NGUYỄN XUÂN LỰU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN NHÀ XUẤT BẢN GIAO THÔNG VẬN TẢI HÀ NỘI 2007 PPPTHH �3 LỜI NÓI ðẦU Trong những phương pháp tính toán kết cấu hiện nay, các phương pháp số, ñặc biệt là phương[.]
NGUYỄN XUÂN LỰU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN NHÀ XUẤT BẢN GIAO THÔNG VẬN TẢI HÀ NỘI - 2007 LỜI NĨI ðẦU Trong phương pháp tính tốn kết cấu nay, phương pháp số, ñặc biệt phương pháp phần tử hữu hạn ngày ñược ứng dụng rộng rãi Ở trường ñại học kỹ thuật, mơn học Phương pháp phần tử hữu hạn ñược ñưa vào chương trình giảng dạy ðể ñáp ứng yêu cầu học tập nghiên cứu sinh viên, biên soạn sách nhằm cung cấp cho người ñọc kiến thức mơn học, biết sử dụng phương pháp để giải dạng tốn điển hình đơn giản, từ có sở để vận dụng vào cơng tác tính tốn, thiết kế cơng trình thực tế Sách làm tài liệu tham khảo cho học viên cao học, kỹ sư thiết kế khí cơng trình ðể nắm vững mơn học người ñọc cần ôn lại bổ túc thêm kiến thức Cơ học vật rắn, Lý thuyết ñàn hồi, Lý thuyết ma trận, Phương trình đạo hàm riêng Vì cuối sách giới thiệu thêm ðại cương Lý thuyết ñàn hồi Phần phụ lục sách Trong trình biên soạn sách, tác giả ñã nhận ñược nhiều ý kién đóng góp q báu bạn đồng nghiệp, nhân chúng tơi xin tỏ lịng cám ơn chân thành Tác giả PPPTHH 3 Chương KHÁI NIỆM CHUNG VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1.1 Mơ hình rời rạc hóa kết cấu Trong chục năm gần đây, kỹ thuật tính tốn kết cấu có bước phát triển việc ứng dụng rộng rãi máy tính điện tử Một phương pháp tính tốn ñang ñược sử dụng ngày nhiều có hiệu phương pháp phần tử hữu hạn (sau ñây viết tắt PTHH) Phương pháp PTHH tính tốn kết cấu tổng hợp nhiều mơn, liên quan đến kiến thức ba lĩnh vực sau ñây: - Cơ học kết cấu: sức bền vật liệu, lý thuyết ñàn hồi, lý thuyết dẻo, ñộng lực học… - Giải tích số: phương pháp gần đúng, giải hệ phương trình tuyến tính, tốn trị riêng… - Tin học ứng dụng Ý tưởng phương pháp PTHH tính tốn kết cấu coi vật thể liên tục tổ hợp nhiều phần nhỏ liên kết với số hữu hạn ñiểm, gọi nút Các phần nhỏ ñược hình thành gọi phần tử hữu hạn (gọi tắt phần tử) Hình dạng kích thước phần tử khác nhau, tạo thành mạng lưới khác Trên hình 1.1 giới thiệu số sơ đồ rời rạc hóa kết cấu liên tục thành mạng lưới PTHH Dĩ nhiên, quan niệm rời rạc hóa gần ñúng Khi thay kết cấu thực (hệ liên tục) tổ hợp phần tử trên, người ta thừa nhận rằng, lượng bên mơ hình thay phải lượng kết cấu thực Trong phần tử, ñại lượng cần tìm (thí dụ chuyển vị, ứng suất) lấy xấp xỉ theo dạng hàm ñơn giản gọi hàm xấp xỉ Các hàm xấp xỉ, thí dụ hàm xấp xỉ chuyển vị, phải thỏa mãn ñiều kiện liên tục biên phần tử tiếp xúc với Trong số trường hợp, ñiều kiện tương thích thỏa mãn cách gần Người ta vào hình dạng tình hình chịu lực kết cấu để chọn loại phần tử thích hợp ðối với hệ thanh, lấy ñoạn dầm làm PTHH Với kết cấu phẳng thường sử dụng phần tử hình tam giác, phần tử hình chữ nhật, phần tử hình tứ giác có cạnh thẳng cong ðối với kết cấu vỏ, loại phần tử phẳng sử dụng phần tử vỏ ðối với vật thể khối, thường dùng loại phần tử hình tứ diện, hình lập phương, hình lục diện Cịn ñối với vật thể ñối xứng trục, thường dùng phần tử hình vành khăn Hình 1.2a giới thiệu số loại phần tử thường dùng Hình 1.1 Tùy theo số lượng nút cách bố trí nút PTHH, người ta phân biệt loại phần tử tuyến tính phần tử bậc cao, tương ứng với dạng hàm chuyển vị tuyến tính dạng hàm chuyển vị bậc cao Hình 1.2b giới thiệu loại phần tử bậc cao a) b) Hình 1.2 Khi phân tích kết cấu sử dụng mơ hình tính sau: Mơ hình chuyển vị chọn chuyển vị nút làm ẩn Các ẩn ñược xác ñịnh từ hệ phương trình cân thành lập sở nguyên lý toàn phần dừng Nguyên lý phát biểu sau: PPPTHH 5 Trong tất trường chuyển vị thỏa mãn ñiều kiện tương thích điều kiện biên động học, trường chuyển vị tương ứng với cân vật thể làm cho tồn phần π đạt giá trị dừng (ñạt giá trị cực tiểu) δπ = δ U + δ V = đó: (1.1) π = U + V hàm chuyển vị U – biến dạng ñàn hồi vật thể, biểu diễn phần diện tích vẽ hình 1.3 V – cơng ngoại lực sinh dịch chuyển ngoại lực vật thể bị biến dạng Nếu hệ trạng thái ổn ñịnh, tồn phần có giá trị cực tiểu Như sau giả thiết dạng hàm chuyển vị phần tử, từ ñiều kiện dừng phiếm hàm π ta nhận hệ phương trình cân ñiều kiện liên tục ñã ñược thỏa mãn Hình 1.3 Mơ hình cân chọn ứng suất hay nội lực nút làm ẩn Các ẩn xác định từ hệ phương trình tương thích thành lập sở nguyên lý cực tiểu bù toàn phần Nguyên lý phát biểu sau: Trong tất trường ứng suất thỏa mãn ñiều kiện cân ñiều kiện biên tĩnh học, trường ứng suất thỏa mãn điều kiện tương thích làm cho bù tồn phần π ∗ ñạt giá trị dừng δπ ∗ = δ U ∗ + δ V ∗ = ñó: (1.2) π ∗ = U ∗ + V ∗ hàm ứng suất U ∗ - bù biến dạng, biểu diễn phần diện tích phía vẽ hình 1.3 V ∗ - công bù ngoại lực Thông thường người ta hay sử dụng mơ hình chuyển vị thuận lợi cho việc tự động hóa tính tốn máy tính Do tài liệu đề cập đến mơ hình chuyển vị phương pháp PTHH 1.2 Hàm chuyển vị Hàm dạng 1.2.1 ða thức xấp xỉ Hàm chuyển vị Nếu sử dụng mơ hình chuyển vị phương pháp PTHH hàm xấp xỉ đại lượng cần tìm hàm chuyển vị Hàm mơ tả gần ñúng chuyển vị ñiểm phần tử Thông thường người ta chọn hàm chuyển vị dạng đa thức, dạng đa thức dễ đạo hàm, tích phân, dễ thiết lập cơng thức xây dựng phương trình phương pháp PTHH Bậc ña thức số lượng số hạng ña thức phụ thuộc vào bậc tự phần tử, tức số chuyển nút phần tử ðiều nói kỹ phân tích kết cấu cụ thể phần sau Các ña thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ, tức kích thước phần tử nhỏ dần kết hội tụ ñến lời giải xác Muốn ña thức ñược chọn phải tồn số hạng tự (hằng số) tồn ñạo hàm riêng ñến bậc cao phiếm hàm lượng Thí dụ, tốn chiều chọn: f ( x ) = α1 + α x (xấp xỉ tuyến tính) f ( x ) = α1 + α x + α x (xấp xỉ bậc hai) n +1 f ( x) = ∑ α i xi −1 (xấp xỉ bậc n) ðối với toán hai chiều chọn: f ( x , y ) = α1 + α x + α y (xấp xỉ tuyến tính) f ( x, y ) = α1 + α x + α y + α x + α xy + α y (xấp xỉ bậc hai) 1.2.2 Biểu diễn hàm chuyển vị qua chuyển vị nút Hàm dạng Hình 1.4 PPPTHH 7 Ta xem xét PTHH hình tam giác tốn phẳng Lý thuyết đàn hồi Phần tử có nút đỉnh tam giác, nối khớp với phần tử khác (hình 1.4) Mỗi nút có bậc tự do, tức chuyển dịch theo phương x y Như phần tử có bậc tự do, chúng ñược biểu diễn chuyển vị nút ui , vi , u j , v j , um , vm Ta gọi chuyển vị nút Chúng hợp thành vectơ chuyển vị nút phần tử: ui v i u {δ } = j vj um vm (1.3) Các chuyển vị nút ẩn tốn tính kết cấu theo mơ hình chuyển vị phương pháp PTHH Trong nhiều trường hợp, thành phần vectơ chuyển vị nút không bao gồm giá trị hàm chuyển vị nút, mà cịn có giá trị đạo hàm hàm chuyển vị (thí dụ tốn uốn thanh, tốn tấm…) Như thấy, hàm chuyển vị (ña thức xấp xỉ) hàm tọa ñộ, cho phép xác ñịnh chuyển vị ñiểm phần tử Bây ta tìm cách biểu diễn hàm chuyển vị theo chuyển vị nút Thí dụ hàm chuyển vị phần tử tam giác có dạng: u ( x , y ) = α1 + α x + α y (1.4) v ( x, y ) = α + α x + α y u ( x, y ) 1 x y 0 = v ( x, y ) 0 x y { f } = hay đó: α1 α 2 α α α α { f } = [Q]{α } { f } vectơ chuyển vị [Q ] ma trận ñơn thức {α } vectơ tham số (1.5) (1.6) Chuyển vị nút, theo (1.6) ta có đó: {δ } = [C ]{α } [C ] giá trị [Q ] nút, tức ma trận tọa ñộ nút (1.7) Có thể xác ñịnh {α } theo [C ] , ta có từ (1.7) {α } = [C ] {δ } −1 (1.8) Do theo (1.6): { f } = [Q ][C ] −1 {δ } (1.9) { f } = [ N ]{δ } hay (1.10) (1.11) [ N ] = [Q ][C ] Ma trận [ N ] gọi ma trận hàm dạng, gọi ma trận hàm nội suy, −1 đó: từ chuyển vị nút nội suy chuyển vị ñiểm Các hàm dạng có ý nghĩa quan trọng phân tích kết cấu theo phương pháp PTHH 1.2.3 Lực nút Khi vật thể chịu lực, phần tử sinh nội lực Phương pháp PTHH giả thiết nội lực ñều truyền qua nút Các lực tác dụng lên nút gọi lực nút, ñó lực tương tác phần tử liên kết với nút chuyển vị nút sinh ðương nhiên nút cịn có ngoại lực (tải trọng) Nếu tải trọng khơng ñặt nút phải dời nút theo phép biến ñổi tương ñương Trong phần tử lực nút hợp thành vectơ lực nút { F } Vectơ có số thành phần số thành phần vectơ chuyển vị nút, ñược xếp tương ứng với vectơ chuyển vị nút Thí dụ phần tử tam giác phẳng hình 1.4, ta có vectơ lực nút (hình 1.5a) là: e {F } e = U i Vi U j V j U m Vm T Hay thí dụ phần tử chịu uốn (hình 1.5b), tương ứng với vectơ chuyển vị nút (gồm chuyển vị thẳng góc quay) {δ } = vi θi v j θ j T vectơ lực nút {F } e = Vi Mi Vj M j T a) b) Hình 1.5 PPPTHH 9 1.3 Phương trình phương pháp PTHH 1.3.1 Các quan hệ chuyển vị, biến dạng, ứng suất phần tử Theo mơ hình chuyển vị phương pháp PTHH, đại lượng cần tìm chuyển vị nút Sau chọn hàm xấp xỉ chuyển vị, ta xác ñịnh ñược trường chuyển vị theo chuyển vị nút: { f } = [ N ]{δ } (1.12) Sử dụng phương trình biến dạng Cauchy Lý thuyết ñàn hồi {ε } = [∂ ]{ f } đó: (1.13) [∂ ] tốn tử vi phân ∂ ∂x 0 0 [∂ ] = ∂ ∂x 0 ∂ ∂z ∂ ∂y ∂ ∂x ∂ ∂y 0 0 ∂ ∂z 0 ∂ ∂y ∂ ∂z (1.14) ta có vectơ biến dạng: {ε } = [∂ ][ N ]{δ } hay {ε } = [B ]{δ } (1.15) đó: [ B ] = [ ∂ ][ N ] (1.16) gọi ma trận tính biến dạng Ứng suất điểm phần tử xác ñịnh theo ñịnh luật Hooke: {σ } = [ D ]{ε } đó: (1.17) [ D ] gọi ma trận đàn hồi Từ theo (1.15) ta có vectơ ứng suất: {σ } = [ D ][ B ]{δ } (1.18) hay {σ } = [ S ]{δ } (1.19) đó: [ S ] = [ D ][ B ] (1.20) gọi ma trận tính ứng suất 1.3.2 Phương trình phương pháp phần tử hữu hạn Ma trận ñộ cứng phần tử Vectơ tải phần tử Sau ñây ta sử dụng nguyên lý cực tiểu toàn phần ñể thiết lập phương trình phương pháp PTHH Giả sử PTHH tích Ve chịu tác dụng lực thể tích p lực bề mặt q diện tích Se Thế tồn phần phần tử Ue viết dạng: U e = ∫∫∫ Ve T T T [ε ] {σ } dV − ∫∫∫ [ f ] { p} dV − ∫∫ [ f ] {q} dS Ve Se (1.21) ðể ý tới (1.12), (1.15), (1.19) ta có ∫∫∫ [δ ] [ B ] [ D ][ B ]{δ } dV − ∫∫∫ {δ }[ N ] { p} dV − ∫∫ [δ ] [ N ] {q} dS T T T Ve hay U e = ðặt T Ve T [δ ] T (1.22) Se T T T T ∫∫∫ [ B ] [ D ][ B ] dV {δ } − {δ } ∫∫∫ [ N ] { p} dV + ∫∫ [ N ] {q} dS Ve Ve Se [ k ] = ∫∫∫ [ B ] [ D ][ B ] dV T (1.23) (1.24) Ve {P} e = ∫∫∫ [ N ] T Ve ta có Ue = { p} dV + ∫∫ [ N ] {q} dS T (1.25) Se T T e [δ ] [ k ]{δ } − [δ ] {P} (1.26) Ma trận [ k ] gọi ma trận ñộ cứng phần tử, vectơ { P} vectơ tải phần tử bao gồm thành phần lực ñặt nút, lực ñược quy ñổi sau dời tải e trọng P q nút, { P} cịn gọi lực nút tương đương e Trong trường hợp nút có tồn lực tập trung {R} e R1 R = 2 M Rn phải cộng thêm lực tập trung vào vectơ tải { P} e PPPTHH 11 Theo nguyên lý cực tiểu tồn phần, điều kiện cân nút phần tử là: ∂U e =0 (1.27) ∂ {δ } ∂U e ∂U e ∂U e =0 , = , , =0 ∂ {δ1} ∂ {δ } ∂ {δ n } tức (1.28) Sau lấy cực tiểu từ (1.26) ta ñược [ k ]{δ } = {P} e (1.29) ðây phương trình phương pháp phần tử hữu hạn tính theo mơ hình chuyển vị ðiều có nghĩa nút, lực nút chuyển vị nút gây {F }δ = [ k ]{δ } phải cân với tải trọng ñặt nút e {F }δ = {P} e e Trong trường hợp PTHH có biến dạng ban ñầu ε ứng suất ban ñầu σ quan hệ (1.18) đổi thành: {σ } = [ D ][ B ]{δ } − [ D ]{ε } + {σ } (1.30) Do vectơ tải phần tử (1.25) có thêm thành phần ε σ gây ra: {P} e = ∫∫∫ [ N ] T Ve { p} dV + ∫∫ [ N ] {q} dS − ∫∫∫ [ B ] [ D ]{ε } dV + ∫∫∫ [ B ] {σ } dV T Se T Ve T Ve (1.31) 1.3.3 Ma trận ñộ cứng tổng thể Vectơ tải tổng thể Phương trình hệ Sau thiết lập ñược ma trận ñộ cứng phần tử vectơ tải phần tử tất phần tử mạng lưới kết cấu, ta cần phải tổ hợp tất chúng lại thành ma trận ñộ cứng tổng thể [ K ] vectơ tải tổng thể [ P ] kết cấu, từ xây dựng phương trình tồn kết cấu Việc tổ hợp có nghĩa phải xếp thành phần ma trận [ k ] phần tử vào vị trí thích hợp ma trận [ K ] , thành phần ma trận { P} phần tử vào vị trí thích hợp { P} Sự xếp mơ tả ma trận ñịnh vị phần tử e Gọi vectơ chuyển vị nút phần tử {δ } vectơ chuyển vị nút tổng thể toàn kết cấu {∆} , quan hệ chúng biểu diễn dạng: {δ } = [ L ]e {∆} nd ×1 nd × n (1.32) ñó: [ L ]e ma trận ñịnh vị phần tử, nd số chuyển vị nút phần tử, n số chuyển vị nút toàn kết cấu Thí dụ có chịu kéo hình 1.6 Hình 1.6 Chia thành phần tử, nút đánh số hình vẽ Vectơ chuyển vị nút tổng thể: {∆} = [∆1 ∆2 ∆3 ∆4 ∆5 ] T (1.33) Vectơ chuyển vị nút phần tử: {δ } ∆ 1 = 1 = ∆ 0 ∆ 0 {δ } = = ∆ 0 0 0 {∆} = [ L ]1 {∆} 0 0 0 {∆} = [ L ]2 {∆} 0 ∆ 0 = 3 = ∆ 0 ∆ 0 {δ } = = ∆5 0 0 {∆} = [ L ]3 {∆} 0 0 0 {∆} = [ L ]4 {∆} 0 {δ } (1.34) Căn vào (1.26) ta viết biểu thức toàn phần toàn kết cấu: ne ne ne T T e [δ ] [ k ]{δ } − ∑ [δ ] {P} e =1 e =1 U = ∑U e = ∑ e =1 (1.35) ðể ý đến (1.32) ta có ne ne T T T T e ∆ L k L ∆ − { } [ ] [ ]e [ ][ ]e [ ∆ ] [ L ]e {P} ∑ e =1 e =1 U =∑ ne T ne T T T e = [ ∆ ] ∑ [ L ]e [ k ][ L ]e {∆} − [ ∆ ] ∑ [ L ]e {P} e =1 e =1 hay U= T T [ ∆ ] [ K ]{∆} − [ ∆ ] {P} (1.36) PPPTHH 13 ne với [ K ] = ∑ [ L ]e [ k ][ L ]e T (1.37) e =1 ma trận độ cứng tổng thể tồn kết cấu, ne {P} = ∑ [ L ]e {P} T e (1.38) e =1 vectơ tải tổng thể Sử dụng nguyên lý cực tiểu ñối với tồn kết cấu, ta có điều kiện cân tồn hệ ∂U =0 (1.39) ∂∆ Từ hệ phương trình tồn kết cấu: [ K ]{∆} = {P} (1.40) Trong thực tế tính tốn người ta khơng sử dụng cơng thức (1.37) (1.38) ñể thiết lập [ K ] { P} , mà sử dụng phương pháp ñơn giản nhanh chóng hơn, phương pháp số ðiều trình bày phần sau 1.4 Trình tự tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn Q trình giải tốn tính kết cấu theo phương pháp PTHH bao gồm bước sau ñây: (1) Rời rạc hóa kết cấu, tức chia kết cấu thành mạng lưới PTHH Việc chọn loại phần tử số lượng phần tử tùy thuộc vào tính chất độ xác u cầu tốn (2) Chọn hàm xấp xỉ chuyển vị mô tả chuyển vị ñiểm PTHH (3) Thiết lập ma trận ñộ cứng PTHH Nếu hệ tọa ñộ phần tử hệ tọa độ kết cấu khơng trùng phải thực phép biến đổi tọa độ (4) Thiết lập ma trận ñộ cứng tổng thể vectơ tải tổng thể toàn kết cấu (5) Thành lập hệ phương trình kết cấu có dạng: [ K ]{∆} = {P} Cần ý ma trận ñộ cứng [ K ] ma trận suy biến ta coi phần tử có chuyển động tự (chuyển động cố thể) Do cần sử dụng ñiều kiện biên ñộng học ñể thành lập vectơ chuyển vị nút {∆∗ } chứa chuyển vị nút ẩn, tương { } ứng có ma trận độ cứng K ∗ vectơ tải tổng thể P * Từ có phương trình: K ∗ {∆∗ } = {P ∗ } (1.41) Giải hệ phương trình tìm vectơ chuyển vị nút tổng thể hệ tọa ñộ tổng quát (6) Xác ñịnh vectơ chuyển vị nút PTHH hệ tọa ñộ ñịa phương phần tử Từ xác định biến dạng, ứng suất phần tử Câu hỏi ôn tập Chương I Trình bày sở lý thuyết để thiết lập phương trình phương pháp phần tử hữu hạn Có mối liên hệ phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp biến phân Cơ học kết cấu? Trình bày cách chọn hàm xấp xỉ Phân biệt phần tử tuyến tính phần tử bậc cao Ý nghĩa ma trận độ cứng phần tử Giải thích ý nghĩa thành phần ma trận ñộ cứng phần tử Ý nghĩa hàm dạng phần tử hữu hạn tính theo mơ hình chuyển vị Nêu tính chất chủ yếu cách thiết lập ma trận ñộ cứng tổng thể cách thiết lập vectơ tải tổng thể Trình bày trình tự giải tốn tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn Chương TÍNH HỆ THANH 2.1 Phần tử hữu hạn hệ Trong hệ kết cấu giàn, kết cấu khung, đoạn hình lăng trụ ñược coi PTHH Trong kết cấu thanh, thành phần chuyển vị phần tử hàm biến, tức thay ñổi dọc theo trục thanh, tốn hệ toán chiều Ở kết cấu giàn, phần tử chịu biến dạng kéo nén, kết cấu khung phẳng phần tử chịu thêm biến dạng uốn Nếu khung khơng gian cịn có thêm biến dạng xoắn Vì để dễ dàng nghiên cứu tổng hợp, ta phân tích ba loại phần tử nói 2.1.1 Phần tử chịu kéo (nén) dọc trục Có phần tử hình lăng trụ có tiết diện khơng đổi A, chiều dài a, chịu kéo nén dọc trục tác dụng tải trọng phân bố dọc trục q(x) (hình 2.1) PPPTHH 15 Hình 2.1 Chọn hệ tọa độ hình vẽ Phần tử có nút hai ñầu thanh, nút ñầu i, nút cuối j, với chuyển vị nút δ i δ j Vì chuyển vị nút có phương trùng với trục x nên ta viết vectơ chuyển vị nút: δ u j j {δ } = δ i = u i (2.1) Tương ứng với vectơ chuyển vị nút ta có vectơ lực nút phần tử: {F} e U i = U j Chọn hàm chuyển vị có dạng: u ( x ) = α1 + α x (2.2) ðây hàm bậc chứa hệ số, ñúng số bậc tự (số chuyển vị nút) phần tử ðiều ñảm bảo ñiều kiện tương thích hàm chuyển vị biên chung phần tử lân cận Chuyển vị nút i (x = 0) ui , nút j (x = a) u j , thay vào (2.2) ñược ui = α1 (2.3) u j = α1 + α a Viết dạng ma trận: hay Từ có đó: ui 1 α1 = u j 1 a α (2.4) {δ } = [C ]{α } (2.5) {α } = [C ] {δ } (2.6) −1 [C ] ma trận nghịch ñảo [C ] [C ] = − a −1 −1 0 a Biểu diễn (2.2) dạng ma trận ñể ý tới (2.6) ta có (2.7) α u = [1 x ] α = [Q ]{α } = [Q ][C ] −1 hay u = [ N ]{δ } [ N ] = [Q ][C ] {δ } (2.8) −1 (2.9) Từ ta có [ N ] = 1 − x a x a (2.10) [N ] gọi ma trận hàm dạng (còn gọi hàm nội suy Lagrange bậc 1) [ N ] = [ N1 N2 ] (2.11) với hàm dạng: N1 = − x , a N2 = x a (2.12) Biểu thức (2.8) biểu diễn quan hệ hàm chuyển vị với chuyển vị nút Hàm dạng hàm tọa ñộ, biểu diễn phân bố chuyển vị phần tử chuyển vị nút ñơn vị Trên hình 2.2 biểu đồ hàm dạng N1 ( x) , N ( x) biểu ñồ chuyển vị u ( x) i j Hình 2.2 Bây ta xét biến dạng ứng suất phần tử Phương trình biến dạng Cauchy biểu diễn quan hệ biến dạng chuyển vị tốn chiều có dạng εx = ∂u ∂x (2.13) Theo (2.2) ta có ε x = α2 PPPTHH 17 hay viết ma trận α1 α {ε } = [0 1] ðể ý tới (2.6) ta có {ε } = [ 1][C ] {δ } −1 0 = [ 1] 1 {δ } − a a 1 = − {δ } a a {ε } = [ B ]{δ } hay [ B ] = − a 1 a (2.14) (2.15) Ma trận [ B ] gọi ma trận tính biến dạng Như biến dạng phần tử biểu diễn qua chuyển vị nút Trong trường hợp [ B ] số, chứng tỏ biến dạng phần tử chịu kéo (nén) số Ứng suất pháp ñiểm phần tử theo phương dọc trục ñối với vật liệu đàn hồi tuyến tính xác định dựa vào định luật Hooke: σ = Eε đó: E mơ đun đàn hồi Young vật liệu Viết (2.16) cách tổng quát dạng ma trận: {σ } = [ D ]{ε } đó: (2.16) (2.17) [ D] ma trận ñàn hồi Trong trường hợp tốn chiều có biến dạng dọc trục [ D] = E Ta biểu diễn ứng suất qua chuyển vị nút {σ } = [ D ][ B ]{δ } (2.18) hay {σ } = [ S ]{δ } (2.19) [ S ] = [ D ][ B ] (2.20) gọi ma trận tính ứng suất Ta nhận thấy, biến dạng số nên ứng suất phần tử số Ma trận ñộ cứng phần tử ñược thiết lập dựa vào công thức (1.24): [ k ] = ∫∫∫ [ B ] [ D ][ B ] dV T Ve 1 − a a = ∫ E − a a (2.21) 1 Adx a Sau tích phân EA [ k ] = aEA − a EA a EA a − (2.22) ðó ma trận vng đối xứng Vectơ tải phần tử, ñây vectơ lực nút tương ñương, theo (1.25) ta có {P} e T = ∫ [ N ] {q} dx a x 1− a a =∫ q ( x)dx x a Trong trường hợp tải trọng phân bố q ( x) = q0 = const {P} e q0 a = q0 a (2.23) tức phân bố theo sơ đồ sau: Hình 2.3 Trường hợp có tải trọng tập trung P đặt điểm có tọa độ x {P} = [ N ] e T P PPPTHH 19 Trường hợp phần tử có biến thiên nhiệt ñộ ∆T với hệ số dãn nhiệt α {P} e = ∫∫∫ [ B ] [ D ]{ε } dV T Ve =∫ a 1 − a E {α ∆T } Adx a (2.24) −1 = EA α ∆T 1 2.1.2 Phần tử chịu uốn Phần tử có tiết diện khơng ñổi A , chiều dài a Chọn trục x trục thanh, trục y trục quán tính trung tâm tiết diện (hình 2.4) Tại nút i j có thành phần chuyển vị thẳng theo phương y vi , v j thành phần chuyển vị góc (góc quay quanh trục z) θ zi , θ zj Trên hình vẽ chuyển vị có dấu dương Ta có vectơ chuyển vị nút vi θ {δ } = vzi j θ zj (2.25) Hình 2.4 Tương ứng với thành phần chuyển vị nút lực nút Ta có vectơ lực nút phần tử {F } e Vi M zi = Vj M zj (2.26) Vectơ chuyển vị nút gồm thành phần, ta chọn hàm chuyển vị đa thức bậc ba chứa thơng số độc lập: v ( x ) = α1 + α x + α x + α x (2.27) Vì chuyển vị thẳng v( x) chuyển vị góc θ z ( x) có quan hệ ñạo hàm ∂v = θz ∂x ñó cần chọn hàm xấp xỉ ñối với v( x) ñủ Viết (2.27) dạng ma trận: v = 1 x x2 hay v = [Q ]{α } đó: [Q ] = 1 α1 α 2 x α α (2.28) (2.29) x2 x x3 (2.30) Các thành phần chuyển vị nút i ( x = 0) nút j ( x = a ) tính vi = α1 ∂v θ zi = = α ∂x x =0 v j = α1 + α a + α a + α a ∂v θ zj = = α + 2α 3a + 3α a ∂x x = a Viết dạng ma trận: vi 1 θ zi 0 = v j 1 θ zj 0 hay 0 α1 0 α a a a α 2a 3a α {δ } = [C ]{α } (2.31) (2.32) PPPTHH 21 ... dạng, ứng suất phần tử Câu hỏi ôn tập Chương I Trình bày sở lý thuyết để thiết lập phương trình phương pháp phần tử hữu hạn Có mối liên hệ phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp biến phân Cơ... ðẦU Trong phương pháp tính tốn kết cấu nay, phương pháp số, ñặc biệt phương pháp phần tử hữu hạn ngày ñược ứng dụng rộng rãi Ở trường ñại học kỹ thuật, mơn học Phương pháp phần tử hữu hạn ñưa vào... ứng suất 1.3.2 Phương trình phương pháp phần tử hữu hạn Ma trận ñộ cứng phần tử Vectơ tải phần tử Sau ñây ta sử dụng ngun lý cực tiểu tồn phần để thiết lập phương trình phương pháp PTHH Giả sử