TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 8(3/2017) tr 17 22 17 MỘT SỐ PHẢN VÍ DỤ VỀ CÁC LỚP KHÔNG GIAN TÔPÔ QUAN TRỌNG Đoàn Thị Chuyên 3 Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt Một trong những mục đ[.]
TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên Cơng nghệ, Số 8(3/2017) tr 17 - 22 MỘT SỐ PHẢN VÍ DỤ VỀ CÁC LỚP KHƠNG GIAN TƠPƠ QUAN TRỌNG Đồn Thị Chun3 Trường Đại học Tây Bắc Tóm tắt: Một mục đích quan trọng phân loại khơng gian tơpơ tốn học nhằm metric hóa khơng gian tơpơ Khi dựa vào tính chất gần gũi khơng gian metric, người ta phân loại không gian tôpô thành nhiều lớp không gian khác theo thứ tự giảm dần theo quan hệ bao hàm điều kiện ngày gần gũi với không gian metric Trong báo này, chúng tơi xây dựng số phản ví dụ đơn giản tôpô số tập đơn giản , nhằm bao hàm thức thực cho lớp không gian tôpô quan trọng biết Từ khóa: Khơng gian metric, Khơng gian tơpơ, Metric hóa tơpơ, Khơng gian Frechet, Khơng gian Hausdorff, Khơng gian quy Một số khái niệm cần thiết Chúng nhắc lại số khái niệm cần thiết không gian tôpô dùng báo Định nghĩa Cho tập hợp X Một họ tập hợp X gọi tôpô X họ thỏa mãn điều kiện sau: i) , X ; ii) Nếu G1 , G2 G1 G2 ; iii) Nếu Gi iI Gi iI Nếu tập hợp X có tơpơ ta gọi X khơng gian tơpơ, kí hiệu cặp X , Định nghĩa Không gian tôpô X gọi T0 - không gian với cặp điểm x, y khác không gian tồn lân cận hai điểm không chứa điểm Ví dụ Dễ dàng kiểm tra tập X 0,1 với họ X , 0 , không gian tôpô T0 không gian Định nghĩa (Không gian Frechet) Không gian tôpô X gọi T1 không gian với cặp điểm x, y khác không gian X tồn lân cận x không chứa y lân cận y khơng chứa x Ví dụ Xét tập hợp X [0;1] ta xét họ X , , G G thu từ X cách bỏ số hữu hạn điểm dãy số nằm X Khi thấy X T1 khơng gian Ngày nhận bài: 18/8/2016 Ngày nhận đăng: 25/9/2016 Liên lạc: Đoàn Thị Chuyên, e - mail: doanchuyenkt@gmail.com 17 Định nghĩa (Không gian tách Hausdorff ) Không gian tôpô X gọi T2 không gian với cặp điểm khác khơng gian ln có lân cận rời Ví dụ Xét tập hợp X [0;1] khoảng cách (rời rạc) 1 x y 0 x y ( x, y) Khi X với tơpơ cảm sinh khoảng cách nói T2 không gian 1 Thật vậy, với x y X ta chọn hai lân cận U x B( x, ) x U y B( y, ) 2 y hai lân cận thỏa mãn Định nghĩa Định nghĩa (Khơng gian tơpơ quy) Khơng gian tơpơ X gọi khơng gian quy X T1 không gian thỏa mãn với điểm x X tập đóng F khơng chứa x ln tồn lân cận U x lân cận V F cho: U V Trong trường hợp ta gọi X T3 không gian Định nghĩa (Không gian chuẩn tắc) Không gian tôpô X gọi không gian chuẩn tắc X T1 khơng gian thỏa mãn với hai tập đóng rời F1 , F2 ln tồn lân cận U F1 lân cận V F2 cho: U V Trong trường hợp ta gọi X T4 không gian Nhận xét: Từ định nghĩa ví dụ minh họa ta đến nhận xét sau: Nếu X T4 không gian T3 không gian X T2 không gian X T1 không gian X T0 không gian Mặt khác lấy X với tơpơ tự nhiên X thỏa mãn khơng gian nói Tuy nhiên điều ngược lại, nhìn chung khơng Mục tiêu báo đưa ví dụ đơn giản để thấy điều ngược lại không Mặt khác rõ ràng từ định nghĩa, tôpô cảm sinh metric X T4 khơng gian Một số phản ví dụ cho số khơng gian tơpơ quan trọng 2.1 Ví dụ T0 không gian, không T1 không gian Ta xét X [0;1], đặt: {G X : G G} Ta chứng tỏ rằng: a X , không gian tôpô b Không gian tôpô X , T0 không gian, không T1 khơng gian Thật vậy, từ định nghĩa dễ ràng kiểm tra X , không gian tơpơ Ta chứng minh khẳng định sau Lấy hai điểm phân biệt y1 , y2 thuộc X Nếu y1 , y2 khác 0, tập 0, y1 tập mở không chứa y2 Nếu y1 0 không chứa y2 Suy X , T0 không gian 18 Lấy y khác 0, theo định nghĩa , lân cận y chứa nên X , khơng T1 khơng gian 2.2 Ví dụ T1 không gian, không T2 không gian Cho X [0;1] đặt: {G X : G G X X \ G hữu hạn } Ta chứng tỏ rằng: a X , không gian tôpô (cịn gọi tơpơ Zariski) b X , T1 không gian mà T2 không gian Thật vậy, từ định nghĩa dễ ràng kiểm tra X , không gian tôpô Ta chứng minh khẳng định b) Với x, y X , x y Đặt U x X \ y ,Vy X \ x Suy U x ,Vy U x lân cận x không chứa y, Vy lân cận y khơng chứa x Do X , T1 không gian Ta X , không T2 không gian phản chứng Thật vậy, giả sử X , T2 khơng gian, tồn lân cận U x ,Vy cho x U x , y Vy U x Vy Mặt khác ta có X \ U x , X \ Vy có hữu hạn phần tử X X \ X \ U x Vy X \ U x X \ Vy Suy X có hữu hạn phần tử mâu thuẫn với X [0;1] tập vô hạn Vậy X , T2 không gian 2.3 Ví dụ T2 khơng gian, khơng T3 không gian Cho X (1;1) tập số thực, kí hiệu: Mỗi x X đặt nx * { X | n n * } 1 cho U i ( x) x , x (1;1) Ta kí hiệu nx nx B( x) U n ( x)nn x Ta chứng tỏ khẳng định sau: B x xX hệ lân cận xác định tôpô X X , T2 không gian X , không T3 không gian Thật vậy, khẳng định thứ B x xX hệ lân cận xác định tôpô X 19 i Rõ ràng x X , B x , U B x x U ii Lấy V1 ,V2 B x Khi lân cận mở x có dạng: 1 1 V1 x , x , V2 x , x n1 n1 n2 n2 Giả thiết n1 n2 suy V1 V2 V2 Cả hai trường hợp có V1 V2 B x Vậy B x xX hệ lân cận xác định tôpô X iii Lấy x X , y V B x , cần tồn lân cận W y cho W V [•] Nếu y x chọn W V ; 1 [•] Nếu y x lân cận x có dạng V x , x , chọn số nguyên nx nx m y cho 1 1 d x, y , d x, y Suy W y , y my my ny ny V Vậy họ B x xX sinh tôpô X Khẳng định thứ hai, X , T2 không gian Gọi tôpô tự nhiên tập số thực Lấy G , hiển nhiên ta có biểu diễn: G= 1 x - ,x+ nx nx xG Lại X , nên ta có G Do tơpơ mạnh tơpơ không gian Hausdorff nên X , không gian Hausdorff Khẳng định thứ ba, X , không T3 không gian Thật vậy, rõ ràng không gian X , ,0 tập mở U ,V chứa đóng có giao khác rỗng Vậy X , không T3 không gian 2.4 Ví dụ T3 khơng gian, khơng T4 không gian Ta xét tập hợp X [0;1] [0;1] Khi với x [0;1] ta đặt x {(t , t x) X : x t x 1} Ta xác định tôpô X cho hệ lân cận sau (Hình vẽ): (i) Tại điểm ( x, y) X : y ta xét hình cầu tâm điểm với khoảng cách rời rạc Ví dụ 2.3 (2i) Tại điểm ( x,0) X ta trang bị sở tập mở gồm tập có dạng x \ F F tập hữu hạn không chứa x 20 Rõ ràng tôpô xác định có hệ sở lân cận gồm tập vừa đóng, vừa mở làm cho X T2 khơng gian Hơn nữa, theo [7] ta có X T3 không gian Ta thấy X không T4 không gian Thật vậy, xét hai tập đóng rời X F1 {(x,0): x }; F2 {(x,0): x \ } Rõ ràng Bổ đề Uryson [5] ta thấy X chuẩn tắc tồn ánh xạ liên tục f : X [0;1] cho f ( F1 ) 0; f ( F2 ) Điều tính trù mật \ TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N Comogonov, X.V Fomin (1971) Cơ sở lý thuyết hàm Giải tích hàm (Tập 2) Nhà xuất Giáo dục [2] Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc (1996) Không gian tôpô - Độ đo lý thuyết tích phân Trường Đại học Sư phạm Hà Nội [3] Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc, Đỗ Đức Thái (2001) Cơ sở Lý thuyết hàm (Tập 1) Nhà xuất Giáo dục [4] Bùi Đắc Tắc, Nguyễn Thanh Hà (1999) Bài tập không gian tôpô - Độ đo tích phân Nhà xuất Đại học Quốc gia [5] Phạm Minh Thơng (2007) Khơng gian tơpơ Độ đo-Tích phân Nhà xuất Giáo dục [6] Hoàng Tụy (2003) Hàm thực giải tích hàm Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [7] G Bezhanishvili (2009) Zero-dimensional proximities and zero-dimensional compactifications, Topology and its Applications, 156: 1496 - 1504 21 SOME COUNTER EXAMPLES OF IMPORTANT TOPOLOGICAL SPACE Doan Thi Chuyen Tay Bac University Abstract: One of the important purposes of classifying the topological spaces is metrizing the topological spaces Then basing on the close nature of the metric spaces, we classify topological spaces into some classes of important topological spaces according to the closer relationship with metric space In this paper, we will introduce a simple counter-example of the topology on a subset of the real number set , which aims to indicate the relationship among some classes of important topological spaces Keywords: Metric space, Topological space, Metrize the topological space, Frechet space, Hausdorff space, Regular space 22 ... Một số phản ví dụ cho số khơng gian tơpơ quan trọng 2.1 Ví dụ T0 không gian, không T1 không gian Ta xét X [0;1], đặt: {G X : G G} Ta chứng tỏ rằng: a X , không gian tôpô. .. khơng gian Nhận xét: Từ định nghĩa ví dụ minh họa ta đến nhận xét sau: Nếu X T4 không gian T3 không gian X T2 không gian X T1 không gian X T0 khơng gian Mặt khác lấy X với tôpô. ..Định nghĩa (Không gian tách Hausdorff ) Không gian tôpô X gọi T2 không gian với cặp điểm khác khơng gian ln có lân cận rời Ví dụ Xét tập hợp X [0;1] khoảng cách (rời rạc) 1 x