Chương IV

Chương IV Lưu hành nội bộ Đại số 10 ÔN TẬP ĐẠI SỐ 10 (HỌC KỲ II) Chương IV §1 BẤT ĐẲNG THỨC I/ Các tính chất của bất đẳng thức Rdcba ∈∀ ,,, ta có 1) a > b ⇔ a+c > b+c (cộng 2 vế bất đẳng thức cùng 1 s[.]

Lưu hành nội Đại số 10 ÔN TẬP ĐẠI SỐ 10 (HỌC KỲ II) Chương IV §1 BẤT ĐẲNG THỨC I/ Các tính chất bất đẳng thức : ∀a, b, c, d ∈ R ta có : 1) a > b ⇔ a+c > b+c (cộng vế bất đẳng thức số) a > b+ c ⇔ a−c > b (chuyển vế) u c> ac > bc neá 3) a > b ⇔  (nhân hai vế số) u c< ac < bc neá a > b ⇒ a+c >b+d 4)  c > d a > b > ⇒ ac > bd 5)  c > d > 6) Với n nguyên dương: a > b ⇔ a2n+1 > b2n+1 a > b>0 ⇒ a2n > b2n 7) Nếu b>0 a>b ⇔ a > b ; a>b ⇔ a > b a > b ⇒a>c 8)  (bắc cầu) b > c 1 ab>  a < b neáu 9) a > b ⇔   > neáu ab<  a b 10) a > b > ⇒ an > bn ( n∈ N + ) 11) a > b > ⇒ n a > n b ( n ∈ N + ) a +b (Với ∀a, b ≥ ) a +b ab = xảy a = b ab ≤ 12) Bất đẳng thức Cô – Si: Đẳng thức Chú ý: Khơng có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức chiều PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp chung: Trang - - Lưu hành nội Đại số 10 II/ Bài tập áp dụng: Bài 1: Chứng minh a) Nếu a,b ≥ a+b ≥ ab b) Chứng minh a2+b2-ab ≥ Khi đẳng thức xảy Giải a) Cách 1: ta có a+b ≥ ab  a+b- ab ≥  ( a − b )2 ≥ với a,b ≥ Dấu '=' xảy a = b Cách 2: ta biết ( a − b )2 ≥ ∀a, b ≥ ⇒ a+b- ab ≥ ⇒ a+b ≥ ab ⇒ đpcm b 3b 2 b) Ta có: a2+b2-ab = a + b + b − ab = (a- ) + ≥ ∀a, b ∈ R 4 b  a− =0  a =  ⇔ dấu '=' xảy   ⇒ đpcm b = 3b =   Bài 2: cho hai số a, b> Chứng minh a b + ≥2 b a Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a b , > ,ta có: b a a b a b a b + ≥ = ⇔ + ≥ => đpcm b a b a b a Bài 3: Chứng minh với a,b>0 (a+b)(ab+1) ≥ 4ab Giải Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a,b>0 ta có: a+b ≥ ab (1) Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ab,1>0 ta có: ab + ≥ ab (2) Nhân (1) với (2) ta được: (a+b)(ab+1) ≥ 4ab => đpcm 1 Bài 4: Tìm Giá trị nhỏ hàm số y= + với 00 nên Áp dụng bđt Cơ-si cho hai số dương ta được: x 1− x 1 ≥ 1 = y= + x 1− x x 1− x x(1− x) x + (1− x) ≥ x(1− x) ⇒ ≤ mà x + (1− x) y= x(1− x) 1 1 1 ≥2 =2 ≥2 =4 + x 1− x x + (1− x) x (1 − x ) x 1− x Trang - - Lưu hành nội Đại số 10 1 1  = 1 ⇒ y= + ≥ Dấu "=" xảy ⇔  x 1− x ⇔ x = x 1− x ∀x ∈ (0;1)  1 + x = x 1− x Bài 5: Tìm giá trị nhỏ hàm số y= + với 0 x x −1 Bài 11: Cho a, b, c, d ≥ Chứng minh: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1) ≥ 32abcd HD: Áp dụng bđt Cô-si cho: abc 2; bc 2; a d; d a b c Bài 12: Cho a,b,c >0 CMR : (1 + )(1 + )(1 + ) ≥ b c a a b c HD: Áp dụng bđt Cô-si cho 1, ; 1, ; 1, b c a Bài 13: Với a,b,c,d không âm CMR : (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≥ 16abcd b Bài 14: Cho a,b,c > CMR : ca + ≥ ab c 1 Bài 15: Cho a,b,c > CMR : (a+b+c)( + + ) ≥ a b c 1 Bài 16: Cho a,b > CMR : (a+b)( + ) ≥ a b §2 Bất phương trình hệ bất phương trình ẩn I/ Các dạng bất phương trình thức:  A≥ A< B⇔   A< B  A≥  A< B⇔  B>  A < B2    A≥   B<  A> B⇔   B≥    A > B2 ;  A≥ A≤ B⇔   A≤ B ;  A≥  A≤ B⇔ B≥  A ≤ B2    A≥   B≤  A≥ B⇔   B≥    A ≥ B2 ; A < B ⇔ A< B * Giải hệ gồm bất phương trình bậc dạng Trang - - Lưu hành nội Đại số 10 pt(1) Baát (I)  Baát pt(2) B1 : Giải bất phương trình (1) => Tập nghiệm S1 B2 : Giải bất phương trình (2) => Tập nghiệm S2 B3 : Tập nghiệm S hệ (I) S = S1 ∩ S2 II/ Bài tập áp dụng: * Bài 1: Giải bất phương trình sau a) 2x+3 > x+7  x > => tập nghiệm T=(4; + ∞) b) 2x-10 ≥ 3x-2  -x ≥  x ≤ −8 => T=( − ∞;−8] * Bài 2: Giải bất phương trình sau a) ( x + 2)(2 x − 1) − ≤ x + ( x − 1)( x + 3) Đáp án: x≤1 b) x2 + x + x2 + x > x2 + x +1 Đáp án: x x − x + * Bài 3: Giải bất phương trình sau 5x + − x x 4−3 3− x a) −1 > − 4 ≥1 b) x −1 17 c) x + > x+ * Bài 4: Giải bất phương trình sau: a/ x − x + > x + ; x < 1/8 b/ − x < x + c/ − x < x + Đáp án: x> ¼ Đáp án: 1/3 x −  4x − ≥ − x a)  b)  4 x + < 3x +  x + ≤ 12 − x d/ 2 x + > 3x + d)  5 x + ≥ x −  x − < x − 15  e) 8 x − ≥ x − 2 x + < x +  5 x − > x + c)  5 x − < x + x  x +1 x + − > 2+  f)   x + > x − §3 Dấu nhị thức bậc I/ Các bước xét dấu biểu thức : B1 : Đưa biểu thức cho dạng ax+b dạng tích thương nhị thức bậc B2 : Tìm nghiệm nhị thức bậc B3 : Xét dấu tất nhị thức bảng xét dấu B4 : Tổng hợp => kết luận * Ví dụ : xét dấu f(x) = 2x+3 Giải Đặt f(x)=0  2x+3=  x = − Trang - - Lưu hành nội x f(x) − ∞ − Đại số 10 + ∞ + II/ Xét dấu biểu thức quy tích thương nhị thức bậc Phương pháp: ta xét dấu nhị thức bậc bảng xét dấu,sau tổng hợp dấu lại ta dấu biểu thức * Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức A=(x-2)(5-3x) Giải Đặt x-2=0 x= 5-3x= 0 x = lập bảng xét dấu: x − ∞ 53 + ∞ x-2 5-3x A + - 0 - + + - 5 A <  x ∈ (−∞ ; ) ∪ (2;+∞) ; A >  x ∈ ( ;2) ; A= ⇔ x=2; 5/3 3 (2 x − 1)(3 − x ) * Ví dụ 2: xét dấu biểu thức B = x − 17 Vậy III/ Giải bất phương trình (có ẩn mẫu số) quy tích, thương nhị thứ bậc Để giải phương trình dạng ta xét dấu biểu thức dạng tích thương nhị thức bậc Sau kết hợp với chiều bất phương trình ta tìm tập nghiệm bất phương trình ( phần khơng lấy gạch bỏ) Các bước giải bất phương trình bậc : B1 : Đưa bất phương trình dạng f(x)>0 f(x) tập nghiệm Ví dụ : Giải bất phương trình sau 3x − −4 >1 < a) b) x−2 3x + − x Giải a) Ta biến đổi tương đương bất phương trình cho 3x − 3x − 2x − > 1 −1 > ⇔ >0 x−2 x−2 x−2 đặt 2x-2 =  x=1 x-2 =  x = x −∞ 2x − xét dấu biểu thức f(x)= 2x-2 x−2 x-2 S= (−∞ ;1) ∪ (2;+∞) f(x) + 0 // b) Ta biến đổi tương đương bất phương trình cho − x − 11 −4 −4 x − b) ≥ − x 2x + d) | ( − 3) x + |≤ + −4 x + ≤ −3 e) ( − x+2)(x+1)(2x−3)>0 f) 3x + Đáp số: a) S=(−1;2] ∪ [3;+∞) b) S=(−∞;−1/2) ∪ [2/11;1) c) S= (−∞;1) d) [−5−2 + + 2; 5+2 + + ] e) S=(−∞;−1) ∪( ;3/2) f) S=[−4/5;−1/3) §4 Bất phương trình bậc hai ẩn * Ví dụ 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm bất PT: a) x-3y < -3 b) x-2y > Ta có: x-3y < -3  x-3y+3 < (1) Vẽ đường thẳng x-3y+3= y x-3y+3=0 -3 x Thay O(0;0) vào (1)⇒ 3 vẽ đồ thị đường thẳng x-2y = , thay (0;1) vào vế trái ta VT= -2 > (!) => miền chứa (0;1) miền nghiệm y 1/2 x Bài 1: Giải bất phương trình bậc hai ẩn a) x+3 +2(2y+5) < 2(1-x) c) 2x-y≤ b) 4(x-1) + 5(y-3) > 2x-9 d) 3+2y >0 (1) x − y >  *Ví dụ 2: Biểu diễn hình học tập nghiệm hệ bất PT: a/  x − y < −3 (2) x + y > (3)  Giải Trang - - Lưu hành nội Đại số 10 Ta vẽ đường thẳng (d1): x-y= (d2): x-3y+3= (d3): x+y-5= (d3) (d1) -3 (d2) I x Miền I miền nghiệm b/  x > Giải hệ  y >  x + y > Giải Vẽ đường thẳng : (d1): x= y (d2): y= (d3): x+y= S x -1 Bài 2: Giải hệ bất phương trình hai ẩn: x y 2 + −1 ≥  3y  ≤4 b) 2( x − 1) +  x ≥   x − y >  a)  x − y < −3 x + y >  3 x + y ≥ x ≥ y −  c)  2 y ≥ − x  y ≤ d) { 3− y < 2x − 3y + > §5 DẤU TAM THỨC BẬC HAI I/ Xét dấu tam thức: *Ví dụ 1: xét dấu tam thức sau a) f(x) = 3x2-2x+1 b) f(x) = -4x2+12x-9 c) f(x) = x2-4x-5 Giải a) cho f(x) =  3x2-2x+1 = tính ∆' = -2 < f(x) > ∀ x b) cho f(x) =  -4x2+12x-9 = tính ∆' = Trang - - Lưu hành nội Đại số 10 f(x) < ∀x ≠ 2 c) cho f(x)= 0 x -4x-5 = tính ∆' = => x1=-1 ;x2 = - ∞-1 x + f(x) _ +∞ + f(x) > ∀x ∈ (−∞ ;−1) ∪ (5;+∞) f(x) < ∀x ∈ (−1;5) f(x) = x= -1 , x = *Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức sau A = (2x2+9x+7)(x2+x-6) Giải  x1 = −1 Đặt 2x +9x+7 =    x2 = −   x1 = x2+x-6 =    x = −3 -∞ x x2+9x+7 x2+x-6 A + + + -3 -1 +∞ - + + + -0+ - + - 0+ II/ Bất phương trình bậc hai Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai bất phương trình có dạng sau: ax2+bx+c > ; ax2+bx+c < ; ax2+bx+c ≤ ax2+bx+c ≥ ( a ≠ 0) Cách giải: Để giải bất phương trình bậc hai ta xét dấu tam thức bậc hai , kết hợp với chiều bất phương trình ta tìm nghiệm bất phương trình Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau a) 3x2+2x+5 > S=R b) -2x +3x+5> S=(-1;5/2) c) -3x2+7x-4 < S=(-∞;1) ∪(4/3;+∞) d) 4x -3x+1 b) B = −2 x − x + − x − 3x + 10 Ví dụ Xác định m để phương trình x2+2(m+2)x-2m-1=0 có nghiệm HD: ∆ ' =m2+6m+5≥ ⇔ m≤−5 m≥−1 * Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2 thì: x1< < x2  P < (hai nghiệm trái dấu) Trang - 10 -  x1 ≤x2 <   ∆ ≥ S <  ( hai âm) P >  < x1 ≤ x2   ∆ ≥ (hai dương) S >  a > f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ a < f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ Bài 1: Cho phương trình mx −2(m−1)x+4m−1=0 Tìm m để phương trình có: a) Hai nghiệm phân biệt b) Hai nghiệm trái dấu c) Hai nghiệm dương d) Hai nghiệm âm HD: ∆' = −12 m −4 m +4 =0 ⇔ m = −1 ± 13 Bài 2: Tìm m để phương trình sau nghiệm với x a) mx2−4(m−1)x+m−5≤ ∆= 12 m − 12 m + 16 b) 5x2−x+m> ∆= −20m+1 c) mx −10x−5 c) sin(α+2π/5) > d) cos(α−3π/8) > 4) Tính α biết : a) cos α = ⇒ α =k2π b) cos α =−1 ⇒ α =−π + k2π c) cos α = ⇒ α =π/2 +k π d) sin α = ⇒ α = π/2 +k2π e) sin α =−1 ⇒ α =−π/2 +k2π f) sin α = ⇒α = k π 5) Chứng minh đẳng thức sau : a) tg2x − sin2x = tg2x.sin2x c) + sin x − sin x b) = + 2tg x d) tgx sin x − = cos x sin x cot gx cos x − sin x 2 cot g x − tg x = sin x cos x 6) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x : a) A = 2cos4x−sin4x+sin2xcos2x+3sin2x Biến đổi theo cos (hoặc theo sin ) ta có : sin2x = 1−cos2x ;sin4x =(1−cos2x)2 Thay tính A = b) B = (cotgx+tgx)2−(cotgx−tgx)2 Khai triển đẳng thức ta tính B = c) C = cot gx + + tgx − cot gx − Biến đổi tg = 1/cotg vào tính C =−1 d) D = sin x + cos x + cos x + sin x Trang - 14 - Lưu hành nội Đại số 10 2 2 2 = (1 − cos x) + cos x + (1 − sin x) + sin x = (1 + cos x) + (1 + sin x) =| + cos x | + | + sin x | = ( 1+cos2x,1+sin2x > 0, ∀ x ) 7) Tính giá trị lượng giác cung α biết : a) sin α = 1/3 ⇒ cos α = ± 2 b) cos α =2/ −π/2 < α < ⇒ sin α = − / c) tg α = −2 π/2 < α < π ⇒ cos α = − / d) cotg α = π < α < 3π/2 ⇒ sin α = −1 / 10 e) sin α = cos α < ⇒ cos α = − 5 15 π f) cos α = − < α < π ⇒ sin α = 17 17 8) Rút gọn biểu thức sau : a) A = cos(π/2 + x) + cos(2π−x) + cos(3 π + x) = −sinx b) B = 2cosx−3cos(π−x) + 5sin(7π/2−x) + cotg(3π/2−x) = tgx c) C = sin( π 3π π + x) + sin(5π − x) + sin( + x) + cos( + x) = cosx 2 d) D = cos(5π − x) −sin( 3π 3π + x ) +tg ( − x ) + cot g (3π − x ) = 2 9) Chứng minh tam giác ABC ta có : a) sin(A+B) = sinC b) cos(A+B) = − cosC c) sin A+ B C =cos 2 d) cos A+ B C =sin 2 10 Chứng minh đẳng thức sau a) cos4 α -sin4 α =2cos2 α -1 HD: cos α - sin4 α = ( cos α − sin α )( cos α + sin α ) = cos α − (1 − cos α ) = cos α − − b) – cot α = (nếu sin α ≠ ) sin α sin α  cos α  cos α  2 1 −  HD: − cot α = (1 + cot α )(1 − cot α ) = 1 + sin α  sin α    sin α + cos α  sin α − cos α     =  =  sin α sin α     sin α = 2   sin α − (1 − sin α )    sin α   2 sin α − − = sin α sin α sin α + sin α = + tan α (nếu sin α ≠ ±1 ) − sin α sin α + cos α + sin α sin α + cos α HD: VT = = = tan α + 2 cos α cos α 11 CM biểu thức không phụ thuộc α a) A = sin α + cos α + cos α + 4sin α c) HD: A= = sin α + 4(1 − sin α ) + cos α + 4(1 − cos α ) ( − sin α ) + (2 − cos 2 α) = − sin α + − cos α =3 Trang - 15 - Lưu hành nội 6 4 b) B = ( sin α + cos α ) − ( cos α + sin α ) Đại số 10 HD: B= (sin α ) + ( cos α ) +(cos2 α )2 + (sin2 α )2 B1 = ( sin α + cos α ) ( sin α − sin α cos α + cos α ) = (sin2 α +cos2 α )2 - 3sin2 α cos2 α = – 3sin2 α cos2 α ⇒ 2B1 = – sin2 α cos2 α B2 = (cos2 α )2 +2sin2 α cos2 α + (sin2 α )2 –2sin2 α cos2 α =(cos2 α + sin2 α )2–2 sin2 α cos2 α = – sin2 α cos2 α ⇒ −3B2 = –3 + sin2 α cos2 α ⇒ B = – sin2 α cos2 α – + sin2 α cos2 α = – 12 Tính 25π 25π  25π  + cos  a) A = sin + tan  − Đáp số: A=   b) Biết sin ( π + α ) = − Tính : B1 = cos( 2π − α ) ;Tính B2 = tan ( α − 7π ) 2 =± Đáp số: B1 = ± ; B2 = tan α = ± 13 Biết sin α − cos α = m Tính P = sin α − cos α HD: P = (sin α − cos α )(1 + sin α cos α ) (*) (do sin2 α + cos2 α = 1) ( sin α − cos α ) = sin α − 2sin α cos α + cos α = - sin α cos α 3 ⇒sin α cos α = − ( sin α − cos α ) 2  1− m2 −m2 (1)⇒P = m 1 + = 2    = m   − m2      § CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC BÀI TẬP Áp dụng Bài : Tính giá trị lượng giác cung có số đo a) 150 = 450−300 b) 5π/12 = π/4 +π/6 Bài : a) Biết sin α =3/5 π/2 < α < π Tính tg(α+π/3) HD : Tính cos α = −4/5 ⇒ tính sin(α+π/3) = …=(3−4 )/10 ; cos(α+π/3)=(−4−3 )/10 ⇒tg(α+π/3) = sin(α + π / 3) cos(α + π / 3) b) Biết sina=4/5 00 < a < 900, sinb = 8/17 (900 < b < 1800) Tính cos(a+b), sin(a−b) HD : tính cos a = 3/5, cosb=−15/17 ⇒ cos(a+b)= , sin(a−b) = c) Cho hai góc nhọn a b với tga = ½,tgb = 1/3 Tình a + b tga + tgb HD : tính tg(a+b) = = ⇒ a+b = π/4 − tga.tgb d) Biết tg(α+π/4) = m với m ≠ −1 Tính tg α HD : tg(α+π/4)=(1+tga)/(1−tga) = m ⇒ (m+1)tga = m−1 ⇒ tga = (m−1)/(m+1) Bài : Chứng minh : a) sin(a+b).sin(a−b) = sin2a−sin2b = cos2b−cos2a HD : VT = (sina.cosb+cosa.sinb)(sina.cosb−cosa.sinb)=(sina.cosb)2−(cosa.sinb)2 = sin2a.cos2a−cos2a.sin2a ⇒ biến cos2a = 1−sin2a sin2a = 1− cos2a ⇒… b) cos(a+b).cos(a−b) = cos2a−sin2b = cos2b−sin2a HD : cos(a+b).cos(a−b) = cos2acos2b − sin2asin2b Bài : a) Cho a−b = π/3 Tính giá trị biểu thức sau : A = (cosa+cosb)2 + (sina+sinb)2 Trang - 16 - Lưu hành nội HD : khai triển đẳng thức ⇒A = 2+2(cosa.cosb+sina.sinb) =2+2cos(a−b) Đại số 10 B = (cosa+sinb)2+ (cosb−sina)2 HD : B = 2−2sin(a−b) b) Cho cosa = 1/3 cosb = ¼ Tính cos(a+b)cos(a−b) HD : cos(a+b).cos(a−b) = cos2acos2b − sin2asin2b Bài : Chứng minh tam giác ABC ta có a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC (với điều kiện tam gíc ABC khơng phải tam giác vng ) tgA + tgB Ta có : tgC = tg[π−(A+B)] = −tg(A+B) =− − tgA.tgB ⇒ tgC−tgAtgBtgC = tgA+tgB b) tg A B B C C A tg + tg tg + tg tg = 2 2 2 C π A B A B Ta có : tg = tg[ − ( + )] = cot g ( + ) = 2 2 2 Bài : Tính cos2α ,sin2α ,tg2α biết ; a) cos α = −5/13 π < α