bình phương độ lệch (phương sai) toán tử nén tổng −1/ n ( n + k )! (7) ( n !) ( n + h )! Khi k = h = q (khi k = l = 0) trạng thái PAASTMPCS (6) quy trạng thái PCS (2) Một số thuộc tính phi cổ điển tính chất Để thuận tiện q trình khảo sát, đưa đại lượng đặc trưng cho tính chất nén tổng, gọi thơng số nén tổng, ký hiệu S [17], dạng S= V − Na + Nb + phi Gauss tính chất đan rối PAASTMPCS nghiên cứu cách chi tiết thông qua hàm phân bố Wigner độ đan rối Entropy tuyến PAASTMPCS chưa quan tâm nghiên cứu Do đó, báo này, tập trung nghiên cứu số tính chất phi cổ điển trạng thái PAASTMPCS tính chất nén tổng hai mode mục 2, tính chất nén hiệu hai mode mục tính chất phản kết chùm hai mode bậc cao mục Cuối chúng tơi tóm tắt lại kết nghiên cứu mục kết luận Nén tổng hai mode Tính chất nén trạng thái phi cổ điển có nhiều ứng dụng nhiệm vụ lượng tử việc tạo ánh sáng nén, sử dụng ánh sáng nén để nâng cao chất lượng giao thoa kế laser [24, 25] Có nhiều loại nén nghiên cứu nén tổng, nén hiệu [2], nén đơn mode, nén đa mode, nén thường nén bậc cao [3, 4] Trong mục sử dụng nén tổng hai mode kiểu N a + Nb + (10) Trạng thái hai mode có tính chất nén tổng −1  S  tính [23] Tuy nhiên, đặc tính phi cổ điển khác † † i a b e + abe−i ) ( Một trạng thái gọi bị nén tổng thái PAASTMPCS viết sau  , k, h V = Từ định nghĩa tốn tử nén tổng (8), chúng tơi tính tốn thu kết trị trung bình bình phương độ lệch V = V − Vˆ =  2  †2 ˆ†2 † †  i 2  2 ˆ ˆ  e −i 2 (11)  aˆ b − aˆ bˆ  e +  aˆ bˆ − ab     (  ) ˆ ˆ + Nˆ a + Nˆ b + + Nˆ a Nˆ b − aˆ †bˆ† ab Bằng cách thay V (11) vào (10), đưa đại lượng S dạng ( ( ) S =  Re aˆ †2bˆ†2 ei 2 + Nˆ a Nˆ b   −  Re  aˆ †bˆ†   ei 2  + aˆ †bˆ†  )  ˆ   N a + Nˆ b +  −1 (12) Các trị trung bình (12) tính tốn chi tiết, từ thơng số nén tổng S viết dạng khai triển sau Hillery giới thiệu năm 1989 [2] Trong đó, tốn tử nén tổng hai mode có dạng DOI: 10.26459/hueunijns.v131i1A.6508 77 Hồ Sỹ Chương CS      m ( m + k ) !   S = Cq2      m=0  ( (m)!) ( m + h ) !  giá trị |ξ| nhỏ chọn tham số h bé (l lớn), cần có độ nén cao nên chọn  ( m + k + 1)( m + k + )    cos 2 + ( m + k )( m + h )   (m + 1)(m + 2)    tham số h lớn (l bé)  (13)     m+1 ( m + k ) !   (m + k + 1)     −C      (1 + cos 2 )    ( m + 1)  m=0  ( (m)!) ( m + h ) !      q −1      n ( n + k ) !     ( 2n + k + h )  + 1 ,  Cq2        n=0  ( n !) ( n + h ) !    = ( +  ) Hình Đồ thị phụ thuộc S vào |ξ| α chọn k = h = Từ kết (13), vẽ đồ thị phụ thuộc S vào |ξ| α = ϕ + ϕ, trường hợp k = h = (Hình 1) Kết cho thấy giá trị S nhỏ giá trị |ξ|  = k , k  Vì vậy, trình khảo sát phụ thuộc S vào tham số khác, chọn  =  +  = Trên Hình 2, đường cong mô tả phụ thuộc S hàm theo biến |ξ| k = Hình Sự phụ thuộc S theo biến |ξ| PCS (k = l = 0) ứng với tham số h = q khác tham số h = q tăng dần Đây trường hợp ứng với trạng thái gốc PCS (k = l = 0) trước thêm bớt photon Từ đồ thị thấy PCS có S ≥ tồn miền giá trị |ξ| với q; điều có nghĩa PCS khơng có tính chất nén tổng Hình đồ thị phụ thuộc S vào biến |ξ| tham số (k, h), cố định h = k tăng dần Các đường cong cho thấy k tăng dần, trạng thái bắt đầu bị nén các vị trí tương ứng giá trị |ξ| giảm dần đồng thời độ Hình Sự phụ thuộc S theo biến |ξ| tham số (k, h), cố định h = k tăng dần sâu đường cong S tăng, tức độ nén tăng dần Hình đồ thị phụ thuộc S vào biến |ξ| tham số (k, h), với k = h tăng dần (q cố định l giảm) Từ đường cong thấy h tăng dần, trạng thái bắt đầu bị nén vị trí có giá trị |ξ| tăng dần, đồng thời độ sâu lớn S tăng theo, tức độ nén cực đại tăng dần Do đó, trường hợp cần có tính chất nén 78 Hình Sự phụ thuộc S theo biến |ξ| tham số (k, h), cố định k = h tăng dần pISSN 1859-1388 eISSN 2615-9678 Tạp chí Khoa học Đại học Huế: Khoa học Tự nhiên Tập 131, Số 1A, 75–83, 2022 Như vậy, đồ thị Hình 2, cho thấy rằng, trạng thái hai mode kết hợp cặp Từ kết (16) (17), xác W định phương sai thêm bớt photon có tính chất nén tổng trạng thái kết hợp cặp khơng Tính chất nén tổng PAASTMPCS tăng số photon thêm vào mode a tăng (k tăng) số photon bớt =  2  ˆ†2 ˆ ˆ†  ei 2 +  aˆ †2bˆ − aˆ †bˆ  e − i 2 (18)  aˆ b − ab     ( mode b giảm (h tăng) W = Wˆ − Wˆ  ) ˆ ˆ† aˆ †bˆ + Nˆ a + Nˆ b +2 Nˆ a Nˆ b − ab Nén hiệu hai mode Đối với PAASTMPCS, trị trung bình (18) bị triệt tiêu nên phương sai Giống nén tổng, nén hiệu xảy trình tạo tần số hiệu Hillery đưa điều kiện nén hiệu hai mode [2] Toán tử nén hiệu hai mode định nghĩa sau ( ) ˆ† i ˆ e + aˆ †bˆ e − i , Wˆ = ab W viết lại thành W = (14) ( ˆ ˆ ˆ N a Nb + N a + Nˆ b ˆ  N a − Nˆ b ) (19) Thay kết (19) vào (15), chúng tơi thu  có giá trị D  Vậy, trạng thái PAASTMPCS không Tương tự trường hợp nén tổng hai mode, đây, đại lượng đặc trưng cho tính chất có tính chất nén hiệu Điều tương tự trạng thái PCS nén hiệu, gọi thông số nén hiệu ký hiệu D [17], định nghĩa sau D= Wˆ − Nˆ a − Nˆ b Nˆ a − Nˆ b (15) , Phản kết chùm hai mode bậc cao Phản kết chùm tính chất phi cổ điển quan trọng ứng dụng nhiệm vụ lượng tử tạo trạng thái thêm Na mode a b; N b trị trung bình số hạt ˆ − W ˆ W = W   phương sai toán tử nén hiệu Một trạng thái hai mode có tính chất nén hiệu −1  D  photon tách chùm [26] Điều kiện phản kết chùm Lee [3] đưa lần năm 1990 sau phát triển An [3] mở rộng vào năm 2002 Theo Lee, trạng thái có hai mode a b có tính chất phản kết chùm hai mode bậc cao Từ định nghĩa toán tử nén hiệu hai mode hàm Rab(u,v) thỏa mãn điều kiện (14) ta có: u +1) Rab ( u,v ) =  ˆ = aˆ 2bˆ†2 ei 2 + aˆ †2bˆ2 e−i 2 W  ˆ +2 Nˆ Nˆ + Nˆ + Nˆ , W  a b a b  (16) ( ˆ ˆ† ei + aˆ †bˆ e −i = ab ) DOI: 10.26459/hueunijns.v131i1A.6508 v −1) N a( ) N b( u v) + N a( v −1) N b( + N a( ) N b( v u +1) u) −  , (20) (l ) u  v  , N x =  j =0 ( N x − j ) l −1 Các trị trung bình biểu thức (20) 2 ˆ ˆ† ei 2 + aˆ †bˆ e −i 2 + ab ˆ ˆ† aˆ †bˆ =  ab 4 N b( x = a,b ˆ W  N a( xác định sau    (17) 79 Hồ Sỹ Chương CS   N a( u +1 ) Nb( v−1 ) = Bqkl  n =0 n =0 n =0 v a N N u b =B qkl  2n ( ( n + a1 ) ! ) ( n! ) ( n + a1 − v + 1) ! ( n + b1 − u − 1) ! 2n ( ( n + a1 ) ! ) n =0 2n xanh nét đứt gạch chấm (9, 1) trường , hợp ứng với u tăng v = Các đường cho thấy u tăng độ âm hàm Rab(u,v) tăng theo, tức tính phản kết chùm tăng ( n! ) ( n + a1 − u ) ! ( n + b1 − v ) !  màu tím nét đứt gạch chấm chấm (8, 1) màu 2  , 2   Các đường cong màu xanh dương nét liền (7, 1), ( n! ) ( n + a1 − u − 1) ! ( n + b1 − v + 1) !  N au Nbv = Bqkl  ( ( n + a1 ) ! )  N a( v−1 ) Nb( u +1 ) = Bqkl  2n (( n + a1 ) ! ) Tiếp theo, cố định tham số u v , (u = 8, v = 1) vẽ đồ thị phụ thuộc hàm Rab(u,v) theo biến |ξ| tham số (k, h) (Hình 6) ( n! ) ( n + a1 − v ) ! ( n + b1 − u ) ! Thay kết tính tốn vào (20), Ở Hình 6a, đường cong màu đen nét liền (6, 11), màu đỏ nét đứt gạch (16, 11) màu cam nét đứt chấm (17, 11) trường hợp ứng với h cố định k tăng dần Có thể thấy k tăng, độ âm hàm Rab(u,v) trở thành    n ( ( n + k ) ! )2  Rab ( u,v ) =   n + k − u − !  n =0 ) ( n + h − v + 1) ! ( n! ) (  2m     (( m + k ) ! ) (21) +      ( n + k − v + 1) ! ( n + h − u − 1) !  m=0 ( m! )2 −1   1   +   −  ( m + k − u ) ! ( m + h − v ) ! ( m + k − v ) ! ( m + h − u ) !   hàm Rab(u,v) giảm, tức số photon thêm vào mode a tăng tính chất phản kết chùm giảm Các đường lại bao gồm đường màu xanh dương nét liền (6, 2), màu tím nét đứt gạch chấm chấm (6, 3) màu xanh nét đứt gạch chấm (6, 6) trường hợp ứng với k cố định h tăng Các đường cho thấy rằng, h tăng (q cố định Từ kết hàm số phản kết chùm hai mode bậc cao Rab(u,v) (21), cố định tham số k h (k = h = 6) vẽ đồ thị hàm Rab(u,v) theo biến |ξ| tham số (u, v) (Hình 5) Trong đó, đường cong màu đen nét liền (7, 4), màu đỏ nét đứt gạch (7, 5) màu cam nét đứt chấm (7, 6) trường hợp ứng với u = v tăng dần Có thể thấy v tăng, độ âm hàm Rab(u,v) giảm, tức tính chất phản kết chùm giảm Hình Các đồ thị hàm Rab(u,v) theo biến |ξ| tham số (u, v), tham số k h chọn cố định k = h = 80 Hình Các đồ thị hàm Rab(u,v) theo biến |ξ| tham số (k, h), chọn u = v = Hình a trường hợp thay đổi hai đại lượng k h Hình b trường hợp k + h khơng đổi pISSN 1859-1388 eISSN 2615-9678 Tạp chí Khoa học Đại học Huế: Khoa học Tự nhiên Tập 131, Số 1A, 75–83, 2022 l giảm) độ âm hàm Rab(u,v) tăng, nghĩa làm cho mức độ phản kết chùm PAASTMPCS số photon bớt mode b giảm tính chất cao PCS phản kết chùm tăng Ngồi ra, Hình 6b, đường cong đồ thị hàm Rab(u,v) thay Kết luận đổi hai tham số k h cho tổng chúng không đổi (k + h = 12) Các đường cong cho thấy, Trong báo này, khảo sát k = h = (đường nét liền màu xanh dương) trình nén tổng hai mode, nén hiệu hai mode đường cong vị trí thấp Điều có nghĩa tính chất phản kết chùm hai mode bậc cao thêm bớt photon vào hai mode, số trạng thái PAASTMPCS Kết nghiên cứu photon hai mode cân (k = h) mức độ tính phản kết chùm cao giá trị |ξ| PAASTMPCS có tính chất nén tổng hai mode Để so sánh mức độ phản kết chùm PAASTMPCS PCS, vẽ đồ thị phụ thuộc hàm Rab(u,v) theo biến |ξ| tham số (k, h) tham số khác chọn cố định q = 6, u = 8, v = (Hình 7) Trong đó, đường cong màu xanh dương nét liền (0, 6) ứng với PCS có q = 6, đường cong màu tím nét đứt gạch chấm chấm (0, 3) ứng với trường hợp PAASTMPCS có k = 0, h = (l = 3) Đường cong màu xanh nét đứt gạch chấm (3, 6) ứng với trường hợp PAASTMPCS có k = 3, h = (l = 0) đường cong (3, 3) màu đỏ nét đứt gạch ứng với trường hợp PAASTMPCS có k = 3, h = (l = 3) Nếu so sánh hai đường (0, 6) (0, 3), thấy việc bớt photon (l > 0) cho trạng thái PAASTMPCS có mức độ phản kết chùm cao PCS Tương tự vậy, đường (0, 6) (3, 6) lại cho thấy việc thêm photon (k > 0) chất nén tổng hai mode cho thấy, PCS khơng Tính chất nén tổng tăng số photon thêm vào mode a tăng số photon bớt mode b giảm Về tính chất nén hiệu hai mode, kết nghiên cứu cho thấy PAASTMPCS PCS khơng thể tính chất nén hiệu hai mode Đối với tính chất phản kết chùm hai mode bậc cao, kết khảo sát cho thấy tính phản kết chùm phụ thuộc vào việc chọn bậc (u, v) hàm phản kết chùm Rab(u,v) Cụ thể, u lớn v nhỏ độ phản kết chùm PAASTMPCS tăng Ngoài ra, giảm số photon thêm vào mode a hay bớt mode b mức độ phản kết chùm hai mode bậc cao tăng cường Đặc biệt thêm bớt photon lên mode cho tổng k + h không đổi, số photon hai mode cân (k = h), độ phản kết chùm hai mode bậc cao lớn Kết khảo sát cịn cho thấy trạng thái PAASTMPCS có tính chất phản kết chùm cao so với trạng thái gốc PCS Như vậy, kết luận PAASTMPCS trạng thái có tính chất phi cổ điển cao tốt so với trạng thái gốc PCS Điều cho thấy vai trò việc đồng thời thêm bớt photon vào hai mode trạng thái gốc PCS Đặc biệt, tính chất phản kết chùm tính chất nén tổng hai mode tăng cường số photon đồng thời thêm bớt Hình Đồ thị so sánh tính phản kết chùm PAASTMPCS PCS, đường cong đồ thị hàm Rab(u,v) theo biến |ξ| tham số (k, h) tham số khác chọn cố định q = 6, u = 8, v = vào hai mode trạng thái PCS cách phù hợp Việc tăng cường tính chất phi cổ điển, đặc biệt tính chất phản kết chùm hai mode bậc cao cho thấy trạng thái PAASTMPCS có tiềm việc áp dụng vào nhiệm vụ lượng tử tương lai gần DOI: 10.26459/hueunijns.v131i1A.6508 81 Hồ Sỹ Chương CS 12 Hong L, Guang-can G Nonclassical properties of photon-added pair coherent states Acta Physica Sinica (Overseas Edn) 1999;8(8):577-582 Thông tin tài trợ Nghiên cứu tài trợ Quỹ Phát triển khoa học công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) đề tài mã số 103.01-2018.361 Tài liệu tham khảo Mandel L Non-Classical States of the Electromagnetic Field Physica Scripta 1986;T12:34-42 Hillery M Sum and difference squeezing of the electromagnetic field Physical Review A 1989; 40:3147-3155 An NB Multimode higher-order antibunching and squeezing in trio coherent states Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics 2002;4(3):222227 Duc TM, Hoai NTX, An NB Sum Squeezing, Difference Squeezing, Higher-Order Antibunching and Entanglement of Two-Mode Photon-Added Displaced Squeezed States Int J Theor Phys 2014; 53:899-910 Duc TM, and Noh J Higher-order properties of photon-added coherent states Opt Commun 2008; 281(10):2842-2848 Lee CT Many-photon antibunching in generalized pair coherent states Physical Review A 1990;41: 1569-1575 Glauber RJ Coherent and Incoherent States of the Radiation Field Physical Review 1963;131(6):27662788 Sudarshan ECG Equivalence of semiclassical and quantum mechanical descrlptions of statistical light beams Physical Review Letters 1963;10(7):277-279 Agarwal GS Generation of pair coherent states and squeezing via the competition of four-wave mixing and amplified spontaneous emission Phys Rev Lett 1986;57(7):827-830 10 Agarwal GS Nonclassical statistics of fields in pair coherent states Journal of the Optical Society of America B 1988;5:1940-1947 11 Agarwal GS, Tara K Nonclassical properties of states generated by the excitations on a coherent state Physical Review A 1991;43(1):492-497 82 13 Zavatta A Quantum-to-Classical Transition with Single-Photon-Added Coherent States of Light Science 2004;306(5696):660-662 14 Zavatta A, Viciani S, Bellini M Single-photon excitation of a coherent state: catching the elementary step of stimulated light emission Phys Rev A 2005;72(2):023820(1-9) 15 Wang D, Li M, Zhu F, Yin Z, Chen W, Han Z, Guo G, Wang Q Quantum key distribution with the single-photon-added coherent source Physical Review A 2014;90(6):062315(1-8) 16 Hoai NTX, Duc TM Nonclassical properties and teleportation in the two-mode photon-added displaced squeezed states International Journal of Modern Physics B 2016;30:1650032(1-15) 17 Dinh DH, Duc TM Sum squeezing, difference squeezing and higher-order antibunching properties of two-mode even and odd charge coherent states Hue University Journal of Science: Natural Science 2016;117(3):15-24 18 Duc TM, Dinh DH, Dat TQ Higher-order nonclassical properties of nonlinear charge pair cat states Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics 2019;53(2):025402(1-11) 19 Duc TM, Dat TQ, Chuong HS Quantum entanglement and teleportation in superposition of multiple-photon-added two-mode squeezed vacuum state International Journal of Modern Physics B 2020;34(25):2050223(1-9) 20 Dat TQ, Duc TM Nonclassical Properties of the Superposition of Three-Mode Photon-Added Trio Coherent State International Journal of Theoretical Physics 2020;59:3206-3216 21 Dat TQ, Duc TM Higher-order nonclassical and entanglement properties in photon-added trio coherent state Hue University Journal of Science: Natural Science 2020;129(1B):49-55 22 Duc TM, Dat TQ Enhancing nonclassical and entanglement properties of trio coherent states by photon-addition Optik 2020;210:164479(1-11) 23 Truong DM, Ho CS, Tran DQ Detecting nonclassicality and non-Gaussianity by the Wigner function and quantum teleportation in photonadded-and-subtracted two modes pair coherent state Journal of Computational Electronics 2021;20(6):2124-34 pISSN 1859-1388 eISSN 2615-9678 Tạp chí Khoa học Đại học Huế: Khoa học Tự nhiên Tập 131, Số 1A, 75–83, 2022 24 Schnabel R Squeezed states of light and their applications in laser interferometers Physics Reports 2017;684:1-51 25 Aasi J, Abadie J, Abbott BP, Abbott R, Abbott TD, Abernathy MR, et al Enhanced sensitivity of the LIGO gravitational wave detector by using DOI: 10.26459/hueunijns.v131i1A.6508 squeezed states 2013;7(8):613-619 of light Nature Photonics 26 Sabapathy KK, Winter A Non-Gaussian operations on bosonic modes of light: Photon-added Gaussian channels Physical Review A 2017;95(6):062309(117) 83