KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG CỦA HỆ TRUYỀN ĐỘNG CÓ KHE HỞ

KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG CỦA HỆ TRUYỀN ĐỘNG CÓ KHE HỞ ISSN 1859 1531 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 5(114) 2017 Quyển 1 81 HAI PHƯƠNG PHÁP THAY THẾ ĐỐI TƯỢNG CÓ TRỄ TRONG BÀI TOÁN ĐIỀU K[.]

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 5(114).2017-Quyển 81 HAI PHƯƠNG PHÁP THAY THẾ ĐỐI TƯỢNG CĨ TRỄ TRONG BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU HỆ CÓ THAM SỐ PHÂN BỐ TWO METHODS REPLACE A DELAYED OBJECT IN OPTIMAL CONTROL PROBLEMS FOR A DISTRIBUTED PARAMETER SYSTEM Mai Trung Thái, Nguyễn Thị Mai Hương Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp, Đại học Thái Nguyên; maitrungthai@gmail.com, maihuongnguyen79@gmail.com Tóm tắt - Các đối tượng điều khiển có trễ thường gặp nhiều lĩnh vực khác công nghiệp, giao thông, vận tải, quân sự… Thông thường thiết kế điều khiển, đối tượng khâu quán tính bậc có trễ xấp xỉ hai khâu quán tính bậc nhất, điều thường dẫn đến sai số lớn thời gian trễ () lớn đáng kể so với số thời gian () Bài báo nghiên cứu so sánh độ xác lời giải thay đối tượng động học có trễ mơ hình xấp xỉ Taylor mơ hình xấp xỉ Pade bậc để giải toán điều khiển tối ưu cho hệ có tham số phân bố, có trễ Hệ áp dụng cho hệ thống truyền nhiệt phía lị gia nhiệt để điều khiển nhiệt độ cho phôi theo tiêu chuẩn nung xác Abstract - The delayed control objects often happen in many different fields such as industry, transport, transportation, military Normally, when designing the controller, if the object is the delayed first order inertia system which is approximated by two systems of the first order inertia, this often leads to the large error if the time delay () is significantly large compared to its time constant () This paper presents a study comparing the accuracy of the solution when replacing a delayed object by the Taylor and the first-order Pade approximation models to solve the problem of optimal control for a distributed parameter system with time delay (DPSTD) The system is applied to a one-sided heat-transfer system in a heating furnace to control temperature for a slab following the most accurate burning standards Từ khóa - điều khiển tối ưu; hệ tham số phân bố; có trễ; phương pháp số; xấp xỉ Taylor; xấp xỉ Pade Key words - optimal control; distributed parameter systems; delay; numerical method; Taylor approximation; Pade approximation Đặt vấn đề Phương pháp xấp xỉ Taylor phương pháp xấp xỉ Pade [1] phát triển từ lâu ứng dụng chủ yếu để tìm nghiệm phương trình đại số vi phân Phương pháp xấp xỉ Pade cho phép xấp xỉ hàm có nhiều ưu việt so với phép khai triển Taylor, đặc biệt với đối tượng có thời gian trễ () lớn đáng kể so với số thời gian () [5] Bài báo đưa hai dạng thay cho đối tượng có trễ mơ hình xấp xỉ Taylor mơ hình xấp xỉ Pade để giải tốn điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ; điển hình cho đối tượng có trễ với tham số phân bố trình truyền nhiệt Các thuật tốn kết mơ rằng, tùy theo mối quan hệ () () ta nên dùng dạng xấp xỉ hợp lý Các điều kiện đầu điều kiện biên cho [2], [3], [4], [5]: Đặt tốn điều khiển tối ưu 2.1 Mơ hình đối tượng Xét hệ thống truyền nhiệt phía lị gia nhiệt, hệ có tham số phân bố Q trình đốt nóng phía cho phơi lị gia nhiệt mơ tả phương trình đạo hàm riêng [2], [3], [4], [5]: a  q( x, t ) x  q( x, t ) t (1) Trong đó: q(x,t) phân bố nhiệt độ vật, phụ thuộc vào tọa độ không gian x (0  x   ) thời gian t (0  t  T ), a hệ số dẫn nhiệt độ - thông số đặc trưng cho tốc độ biến thiên nhiệt độ vật (m2/s),  bề dày (m), T thời gian nung cho phép (s) q  x,     q  x, t  x    q(0, t )  u (t ) (3) 0 (4) x 0 q  x, t  x (2) x  với  hệ số trao đổi nhiệt khơng gian lị vật (W/m2.độ);  hệ số dẫn nhiệt vật liệu (W/m.độ); u(t) nhiệt độ mơi trường khơng khí lị (°C) Quan hệ cơng suất cung cấp cho lị w(t) nhiệt độ lị u(t) thường gặp khâu qn tính bậc có trễ [2], [5] Khi quan hệ w(t) u(t) mơ tả phương trình:  du (t )  u (t )  kw(t   ) dt (5) Trong đó:  số thời gian lò (s);  thời gian trễ lò (s); k hệ số truyền tĩnh lị; w(t) cơng suất cung cấp cho lị (hàm điều khiển hệ thống) Nhiệt độ u(t) mơi trường khơng khí lị điều khiển công suất w(t), phân bố nhiệt q(x,t) vật điều khiển thông qua nhiệt độ môi trường không khí lị u(t), nhiệt độ lại điều khiển công suất w(t) Như vậy, thực chất phân bố nhiệt độ vật q(x,t) phụ thuộc vào công suất w(t) Mai Trung Thái, Nguyễn Thị Mai Hương 82 2.2 Phiếm hàm mục tiêu điều kiện ràng buộc Trong trường hợp toán đặt sau: Hãy xác định hàm điều khiển tối ưu w(t) (0  t  T ) cho làm cực tiểu phiếm hàm:  q *( x)  q( x,T ) dx  (6) Trong đó: q*(x) phân bố nhiệt mong muốn, cịn q(x,T) phân bố nhiệt độ vật thời điểm t = T, hiểu cuối trình gia nhiệt đảm bảo đồng nhiệt độ toàn vật nung Ràng buộc hàm điều khiển là: A1  w(t)  A2 Lời giải tốn Q trình tìm lời giải tối ưu bao gồm hai bước: - Bước 1: Tìm quan hệ q(x,t) tín hiệu điều khiển w(t) Đây việc giải phương trình truyền nhiệt (quan hệ u(t) q(x,t)) với điều kiện biên loại kết hợp với phương trình vi phân thường có trễ (quan hệ w(t) u(t)) Như chưa quan tâm tới tốn tối ưu ta tính trường nhiệt độ phơi biết cơng suất cung cấp cho lị (biết vỏ tìm lõi) - Bước 2: Tìm tín hiệu điều khiển tối ưu w*(t) Thay q(x,t) tìm bước vào phiếm hàm (6), sau tìm nghiệm tối ưu w*(t) phương pháp số, ta chuyển phiếm hàm mục tiêu cần cực tiểu thành việc cực tiểu hóa hàm nhiều biến 3.1 Tìm quan hệ q(x,t) tín hiệu điều khiển w(t) Để giải phương trình (1) với điều kiện đầu điều kiện biên (2), (3), (4) ta áp dụng phép biến đổi Laplace với tham số thời gian t Khi áp dụng phép biến đổi Laplace với tham số thời gian t phương trình vi phân đạo hàm riêng đưa phương trình vi phân thường biến x Biến đổi Laplace phương trình (1), ta được:  2Q( x, s) x ( s  1)U ( s )  k  sQ( x, s)  s  1U (s)  kW(s).e  s ( s  1)U ( s )  k W( s ) Hay Q ( x, s ) x 0 1 1   (10) x  Để giải toán này, [2] thay đối tượng có trễ (5) thỏa mãn điều kiện /  10 khâu quán tính bậc theo xấp xỉ Taylor, [5] thay đối tượng có trễ thỏa mãn điều kiện ≤  / < 10 khâu xấp xỉ Pade bậc 1, biến đổi Laplace phương trình (5) ta được: s (12) s U ( s)  L u(t ) ; W( s)  L w(t ) (13) Nghiệm tổng quát phương trình (8) là:  Q ( x, s )  C1 ( s ) sh     s  x   C2 ( s )ch   a   s  x  (14) a  với C1(s) C2(s) ẩn số cần tìm Từ điều kiện biên (9), (10) ta tính được: s  a U ( s ) sh C1 ( s )   s s s sh    ch  a a a s  a U ( s )ch C2 ( s )  s s s  sh    ch  a a a (15) (16) Thay (15), (16) vào (14) từ (11), (12) sau biến đổi ta kết quả: ▪ Hàm Q(x,s) theo Taylor: k ch(  x) Q( x, s )  W(s) (9) Trong đó: Sau biến đổi điều kiện đầu điều kiện biên (2), (3), (4), ta được: Q( x, s)   Q(0, s)  U ( s) x x 0 (11) ▪ Theo Pade 1, phương trình (5) trở thành: (8) Trong đó: Q( x, s)  L q( x, t )  W(s) 1 s (7) với A1 ; A2 tương ứng giới hạn giới hạn cơng suất cung cấp cho lị (W) a   s  1U ( s)  kW( s).e   s Hay  I [w(t )]  ▪ Theo Taylor, phương trình (5) trở thành: s a   s   s s  s  1  s  1   a sh   ch    a a     (17) Đặt k ch(  x) G ( x, s )  s a   s   s s a  s  1  s  1    sh a   ch a       Ta Q(x,s) = G(x,s) W(s) ▪ Hàm Q(x,s) theo Pade 1: (18) (19) ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 5(114).2017-Quyển s  s  W( s).k 1  ch(  x)   a  Q ( x, s )   (20)   s    s s  s  1 1  s    a sh   ch    a a       g ( x, t )    k k0 2   k0 Cosk0  x a  k0     (2   k0 ) Cosk0  Sink0  a  a a  2.k k1 Cosk1  s  s  k 1   ch(  x) a (21)   G ( x, s )     s    s s  s  1 1  s    a sh   ch     a a      (1   k1 )   i2   Cosk1 a    2 a  k1  a  k    i Cos i   (1  i )(1  (22) (23) Ta viết :   (   ) i )   .i a Sin   Sink1 a q( x, t )   g ( x, )w(t   )d (24) Hoặc: t  g ( x, t   )w( )d (25) Trong đó: g ( x, t )  L1 G( x, s) (26) Vì vậy, biết hàm g(x,t) ta tính phân bố nhiệt q(x,t) từ hàm điều khiển w(t) Muốn tìm q(x,t) biểu thức (25) ta cần tìm hàm (26) Dùng phép biến đổi ngược hàm G(x,s), ta có kết quả: ▪ Hàm g(x,t) theo Taylor: k k0 Cosk0 g ( x, t )  (1  k0  )(Cosk0 kk12 Cosk1 (1  k12 )(Cosk1 i 2   (  x)  a e k0 t  a  a  k0  a  Sink0 k1  a Sink1 ) a (  x) a     x a i    Cos a a i   e  i t  a k0  1/  ; k1  2/   e  )     Sin i  Cos i  a a a  .i a ▪ Hàm g(x,t) theo Pade 1:  -  thời gian trễ lò (s); -  số thời gian lò (s); - k hệ số truyền tĩnh lị i  i  a (29) • i nghiệm phương trình siêu việt:    Bi   (30) • Bi hệ số BIO vật liệu 3.2 Tìm tín hiệu điều khiển tối ưu w*(t) phương pháp số Để tìm w*(t) ta phải cực tiểu hoá phiếm hàm (6), tức là:  I [w(t )]  [q *( x)  q( x, T )]2 dx  (31)  T  Hay: I [w(t )]  q * ( x)  g ( x, T   )w( )d  dx  (32)   e  i t (27) k0  1/  ; k1  1/ -  bề dày (m); - a hệ số dẫn nhiệt độ (m2/s);  a i (  x)  (   ) -  hệ số truyền nhiệt từ khơng gian lị vào vật (W/m2.độ);   k12t  (1  i )(1  i )  với với i tgi  a 2k Cos  k1 t -  hệ số dẫn nhiệt vật (W/m.độ);  e Trong biểu thức (27), (28): t   (28) q(x,t) = g(x,t)  w(t)   k02t  x Từ (19), (22), theo lý thuyết tích chập ta có q( x, t )  e Đặt Ta được: Q(x,s) = G(x,s) W(s) 83   Như [2], [5] dùng phương pháp tích phân số Simson để số hóa tích phân phiếm hàm (32), đó: Khoảng khơng gian bề dày từ đến  ta chia làm n phần (n số chẵn) Khoảng thời gian từ đến T ta chia thành m khoảng (m số chẵn) Khi tốn tối ưu tìm w*j cho cực tiểu phiếm hàm: Mai Trung Thái, Nguyễn Thị Mai Hương 84 Hệ số BIO vật nung sau:   m  *  I [w]  F (w)   ci  q i  aij w j    i 0  j 0   n   (33)   60.0, 04   12  0.2 Đây vật dầy có hệ số Bi > 0,5 Ràng buộc hàm điều khiển là: A1  w j  A2 với ( j  0,1, , m) Bi  (34) Do tốn đặt tìm cực tiểu hàm (33) với n+1 biến wj tuân theo ràng buộc (34) Rõ ràng (33) hàm bậc hai biến wj ràng buộc (34) tuyến tính Bài toán trở thành toán quy hoạch bậc hai [2], [5] Với tốn tìm nghiệm phương pháp số sau số hữu hạn phép lặp Ta có  1200   15  10  80 Để tính tốn chế độ nung tối ưu, ta chọn số lớp không gian n = 6, số khoảng thời gian m = 36 Sau chạy chương trình, ta kết Hình w*(t) Mặc dù nghiệm toán quy hoạch bậc hai thu sau số hữu hạn phép lặp thuật tốn phức tạp thuật tốn phương pháp đơn hình cho tốn quy hoạch tuyến tính Vì thế, để đơn giản hố cách giải ta biểu diễn phiếm hàm mục tiêu dạng:  I [w(t )]  u(t)  q *( x)  q( x, T ) dx q(x,T) (35) Áp dụng tương tự trên, ta tính giá trị tích phân vế phải (35) là: I [w(t)]  L(w(t))   n m i 0 j 0  ci qi*   aij w j q(x,T) (36) Như ta thay việc tìm lời giải cho toán (33) với ràng buộc (34) việc cực tiểu hoá toán (36) với ràng buộc (34) Dùng phương pháp đơn hình giải tốn (36), ta nhận phương án tối ưu toán sau số hữu hạn phép lặp Hình Chế độ nung tối ưu với mẫu Diatomite (xấp xỉ theo Taylor,  = 80(s)) 4.1.2 Mô theo Pade Trong q trình mơ ta giữ ngun tất thông số vật lý đối tượng thơng số lị nhiệt, sau chạy chương trình ta kết hình Các kết mô Sau xây dựng thuật tốn lập chương trình điều khiển, chúng tơi tiến hành chạy chương trình mơ mẫu Diatomite hai trường hợp để kiểm chứng tính đắn thuật tốn 4.1 Trường hợp 1: đối tượng có trễ thỏa mãn điều kiện  /  10 4.1.1 Mô theo Taylor • Các thơng số vật lí vật nung  = 60 (W/m2.độ);  = 0,2 (W/m.độ); a = 3,6.10-7 (m2/s);  = 0,04 (m) • Các thơng số lò nhiệt  = 1200 (s);  = 80 (s); k = 0,3 • Phân bố nhiệt độ yêu cầu: q*(x) = 400°C • Thời gian nung cho phép: T = 5400 (s) • Giới hạn cơng suất: A1 = 1200 (W) • Giới hạn cơng suất: A2 = 2800 (W) • Giới hạn nhiệt độ lị: u(t )  6000 C • Giới hạn bề mặt vật nung: q(0, t)  5000 C Hình Chế độ nung tối ưu với mẫu Diatomite ( xấp xỉ theo Pade 1,  = 80(s)) 4.2 Trường hợp 2: đối tượng có trễ thỏa mãn điều kiện ≤  / < 10 Trong q trình mơ ta giữ nguyên tất thông số trường hợp 1, thay đổi thời gian trễ , trường hợp cho  = 150 (s), ta có: ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 5(114).2017-Quyển 6  1200    10  150 4.2.1 Mơ theo Taylor Sau chạy chương trình, ta kết Hình Hình 3: Chế độ nung tối ưu với mẫu Diatomite (xấp xỉ theo Taylor,  = 150(s)) 4.2.2 Mô theo Pade Sau chạy chương trình ta kết Hình 85 so với nhiệt độ đặt khoảng 0,7°C, cịn theo Pade sai lệch lớn khoảng 2°C, đối tượng có trễ thỏa mãn điều kiện /  10 dùng phép xấp xỉ Taylor có sai lệch nhỏ so với phép xấp xỉ Pade Hình Hình thời điểm t = T phân bố nhiệt độ lớp q(x,T) xấp xỉ 400°C, xấp xỉ theo Taylor sai lệch lớn so với nhiệt độ đặt khoảng 2°C, cịn theo Pade sai lệch lớn khoảng 0,5°C, đối tượng có trễ thỏa mãn điều kiện ≤ /