Lương Quốc Tuyển, Hồ Quốc Trung, Lê Văn Có 68 MỘT SỐ TÍNH CHẤT BẢO TỒN TRÊN SIÊU KHƠNG GIAN SOME PRESERVED PROPERTIES ON A HYPERSPACE Lương Quốc Tuyển1, Hồ Quốc Trung2*, Lê Văn Có2 Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Sinh viên Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng *Tác giả liên hệ: qt08102000@gmail.com (Nhận bài: 26/7/2021; Chấp nhận đăng: 20/9/2021) Tóm tắt - Good Macías [1] chứng minh bảo tồn số tính chất topo từ khơng gian topo lên khơng gian tích đối xứng cấp n Cụ thể, khơng gian topo có họ bảo tồn bao đóng, khơng gian tích đối xứng cấp n có họ bảo tồn bao đóng Trong báo này, nhóm tác giả nghiên cứu khơng gian Hausdorff, họ hữu hạn tập compact mối quan hệ không gian topo X siêu không gian gồm tập hữu hạn ( X ) Nhờ đó, chứng minh kết sau: (1) Nếu X khơng gian Hausdorff, siêu khơng gian ( X ) không gian Hausdorff; (2) Nếu khơng gian X có họ hữu hạn tập compact, siêu khơng gian ( X ) có họ hữu hạn tập compact Abstract - Good and Macísas [1] have proved the preservation of some topological properties from a topological space to its n -fold symmetric product space In particular, if a topological space has a closure-preserving family, its n -fold symmetric product space also has a closure-preserving one In this paper, the authors study on Hausdorff space, finite family on compact subsets, and the relation between a topological space X and its hyperspace of finite subsets ( X ) The following results are proved: (1) If X is a Hausdorff space, then the hyperspace ( X ) is also a Hausdorff one; (2) If space X has a finite family on the compact subsets, then the hyperspace ( X ) also has a finite one on the compact subsets Từ khóa - Tích đối xứng; siêu không gian; không gian Hausdorff; tập compact; họ hữu hạn tập compact Key words - Symmetric product; hyperspace; Hausdorff space; compact set; finite family on compact subsets Giới thiệu Năm 1931, Borsulk Ulam [2] giới thiệu khái niệm khơng gian tích đối xứng cấp n không gian topo đưa số tính chất quan trọng Trong năm gần đây, nhiều tác giả giới quan tâm nhiều đến toán bảo tồn tính chất topo lên khơng gian tích đối xứng cấp n Nhờ đó, tác giả thu nhiều kết thú vị (xem [1-7]) Cụ thể, năm 2016, Good Macías [1] chứng minh bảo tồn số tính chất topo từ không gian topo lên không gian tích đối xứng cấp n nó, X khơng gian topo có họ bảo tồn bao đóng, khơng gian tích đối xứng cấp n có họ bảo tồn bao đóng Gần đây, Tuyển Tuyên [7] đưa kết rằng, X khơng gian topo có cn-mạng (tương ứng, ck-mạng) có tính chất σ-(P), khơng gian tích đối xứng cấp n có cn-mạng (tương ứng, ck-mạng) có tính chất σ-(P) Trong báo này, nhóm tác giả nghiên cứu mối quan hệ số tính chất mạng khơng gian topo X tính chất mạng siêu khơng gian ( X ) gồm tập hữu hạn Nhờ đó, chứng minh rằng, X khơng gian Hausdorff, siêu khơng gian ( X ) Trong báo này, nhóm tác giả sử dụng số ký hiệu: không gian Hausdorff X khơng gian Hausdorff có họ hữu hạn tập compact, siêu khơng gian ( X ) khơng gian Hausdorff có họ hữu hạn tập compact = {0, 1, 2, 3, }, * = {1, 2, 3, }, | A | lực lượng tập hợp A Giả sử họ gồm tập không gian topo X , ký hiệu = U : U Cơ sở lí thuyết phương pháp nghiên cứu 2.1 Cơ sở lí thuyết Giả sử X không gian topo Ta đặt (1) CL( X ) (2) X (3) (4) n {A CL( X ) : A (X ) (X ) {A X : A đóng khác rỗng }; compact }; {A X : | A | n}; {A : A hữu hạn } X Chúng ta trang bị cấu trúc topo Vietoris không gian CL( X ) với sở = U1 , , U s : U1 , , U s X, s * tập mở , s U1 , ,U s A CL( X ) : A Ui , A Ui i The University of Danang - University of Science and Education (Luong Quoc Tuyen) Student Faculty of Mathematics, The University of Danang - University of Science and Education (Ho Quoc Trung, Le Van Co) , i s ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 3, 2022 Như vậy, n(X ) CL( X ) với topo cảm sinh từ topo Vietoris Khi đó, n(X ) (1) X E X = U ( X \{x}) ( X ) không gian Mặt khác, E U = {x} , gọi khơng gian tích đối xứng cấp n E ( X \{x}) (2) ( X ) gọi siêu không gian gồm tập hữu hạn X Rõ ràng (X ) n lân cận mở E nên = V (X ) n n (X ) n * ( X ) với n Bây giờ, giả sử U1 , , U s tập mở X Khi đó, ta ký hiệu U1 , ,U s U1 , (X ) Như vậy, topo ,U s ( X ) (X ) Định nghĩa 2.1.1 ([4]) Giả sử X không gian topo họ gồm tập X Khi đó, gọi họ hữu hạn tập compact X (viết tắt CF) với tập compact K X , ta có U K : U họ hữu hạn họ CF * Bổ đề 2.1.2 ([1]) Nếu tập compact ( X ), tập compact X 2.2 Phương pháp nghiên cứu Nhóm tác giả sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình thực báo; Nghiên cứu báo tác giả trước sử dụng cách tương tự hóa, khái quát hóa để đưa kết cho Chứng minh Giả sử E , F ( X ) cho E F Bởi E F nên khơng giảm tổng quát ta giả sử tồn x E \ F Bởi F tập hữu hạn X không gian Hausdorff nên tồn lân cận mở U x V F X cho U V = = V E (X ) Khi đó, rõ ràng lân cận mở F = U (X ) lân cận mở ( X ) thỏa mãn = : Ui , i r, r * ( X ) {U K : U } = {Ki : i } Với i , ta đặt i = {U : U K = Ki }, với , ta đặt Bổ đề 3.1.1 Nếu X không gian Hausdorff, ( X ) khơng gian Hausdorff (X ) Chứng minh Bởi X khơng gian Hausdorff nên theo Bổ đề 3.1.1 ta suy rằng, ( X ) không gian Hausdorff Bây giờ, giả sử tập compact ( X ) Khi đó, theo Bổ đề 2.1.2 ta suy K = tập compact X Bởi họ CF X nên tồn tập hữu hạn cho U = U1,,U r Kết đánh giá 3.1 Kết Trường hợp 1: Nếu E = {x}, ta lấy ( X ) Định lí 3.1.2 Giả sử X khơng gian topo Hausdorff Khi đó, họ CF X, ( X ) có sở : U1, , U s mở X , s (X ) lân cận mở F Thật vậy, giả sử ngược lại Khi đó, ta lấy A Bởi A nên ta suy A V Mặt khác, A nên ta có A U , kéo theo U V Điều mâu thuẫn với U V = U = U1 ,,U r ,U s ( X ) = = U1, 69 cho U i Ui j j, (X ) : với i r , tồn j với j , tồn i s cho Khi đó, ta thu U = Thật vậy, giả sử U1 ,,U s ( X ) , V1 ,,Vr F U1 ,,U s (X ) (X ) Ui , Khi đó, ta có F K; Giả sử x F , F {U i : i s} Trường hợp 2: Nếu E {x}, ta đặt = U , X \{x} ( X ) ; = V ( X ) nên ta suy ra, tồn i s cho x U i Bởi thế, tồn Khi đó, Như vậy, ta có lân cận mở E Thật vậy, rõ ràng mở ( X ) ( X ) j cho Ui j, tồn k r cho Vk x U i K = Vk K , kéo theo F {V j : j r} j Lương Quốc Tuyển, Hồ Quốc Trung, Lê Văn Có 70 Giả sử i r , tồn j cho Vi tồn k s cho U k j j, Ta có Vi K = U k K Bởi F U1 ,,U s (X ) nên ta có F (Vi K ) , kéo theo F U k Như vậy, F V1 ,,Vr (X ), ta có U1 ,,U s (X ) V1 ,,Vr (X ) Hoàn toàn tương tự ta chứng minh V1 ,,Vr (X ) U1 ,,U s TÀI LIỆU THAM KHẢO (X ) Từ chứng minh ta thu V1 ,,Vr (X ) = U1 ,,U s (X ) Cuối cùng, hữu hạn nên : tập hữu hạn Do đó, với i s, s U1,,U s (X ) * , ta có : U1 ,,U s = (X ) U U : tập hữu hạn Như vậy, U họ CF Kết luận Trong năm gần đây, số tác giả giới quan tâm nhiều đến bảo tồn tính chất topo lên siêu khơng gian thu nhiều kết thú vị Trong báo này, nhóm tác giả nghiên cứu tính chất họ hữu hạn tập compact không gian topo siêu khơng gian Nhờ đó, đưa kết rằng, X không gian topo Hausdorff có họ hữu hạn tập compact, siêu khơng gian ( X ) khơng gian Hausdorff có họ hữu hạn tập compact ( X ) 3.2 Đánh giá Nhóm tác giả nghiên cứu số tính chất topo bảo tồn từ khơng gian topo X lên siêu khơng gian gồm tập hữu hạn ( X ) Nhờ đó, đưa chứng minh kết thể Định lí 3.1.2 [1] C Good and S Macías, “Symmetric products of generalized metric spaces”, Topology and its applications, vol 206, pp 93–114, 2016 [2] K Borsuk and S Ulam, “On symmetric products of topological spaces”, Bulletin of the American Mathematical Society, vol 37, no 12, pp 875–882, 1931 [3] E Michael, “Topologies on Spaces of Subsets”, Transactions of the American Mathematical Society, vol 71, no 1, pp 152–182, 1951 [4] R Engelking, General topology, Rev and completed ed Berlin: Heldermann, 1989 [5] L.-X Peng and Y Sun, “A study on symmetric products of generalized metric spaces”, Topology and its applications, vol 231, pp 411–429, 2017 [6] Z Tang, S Lin, and F Lin, “Symmetric products and closed finiteto-one mappings”, Topology and its Applications, vol 234, pp 26–45, 2018 [7] L Q Tuyen and O V Tuyen, “On the fold symmetric product of a space with a property network (network)”, Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, vol 61, no 2, pp 257-263, 2020 [8] J Yang and S Lin, “The closed finite-to-one mappings and their applications”, Applied Mathematics-A Journal of Chinese Universities, vol 34, no 2, pp 149–161, 2019