Bài 3 Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu A Lý thuyết 1 Số trung bình 1 1 Công thức tính số trung bình • Giả sử ta có một mẫu số liệu là x1, x2, , xn Số trung bình (hay số trung bình[.]
Bài Các số đặc trưng đo xu trung tâm mẫu số liệu A Lý thuyết Số trung bình 1.1 Cơng thức tính số trung bình • Giả sử ta có mẫu số liệu x1, x2, …, xn Số trung bình (hay số trung bình cộng) mẫu số liệu này, kí hiệu x , tính cơng thức x= x1 + x + + x n n • Giả sử mẫu số liệu cho dạng bảng tần số Giá trị x1 x2 … xk Tần số n1 n2 … nk Khi đó, cơng thức tính số trung bình trở thành x= n1x1 + n x + + n k x k n Trong n = n1 + n2 + … + nk Ta gọi n cỡ mẫu Chú ý: Nếu kí hiệu f k = nk tần số tương đối (hay gọi tần suất) xk n mẫu số liệu số trung bình cịn biểu diễn là: x = f1x1 + f x + + f k x k Ví dụ: Điểm số thực hành mơn Tốn bạn học sinh nhóm A 10; 5; 7; 9; 8; 6, cịn bạn nhóm B 9; 9; 8; 7; 6; Tính điểm trung bình nhóm Hướng dẫn giải Điểm trung bình nhóm A là: (10 + + + + + ) = 7,5 Điểm trung bình nhóm B là: ( + + + + + 8) 7,83 1.2.Ý nghĩa số trung bình Số trung bình mẫu số liệu dùng làm đại diện cho số liệu mẫu Nó số đo xu trung tâm mẫu Ví dụ: Ở Ví dụ thuộc phần 1.1 trên, ta thấy điểm số trung bình nhóm B cao nhóm A (7,83 > 7,5), ta nói thành tích thực hành nhóm B tốt nhóm A Trung vị tứ phân vị 2.1 Trung vị 2.1.1 Định nghĩa cách tính số trung vị Khi số liệu mẫu số liệu chênh lệch lớn, ta dùng đặc trưng khác mẫu số liệu, gọi trung vị để so sánh mẫu số liệu với Trung vị định nghĩa sau: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn Trung vị mẫu, kí hiệu Me, giá trị dãy x1, x2, …, xn Cụ thể: - Nếu n = 2k + 1, k (tức n số tự nhiên lẻ), trung vị mẫu Me = xk + - Nếu n = 2k, k (tức n số tự nhiên chẵn), trung vị mẫu Me = ( x k + x k +1 ) Ví dụ: Tính trung vị điểm thực hành mơn Tốn bạn học sinh nhóm A nhóm B Ví dụ thuộc phần 1.1 Hướng dẫn giải + Sắp xếp điểm số bạn nhóm A theo thứ tự khơng giảm, ta được: 5; 6; 7; 8; 9; 10 Vì cỡ mẫu nên trung vị nhóm A trung bình cộng số liệu thứ thứ dãy trên, tức Me = ( + 8) = 7,5 + Sắp xếp điểm số bạn nhóm B theo thứ tự không giảm, ta được: 6; 7; 8; 8; 9; Vì cỡ mẫu nên trung vị nhóm B trung bình cộng số liệu thứ thứ dãy trên, tức Me = (8 + 8) = 2.1.2 Ý nghĩa số trung vị Trung vị dùng để đo xu trung tâm mẫu số liệu Trung vị giá trị nằm mẫu số liệu theo nghĩa: ln có 50% số liệu mẫu lớn trung vị 50% số liệu mẫu nhỏ trung vị Khi mẫu xuất thêm giá trị lớn nhỏ số trung bình bị thay đổi đáng kể trung vị thay đổi Ví dụ: Bảng sau thống kê số sách bạn học sinh Tổ Tổ đọc thư viện trường tháng: a) Trung bình bạn Tổ bạn Tổ đọc sách thư viện trường tháng đó? b) Em thảo luận với bạn nhóm xem tổ chăm đọc sách thư viện Hướng dẫn giải a) Trung bình bạn Tổ đọc số sách thư viện tháng là: + + + + + + + 25 + 40 = 4,4 9 Trung bình bạn Tổ đọc số số thư viện tháng là: + + + + + + + 32 = = 8 b) Vì 4,4 > nên theo số trung bình, bạn Tổ đọc sách chăm Nếu dựa vào số trung bình để đánh giá xem tổ chăm đọc sách khơng phù hợp, có số liệu mẫu số liệu Tổ lớn so với số liệu lại Ta sử dụng trung vị để so sánh độ chăm học hai tổ + Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm Tổ 1: 1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 25 Vì cỡ mẫu n1 = số lẻ, nên trung vị mẫu số liệu Tổ Me1 = + Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm Tổ 2: 3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; Vì cỡ mẫu n2 = số chẵn, nên trung vị mẫu số liệu Tổ Me2 = ( + 4) = Do ta có: Me2 > Me1 Vậy theo trung vị, bạn Tổ chăm đọc sách thư viện Tổ 2.2 Tứ phân vị • Trung vị chia mẫu thành hai phần Trong thực tế người ta quan tâm đến trung vị phần Ba trung vị gọi tứ phân vị mẫu Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn Tứ phân vị mẫu số liệu gồm ba giá trị, gọi tứ phân vị thứ nhất, thứ hai thứ ba (lần lượt kí hiệu Q1, Q2, Q3) Ba giá trị chia tập hợp liệu xếp thành bốn phần Cụ thể: - Giá trị tứ phân vị thứ hai, Q2, số trung vị mẫu - Giá trị tứ phân vị thứ nhất, Q1, trung vị nửa số liệu xếp bên trái Q2 (không bao gồm Q2 n lẻ) - Giá trị tứ phân vị thứ ba, Q3, trung vị nửa số liệu xếp bên phải Q2 (khơng bao gồm Q2 n lẻ) • Ý nghĩa tứ phân vị Các điểm tứ phân vị Q1, Q2, Q3 chia mẫu số liệu xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành bốn phần, phần chia khoảng 25% tổng số liệu thu thập Tứ phân vị thứ Q1 gọi tứ phân vị đại diện cho nửa mẫu số liệu phía Tứ phân vị thứ ba Q3, gọi tứ phân vị đại diện cho nửa mẫu số liệu phía Ví dụ: Tìm tứ phân vị mẫu số liệu sau: 3; 5; 6; 13; 25; 17; 19 Hướng dẫn giải Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm ta được: 3; 5; 6; 13; 17; 19; 25 Vì cỡ mẫu n = 7, số lẻ, nên giá trị tứ phân vị thứ hai Q2 = 13 Tứ phân vị thứ trung vị mẫu: 3; 5; Do Q1 = Tứ phân vị thứ ba trung vị mẫu: 17; 19; 25 Do Q3 = 19 Mốt Cho mẫu số liệu dạng bảng tần số Giá trị có tần số lớn gọi mốt mẫu số liệu kí hiệu Mo Ý nghĩa mốt: Mốt đặc trưng cho giá trị xuất nhiều mẫu Chú ý: Một mẫu số liệu có nhiều mốt Khi tất giá trị mẫu số liệu có tần số xuất mẫu số liệu khơng có mốt Ví dụ: Cho mẫu số liệu: Giá trị 35 38 40 45 Tần số 10 Ta thấy giá trị 35 có tần số lớn nhất, đó, mốt mẫu số liệu Mo = 35 B Bài tập tự luyện Bài Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị mốt mẫu số liệu sau: 56; 45; 65; 45; 56; 78; 100; 78; 78 Hướng dẫn giải Cỡ mẫu: n = Số trung bình: x = ( 56 + 45 + 65 + 45 + 56 + 78 + 100 + 78 + 78) 66,78 Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 45; 45; 56; 56; 65; 78; 78; 78; 100 Vì cỡ mẫu 9, số lẻ nên tứ phân vị thứ hai Q2 = 65 Tứ phân vị thứ trung vị mẫu: 45; 45; 56; 56 Do Q1 = ( 45 + 56 ) = 50,5 Tứ phân vị thứ ba trung vị mẫu: 78; 78; 78; 100 Do Q3 = ( 78 + 78 ) = 78 Giá trị 78 có tần số lớn nên mốt mẫu số liệu Mo = 78 Bài Hãy tìm số trung bình, trung vị mốt mẫu số liệu sau: Giá trị 20 25 30 35 Tần số Hướng dẫn giải Cỡ mẫu n = + + + = 17 Số trung bình: x = ( 2.20 + 3.25 + 5.30 + 7.35) = 30 17 Sắp xếp số liệu cho theo thứ tự không giảm, ta được: 20; 20; 25; 25; 25; 30; 30; 30; 30; 30; 35; 35; 35; 35; 35; 35; 35 Vì cỡ mẫu 17 số lẻ nên trung vị Me = 30 Giá trị 35 có tần số lớn nên mốt mẫu số liệu Mo = 35 Bài Trong thi nghề, người ta ghi lại thời gian hoàn thành sản phẩm số thí sinh bảng sau: Thời gian (đơn vị: 35 phút) Số thí sinh a) Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị mốt thời gian thi nghề thí sinh b) Năm ngối, thời gian thi thí sinh có số trung bình trung vị Bạn so sánh thời gian thi nói chung thí sinh hai năm Hướng dẫn giải a) Cỡ mẫu n = + + + + = 12 Số trung bình là: x = 1.5 + 3.6 + 5.7 + 2.8 + 1.35 9,08 12 Số thí sinh thời gian phút nhiều nên mốt mẫu Mo = Sắp xếp giá trị mẫu theo thứ tự không giảm, ta được: 5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 35 Vì cỡ mẫu số chẵn nên tứ phân vị thứ hai Q2 = (7 + 7) = Tứ phân vị thứ trung vị mẫu: 5; 6; 6; 6; 7; Do Q1 = Tứ phân vị thứ ba trung vị mẫu: 7; 7; 7; 8; 8; 35 Do Q3 = 7,5 b) Dựa theo số trung bình, 9,08 > nên thời gian thi thí sinh năm nhiều năm ngối Dựa theo trung vị, hai năm trung vị nên thời gian thí sinh hai năm ngang Vì mẫu số liệu năm có số liệu 35 lớn so với số liệu lại nhiều, ta dùng trung vị để so sánh phù hợp Vậy thời gian thi nói chung thí sinh hai năm ngang Bài Người ta tiến hành thăm dò ý kiến khách hàng mẫu 1, 2, 3, loại sản phẩm sản xuất nhà máy Dưới bảng phân bố tần số theo số phiếu bình chọn tín nhiệm cho mẫu kể Mẫu Cộng Tần số 195 300 356 149 1000 a) Tìm mốt mẫu số liệu b) Trong sản xuất, nhà máy nên ưu tiên cho mẫu nào? Hướng dẫn giải a) Quan sát bảng tần số ta thấy mẫu có tần số lớn nên mốt mẫu số liệu cho Mo = b) Vì Mo = nên sản xuất, nhà máy nên ưu tiên cho mẫu ... Ý nghĩa số trung vị Trung vị dùng để đo xu trung tâm mẫu số liệu Trung vị giá trị nằm mẫu số liệu theo nghĩa: ln có 50% số liệu mẫu lớn trung vị 50% số liệu mẫu nhỏ trung vị Khi mẫu xu? ??t thêm... thứ trung vị mẫu: 5; 6; 6; 6; 7; Do Q1 = Tứ phân vị thứ ba trung vị mẫu: 7; 7; 7; 8; 8; 35 Do Q3 = 7,5 b) Dựa theo số trung bình, 9,08 > nên thời gian thi thí sinh năm nhiều năm ngối Dựa theo trung. .. trung bình nhóm A là: (10 + + + + + ) = 7,5 Điểm trung bình nhóm B là: ( + + + + + 8) 7,83 1.2.Ý nghĩa số trung bình Số trung bình mẫu số liệu dùng làm đại diện cho số liệu mẫu Nó số đo xu