Slide 1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần 3 Đạo hàm theo hướng Định nghĩa Cho hàm f xác định trong lân cận M0 và một hướng cho bởi vector a Đạo hàm của f theo hướng tại M0 a 0 0 0 0 m li t f M f t M a f M a[.]
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Phần Đạo hàm theo hướng Định nghĩa: Cho hàm f xác định lân cận M0 hướng cho vector a Đạo hàm f theo hướng a M0: f f M a M a f li m t M t a f M t tốc độ thay đổi f theo hướng a Ý nghĩa hình học đạo hàm theo hướng Xét đường cong f M a f li m t z t M f t a M f M t z li m t L :z t ta z t hệ số góc tiếp tuyến đường cong L M0 Sơ đồ Matlab để vẽ tiếp tuyến S :z f x, y , M ,a x0 , y0 a1 , a Vẽ mặt cong S khu vực xung quanh M0 M0 Vẽ đường cong x x0 ta1 , y L :z t y0 f ta , z M f x0 ta ta1 , y ta Vẽ tiếp tuyến với L M0 Lưu ý: tiếp tuyến qua M0 nhận phương u a1 , a , z làm vector Định lý (cách tính đạo hàm theo hướng) Nếu hàm f khả vi M0, e e1 , e vector đơn vị, đạo hàm theo hướng e M0 tồn tại, đó: f M e f M x f e1 M y Hàm biến tính tương tự e2 Cơng thức tổng qt a vector tùy ý: f M a f M x f a1 a M y a2 a (hàm biến) f M a f M x a1 a (hàm biến) f M y a2 a f M z a3 a Ví dụ Tìm đạo hàm theo hướng dương trục Ox điểm (-2,1) hàm số f (x, y) xy 2 2x y Vector đơn vị theo hướng dương Ox là: e f ,1 e fx 1, ,1 1 fy ,1 Tìm đạo hàm theo hướng M ,1, a a f M a f e1 x xz 3y z e1 , e , e 3 1,1, x, y, z 1,1, fx M a fy M e fz M e 15 3 Ví dụ 1/ Khai triển Taylor đến cấp lân cận (1, 1), cho z = f(x, y) = xy fx yx f xx , fy y(y f yy d y x y ln f (1,1) x 1) x y y , ln x f xy d f (1,1) x y x yx x x 2 x y y y y ln x , d f (1,1) d z x f (1,1) y x f (x, y) 2 x y d f (1,1 ) f (1,1) y d 1! z x 1! (x x y o( f (1,1) 2! ) 2! 1) (x 1) ( y 1) o( ) o( ) Ví dụ 2/ Viết kt Maclaurin đến cấp cho z f (x, y) x y xy Đặt u = x + y – xy, kt z theo u đến u2 z 1 u u 2 o (u ) u (x x y y xy ) x (x y xy y xy ) o( 2 o (u ) ) Ví dụ 3/ Viết kt Taylor đến cấp với (x0, y0) = (0,1) cho z f (x, y) e x xy Đặt X = x, Y = y – 1, z e X (X X XY X X X 2 XY XY ) (X X XY ) o( ) ... x yx x x 2 x y y y y ln x , d f (1, 1) d z x f (1, 1) y x f (x, y) 2 x y d f (1, 1 ) f (1, 1) y d 1! z x 1! (x x y o( f (1, 1) 2! ) 2! 1) (x 1) ( y 1) o( ) o( ) Ví dụ 2/ Viết kt Maclaurin đến cấp... Ví dụ 1/ Khai triển Taylor đến cấp lân cận (1, 1) , cho z = f(x, y) = xy fx yx f xx , fy y(y f yy d y x y ln f (1, 1) x 1) x y y , ln x f xy d f (1, 1) x y x yx x x 2 x y y y y ln x , d f (1, 1) d... ,1 e fx 1, ,1 1 fy ,1 Tìm đạo hàm theo hướng M ,1, a a f M a f e1 x xz 3y z e1 , e , e 3 1, 1, x, y, z 1, 1, fx M a fy M e fz M e 15 3 Vector Gradient i , j ,k Gọi vector đơn