TRƯỜNG THCS TRƯNG NHỊ ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG NĂM HỌC 2017 – 2018 MƠN: Tốn Thời gian: 120 phút Ngày kiểm tra: 14/5/2018 Bài I: (2 điểm) Cho A = x 1 1 x với x ≥ 0; x ≠ B = x 1 x 1 Tính giá trị biểu thức B x = Rút gọn biểu thức P = A B Tìm m để phương trình ( x 1) P m x có nghiệm x Bài II: (2 điểm): Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Cho số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng hai chữ số 5; bình phương chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị đơn vị Tìm số Bài III: (2 điểm) x y 3 Giải hệ phương trình sau: x y x2 Cho parabol (P): y = đường thẳng (d): y = mx + 2 a) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B b) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm I(0;2) Gọi H, K hình chiếu vng góc A B Ox Chứng minh tam giác IHK vuông I Bài IV: (3,5 điểm) Cho đường trịn (O; R), đường kính AB I điểm thuộc AO cho AO=3IO Qua I vẽ dây CD vng góc với AB, CD lấy điểm K tùy ý, tia AK cắt đường tròn (O) M Chứng minh IKMB nội tiếp Chứng minh AK.AM = AC2 Gọi F tâm đường tròn ngoại tiếp CMK Chứng minh F thuộc đường cố định Tính khoảng cách nhỏ DF Bài V: (0,5 điểm) Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng: 4a 4b 4c Chúc em làm tốt! Bài Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MƠN TỐN (Ngày 15/05/2018) Gợi ý đáp án Điểm Biến đổi đồng 2đ Tính giá trị biểu thức B x = 0,5đ x 1 x B= (x ≥ 0; x ≠ 1) 1 0,25 Tại x = (TMĐK) ta có: B = 0,25 Tính B = Kết luận * Lưu ý: Nếu HS không đối chiếu điều kiện x trước tính giá trị B x = trừ 0,25đ Rút gọn biểu thức P = A.B 1đ 2 0,5 Rút gọn được: A = ( x 1)( x 1) x 1 0,25 ( x 1)2 Rút gọn được: B = 0,25 x 1 Rút gọn được: P = A.B = (x ≥ 0; x ≠ 1) x 1 * Lưu ý: Nếu HS rút gọn trực tiếp biểu thức x 1 P = A.B = x mà kết GV chấm cho x 1 x 1 điểm tối đa ý HS không đặt biểu thức A B ngoặc đặt biểu thức P = A.B trừ 0,25đ HS làm đến bước GV chấm điểm đến bước 0,5đ Tìm m để P/trình x ( x 1) m có nghiệm x x 1 m x x 1 x x 1 m x ( x 1) m 1 m x (x ≥ x x ) x 1 1 m m m 1 x ≥ x 0 x 1 1 m 1 m m Khi x = x 11 Vì x ≠ m ≠ Kết luận: m ≥ -1; m ≠ * Lưu ý: Nếu HS làm cách khác mà GV chấm cho điểm tối đa ý ( x 1)P m x (*) x 1 0,25 0,25 Cách 2: x x m (1) Đặt a = x (a ≥ 0; a ≠ 1) (1) a2 + a – – m = (2) P/trình (*) có nghiệm (1) có nghiệm (2) có nghiệm a ≥ 0; a ≠ TH1: a1 > 0; a2 > 0; a ≠ TH2: a1 < 0; a2 > 0; a ≠ TH3: a = Kết luận m ≥ –1; m ≠ Giải toán cách lập PT/HPT Gọi chữ số hàng chục số a chữ số hàng đơn vị số b (a * , a < 5; b , b < 5) * Lưu ý: Nếu HS đặt đk a ≤ 9; b ≤ 9; a * ; b GV chấm khơng trừ điểm Nếu HS đặt đk a ≤ 9; b ≤ a * ; b GV chấm trừ 0,25đ HS gọi “số hàng chục a, số hàng đơn vị b” GV chấm trừ 0,25đ Lập luận p/trình: a + b = (1) Lập luận p/trình: a2 – b = (2) a b Từ (1) (2) ta có HPT: a b 2đ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Giải hệ phương trình, khơng tắt bước giải PT bậc ẩn để tìm được: a = 2; b = Đối chiếu ĐK a, b kết luận: Số cần tìm 23 * Lưu ý: Nếu HS tìm b1 = 3; b2 = mà khơng thử lại để tìm giá trị a tương ứng, mà loại b = (ĐK đặt: b ≤ 9) trừ 0,25đ Giải hệ PT x y 3 x y 0,5 0,25 0,25 2đ 1đ x 10 y 6 5 x 10 y 15 9 x x 1 x 1 y x y x y x x 1 x 2 y 1 y 1 KL: Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) {(0;1);(-2;1)} * Lưu ý: Nếu HS đặt |x + 1| = a phải có ĐK a ≥ đối chiếu ĐK sau tìm a = Nếu HS khơng đặt ĐK, không đối chiếu, trừ 0,25đ Nếu HS giải |x + 1| = x + = 1, thiếu trường hợp x + = –1 GV chấm trừ 0,25đ 0,25 0,25 0,5 2a x2 đường thẳng (d): y = mx + 2 Chứng minh (d) (P) hai điểm phân biệt A, B Xét p/trình hồnh độ giao điểm (P) (d): x2 x2 mx mx (*) 2 Tính = m2 + Cho parabol (P): y = 0,5đ 0,25 Chỉ được: m2 ≥ m2 + ≥ > > m (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m (d) (P) điểm phân biệt A, B 0,25 * Lưu ý: Nếu HS không lập luận m2 ≥ m2 + ≥ > > m mà ghi > m GV chấm trừ 0,25đ 2b Chứng minh (d) qua điểm I(0;2) Gọi H, K hình chiếu vng góc A B Ox Chứng minh IHK vuông I + Lập luận chứng tỏ (d) qua điểm I(0;2) 0,5đ 0,25 + Gọi A(x1; y1); B(x2; y2) H(x1; 0); K(x2; 0) Cách 1: HS được: IH2 + IK2 = HK2 IHK vuông I Cách 2: HS được: |x1|.|x2| = OH.OK = OI2 HS c/m nghiệm x1, x2 nằm phía Oy = OIK OIK + OIH 90 OHI OIK IHO 0,25 * Lưu ý: Nếu HS sử dụng cơng thức tính khoảng cách, kiến thức a.a’ = -1 mà không chứng minh GV chấm khơng cho điểm phần Hình học Chứng minh IKMB nội tiếp Vẽ hình a 3,5đ 1đ 0,25 = BMK 90 Lập luận BIK 0,25 Chứng tỏ tứ giác BMKI tứ giác nội tiếp 0,5 Chứng minh AK.AM = AC2 1đ = AD ACK = AMC Lập luận AC 0,5 Chứng minh được: AKC ACM (g-g) đpcm 0,5 Chứng minh F thuộc đường cố định 1đ Kẻ đường kính CE đường trịn (F) 90 KCE + KEC 90 CKE = KEC Xét (F): KMC = DCA Xét (O): KMC + KCF 90 AC CF ACK 0,5 Chứng minh tương tự được: AC CB 0,5 C, B, F thẳng hàng Tính khoảng cách nhỏ DF 0,5đ Kẻ DH CB = {H} DH không đổi 0,25 DF nhỏ DF = DH C/m được: DH.CB = BI.CD Có: CI = CO2 - OI2 = R CB2 = BI.BA = DH = R2 2R 4R = CD = 3 4R 8R 2R 2R = CB = 3 0,25 BI.CD 8R 8R = = CB Nâng cao 0,5đ Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương: 0,25 4a 1.(4a 1) 4a 4a 2a C/m tương tự: 4b 2b ; 4c 2c 4a 4b 4c 2(a b c) Mà a + b + c = 4a 4b 4c Dấu “=” xảy a = b = c = trái giả thiết Vậy 4a 4b 4c 0,25