PhÇn ®¹i sè Trường THCS Tề Lỗ GV Nguyễn Văn Trọng Tµi liÖu «n thi vµo líp 10 M«n to¸n PHẦN I ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ 7 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 – HỆ THỨC VIET CHƯƠNG IV HÀM SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN I HÀM SỐ[.]
Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng Tµi liƯu ôn thi vào lớp 10 Môn toán PHN I: I SỐ CHUYÊN ĐỀ 7: PHƯƠNG TRÌNH BẬC – HỆ THỨC VIET CHƯƠNG IV: HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN I HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0) Tập xác định hàm số Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) xác định với x ∈R Tính chất biến thiên hàm số • Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > • Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x > Đồ thị hàm số • Đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0) đường cong qua gốc toạ độ nhận trục Oy làm trục đối xứng Đường cong đgl parabol với đỉnh O Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh, O điểm thấp đồ thị Nếu a < đồ thị nằm phía trục hồnh, O điểm cao đồ thị • Vì đồ thị y = ax2 (a ≠ 0) qua gốc toạ độ nhận trục Oy làm trục đối xứng nên để vẽ đồ thị hàm số này, ta cần tìm điểm bên phải trục Oy lấy điểm đối xứng với chúng qua Oy Bài Cho hàm số y = f (x) = x2 a) Chứng minh f (a) − f (−a) = với a ĐS: b) a = −1; a = b) Tìm a ∈R cho f (a − 1) = Bài Cho hàm số y = (m+ 2)x2 (m≠ −2) Tìm giá trị m để: a) Hàm số đồng biến với x < b) Có giá trị y = x = −1 c) Hàm số có giá trị lớn d) Hàm số có giá trị nhỏ ĐS: a) m< −2 b) m= c) m< −2 d) m> −2 Bài Cho hàm số y = x2 10 9 5 a) Vẽ đồ thị (P) hàm số b) Các điểm sau có thuộc đồ thị hay khơng: A 3; ÷, B −5; ÷,C(−10;1) ? 2 10 Bài Cho parabol y = x2 Xác định m để điểm sau nằm parabol: 3 1 a) A( 2; m) b) B ( − 2; m) c) C m; ÷ ĐS: a) m= b) m= c) m= ± 4 2 Bài Xác định m để đồ thị hàm số y = (m2 − 2)x2 qua điểm A(1;2) Với m tìm được, đồ thị hàm số có qua điểm B(2;9) hay khơng? ( ĐS: m= ±2.) Bài a) Viết phương trình đường thẳng qua gốc toạ độ O điểm M(2;4) b) Viết phương trình parabol dạng y = ax2 qua điểm M(2;4) c) Vẽ parabol đường tăhngr hệ trục toạ độ tìm toạ độ giao điểm chúng ĐS: a) y = 2x b) y = x2 c) (0;0),(2;4) II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Bài Giải phương trình sau: a) (x + 1)2 − 4(x2 − 2x + 1) = b) 9(x − 2)2 − 4(x − 1)2 = c) 2x2 − 3(2x − 3)2 = d) x2 − 4x + = Bài Giải phương trình sau: a) 3x2 − 5x + = d) 3x2 + 7x + = e) x2 + 6x − 16 = f) 7x2 + 12x + = b) 5x2 − 3x + 15 = 10 =0 e) 5x2 − x + 49 c) x2 − 4x + 1= Bài Giải phương trình sau: -1- f) ( 5− 2) x2 − 10x + 5+ = Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng a) 10x2 + 17x +3 = 2(2x − 1) – 15 b) x2 + 7x − 3 = x(x − 1) − c) 2x2 − 5x − 3 = (x + 1)(x − 1) + d) 5x2 − x − 3 = 2x(x − 1) − 1+ x2 e) −6x2 + x − 3 = −3x(x − 1) – 11 f) − 4x2 + x(x − 1) − 3 = x(x + 3) + g) x2 − x − 3(2x + 3) = − x(x − 2) – h) − x2 − 4x − 3(2x −7) = −2x(x + 2) − i) 8x2 − x − 3x(2x − 3) = − x(x − 2) k) 3(2x +3) = − x(x − 2) − Bài Tìm m để phương trình sau: i) có nghiệm ii) có nghiệm phân biệt iii) có nghiệm kép iv) vơ nghiệm 2 a) 9x − 6mx + m(m− 2) = b) 2x − 10x + m− 1= c) 5x − 12x + m− = d) 3x2 − 4x + 2m= e) (m− 2)x2 − 2(m+ 1)x + m= Bài Cho phương trình: x2 − 2(3m+ 2)x + 2m2 − 3m + 5 = a) Giải pt với m= −2 b) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm –1 c) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm kép Bài Cho phương trình: x2 − 2(m− 2)x + m2 − 3m + 5 = a) Giải phương trình với m= b) Tìm giá trị m để pt có nghiệm –4 c) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm kép Bài Cho phương trình: x2 − 2(m+ 3)x + m2 + 3 = a) Giải phương trình với m= −1 m= b) Tìm m để phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình cú hai nghim phõn bit Bai1) Giải ph ơng tr×nh sau: a)9 x + x − = b) x + x − 18 = Bài 2: Giải phương trình sau: 1) x2 + 6x + 14 = ;2) 4x2 - 8x + = ; 3) 3x2 + 5x + = ;4) -30x2 + 30x – 7,5 = ; 5) x2 - 4x + = ; 6) x2 +2x - = ; 7) x2 + 2 x + = 3(x + ); 8) x2 + x + = (x + 1) 9) x2 -2( - 1)x - = Bài Giải phơng trình sau cách nhẩm nghiệm: 1) 3x2 – 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ; 3)x2-(1 + )x+ =0; 4)(1- )x2-2(1+ )x+1+3 = ; 5)3x2–19x–22=0 ; 6) 5x2 + 24x + 19 = ; 7)( +1)x2+2 x+ -1=0;8)x2 – 11x + 30 = ; 10) x2 – 10x + 21 = Bài 4: Giải phương trình sau: 1) x2-4x+3=0 2) (x2+4x)2-6(x2+4x)+5=0 Chuyên đề 7; PHƯƠNG TRÌNH BẬC – HỆ THỨC VIET I Lí Thuyết: Định nghĩa: Phơng trình bậc hai phơng trình cã d¹ng ax2 + bx+ c = (a ≠ 0) C«ng thøc nghiƯm: Ta cã ∆ = b2 4ac - Nếu < phơng trình vô nghiệm b - Nếu = phơng trình có nghiệm kép x1,2 = 2a b - Nếu > phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt x1 = ; 2a −b+ ∆ x2 = 2a C«ng thøc nghiƯm thu gän : Phơng trình bậc hai ax + bx + c = 0(a ≠ 0) vµ b = 2b ' ∆ ' = b '2 − ac -2- Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng - NÕu ∆ ' > phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x1 = - Nếu ' = phơng trình có nghiÖm kÐp : x1 = x = - NÕu ' < phơng trình vô nghiệm b '+ ∆ ' −b '− ∆ ' ; x2 = a a −b ' a HƯ thøc Viet: NÕu ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x1; x2 th× S = x1 + x2 = −b ; P = a c a Gi¶ sử x1; x2 hai nghiệm phơng trình ax2 + bx+ c = (a ≠ 0) Ta cã thể sử dụng định lí Viet để tính biểu thøc cña x1, x2 theo a, b, c b2 − 2ac S1 = x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − 2xx = a2 3abc − b3 S2 = x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3xx x + x = 2( 2) a3 x.x 2= S3 = x1 − x2 = ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − 4xx = b2 − 4ac a2 S4= x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 − x1 x2 ( x1 + x2 ) = S − 3SP 1 x1 + x2 S + = = S5 = x1 x2 x1 x2 P S6 = x12 + x 22 S − P = = x12 + x 22 x12 x 22 P2 Lu ý: Khi ®ã ta cịng cã: x1 - x2 = ± D a øng dơng hƯ thøc Viet a) NhÈm nghiệm: Cho phơng trình ax2 + bx+ c = (a ≠ 0) c - NÕu a + b + c = ⇒ x1 = 1; x2 = a c - NÕu a - b + c = ⇒ x1 = -1; x2 = − a b) T×m hai sè biÕt tỉng vµ tÝch: Cho hai sè x, y biÕt x + y = S; x.y = P x, y hai nghiệm phơng trình bËc hai X2 - SX + P = c) Phân tích thành nhân tử: Nếu phơng trình ax2 + bx+ c = (a ≠ 0) cã hai nghiƯm x1; x2 th× ax + bx+ c = a( x x1) ( x x2 ) d) Xác định dấu c¸c nghiƯm sè: Các điều kiện để phương trình cú nghim tha c im cho trc: Tìm điều kiện tổng quát để phơng trình ax2+bx+c = (a ≠ 0) cã: Cã nghiÖm (cã hai nghiÖm) ⇔ ∆ ≥ V« nghiƯm ⇔ ∆ < NghiÖm nhÊt (nghiÖm kÐp, hai nghiÖm b»ng nhau) ⇔ ∆ = Cã hai nghiƯm ph©n biƯt (kh¸c nhau) ⇔ ∆ > Hai nghiƯm cïng dÊu ⇔ ∆≥ vµ P > Hai nghiệm trái dấu > P < ⇔ a.c < Hai nghiƯm d¬ng(lín h¬n 0) ⇔ ∆≥ 0; S > vµ P > Hai nghiệm âm(nhỏ 0) 0; S < vµ P > Hai nghiƯm ®èi ⇔ ∆≥ vµ S = 10.Hai nghiệm nghịch đảo P = 11 Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn -3- Trng THCS T Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng ⇔ a.c < vµ S < 12 Hai nghiệm trái dấu nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn a.c < vµ S > 13 Pt có nghiệm dương: có TH 14 Pt có nghiệm âm: có TH 15 Pt có nghiệm nghiệm dương: ∆ > vµ P = 0, S>0 16 Pt có nghiệm nghiệm âm: ∆ > vµ P = 0, S Tìm điều kiện tham số m để phơng trình có nghiƯm: cã TH - TH1: a =0 vµ b ≠ - TH2: a ≠ vµ ∆ = Tìm điều kiện tham số m để phơng trình vô nghiệm: có TH -TH1: a=0, b=0 c ≠ -TH2: a ≠ vµ ∆ < 5.Trong trờng hợp cần chứng minh có hai phơng trình ax + bx+ c = 0; a'x2 + b'x+ c' = cã nghiÖm ngời ta thờng làm theo hai cách sau: C¸ch 1: Chøng minh ∆1 + ∆ ≥ C¸ch 2: ∆1.∆ ≤ * Bài tập: Bài 1: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm 1) x2 – 2mx – m2 – = ; 2) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – + m = 3) ax + (ab + 1)x + b = Bài 2: Tìm m để phơng trình sau vô nghiệm , có mét nghiƯm , cã hai nghiƯm ph©n biƯt , cã hai nghiệm trái dấu , có hai nghiệm âm , cã hai nghiƯm d¬ng , a) x2 -3x +m – = b) x2 - 2(m-1)x + m2 -m+1=0 c) x2 – 2x + m – = d) x2 – 2(m+2) x + m +1= e) (m – )x2 + 2(m – 1)x – m = g) x2 – 2(m+1) x + m – = Bµi 3: Cho pt mx - 2(m+1)x +m = Xác định m để pt cã nghiƯm nhÊt Bµi4: Cho pt x 5x +2m- 1=0 Với giá trị m pt có hai nghiệm phân biệt Bài 5: Cho pt (m- 4)x2 – 2mx + m – = a) Giải pt với m=3 b) Tìm m để pt có nghiệm x=2 , tìm nghiệm lại c) Tìm m để pt có nghiệm phân biệt Bµi 6: Cho pt x2 – 2(m+1) x + m – = a) Chøng minh pt lu«n cã hai nghiệm phân biệt với m Bài 7: Cho pt x2 – 2(m+2) x + m +1= Chøng minh pt có hai nghiệm phân biệt với m D¹ng 2: Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm phương trình bậc hai - Biểu thức f(x1,x2) gọi đối xứng với x1, x2 nếu: f(x1, x2) = f(x2, x1) ( Nếu đổi chỗ x1, x2 biểu thức khơng thay đổi) - Biểu thức đối xứng nghiệm phương trình bậc hai biểu thức có giá trị khơng đổi hốn vị x1, x2 - Ta biểu thị biểu thức đối xứng nghiệm x1, x2 theo S P Ví dụ: x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = S − P x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 − x1 x2 ( x1 + x2 ) = S − 3SP -4- Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng 1 x1 + x2 S + = = x1 x2 x1 x2 P x12 + x 22 S − P = = x12 + x 22 x12 x 22 P2 … Phương pháp Bước 1: Kiểm tra điều kiện phương trình có hai nghiệm x1, x2 Bước 2: Biến đổi biểu thức cần tính làm xuất tổng x1+x2 tích x1.x2 Bước 3: Áp dụng định lý Vi-et để tìm x1+x2 tích x1.x2 Bước 4: Thay giá trị tìm bước vào biểu thức bước để suy kết * Bài tập: Bài toán 1: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2-3x-7=0 Hãy tính: a) 1 b) x −1 + x −1 x1 −x2 Giải Phương trình bậc hai x2-3x-7=0 có ∆= 37 > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 Áp x1 + x2 = dụng định lý Vi-et ta có: x1.x2 = − (1) a) Đặt A= x1 −x2 ta có: A2= (x1-x2)2 = (x1+x2)2- 4x1.x2 Từ (1) (2) => B2= 9- (-7) = 37 => B = 37 (2) b) Đặt B = x −1 + x −1 Ta thấy x=1 không nghiệm phương trình x2-3x-7=0 nên : B= ( x1 + x2 ) − x2 − + x1 − = ( x1 − 1)( x2 − 1) x1 x2 − ( x1 + x2 ) + Từ (1) (3) suy B = − (3) Bài tốn 2: Khơng giải phương trình, tính tổng tích nghiệm (nếu có) phương trình sau: a) 4x2 + x - = 0, b) 9x2 - 12x + = Bài toán 3: Cho phơng trình: x2 - 5x + = Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình không giải phơng trình hÃy tính: 1 1 + a) x12 + x22 b) x13 + x23 c) x1 - x2 d) x12 - x22 e) x13 - x23 f) g) + x1 x2 x1 x2 x1 + x2 + 1- x1 1- x2 1 1 + + + i) j) k) x1 + + x2 + l) m) x12x2 + x1x22 x1 - x2 - x2 x1 x1 x2 2x1 2x2 Bài 4: Tơng tự: 2x2 - 5x + = ; 3x2 + 4x - = ; - 3x2 + 2x + = Bài 5: Cho phơng trình: - x2 - 4x + = Không giải phơng trình hÃy tính: a) Tổng bình phơng nghiệm b) Tổng nghịch đảo nghiệm c) Tổng lập phơng nghiệm d) Bình phơng tổng nghiệm e) Hiệu nghiệm f) Hiệu bình phơng nghiệm Bài 6: Cho pt: x2 + 3x + = cã hai nghiÖm x1; x2 Không giải pt hÃy tính: 6x + 10x1x2 + 6x22 A= 5x1x23 + 5x13x2 Bài toán 7: Gọi x1 x2 nghiệm phương trình x2-x-1=0 Đặt Sn= x1n + x2n ∀n ∈ Z + a)Tính S1, S2 b) Chứng minh: Sn+2 = Sn+1 + Sn c) Tính S6 Giải -5- Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng Phương trình x2-x-1=0 có a.c= -1 < nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 Áp dụng x1 + x2 = định lý Vi-et ta có: x1.x2 = − a) b) S1 = x1+ x2 =1 S2 = x12 + x22 =(x1+x2)2 – 2x1.x2 = ( ) ( ) ( ) ( Sn+2 = x1n + + x2n + = ( x1 + x2 ) x1n + + x2n +1 − x1.x2 x1n + x2n = x1n +1 + x2n +1 + x1n + x2n Vậy : Sn+2 = Sn+1 + Sn ) S6 = S5 + S S6 = S5 + S S = S + S S = S + S ⇔ Theo phần (b) ta có : S = S3 + S S = S3 + S 3S = 3S + 3S S3 = S2 + S1 c) Cộng tương ứng vế phương trình ta được: S6 = 5S2 + 3S1 => S6 = 5.3 + 3.1 =18 D¹ng 3: Lập phương trình bậc hai biết nghiệm số a) Phương pháp Giả sử cần lập phương trình bậc hai mà nghiệm α; β Bước 1: Lập tổng S = α + β ; tích P = α.β Bước 2: Áp dụng định lý Vi-et đảo ta có α; β nghiệm phương trình x2-Sx+P=0 * Bài tập: Bài tốn 1: Lập phương trình bậc hai có nghiệm bằng: a) Bình phương nghiệm phương trình x2-2x-1=0 (1) b) Nghịch đảo nghiệm phương trình x2+mx-2=0 (2) Giải a)Phương trình (1) có ∆=2 > nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 Áp dụng định lý Vi-et ta có: x1+x2=2; x1.x2 = -1 Bài toán trở lập phương trình bậc hai có nghiệm x12 ; x22 x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1x2 = Xét x12.x22 = ( x1.x2 ) = Áp dụng định lý Vi-et đảo: Phương trình bậc hai cần lập x2-6x+1=0 b)Phương trình (2) có tích a.c = -2 < nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 Áp dụng định lý Vi-et ta có: x1+x2=-m; x1.x2=-2 1 Bài toán trở về: Lập phương trình bậc hai có nghiệm x x 1 x1 + x2 m x + x = x x = 2 Xét 1.1 = = −1 x1 x2 x1.x2 Áp dụng định lý Vi-et đảo: Phương trình bậc hai cần lập x2 − m x − = ⇔ x − mx − = 2 Bµi 2: Lâp Pt biết nghiệm nó: a) x1=2; x2=5 b) x1=-5; x2=7 -6- c) x1=-4; x2=-9 Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng e) x1 = 3; d) x1=0,1; x2=0,2 l) x1 = + 6; n) x1 = x2 = m) x1 = + 2; x2 = - ; 2+ x2 = 2- f) x1 = - 5; o) x1 = 10 - 72 ; x2 = - x2 = - 2 x2 = 10 + 72 Bµi 3: Giả sử x1; x2 hai nghiệm phơng trình: 2x2 - 7x - = Không giải phơng trình, hÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm là: a) 3x1 3x2 1 d) x vµ x 2 b) -2x1 vµ -2x2 x2 c) x vµ x x1 e) x vµ x f) x1 + x1 vµ x2 + x2 Bµi 5: Gọi p; q hai nghiệm phơng trình 3x + 7x + = Không giải phơng p trình HÃy lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có nghiệm là: q- q p - Bài 6: Tơng tự: a) x2 + 4x + = b) x2 - 5x - = c) 2x2 + 6x - = D¹ng 4: Tìm điều kiện tham số để nghiệm phương trình bậc hai thoả mãn điều kiện cho trước ( Tìm điều kiện tham số để nghiệm phương trình bậc hai thoả mãn phương trình, bất phương trình.) pt điều kiện cho trước có tính đối xứng nghiệm phương trình bậc hai Phương pháp Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, từ áp dụng định lý Vi-et để tính x1+x2 x1.x2 Bước 2: Biến đổi phương trình, bất phương trình làm xuất x1+x2 x1.x2 Bước 3: Thay x1+x2 x1.x2 tính từ bước vào phương trình, bất phương trình ta phương trình, bất phương trình theo tham số Bước 4: Giải PT, bất PT nhận bước Bước 5: Kiểm tra điều kiện bước kết luận toán pt điều kiện cho trước không đối xứng nghiệm phương trình bậc hai Phương pháp Ta có PT: Hệ thức viets cho ta phương trình pt Điều kiên cho trước - ta chọn pt dễ lập thành hệ giải hệ tìm nghiệm theo m - thay nghiệm vừa tìm đươc vào pt cịn lại tìm m * Bài tập: Bài tốn 1: Tìm m để phương trình x 2-mx+m2-3=0 có nghiệm x1, x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền có độ dài Giải Điều kiện đề tương đương với: − 3m + 12 ≥ − ≤ m ≤ ∆ ≥ m − > m < − ∨ m > ⇔ ⇔ x1, x2 > ⇔ m > m > 2 m2 = x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − x1x2 = m ∈φ Vậy: khơng có giá trị m thoả mãn yêu cầu đề Bµi 2: Cho pt x2 - 6x + m = Tính giá trị m biết pt có hai nghiệm x 1; x2 tho¶: -7- Trường THCS Tề Lỗ a) GV: Nguyễn Văn Trọng x12 + x22 = 36 1 + =3 x1 x2 b) 1 + = x12 x22 c) d) x1 - x2 = Bµi 3: Cho pt x2 - 8x + m = Tìm giá trị m để pt cã hai nghiƯm x 1; x2 tho¶ mét c¸c hƯ thøc sau: x12 + x22 = 50 x1 - x2 = a) Bài 4: Cho pt thoả x1 = 7x2 b) x2 - (m + 3)x + 2(m + 2) = c) 2x1 + 3x2 = 26 d) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 x1 = 2x2 Khi tìm cụ thể hai nghiệm pt? Bài 5: a) Tìm k ®Ó pt: x2 + (k - 2)x + k - = cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ x2 - 2(m - 2)x - = cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ x12 + x22 = 10 b) Tìm m để pt: x12 + x22 = 18 c) Tìm k để pt: (k + 1)x2 - 2(k + 2)x + k - = cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶ (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 d) Tìm m để pt: 5x2 + mx - 28 = cã hai nghiƯm x1; x2 tho¶ 5x1 + 2x2 Bài Gọi x1; x2 hai nghiệm khác cña pt: =1 mx2 + (m - 1)x + 3(m - 1) = Chøng minh: 1 + =x1 x2 2 x x Bài tốn 8: Tìm tham số a để nghiệm x1, x2 pt x +ax+1=0 thoả mãn + > x2 x1 Giải Phương trình x2+ax+1=0 có hai nghiệm x1, x2 : ∆ = a − ≥ ⇔ a ≥ Khi áp dụng định lý Vi-et ta có: x1+x2=-a x1.x2=1 Do x1.x2=1 nên x1 ≠ x2 ≠ 2 x +x x1 x2 + > ⇔ 2 > x1 x2 x2 x1 ⇔ (a2-2)2 – >7 4 ⇔ [( x + x ) ⇔ ( a2-2)2 > 32 2 a ≥ a ≥ ⇔ Các giá trị a cần tìm thoả mãn đồng thời: 2 2 ( a − 2) > a − > a2 ≥ ⇔ a2 − > Vậy: a ⇔ a2 > ⇔ a thoả mãn yêu cầu đề -8- ] − x1.x2 − x12 x22 >7 x12 x22 Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng D¹ng 5: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai đạt giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) a) Phương pháp Giả sử cần tìm m để biểu thức A đạt GTLN, GTNN Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1, x2 tính x1+x2 x1.x2 Bước 2: Biến đổi biểu thức làm xuất x1+x2 x1.x2 Bước 3: Thay x1+x2 x1.x2 tính bước vào A ta biểu thức A(m) Bước 4: Tìm GTLN, GTNN A(m) Bước 5: Kiểm tra điều kiện bước kết luận toán * Bài tập: Bài toán 1:Cho phương trình: x2-2(m+1)x+2m+10=0 (1) Tìm giá trị m cho phương trình có hai nghiệm x1, x2 x12 + x22 + 10 x1 x2 đạt GTNN Giải Phương trình (1) có nghiệm m≥ ⇔ ∆ ' = m2 − ≥ ⇔ (*) m ≤ − x1 + x2 = 2(m + 1) Áp dụng định lý Vi-et ta có x1x2 = 2m + 10 Đặt A = x12 + x22 + 10 x1 x2 = (x1+x2)2+8x1x2 = 4(m+1)2+8(2m+10) = 4m2+24m+84 = (2m+6)2+48 ⇒ A ≥ 48 , dấu “=” xảy x=-3( thoả mãn (*)) Vậy: Với m=-3 biểu thức A đạt GTNN Bài tốn 2: Cho phương trình x2-2(m+4)x+m2-8=0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 B = x12 + x22 − x1 − x2 đạt GTNN Giải Phương trình có hai nghiệm x1, x2 ⇔ ∆' = (m + 4) − ( m − 8) ≥ ⇔ m ≥ −3 (*) x1 + x2 = 2(m + 4) Áp dụng định lý Vi-et ta có: x1x2 = m − Khi B = x12 + x22 − x1 − x2 = (x1+x2)2-(x1+x2)-2x1x2 = 4(m+4)2-2(m+4)-2(m2-8) = 2m2+30m+72 = 2(m+3)2+18(m+3) Với điều kiện (*) B ≥ 0, dấu “=” xảy m=-3 Vậy: Với m=-3 biểu thức B đạt GTNN 12 Bài tốn 3: Cho phương trình 12x2-6mx+m2-4+ =0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1, m 3 x2 x1 + x2 đạt GTLN, GTNN Giải -9- Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trọng Pt cho có hai nghiệm x1, x2 [ ] [ ⇔m ∈ − 3;−2 ∪ 2;2 ] ∆'≥ ⇔ m≠ … ≤ m ≤ ⇔ … m ≠ m x + x = Khi áp dụng định lý Vi-et ta có: x x = m − + 12 m2 Đặt A = x13 + x23 = ( x1+x2)3-3x1x2(x1+x2) m2 − m m m2 − + = − 3 = m 2m 2 12 m −3 Bài tốn trở thành: Tìm m để biểu thức A = đạt GTLN, GTNN miền 2m D= [−2 3;−2] ∪[2;2 ] Thật vậy: Trên miền D m2-3 > Khi đó: *A= ( )( ) m − 2m − 2m + 3m − − 3m m + 2m − 3 = = = − 2m 4m 4m 4m Do m ∈[−2 3;−2] nên (m + )(2m − ) ≤ , dấu “=” xảy => (m + )(2m − ) ≥ ⇒ A ≥ − 4m , dấu “=” xảy m = −2 m = −2 3 , dấu “=” xảy m = 3 −3 Vậy: Với m = MaxA = , Với m = −2 MinA = D D 4 x − ( m + ) x + m + 10 = (víi m lµ tham số ) Bài 4: Cho phơng trình * Lp lun tng t ta cú: A a)Giải biện luận số nghiệm phơng trình c)Tìm giá trị m để 10 x1 x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Bài 5: Cho pt x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = Cho P = 6x1x2 + x12 + x22 ( x1; x2 hai nghiệm pt) Tìm m cho P đạt giá trị nhỏ nhất, tìm GTNN Bài 6: Cho phơng trình x2 ( 2m + )x + m2 + m – =0 a) Chøng minh phơng trình có nghiệm với m b) Gọi x1, x2, hai nghiệm phơng trình T×m m cho : ( 2x1 – x2 )( 2x2 x1 ) đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ Dạng 6: Dấu nghiệm phương trình bậc hai Phương pháp Bước 1: Dựa vào điều kiện đề mục 4.d øng dơng hƯ thøc VietĐể đua hệ điều kiện với tham số Bước 2: Giải hệ điều kiện để tìm giá trị tham số Bước 3: Kết luận toán * Bài tập: Bµi 1: Cho pt x2 – 2(m +2)x +m +1 = a) Gi¶i pt víi m = b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu Bài2: Tìm m để phơng trình : a) x x + 2( m − 1) = cã hai nghiệm dơng phân biệt b) x + x + m − = cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt c) ( m + 1) x − 2( m + 1) x + 2m − = cã hai nghiƯm tr¸i dÊu - 10 - Trường THCS Tề Lỗ * GV: Nguyễn Văn Trọng 2m + n = m + 3n m = ⇔ 3m = n = * Thử lại, rút kết luận Bài 24: Tìm giá trị m n để hai phơng trình sau tơng đơng : x + ( 4m + 3n ) x − = (1) vµ x + ( 3m + 4n ) x + 3n = (2) H.DN *Phơng trình (1) có ac = - 9 * x 21 + x 2 = ( 2m − 1) x 21 + x 2 + 15 ≥ 15 ⇒ ( x 21 + x 2 ) = 15 m = Bài 27: Cho phơng trình x − 2(m + 1) x + m − = cã hai nghiÖm x1 , x2 Chøng minh r»ng biÓu thøc H = x1 (1 − x ) + x (1 − x1 ) không phụ thuộc vào m HNG DN: * ∆' = m + + 2 19 >0 * H = ( x1 + x ) − x1 x = 2( m + 1) − 2( m − = 10) Bài 28: Cho phơng trình x 2(m + 1) x + m − = cã hai nghiƯm x1 , x2 Chøng minh r»ng biĨu thøc Q = x1 ( 2007 − 2006 x ) + x ( 2007 − 2008 x1 ) kh«ng phụ thuộc vào giá trị m 15 HƯỚNG DẪN: * ∆' = m + + > 2 * Q = 2007( x1 + x ) − 4014 x1 x = 2007( 2m + 2) − 4014( m − 3) = 16056 x + m(m + 1) x + 5m + 20 = Bài tập 29 : Định giá trị tham số m để phơng trình Có nghiệm x = - Tìm nghiệm Bài tập 30 : Cho phơng trình (1) x + mx + = a) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt b) Với giá trị m phơng trình (1) có nghiệm 1? Tìm nghiệm Bài tập 31 : Cho phơng trình x x + m + = (1) a) Định m để phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt - 18 - Trường THCS T L GV: Nguyn Vn Trng b) Với giá trị m phơng trình (1) có nghiệm gấp lần nghiệm kia? Tìm nghiệm phơng trình trờng hợp Bài tập 32: Cho phơng tr×nh (m − 4) x − 2mx + m − = (1) a) m = ? th× (1) cã nghiƯm lµ x = b) m = ? th× (1) cã nghiƯm kÐp x − 2(m + 1) x + m − = Bài tập 33 : Cho phơng trình (1) a) Chứng minh (1) cã hai nghiƯm víi mäi m b) m =? (1) có hai nghiệm trái dấu c) Giả sử x1 , x2 nghiệm phơng trình (1) CMR : M = ( − x2 ) x1 + ( − x1 ) x2 kh«ng phơ thuộc m Bài tập 34 : Cho phơng trình x − 2(m − 1) x + m − = (1) a) Chøng minh (1) cã nghiƯm víi m 2 b) Đặt M = x1 + x2 ( x1 , x2 nghiệm phơng trình (1)) T×m M x − ( a − 1) x − a + a − = Bài tập 36: Cho phơng trình (1) a) Chứng minh (1) cã hai nghiƯm tr¸i dÊuvíi mäi a 2 b) x1 , x2 nghiệm phơng trình (1) T×m B = x1 + x2 Bài tập 37: Cho phơng trình x 2(a − 1) x + 2a − = (1) a) Chøng minh (1) cã hai nghiƯm víi mäi a b) a = ? th× (1) cã hai nghiƯm x1 , x2 tho¶ m·n x1 < < x2 2 c) a = ? th× (1) cã hai nghiƯm x1 , x2 tho¶ m·n x1 + x2 = Bài tập 38: Cho phơng trình x + (2m − 1) x + m − = (1) a) m = ? th× (1) cã hai nghiƯm x1 , x2 tho¶ m·n x1 − x2 = 11 b) Chøng minh (1) kh«ng cã hai nghiệm dơng c) Tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc m Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dơng -> vô lý x − (2m + n) x − 3m = 0(1) Bài tập 39: Cho hai phơng trình x ( m + 3n) x − = 0(2) T×m m n để (1) (2) tơng đơng Bài tập 41: Cho phơng trình mx + 2(m − 4) x + m + = (1) a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mÃn x1 − x2 = c) T×m mét hƯ thức x1 , x2 độc lập với m Bài tập 42: Cho phơng trình x (2m + 3) x + m + 3m + = (1) a) Chứng minh phơng trình có nghiệm với m b)Tìm m để phong trình có hai nghiệm đối c)Tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với m Bài tập 43: Cho phơng trình (m 2) x + 2(m 4) x + (m − 4)(m + 2) = (1) a) Với giá trị m phơng trình (1) có nghiệm kép b) Giả sử phơng trình cã hai nghiƯm x1 , x2 T×m mét hƯ thức x1 , x2 độc lập với m 1 + c) TÝnh theo m biÓu thøc A = ; d)Tìm m để A = x1 + x2 + Bài tập 44: Cho phơng trình (1) x − mx − = a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với 2( x1 + x2 ) + b) Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc A = x12 + x22 c) Tìm giá trị m cho hai nghiệm phơng trình nghiệm nguyên - 19 - Trường THCS Tề Lỗ GV: Nguyễn Văn Trng Bài tập 45: Với giá trị k phơng trình x + kx + = có hai nghiệm đơn vị x − ( m + 2) x + m + = Bài tập 46: Cho phơng trình (1) a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt c) Tìm m để phơng trình có nghiệm âm Bài tập 47: Cho phơng trình x − ( m + 1) x + m = (1) a) CMR phơng rình (1) có nghiệm ph©n biƯt víi mäi m 2 b) Gäi x1 , x2 hai nghiệm phơng trình Tính x1 + x2 theo m 2 c) T×m m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mÃn x1 + x2 = Bài tập 48: Cho phơng trình x + (2m + 1) x + m + 3m = (1) a)Giải phơng trình (1) với m = -3 b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm tích hai nghiệm Tìm hai nghiệm Bài tập 49: Cho phơng trình (1) x 12 x + m = Tìm m để phơng trình có hai nghiƯm x1 , x2 to¶ m·n x2 = x1 (m − 2) x − 2mx + = Bài tập 50: Cho phơng trình (1) a)Giải phơng trình với m = 2.Tìm b) m để phơng trình có nghiệm c)Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt d) Tìm m để phơng trình cã hai nghiƯm x1 , x2 tho¶ m·n ( + x1 ) ( + x2 ) = Bài tập 51: Cho phơng trình x − 2(m − 1) x + m − = (1) a) Giải phơng trình với m = b)CMR phơng trình (1) có hai nghiêm phân biƯt víi mäi m 1 c)TÝnh A = + theo m d)Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm đối x1 x2 Bài tập 52: Cho phơng trình (m 2) x 2mx + m − = (1) a) T×m m để phơng trình (1) phơng trình bậc hai b)Giải phơng trình m = c)Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt không ©m x + px + q = Bµi tập 53: Cho phơng trình (1) ( ) a) Giải phơng trình p = + ; q = 3 b) T×m p , q để phơng trình (1) có hai nghiệm : x1 = −2, x2 = c) CMR : nÕu (1) cã hai nghiệm dơng x1 , x2 phơng trình qx + px + = cã hai nghiÖm d¬ng x3 , x4 1 x1 x2 d) LËp phơng trình bậc hai có hai nghiệm x1va3x2 ; vµ ; vµ x1 x2 x2 x1 Bài tập 54: Cho phơng trình x (2m − 1) x − m = (1) a) CMR phơng trình (1) có hai nghiêm phân biệt với m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiƯm tho¶ m·n : x1 − x2 = ; 2 c) Tìm m để x1 + x2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ Bài tập 55: Cho phơng trình x 2(m + 1) x + 2m + 10 = (1) a) Gi¶i phơng trình với m = -6 b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 T×m GTNN cđa biĨu thøc A = x12 + x22 + 10 x1 x2 - 20 - ... Vi-et ta có: x1x2 = m − Khi B = x12 + x22 − x1 − x2 = (x1+x2) 2-( x1+x2 )-2 x1x2 = 4(m+4) 2-2 (m+4 )-2 (m 2 -8 ) = 2m2+30m+72 = 2(m+3)2+ 18( m+3) Với điều kiện (*) B ≥ 0, dấu “=” xảy m =-3 Vậy: Với m =-3 ... 3(x + ); 8) x2 + x + = (x + 1) 9) x2 -2 ( - 1)x - = Bi Giải phơng trình sau c¸ch nhÈm nghiƯm: 1) 3x2 – 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ; 3)x 2-( 1 + )x+ =0; 4)( 1- )x 2-2 (1+ )x+1+3 = ; 5)3x2–19x–22=0... n) x1 = x2 = m) x1 = + 2; x2 = - ; 2+ x2 = 2- f) x1 = - 5; o) x1 = 10 - 72 ; x2 = - x2 = - 2 x2 = 10 + 72 Bài 3: Giả sử x1; x2 hai nghiệm phơng trình: 2x2 - 7x - = Không giải phơng trình, hÃy