(SKKN HAY NHẤT) một số giải pháp nhằm hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và phát triển tư duy môn toán 8 cho học sinh trường THCS điền lư bá thước

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO THANH HĨA PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP NHẰM HỆ THỐNG CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY MƠN TỐN CHO HỌC SINH TRƯỜNG THCS ĐIỀN LƯ-BÁ THƯỚC Người thực hiện: Lê Văn Hồng Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường trung học sở Điền Lư-Bá Thước SKKN thuộc mơn: Tốn UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com THANH HÓA NĂM 2021 MỤC LỤC TT NỘI DUNG I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II: NỘI DUNG Cơ sở lý luận Thực trạng Các giải pháp thực 3.1 3.2 Giải pháp 1: Xây dựng hệ thống phư đa thức thành nhân tử tập áp dụng Giải pháp 2: Hướng dẫn cho đối tượn cực, chủ động để khai thác toán nhằm sáng tạo cho học sinh: Hiệu sáng kiến III: KẾT LUẬN VÀ KIẾ Kết luận Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC CÁC SKKN ĐÃ ĐƯỢC C UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Dạy học theo định hướng phát triển lực người học xu chung chương trình giáo dục nhiều nước giới Với nước ta, yêu cầu mang tính đột phá nhằm đổi tồn diện giáo dục mà Nghị 29 (2013) Đảng nghị 88 (2014) Quốc hội đề Trong năm gần đây, để chuẩn bị cho chương trình giáo dục phổ thơng 2018, thầy giáo giáo tích cực thực đổi phương pháp dạy học như: chuyển từ dạy học định hướng nội dung sang dạy học định hướng phát triển lực phẩm chất người học Mơn Tốn THCS khơng nằm ngồi xu hướng Trong chương trình Tốn THCS phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng Việc phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng nhiều vào việc biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ, rút gọn biểu thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức phân thức Để phân tích đa thức thành nhân tử ta có nhiều phương pháp Ngoài ba phương pháp SGK (đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử), ta cịn sử dụng số phương pháp khác như: thêm bớt hạng tử, tách hạng tử thành nhiều hạng tử, đặt ẩn phụ, phương pháp hệ số bất định, ) Theo Chuẩn kiến thức, kỹ chương trình Tốn 8, chủ đề phân tích đa thức thành nhân tử yêu cầu học sinh phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp bản, trường hợp cụ thể Đó yêu cầu bản, tối thiểu kiến thức, kỹ Để trở thành học sinh giỏi Tốn, ngồi u cầu kiến thức bản, học sinh cịn phải biết tìm tịi, khai thác, vận dụng kiến thức nâng cao Thực tế có nhiều sách nâng cao, phát triển viết chủ đề phân tích đa thức thành nhân tử Tuy nhiên, với thời gian hạn chế mà tài liệu tham khảo nhiều, để em học sinh lớp hiểu sâu, nắm vững, vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử giải tốn? Việc khai thác tốn nói chung tốn SGK nói riêng việc cần làm GV tốn Bởi giúp cho GV nguồn tư liệu phong phú việc soạn giảng chủ đề tự chọn; chương trình phụ đạo HS yếu bồi dưỡng HS giỏi, v,v Vậy, giáo viên phải thiết kế, tổ chức, hướng dẫn học sinh thực hoạt động học tập để khai thác sâu kiến thức, kỹ phù hợp với khả tiếp thu đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng đại trà chất lượng mũi nhọn? Với trăn trở đó, giáo viên trực tiếp dạy học Tốn nhiều năm, tơi chọn đề tài “Một số giải pháp nhằm hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phát triển tư mơn Tốn cho học sinh trường THCS Điền Lư-Bá Thước ” để nghiên cứu 2.Mục đích nghiên cứu: Nhằm mục đích bổ sung khắc sâu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Từ em làm tốt phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Tốn THCS đặc biệt Tốn UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kích thích, giúp em biết cách tìm kiến thức nhiều nữa, khơng tốn đơn phân tích đa thức thành nhân tử mà dạng toán khác có liên quan tới phân tích đa thức thành nhân tử Bài tập toán học đa dạng phong phú Việc giải toán yêu cầu quan trọng học sinh Nhiệm vụ giáo viên phải làm cho học sinh nhận dạng, hiểu tốn, từ nghiên cứu tìm cách giải Để nghiên cứu đề tài này, đề nhiệm vụ sau: Nghiên cứu tốn phân tích đa thức thành nhân tử tốn có liên quan tới phân tích đa thức thành nhân tử, tìm phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để em biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức cho Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết phân tích đa thức thành nhân tử cho hợp lý Điều tra 34 học sinh xem có học sinh thích học nâng cao, mở rộng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử có học sinh tiếp thu, nâng cao kiến thức Đối tượng nghiên cứu: Hướng dẫn học sinh nắm nội dung phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử, thêm bớt hạng tử, tách hạng tử thành nhiều hạng tử, đặt ẩn phụ, phương pháp hệ số … Hướng dẫn học sinh nắm nội dung cách vận phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Tránh sai lầm pháp phân tích đa thức thành nhân tử Giúp học sinh nắm pháp phân tích đa thức thành nhân tử phát triển tốt tư thuật giải, tư sáng tạo thông qua tập Phương pháp nghiên cứu: Căn vào mục đích nghiên cứu, sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp vấn, điều tra - Phương pháp thực nghiệm sư phạm PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN Cơ sở lý luận: Đổi nội dung, phương pháp dạy học trở thành cụm từ quen biết cán giáo viên, học sinh giới xã hội Phương pháp dạy học trường THCS phải tuân theo yêu cầu quy định Luật Giáo dục Do đặc trưng cấp học, môn học, định hướng chung phương pháp dạy học môn Tốn THCS “Tích cực hố hoạt động học tập học sinh, rèn luyện khả tự học, tự phát giải vấn đề học sinh nhằm hình thành phát triển học sinh tư tích cực, độc lập sáng tạo” Giáo viên việc cung cấp cho học sinh tri thức phổ thông, cần hướng dẫn học sinh cách tự học cách hợp lý Nếu rèn luyện cho học sinh UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com cách học có phương pháp, có thói quen, có kỹ tự học, biết vận dụng linh hoạt kiến thức học vào tình thực tế, biết tự lực phát vấn đề, đặt giải vấn đề thực tiễn tạo cho em lòng ham học, khơi dậy tiềm vốn có học sinh Trong q trình dạy học Toán, sở toán SGK, từ toán đơn giản, cách phát tính chất tốn, cách diễn đạt tốn hình thức khác, sâu khai thác khía cạnh, biết thay đổi giả thiết, lật ngược vấn đề, tổng quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa, khai thác ta đề xuất nhiều tốn Qua đó, học sinh thấy phong phú đa dạng toán học, rèn luyện em kỹ phân tích giả thiết để tự đề phương án tối ưu giải toán Giáo viên giúp em “Khai thác, phát triển” từ tập đơn giản sách giáo khoa thành tập hay hơn, khó góp phần quan trọng việc rèn luyện kĩ năng, nâng cao lực tư cho học sinh, đem đến cho học sinh điều lý thú sâu sắc Kiến thức toán rộng, hệ thống tập nhiều, khơng phải kiến thức tập giáo viên khai thác mở rộng Giáo viên mở rộng cho kiến thức chính, dạng tập quan trọng, cách mở rộng có nhiều hướng khác Khái quát hoá để mở rộng thành toán tổng qt khó Tương tự hố để giới thiệu thêm tốn có phương pháp giải Đặc biệt hoá để đưa toán dạng đặc biệt hơn, dễ nhớ hơn, có đơn giản phân tích thêm kiến thức có liên quan để hướng dẫn học sinh giải theo nhiều cách khác đặt thêm yêu cầu cho toán Thưc trạng: Trong chương trình Tốn 8, chủ đề “Phân tích đa thức thành nhân tử” đưa vào chương I- Phép nhân phép chia đa thức Theo kế hoạch giaosducj nhà trường hầu hết nhà trường lập kế hoạch học sinh học tiết (từ tiết đến tiết 13) Trong nhiều sách nâng cao, phát triển, sách tham khảo, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tập áp dụng tác giả quan tâm đưa vào với số lượng lớn tập Tuy nhiên có tài liệu viết đáp ứng đầy đủ nhu cầu cho đối tượng học sinh cho thầy, cô giáo Với học sinh lớp 8, phần lớn em thụ động trình học tập, chưa có thói quen chủ động tìm kiếm, bổ sung kiến thức Ngay đa số học sinh khá, giỏi Toán, với thời gian hạn chế mà tài liệu tham khảo nhiều, học sinh thường lúng túng, khơng có đủ thời gian để tự hệ thống cho phương pháp, kinh nghiệm giải tốn chủ đề phân tích đa thức thành nhân tử Trong đề thi học sinh giỏi cấp, đặc biệt đề thi cấp huyện, cấp tỉnh, hầu hết tốn địi hỏi học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức nâng cao cách nhuần nhuyễn, linh hoạt làm Nhiều dạng tốn khác địi hỏi học sinh biết dùng phương pháp (đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử) mà phải biết UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com phương pháp khác (đặt ẩn phụ, tách hạng tử, xét giá trị riêng, ) phân tích đa thức thành nhân tử giải toán Là giáo viên dạy học mơn Tốn trường THCS Điền Lư nhiều năm tham gia ôn thi học sinh giỏi hiểu rằng: Học sinh hiểu bài, nắm phương pháp phân tích đa thức bản, làm tập sách giáo khoa hoàn toàn chưa đủ, mà phải biết phát triển, hiểu sâu vận dụng thành thạo hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Những hạn chế, yếu học sinh phân tích đa thức thành nhân tử phần lỗi giáo viên phương pháp dạy học Những hạn chế khó khăn nhiều giáo viên Toán việc quan tâm chưa nhiều đến việc phát triển hệ thống phương pháp giải dạng toán cho học sinh tiết dạy học theo phân phối chương trình nhằm bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, nâng cao hiệu dạy học Toán Hiểu thực trang tiến hành khảo sát 34 học sinh lớp trường THCS Điền Lư năm học 2018 – 2019 chưa áp dụng thu kết sau: Giỏi Từ thực trạng cho thấy gần nửa học sinh điểm trung bình, số học sinh giỏi điều chứng tỏ nhiều học sinh chưa nắm phương pháp học sách giáo khoa vận dụng cịn mắc nhiều sai lầm Ngun nhân thực trạng là: Giáo viên chưa ý nhiều tới việc cho học sinh áp dụng phương pháp học vào giải toán, qua giải tập để củng cố phương pháp xây dựng kiến thức mới, phía học sinh em tiếp thu kiến thức cách thụ động, nặng mặt lí thuyết điều đòi hỏi cần phải thay đổi cách dạy học nhằm đáp ứng với mục tiêu phương pháp dạy học mới, giúp học tăng cường khả áp dụng lí thuyết vào giải tập cách xác, tránh sai lầm ngộ nhận áp dụng lí thuyết vào tập cụ thể, sáng tạo giải tốn, qua giúp học sinh phát triển tốt tư từ giúp em học tốt u mơn tốn Các giải pháp thực hiện: 3.1: Giải pháp 1: Xây dựng hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tập áp dụng 3.1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung: Nếu tất hạng tử đa thức có nhân tử chung đa thức biểu diễn thành tích nhân tử chung với đa thức khác Thơng qua số ví dụ cụ thể, GV giúp HS thực hành theo bước: - Bước 1: Tìm nhân tử chung + Lấy ƯCLN hệ số hạng tử đa thức cho + Lây tất chữ (hoặc biểu thức) nhân tử chung với số mũ chữ (hoặc biểu thức) số mũ nhỏ hạng tử UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bước 2: Dùng tính chất phân phối phép nhân phép cộng đa thức để viết đa thức thành tích: Viết nhân tử chung ngồi dấu ngoặc, viết nhân tử cịn lại hạng tử dấu ngoặc với dấu chúng: AB +AC+ +AF=A(B+C+ +F) GV lưu ý học sinh: Ta áp dụng phương pháp hạng tử đa thức có nhân tử chung Nhưng muốn có nhân tử chung đơi ta phải đổi dấu hạng tử cách đưa số hạng vào dấu ngoặc đặt trước ngoặc dấu trừ Ví dụ: a) 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x – 2) b) a(x – y) – bx + by + x – y = a(x – y) – b(x – y) + (x – y) = (x – y)(a – b + 1) c) 3(x – y) + (x + 1)(y – x) = 3(x – y) – (x + 1)(x – y) = (x – y)(3 – x – 1) = (x – y)(2 – x) 3.1.2 Phương pháp dùng đẳng thức Nếu đa thức vế đẳng thức đáng nhớ dùng đẳng thức để biểu diễn đa thức thành tích đa thức Thơng qua số ví dụ cụ thể, GV giúp HS thực hành theo bước: - Bước 1: Phát quy dạng đẳng thức đáng nhớ Đối với HS khá, giỏi cần nhớ số đẳng thức nâng cao:  (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc  an – bn = (a – b)(an - + an - 2b + + abn - + bn - 1)  an + bn = (a + b)(an - – an - 2b + an - 3b2 – – abn - + bn - 1), với n lẻ  (a + b)n = an + nan - 1b + = an + an - 1b + an - 2b2 + + an - 2b2 + + nabn - + bn bn  a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) Bước 2: Áp dụng đẳng thức để viết đa thức thành dạng luỹ thừa tích GV lưu ý học sinh: + Nhiều phải đổi dấu áp dụng đẳng thức đáng nhớ Chẳng hạn: -x2y4 – 6xy2 – = – (x2y4 + 6xy2 + 9) = -(xy2 + 3)2 + Cần lưu ý là: đẳng thức học luỹ thừa bậc bậc 3, khơng có luỹ thừa bậc 4, bậc 5, Để áp dụng đẳng thức học, cần phải hạ bậc đa thức cách đặt nhân tử chung dùng luỹ thừa luỹ thừa Chẳng hạn: x5 + 27x2 = x2(x3 + 27) = x2(x3 + 33) = x2(x + 3)(x2 – 3x + 9) 4x4 – 64 = 4(x4 – 16) = 4[(x2)2 – 42] = 4(x2 – 4)(x2 + 4) = 4(x – 2)(x + 2)(x2 + 4) 3.1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Nhóm nhiều hạng tử đa thức cách hợp lý để đặt nhân tử chung dùng đẳng thức đáng nhớ Thông qua số ví dụ cụ thể, GV giúp HS thực hành theo bước: UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bước 1: Phát hạng tử có chứa nhân tử chung, kết hợp chúng thành nhóm đặt nhân tử chung Bước 2: Áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng đẳng thức để xuất nhân tử chung đẳng thức Phát tiếp hạng tử đó, hạng tử có chứa nhân tử chung, kết hợp thành nhóm lại đặt nhân tử chung Cứ thế, tiếp tục viết thành tích GV lưu ý học sinh: + Để kết hợp hạng tử thích hợp, cần làm sau:  Trong trường hợp đơn giản phải dùng tính nhẩm để thấy sau kết hợp thành nhóm, nhóm có nhân tử chung  Trong trường hợp phức tạp, ta dùng phép thử Tuy nhiên, muốn cho số phép thử ta phải nhận xét khả xuất nhân tử chung nhóm Ví dụ 1: Phân tích đa thức 2ax + y + 2x + ay thành nhân tử Kết hợp cặp hai hạng tử theo thứ tự đa thức cho ta được: (2ax + y) + (2x + ay) Các nhóm khơng có nhân tử chung nên thực việc phân tích Bây giờ, ta thử kết hợp 2ax + 2xx, nhóm cịn lại phải y + ay, ta có: 2ax + y + 2x + ay = (2ax + 2x) + (y + ay) = 2x(a + 1) + y(1 + a) = (a + 1)(2x + y) Ví dụ 2: Phân tích đa thức x3 + 3x2 – y3 + + 3x thành nhân tử Nếu kết hợp nhóm hai hạng tử ba hạng tử trường hợp, nhóm khơng có nhân tử chung Để ý hai hạng tử đầu hai hạng tử cuối lập phương tổng, ta nhóm lại, sau đưa hiệu hai lập phương để phân tích: x3 + 3x2 – y3 + + 3x = (x3 + 3x2 + 3x + 1) – y3 = (x + 1)3 – y3 = (x – y + 1)(x2 + 2x + + xy + y + y2) + Đối với đa thức có nhiều cách nhóm hạng tử Chẳng hạn, phân tích đa thức 2ax + y + 2x + ay theo cách sau: 2ax + y + 2x + ay = (2ax + ay) + (2x + y) = a(2x + y) + (2x + y) = (2x + y)(a + 1) 3.1.4 Phối hợp ba phương pháp Từ số ví dụ cụ thể, GV giúp HS hiểu: Thơng thường, để phân tích đa thức thành nhân tử, ta phải phối hợp cách linh hoạt phương pháp: đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử Trong ba phương pháp thường thường ưu tiên số dùng cách đặt nhân tử chung, đến dùng đẳng thức sau nhóm hạng tử Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) a3 – a2b – ab2 + b3 = a2(a – b) – b2(a – b) = (a – b)(a2 – b2) = (a – b) (a + b) 2) ab2c3 + 64ab2 = ab2(c3+64) = ab2(c3+ 43) = ab2(c + 4)(c2 – 4c + 16) 3) 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com = 3xy(x2 – 2x – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy[(x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2) ] = 3xy(x – + y + a)(x – – y – a) 4) 2xm + n + xm + xm + 2n = xm(1 + 2xn + x2n) = xm(1 + xn)2 GV lưu ý học sinh: Một tốn phân tích đa thức thành nhân tử có cách làm khác Cho nên, làm tập loại này, GV nên cho HS tìm cách giải khác làm bài, chọn cách làm ngắn gọn 3.1.5 Phương pháp tách hạng tử Phương pháp: Tách hạng tử số hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp nhằm làm xuất nhóm hạng tử mà ta áp dụng phương pháp khác (đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử) để phân tích Ví dụ : Phân tích đa thức A = 4x2 – 8x + thành nhân tử Ta nhận thấy với phương pháp thơng thường khơng thể phân tích đa thức A thành nhân tử A khơng có nhân tử chung, đa thức A khơng có dạng đẳng thức Đa thức A có hạng tử nên khơng thể dùng phương pháp nhóm hạng tử Vì ta tách hạng tử thành hai hạng tử để xuất nhóm hạng tử cho: - Hoặc dùng đẳng thức để phân tích tiếp - Hoặc đặt nhân tử chung Cách 1: (tách hạng tử cuối) A = 4x2 – 8x + – = (2x – 2)2 – 12 = (2x – – 1)(2x – + 1) = (2x – 3)(2x – 1) Cách 2: (tách hạng tử thứ hai) A = 4x2 – 2x –6x + = 2x(2x – 1) – 3(2x – 1) = (2x – 1)(2x – 3) GV lưu ý HS:  Có cách thơng dụng phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử: Cách 1: Tách bx Tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Cách tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dựa vào đẳng thức: mpx2 + (mp + nq)x + nq = (mx + n)(px + q) Như tam thức ax2 + bc + c, hệ số b tách thành b1 + b2 cho b1b2 = ac Trong thực hành ta làm sau: Bước 1: Tìm tích a.c = m Bước 2: Phân tích ac tích hai thừa số nguyên cách Chọn hai thừa số mà tổng b: m = b1.b2 mà b1 + b2 = b Bước 3: Biến đổi ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c = Cách 2: Tách c Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đưa đa thức dạng hiệu hai bình phương Cách 3: Giải phương trình ax2 + bx + c = (có thể dùng máy tính cầm tay để giải) Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 x2, thì: UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cộng thêm vào đa thức hạng tử đồng thời bớt hạng tử để đa thức không đổi Trong số trường hợp ta thêm bớt hạng tử nhằm: - Làm xuất hiệu hai bình phương Đưa dạng đẳng thức biết làm xuất nhân tử mà ta biết trước Ví dụ: 1) 4x4 + y4 = 4x4 + 4x2y2 + y4 – 4x2y = (2x2 + y2)2 – (2xy)2 = (2x2 – 2xy + y2)(2x2 + 2xy + y2) 2) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) + c3 – (3abc + 3a2b + 3ab2) = (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b + c) = (a + b + c)[(a + b) – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) GV lưu ý HS: Các đa thức dạng x3k + + x3m + + chứa nhân tử x2 + x + Do Khi phân tích đa thức dạng thành nhân tử, ta dùng phương pháp thêm bớt, giảm dần số mũ luỹ thừa Tuy nhiên tìm cách giảm dần số mũ luỹ thừa, ta cần ý đến biểu thức dạng a6 – 1, a3 – 1, biểu thức chia hết cho a2 + a + Ví dụ: Phân tích đa thức x5 + x + thành nhân tử Cách 1: x5 + x + = x5 + x4 + x3 – x4 – x3 – x2 + x2 + x + = x3(x2 + x + 1) – x2(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1) Cách 2: x5 + x + = x5 – x2 + x2 + x + = x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = x2(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x2(x – 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x3 - x2 + 1) Với đa thức dạng x3k + + x3m + + mà 3k + 3m + chẵn, sau đặt ẩn phụ x2 = y, đa thức lại đua dạng y 3k + + y3m + + phân tích đa thức thành nhân tử, kết phải tích thừa số Ví dụ: x8 + x4 + Đặt x2 = y, ta có: x8 + x4 + = y4 + y + = y + y3 + y2 –y3 – y2 – y + y2 + y + = ( y2 + y + 1)( y2 – y + 1) = (x4 + x2 + 1)( x4 – x2 + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)(x4 – x2 + 1) 3.1.7 Phương pháp dùng ẩn phụ GV hướng dẫn HS phương pháp: Khi gặp đa thức nhiều ẩn ẩn phức tạp ta dùng cách đặt ẩn phụ Đặt ẩn phụ nhằm viết đa thức dạng gọn hơn, từ phối hợp với phương pháp đặt nhân tử chung, đẳng thức, tách thêm bớt hạng tử để phân tích đa thức thừa số Sau đó, thay ẩn phụ ẩn ban đầu (theo cách đặt) phân tích tiếp (nếu có thể) Ví dụ: 1) A = (x2 + 4x + 8)2 + 3x( x2 + 4x + 8) + 2x2 Đặt x2 + 4x + = y, ta được: A = y2 + 3xy + 2x2 = (y + x)(y + 2x) = (x2 + 5x + 8)(2x + x2 + 4x + 8) = (x + 2)(x + 4)(x2 + 5x + 8) 2) B = (x2 + y2 + z2)3 + 2(xy + yz + zx)3 – 3(x2 + y2 + z2)(xy + yz + zx)2 Đặt x2 + y2 + z2 = M xy + yz + zx = N, ta có: UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 10 B = M3 + 2N3 – 3MN2 = (M – N)(M2 + MN – 2N2) = (M – N)2(M + 2N) = (x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx)2(x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx) = (x + y + z)2(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) Thơng qua ví dụ cụ thể, GV lưu ý HS: Đối với đa thức bậc bốn dạng P(x) = ax4 + bx2 + c, ta đặt ẩn phụ y = x2 áp dụng đẳng thức ay2 + by + c = a(y + )(y + ), số m, n thoả mãn m.n = a.c m + n = b.(*) Đối với đa thức dạng P(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d, ta đặt biến phụ y = (x + a)(x +b) Tổng quát: Nếu đa thức dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x +b2)(c1x +c2)(d1x + d2) với a1b1 = c1d1 a1b2 + a2 b1 = c1d2 + c2d1 đặt y = (a1x + a2)(b1x + b2) biến đổi tương tự Đối với đa thức dạng P(x) = (a 1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) với a1b1 = c1d1 a2b2 = c2d2 , ta đặt ẩn phụ y = (a 1x + a2)(b1x + b2) Cũng đặt y= (c1x + c2)(d1x + d2) biến đổi Đối với đa thức dạng P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + kbx + a với k = k = - 1, ta đặt ẩn phụ y = x2 + k biến đổi P(x) dạng chứa hạng tử ay2 + bxy + cx2 biến đổi Đối với đa thức dạng P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = , ta đặt biến phụ y = x2 + biến đổi P(x) dạng chứa hạng tử y2 + bxy + cx2 biến đổi tiếp Đối với đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + (x + b)4 + c, ta đặt ẩn phụ y=x+ 3.1.8 Phương pháp đồng hệ số GV hướng dẫn HS phương pháp: Phương pháp đồng hệ số (còn gọi phương pháp hệ số bất định) dựa mệnh đề sau đây: Nếu hai đa thức f(x) g(x) hạng tử bậc hai đa thức phải có hệ số Cho hai đa thức: f(x) = a0 xn + a 1xn - + + an - 1x + an f(x) = b0xn + b1xn - + + bn - 1x + bn f(x) = g(x) Ví dụ: Phân tích đa thức x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + thành nhân tử Ta thấy không nghiệm đa thức Đa thức khơng có nghiệm ngun, khơng có nghiệm hữu tỉ nên đa thức phân tích thành thừa số phải có dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng đa thức với đa thức cho, ta hệ điều kiện: UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 11 Vậy x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + = (x2 – 4x + 1)(x2 – 2x + 3) GV lưu ý HS: Ta nên dùng phương pháp hệ số bất định để nháp, tìm đáp số Khi tìm đáp số, ta trình bày lời giải ngắn gọn phương pháp khác (thêm bớt, tách hạng tử, ) 3.1.9 Phương pháp hốn vị vịng quanh, xét giá trị riêng GV hướng dẫn HS phương pháp: Phương pháp hoán vị vòng quanh dựa vào số nhận xét sau: Giả sử phải phân tích biểu thức F(a, b, c) thành nhân tử, a, b, c có vai trị biểu thức Nếu F(a, b, c) = a = b F(a, b, c) chứa nhân tử a – b, b – c, c – a Ví dụ 1: F(a, b, c) = a2(b – c) + b2(c – a) + c2(a – b) Khi a = b ta có: F(a, b, c) = Do F(a, b, c) chứa nhân tử a – b Tương tự, F(a, b, c) chứa nhân tử b – c, c – a Vì F(a, b, c) đa thức bậc ba nên F(a, b, c) = k(a – b)(b – c)(c – a) Cho a = 1, b = 0, c = –1, ta có: + = k.1.1.( –2) Suy ra: k = –1 Vậy F(a, b, c) = – (a – b)(b – c)(c – a) Trong số toán, ta thấy F(a, b, c) biểu thứuc đối xứng a, b, c F(a, b, c) khác a = b ta thử xem a = –b, F(a, b, c) có triệt tiêu khơng Nếu thoả mãn F(a, b, c) chứa nhân tử a + b, từ suy chứa nhân tử b + c, c + a Ví dụ 2: F(a, b, c) = a3 + b3 + c3 – 3abc Ta thấy a = b hay a = – b F(a, b, c) khác Nhưng thay a = –(b + c) F(a, b, c) = nên F(a, b, c) có chứa nhân tử a + b + c Chia F(a, b, c) cho a + b + c ta thương a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc 3.2: Giải pháp 2: Hướng dẫn cho đối tượng học sinh tích cực, chủ động để khai thác toán nhằm phát triển tư sáng tạo cho học sinh: 3.2.1 Hướng dẫn học sinh khai thác tốn phân tích đa thức thành nhân tử sách giáo khoa Toán tập Các tập SGK xếp theo trật tự logíc, hệ thống tập bản, nhằm củng cố kiến thức cho học sinh sau học lí thuyết Bài tập SGK chứa đựng nội dung kiến thức quan trọng, qua mở rộng, xây dựng hệ thống tập Nếu giới hạn tiết lý thuyết hay tiết luyện tập khơng đủ thời gian khai thác triệt để toán SGK Tuy nhiên, biết tận dụng thời gian chương trình dạy chủ đề tự chọn, phụ đạo học sinh HS yếu, bồi dưỡng HS giỏi việc khai thác triệt để toán SGK thuận lợi có tác dụng lớn UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 12 Với chủ đề: Phân tích đa thức thành nhân tử, thông qua số tiết dạy học lớp theo phân phối chương trình, tơi tổ chức hướng dẫn học sinh khai thác số toán sau SGK Toán 8, tập một: “ Bài (?1 trang 18) Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 – x ” [1] Bài toán khơng khó khăn đại đa số học sinh, em dễ dàng giải toán: x2 – x = x.x – x.1 = x(x – 1) Giúp ta khai thác mở rộng phát triển tốn sau: Tìm x, biết: x2 – x = Gải: x2 – x = x(x – 1) = Tìm x, biết: x2 – x > Giải: x2 – x > x(x – 1) > hoặc x < Tìm x, biết x2 – x < Giải: x2 – x < x(x – 1) < 0 (vì x > x – 9) x < Giúp ta đến với toán: Cho A = x4 – 9x3 + x2 – 9x Tìm x để: a) A = ; b) A < ; c) A > “ Bài (Bài 47a) c) trang 22 SGK) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – xy + x – y; b) 3x2 – 3xy – 5x + 5y ’’[7] Giải: a) x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 1) b) 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x(x – y) – 5(x – y) = (x – y)(3x – 5) Từ kết trên, ta nghĩ đến toán 1 Tính giá trị biểu thức: a) A = x2 – xy + x – y với x = 2999; y = 999 b) B = 3x2 – 3xy – 5x + 5y với x = ; y = 123456 Và (x – y)(x + 1) = (x – y)(3x – 5) = Giúp ta có 2 Tìm x, y biết: a) x2 – xy + x – y = 0; b) 3x2 – 3xy – 5x + 5y = Nếu “gia công” thêm, ta có: = 1.7 = (–1).(–7); 11 = 1.11 = (–1).(–11) cho ta 3 Tìm số nguyên x, y biết rằng: a) x2 – xy + x – y = 7; b) 3x2 – 3xy – 5x + 5y = 11 “ Bài (Bài 53 a) tr 24 SGK) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 – 3x + ’’[8] Nhận xét: Ta nhận thấy đa thức x2 – 3x + khơng có nhân tử chung, khơng có dạng đẳng thức đa thức lại có ba hạng tử nên khơng thể dùng phương pháp nhóm hạng tử Như ta khơng thể áp dụng phương pháp học để phân tích đa thức thành nhân tử Ta tìm cách tách hạng tử thành hai hạng tử để xuất nhóm hạng tử cho: - Hoặc dùng đẳng thức để phân tích tiếp; - Hoặc nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung Cách 1: Tách hạng tử –3x = – x – 2x x2 – 3x + = x2 –x – 2x + = (x2 – x) – (2x – 2) = (x – 1) – 2(x – 1) = (x – 1)(x – 2) Cách 2: Tách hạng tử –3x = – x – 2x: UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 15 x2 – 3x + = x2 – x – 2x + = (x2 – 2x) – (x – 2) = x(x – 2) – (x – 2) = (x – 1)(x – 2) Cách 3: Tách = – + 6: x2 – 3x + = x2 – 3x – + = (x2 – 4) – (3x – 6) = (x – 2)(x + 2) – 3(x – 2) = (x – 2)(x + – 3) = (x – 2)(x – 1) Đến đây, câu hỏi đặt là: Cịn cách tách khơng? Và ta có cách nữa? GV hướng dẫn: Biết đa thức chứa nhân tử x – 1, viết x ta cộng (trừ) với (đi) để đặt nhân tử chung dùng đẳng thức chúng xuất thừa số x – 1? Ta có nhiều cách biến đổi, chẳng hạn: Cách 4: x2 – 3x + = x2 – 2x + – x + = (x2 – 2x + 1) – (x – 1) = (x – 1)2 – (x – 1) = (x – 1)(x – – 1) = (x – 1)(x – 2) Cách 5: x2 – 3x + = x2 – –3x + = (x2 – 1) – (3x – 3) = (x – 1)(x + 1) – 3(x – 1) = (x – 1)(x + – 3) = (x – 1)(x – 2) GV lưu ý học sinh: Ta có vơ số cách biến đổi để làm xuất x – nên có vơ số cách phân tích đa thức thành nhân tử Tương tự vậy, ta có nhiều cách biến đổi với mục đích làm xuất thừa số x – GV giới thiệu nhanh vài cách khác như: x2 – 3x + = x2 – 3x – x + + x – = x(x – 3) – (x – 3) + (x – 1) = (x – 3)(x – 1) + (x – 1) = (x – 1)(x – + 1) = (x – 1)(x – 2) x2 – 3x + = x2 – 4x – x + + 2x – = x(x – 4) – (x – 4) + 2(x – 1) = (x – 4)(x – 1) + 2(x – 1) = (x – 1)(x – + 2) = (x – 1)(x – 2) 3.2.2 Giáo viên hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải toán dạy - học giải tập Ví dụ: Dạy - học giải tập số 58 trang 25, SGK: “ Chứng minh n3 – n chia hết cho 6, với số nguyên ’’[9] Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề Khi tìm hiểu nội dung đề bài, HS phải trả lời câu hỏi: “Số n3 – n chia hết cho 6, nghĩa gì?” Học sinh cần liên tưởng đến kiến thức học lớp để biết muốn cho số ngun chia hết cho cần chia hết cho số đơn giản Cuối HS cần nhớ n số Bước 2: Tìm cách giải thiết lập chương trình giải Qua việc tìm hiểu đề bài, HS thấy để giải toán ta cần làm việc sau: - Cần chứng minh n3 – n = 6q, với q số nguyên đó, nghĩa n3 – n phải tích có chứa thừa số (hướng khó thực hiện) - Vì số chia hết cho chia hết cho nên cần chứng minh n3 – n chia hết cho cho Ta cố gắng phân tích n – n thành nhân tử có chứa thừa số chia hết cho 2, có thừa số chia hết cho Từ thiết lập chương trình giải sau: - Phân tích n3 – n thành nhân tử ((n – 1)(n(n + 1)); - Chứng minh tích vừa tìm chia hết cho cho UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 16 Bước 3: Trình bày lời giải Ta có n3 – n = n(n2 – 1) = n(n – 1)(n + 1) = (n – 1)n(n + 1) Đây tích ba số nguyên liên tiếp nên ba thừa số có thừa số chia hết cho Do tích chia hết cho Mặt khác, hai số nguyên liên tiếp có số chẵn Do tích lại chia hết cho Vậy tích chia hết cho hay n3 – n chia hết cho Bước 4: Kiểm tra lời giải, nghiên cứu thêm toán cách giải Kiểm tra lời giải Mọi lập luận lời giải đắn giải gọn gàng Tuy nhiên có học sinh nhớ đầy đủ điều lấy làm cho lập luận Vì học sinh trung bình ta cần chứng minh thêm tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Muốn chứng minh điều ta cần biết số nguyên n có dạng: n = 3k, n = 3k + 1, n = 3k + Nghiên cứu thêm toán cách giải Bằng cách tương tự sáng tạo tốn có dạng sau:  Chứng minh với số nguyên n ta có (n3 – n)(n2 – 4) chia hết cho 60  Chứng minh với số nguyên n ta có n4 – n2 chia hết cho 12 Hiệu sáng kiến: Trên việc làm thân dạy học chủ đề phát triển hệ thống hóa phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp trường THCS Điền Lư huyện Bá Thước Trong tiết dạy học theo phân phối chương trình, tơi hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển toán SGK, đưa dạng tập phù hợp với chương trình, phù hợp với đối tượng học sinh Đối với em học sinh giỏi, tổ chức tốt cho em học thêm, bồi dưỡng nâng cao kiến thức Bằng việc in ấn tài liệu cho học sinh tham khảo, sử dụng phương tiện dạy học truyền thống kết hợp với sử dụng máy chiếu, tổ chức cho học sinh tích cực, chủ động tự học để nắm vững nội dung kiến thức Tôi thấy rằng, em hào hứng thầy cung cấp tư liệu hướng dẫn tự học Các em nắm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử- phương pháp bản, hiểu phương pháp khác Những HS giỏi nắm vững vận dụng tương đối tốt phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nhiều em biết tìm nhiều cách phân tích đa thức thành nhân tử cho toán, biết vận dụng cách linh hoạt phương pháp việc giải toán Điều quan trọng là: suy luận tốn HS có hệ thống, logic chặt chẽ Khả chủ động tìm kiếm kiến thức HS phát huy; giúp em thêm tự tin, dành kết cao trình học tập kỳ thi học sinh giỏi cấp Sau điều tra thực trạng 34 học sinh lớp trường THCS Điền Lư năm học 2018 -2019 tiến hành thực nghiệm học sinh lớp trường THCS Điền Lư năm học 2019 -2020 giải pháp nêu Để so sánh, đánh giá kết trước sau thực nghiệm cho 34 học sinh lớp UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 17 trường THCS Điền Lư năm học 2019 -2020 làm kiểm tra với thời gian đề giống đề cho 34 học sinh lớp trường THCS Điền Lư năm học 20182019 làm điều tra thực trạng Kết 34 kiểm tra đạt sau: Năm học Thực nghiêm 2018 -2019 Đối chứng 2019 -2020 Như vậy, từ áp dụng đề tài vào việc giảng dạy thu kết định: Số học sinh đạt giỏi lớp thực nghiệm cao hẳn so với lớp đối chứng, số học sinh yếu lớp đối chứng thấp nhiều so với lớp thực nghiêm III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: Giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử có vai trị quan trọng học tốn Trong khn khổ đề tài nêu lên việc làm nhằm nâng cao hiệu dạy học Tốn Tôi hệ thống phương pháp cách đọng từ dễ đến khó, có ý cần thiết cho HS, giúp HS hiểu sâu nắm vững, vận dụng thành thạo với thời gian ngắn Thông qua việc hướng dẫn HS khai thác, phát triển tập SGK, sáng tạo đề xuất tốn mới, tìm tịi nhiều cách giải khác cho tốn, giáo viên hình thành cho học sinh lực học toán mức độ nâng cao, mở rộng kiến thức, xâu chuỗi kiến thức; rèn luyện tính xác, lực nhận xét, phân tích, tổng hợp kiến thức, gây ham mê học tập, phát huy tính tích cực, trí thông minh, động, sáng tạo HS giải toán Để nâng cao hiệu dạy học Toán, giáo viên phải cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tịi lời giải khai thác, phát triển toán Tuy nhiên giáo viên cần suy nghĩ nên khai thác toán cho hợp lý Khai thác đến đâu, thời điểm nào, nhằm mục đích cần u cầu rõ cho đối tượng HS: HS trung bình làm đến đâu HS giỏi làm gì? Biết đề cho học sinh lúc, chỗ câu gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng Chúng ta thơng qua dạy học giải toán cụ thể mà truyền cho học sinh cách thức, kinh nghiệm, tiến tới nghệ thuật việc suy nghĩ tìm tịi lời giải tốn Kiến nghị: Tơi xin kiến nghị với Phịng Giáo dục Bá Thước, cần có đợt tập huấn chun mơn chủ đề mơn tốn trường trung học sở huyện, để giáo viên trau dồi bổ sung kiến thức, nhằm nâng cao hiệu giảng dạy, góp phần hồn thành tốt mục tiêu giáo dục huyện nhà UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 18 Với việc làm từ thực tế công tác giảng dạy Tốn trường THCS Điền Lư huyện Bá Thước.Thơng qua đề tài này, tơi mong góp phần nhỏ vào kinh nghiệm dạy học Toán trường THCS Cuối cùng, cho dù cố gắng thật khó tránh khỏi thiếu sót hiểu biết kinh nghiệm cịn hạn chế Tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý thầy bạn để đề tài hồn thiện có tác dụng Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN HIỆU TRƯỞNG Điền Lư, ngày 15 tháng 04 năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Văn Hồng UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO -Tuyển tập tốn hay khó _Đại số nhà xuất đại học quốc gia Thành Phố Hồ Chí Minh (tác giả: Phan Văn Đức-Nguyễn Hoàng Khanh-Lê Văn Thường) -Sách giáo khoa Toán _ Tập nhà xuất giáo dục -Sách giáo viên Toán _ Tập nhà xuất giáo dục -Sách tập Toán _ Tập nhà xuất giáo dục -Bài tập trắc nghiệm đề kiểm tra Toán nhà xuất giáo dục năm 2007 (tác giả: Hoàng Ngọc Hưng-Phạm Thị Bạch Ngọc) UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Văn Hồng Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Điền Lư huyện Bá Thước TT Tên đề tài SKKN Làm để học sinh hiểu: Khái niệm hàm số chương trình Tốn THCS Các giải pháp giúp học sinh dụng định lí Vi-ét để giải Toán Một số phương pháp tổ chức dạy học loại tứ giác cho học sinh lớp trường THCS Điền Lư Một số giải pháp giúp học sinh tránh sai lầm việc ứng dụng điịnh lý Vi-ét để giải tốn chương trình lớp Một số giải pháp giúp học sinh tránh sai lầm việc ứng dụng điịnh lý Vi-ét để giải tốn chương trình lớp Một số giải pháp nhằm hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phát triển tư mơn Tốn cho học sinh trường THCS Điền Lư-Bá Thước UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... trực tiếp dạy học Tốn nhiều năm, tơi chọn đề tài ? ?Một số giải pháp nhằm hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phát triển tư mơn Tốn cho học sinh trường THCS Điền Lư- Bá Thước ” để... tử, đặt ẩn phụ, phương pháp hệ số … Hướng dẫn học sinh nắm nội dung cách vận phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Tránh sai lầm pháp phân tích đa thức thành nhân tử Giúp học sinh nắm pháp. .. để giải toán chương trình lớp Một số giải pháp nhằm hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phát triển tư mơn Tốn cho học sinh trường THCS Điền Lư- Bá Thước UAN VAN CHAT LUONG download