BÀI GIẢI ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2012 Môn thi TOÁN I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = EMBED Equation DSMT4 x3 – mx2 – 2(3m2 – 1)x + (1), m là tham[.]
ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2012 Mơn thi : TỐN I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) x – mx2 – 2(3m2 – 1)x + (1), m tham số thực 3 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 x2 cho x1.x2 + 2(x1 + x2) = Câu (1,0 điểm) Giải phương trình sin3x + cos3x – sinx + cosx = cos2x xy x 0 Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình (x, y R) 2 2 x x y x y xy y 0 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = /4 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I x(1 sin 2x)dx Câu (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng, tam giác A’AC vng cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a Câu (1,0 điểm) Cho số thực x, y thỏa mãn (x – 4) + (y – 4)2 + 2xy 32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2) II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần riêng (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC AD có phương trình x + 3y = x – y + = 0; đường thẳng BD qua điểm M ( ; 1) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+y–2z+10=0 điểm I (2; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo đường trịn có bán kính 2(1 2i) 7 8i Tìm mơđun số Câu 9.a (1,0 điểm): Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z + 1 i phức w = z + + i B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + = Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc d, cắt trục Ox A B, cắt trục Oy C D cho AB = CD = Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x y 1 z hai điểm A (1; -1; 2), B (2; -1; 0) Xác định tọa độ điểm M thuộc d 1 cho tam giác AMB vuông M Câu 9.b (1,0 điểm) Giải phương trình z2 + 3(1 + i)z + 5i = tập hợp số phức BÀI GIẢI Câu 1: 2 a) m= 1, hàm số thành : y = x3 – x2 – 4x + Tập xác định R 3 y’ = 2x – 2x – 4; y’ = x = -1 hay x = 2; y(-1) = 3; y(2) = -6 lim y lim y x x x y’ y + -1 CĐ + + + -6 CT Hàm số đồng biến (∞; -1) ; (2; +∞); hàm số nghịch biến (-1; 2) Hàm số đạt cực đại x = -1; y(-1) = 3; hàm số đạt cực tiểu x = 2; y(2) = -6 Đồ thị : y -1 x b) y’ = 2x2 – 2mx – 2(3m2 – 1) -6 y có cực trị ’ = m2 + 4(3m2 – 1) > 13m2 – > 2 m< hay m > 13 13 Gọi x1, x2 nghiệm y’ : x1x2 + 2(x1 + x2) = (nhận) Câu : sin3x + cos3x – sinx + cosx = cos2x sin3x – sinx + cos3x + cosx = cos2x 2sinxcos2x + 2cos2xcosx = cos2x cos2x = hay 2sinx + 2cosx = cos2x = hay sin( x ) 7 k 2 hay x = k 2 (với k Z) x = k hay x = 12 12 xy x 0 xy x 0 Câu 3: 2 2 x x y x y xy y 0 x y x y 1 0 xy x 0 xy x 0 hay y 2 x x y -(3m2 – 1) + 2m = 3m2 – 2m = m = (loại) hay m = 2 x x x x 0 hay x y y 2 x 1 x 1 x hay hay y 1 y 0 1 x y Câu 4: /4 I x(1 sin 2x)dx Đặt u = x du = dx dv = (1 + sin2x)dx, chọn v = x – cos2x /4 /4 /4 ( x cos x)dx = x sin x I = x( x cos x) 2 16 0 0 Câu 5: a a a D/ A/ C a AC , BC 2 2 A/ a a a a3 V 2 24 / C/ B/ H / 2 32 D Hạ AH vng góc A B tam giác ABA Chính d(A,BCD/) =h 1 a A B h 2 Ta có h a a 2 2 Câu 6: Ta có ( x 4) ( y 4) xy 32 ( x y ) 8( x y ) 0 x y 8 xy ( x y ) xy ( x y ) 3 A = x y 3( xy 1)( x y 2) = ( x y )3 xy 3( x y ) 3 A ( x y ) ( x y) 3( x y) 3 Đặt t = x + y ( t 8 ), xét f(t) = t t 3t f’(t) = 3t 3t 1 1 17 5 f’(t) = t = ; f(0) = 6, f(8) = 398, f( )= 2 17 5 1 Vậy giá trị nhỏ f(t) xảy t = 17 5 1 1 A f(t) Dấu xảy x = y x + y = hay x = y = 4 PHẦN RIÊNG A Theo chương trình Chuẩn Câu 7a: AC cắt AD A (-3; 1) Vẽ MN // AD (N AC) MN : 3x – 3y + = 4 Trung điểm MN : K ( ; ) 6 4 Vẽ KE AD (E AD) KE : ( x ) ( y ) 0 E (-2; 2) 6 E trung điểm AD D (-1; 3) Giao điểm AC EK : I (0; 0) I trung điểm BD B (1; -3) I trung điểm AC C (3; -1) 10 3 ; R2 = IH2 + r2 = + 16 = 25 Câu 8a: IH = d(I, (P)) = (S) : (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 3)2 = 25 Câu 9a : (2 + i)z + (1 + 2i)(1 – i) = + 8i (2 + i)z + + i – 2i2 = + 8i (7i 4)(2 i ) 3 2i (2 + i)z = 7i + z= (2 i)(2 i ) C Suy : w = z + + I = + 3i w 16 5 B Theo chương trình Nâng cao Câu 7b: I (d) I (t; 2t + 3) AB = CD t = 2t + 3 t = -1 hay t = -3 + t = -1 I (-1; 1) R = pt đường tròn : (x + 1)2 + (y – 1)2 = + t = -3 I (-3; -3) R = 10 pt đường tròn : (x + 3)2 + (y + 3)2 = 10 Câu 8b: Gọi M (2t + 1; -1 – t; t) thuộc (d) AMB vuông M AM = (2t; -t; t – 2) vng góc với BM = (2t – 1; -t; t) 6t2 – 4t = t = hay t = Vậy M (1; -1; 0) hay M ( ; ; ) 3 3 Câu 9b: z + 3(1 + i)z + 5i = = 9(1 + i)2 – 20i = -2i = (1 – i)2 3(1 i) (1 i) z= z = -1 – 2i hay z = -2 – i