97 ĐỊNH LÝ VỀ DẤU CỦA BàI ToÁN ĐỐI NGẪU Trần Văn Sự1 Tóm tắt Mục đích của bài báo là giới thiệu một số mô hình đối ngẫu của cặp bài toán đỗi ngẫu (G, D) và thiết lập một số định lý về dấu của chúng 1[.]
ĐỊNH LÝ VỀ DẤU CỦA BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU Trần Văn Sự1 Tóm tắt: Mục đích báo giới thiệu số mơ hình đối ngẫu cặp toán đỗi ngẫu (G, D) thiết lập số định lý dấu chúng Mở đầu Hiện vấn đề lý thuyết đối ngẫu dạng tốn quy hoạch tuyến tính cho sinh viên ngành kinh tế kỹ thuật nói chung mà nhiều giáo trình viết hình thức rập khn, chưa rõ ràng dạng đối ngẫu mô hình cụ thể nữa, trình dạy học, số vấn đề mà sinh viên hay mắc phải không tự tin chuyển đổi toán dạng “min” sang toán dạng “max” ngược lại, lỗi lớn dẫn đến chuyển đổi sai lệch toán gốc sang tốn đối ngẫu, khơng xác định rõ ràng dấu biến ràng buộc dấu toán gốc toán đối ngẫu tương ứng Bài báo theo trình tự đưa cụ thể mơ hình đối ngẫu sơ đồ đối ngẫu, định lý dấu cho cặp toán gốc, toán đối ngẫu Hi vọng báo giúp sinh viên ngành khơng chun tốn trường đại học cao đẳng nắm bắt vấn đề cách hiệu quả, dễ dàng, sâu hơn, đặc biệt tự tin trình học tập Nội dung Một tốn Quy Hoạch tuyến tính dạng tổng quát thường mang nhiều dấu ràng buộc biến ràng buộc bất phương trình Vì vậy, chuyển sang đối ngẫu chúng mang nhiều dấu cho ràng buộc biến ràng buộc bất phương trình Chúng ta biết đối ngẫu toán gốc (G) toán (D), đối ngẫu toán gốc (D) lại tốn (G) Vì toán “max” phải xác định dạng đối ngẫu chúng mà ràng buộc chúng mang nhiều dấu, vậy, tốn đối ngẫu “min” tương ứng có nhiều dấu cho biến ràng buộc bất đẳng thức Chính vậy, việc xác định dấu xác cho toán đối ngẫu tương ứng nhiệm vụ xem khó khăn cho sinh viên ngành Kinh tế kỹ thuật Chính lẽ cần phải thiết lập quy tắc dấu tương ứng cho cặp toán (G, D) Trong báo này, quy tắc dấu thiết lập dựa vào cách quay chiều hay ngược chiều với kim đồng hồ góc quay 90 Bây ký hiệu ma trận sau: ThS Khoa Toán, trường ĐH Quảng Nam 97 ĐỊNH LÝ VỀ DẤU CỦA BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU với θt ma trận gồm t hàng, cột X T ma trận chuyển vị ma trận X Định nghĩa quan hệ thứ tự “ f ” sau: Xét tốn Quy Hoạch tuyến tính tổng qt dạng: Ba toán gọi theo thứ tự toán gốc (G1) (G2) (G3) Bài toán đối ngẫu toán (Gi), i = 1, 2, theo thứ tự ký hiệu (Di), i = 1, 2, Các dạng toán đối ngẫu định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1: Bài toán đối ngẫu (D1) có dạng Định nghĩa 1.2: Bài tốn đối ngẫu (D2) có dạng Định nghĩa 1.3: Bài tốn đối ngẫu (D3) có dạng ký hiệu " >< 0" y không mang dấu 98 Trần Văn Sự Ký hiệu (G, D) hiểu (G) toán gốc (D) toán đối ngẫu toán gốc (G) Hơn nữa, xem xét cặp (G, D) ta quy ước toán “min” sử dụng biến x toán “max” sử dụng biến y Các mơ hình đối ngẫu cặp tốn gốc (G), đối ngẫu (D): A Mơ hình 1: Mơ hình đối ngẫu cặp tốn (G1, D1) B Mơ hình 2: Mơ hình đối ngẫu cặp toán (G2, D2) 99 ĐỊNH LÝ VỀ DẤU CỦA BÀI TỐN ĐỐI NGẪU C Mơ hình 3: Mơ hình đối ngẫu cặp toán Nhận xét 1: Đối với toán đối ngẫu (D1) dạng “max” quay tất dấu " ≥ " tất biến ràng buộc x chỗ góc 900 theo chiều ngược kim đồng hồ đồng loạt dấu ràng buộc bất đẳng thức tương ứng với biến x “۸\” toán đối ngẫu (D1) Đối với tốn gốc (G1) dạng “min” dấu y chiều với dấu ràng buộc bất đẳng thức toán gốc (G1) Nhận xét 2: Đối với toán đối ngẫu (D2) dạng “max” quay tất dấu " ≥ " tất biến ràng buộc x chỗ góc 900 theo chiều ngược kim đồng hồ đồng loạt dấu ràng buộc bất đẳng thức tương ứng với biến x “۸\” toán đối ngẫu (D2) Đối với toán gốc (G2) dạng “min” dấu y chiều với dấu ràng buộc bất đẳng thức toán gốc (G2) Nhận xét 3: Đối với toán đối ngẫu (D3) dạng “max” quay tất dấu "≥" tất biến ràng buộc x chỗ góc 900 theo chiều ngược kim đồng hồ đồng loạt dấu ràng buộc bất đẳng thức tương ứng với biến x “۸\” toán đối ngẫu (D3) Đối với toán gốc (G3) dạng “min” y khơng mang dấu Định lý dấu cặp toán gốc - đối ngẫu (G, D) phát biểu hình thức ghi nhớ sau: Định lý 1: Cho trước cặp toán đối ngẫu (G, D) Khi dấu ràng buộc biến toán dạng “min” mang dấu quay chỗ quay ngược chiều kim đồng hồ góc 900 có dấu trùng với dấu ràng buộc bất đẳng thức tương ứng với biến đó, trường hợp ràng buộc biến khơng mang dấu ràng buộc bất đẳng thức tương ứng với biến mang dấu “=” 100 Trần Văn Sự Chứng minh: Trong chứng minh này, cần ý biến x sử dụng cho toán “min” biến y sử dụng cho toán “max” Trong phát biểu tất định lý thuật ngữ “khi quay chỗ” ta hiểu quay dấu tất ràng buộc bất đẳng thức quay dấu tất ràng buộc biến xác định x Chúng ta dễ dàng thấy điều sau rằng: Khi dấu x " ≥ " quay ngược kim đồng hồ góc 90 độ có “۸\” Áp dụng định nghĩa đối ngẫu cho toán gốc toán “min”, biến ràng buộc xj ≥ 0, j ∈ {1,2, ,n} ràng buộc bất phương trình mang dấu " ≤ ", nên theo cách thiết lập sơ đồ đối ngẫu ràng buộc bất đẳng thức tương ứng với biến mang dấu “۸\” Trường hợp toán gốc toán “min”, biến ràng buộc xj ≤0, j ∈ {1,2, ,n} ràng buộc bất phương trình mang dấu " ≥ ", nên theo cách thiết lập sơ đồ đối ngẫu ràng buộc bất đẳng thức tương ứng với biến mang dấu “ v/ ” Trường hợp toán gốc toán “min”, biến ràng buộc xj >< 0, j ∈ {1,2, ,n} ràng buộc bất phương trình mang dấu “=”, nên áp dụng ký hiệu dễ dàng kết Trường hợp tốn gốc tốn “max” khơng cần phải chứng minh Định lí 2: Cho trước cặp tốn đối ngẫu (G, D) Khi dấu ràng buộc bất đẳng thức toán dạng “max” mang dấu quay chỗ quay chiều kim đồng hồ góc 900 có dấu trùng với dấu ràng buộc biến tương ứng với bất đẳng thức đó, trường hợp ràng buộc bất đẳng thức mang dấu “=” ràng buộc biến tương ứng với bất đẳng thức khơng mang dấu Chứng minh: Dễ dàng có từ chứng minh định lí Định lý 3: Cho trước cặp tốn đối ngẫu (G, D) Khi dấu ràng buộc biến toán dạng “max” dấu với ràng buộc dấu bất đẳng thức tương ứng với biến đó, riêng ràng buộc biến khơng mang dấu ràng buộc đẳng thức tương ứng với biến mang dấu “=” Chứng minh: Điều hiển nhiên suy trực tiếp định nghĩa Ứng dụng cho số toán cụ thể: Trong phần đề xuất chuyển đổi mơ hình ban đầu tốn “min” chuyển sang mơ hình tốn đối ngẫu tốn “max” ngược lại, mơ hình ban đầu tốn “max” chuyển sang mơ hình đối ngẫu tốn “min” phương pháp trực quan nêu định lí 1,2,3 Xét tốn Quy hoạch tuyến tính sau 101 ĐỊNH LÝ VỀ DẤU CỦA BÀI TỐN ĐỐI NGẪU Vận dụng định lí 1, ta có mơ hình đối ngẫu tốn ban đầu Từ mơ hình dễ dàng suy mơ hình tốn học tốn đối ngẫu Xét tốn Quy hoạch tuyến tính sau Vận dụng định lí 1, ta có mơ hình đối ngẫu tốn ban đầu Từ mơ hình dễ dàng suy mơ hình tốn học tốn đối ngẫu 102 Trần Văn Sự Kết luận: Trên phương pháp quay dấu góc trực quan nhằm trợ giúp cho sinh viên khơng thuộc chun ngành Tốn học học phần “Quy hoạch tuyến tính” trường đại học cao đẳng nước có cách nhìn nhận trực quan cặp toán đối ngẫu (G, D) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] Nguyễn Đức Nghĩa (1999), Tối ưu hóa, NXB khoa học kỹ thuật Nguyễn Minh Trí (2001), Tối ưu hóa, NXB khoa học kỷ thuật Trần Xuân Sinh (1992), Quy hoạch tuyến tính, NXB giáo dục Hadlay G (1963), Linear programming, Addison-Wesley Karmanov V.G (1989), Mathematical Programming, Mir Publishers, Moscow Yudin D.B (1963), Lineinoe programmirovanie, Moskva, Nauka Murtagh A.B., Advanced Linear Programming: Computation and Practice Title: THE THEOREM ABOUT THE SIGN OF THE DUAL PROBLEMS TRAN VAN SU Quang Nam University Abstract: The purpose of the paper is to introduce a lot of dual models of the dual pair (G, D) and to establish some theorems on their sign 103 ... ngẫu cặp toán (G2, D2) 99 ĐỊNH LÝ VỀ DẤU CỦA BÀI TỐN ĐỐI NGẪU C Mơ hình 3: Mơ hình đối ngẫu cặp tốn Nhận xét 1: Đối với toán đối ngẫu (D1) dạng “max” quay tất dấu " ≥ " tất biến ràng buộc x chỗ... nghĩa 1.2: Bài tốn đối ngẫu (D2) có dạng Định nghĩa 1.3: Bài tốn đối ngẫu (D3) có dạng ký hiệu " >< 0" y không mang dấu 98 Trần Văn Sự Ký hiệu (G, D) hiểu (G) toán gốc (D) toán đối ngẫu toán gốc... ước toán “min” sử dụng biến x toán “max” sử dụng biến y Các mơ hình đối ngẫu cặp toán gốc (G), đối ngẫu (D): A Mơ hình 1: Mơ hình đối ngẫu cặp tốn (G1, D1) B Mơ hình 2: Mơ hình đối ngẫu cặp toán