Đề thi hsg Toán 7

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ******* KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 Năm học 2003 2004 MÔN THI TOÁN Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (3 điểm) Tìm số tự nhiên nho[.]

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ******* ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2003 - 2004 MƠN THI : TỐN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (3 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất a để ghép nó vào bên phải số 2004 thì được một số tự nhiên chia hết cho 2003 Bài (5 điểm) Cho hai hàm số : f(x) = |x – 1| + và g(x) = |x – 2| + Tìm x để f(x) – 2g(x) = -3 ; Tìm x để f(x) = g(f(2)) Bài (3 điểm) Chứng minh rằng không thể tìm được các số nguyên x, y, z thoả mãn : |x – y| + |y – z| + |z – x| = 2005 Bài (3 điểm) Tìm x biết : Bài (6 điểm) Cho ∆ABC có và điểm F cho cho Chứng minh : EK  AF Chứng minh : BE  CK Trên tia phân giác BE (E thuộc AC) của Gọi I là trung điểm của AF, EI cắt AB ở K Họ và tên : …………………………………………………… SBD : …………………………… Trường THCS : …………………………………………………………………………………… lấy HƯỚNG DẪN GIẢI Bài (3 điểm) (n ∈ N*, Đặt là các chữ số, ) Số tự nhiên cần tìm có dạng : ⋮ 2003  2004.10n + Theo giả thiết, ta có :  2003.10n + 10n + ⋮ 2003  10n + ⋮ 2003 ⋮ 2003 (vì 2003.10n ⋮ 2003) Xét các trường hợp : - Với n = 1, ta được 10 + - Với n = 2, ta được 100 +  không tìm được - Với n = 3, ta được 1000 + Hay Vì ⋮ 2003 < 2000 ⋮ 2003  10000 + - 15 ⋮ 2003 Nhận xét : 999 < < 20 < 200 vì 1000 < 1000 + Với n = 4, ta được 10000 + vì 10 < 10 + ⋮ 2003 vì 100 < 100 +  không tìm được - ⋮ 2003  không tìm được - 5.2003 ⋮ 2003 (1) < 10000  984 < - 15 < 9985 (2) phải là số tự nhiên nhỏ nhất nên từ (1) và (2) suy : - 15 = 2003  = 2018 Vậy số tự nhiên a nhỏ nhất cần tìm là a = 2018 Bài (5 điểm) f(x) – 2g(x) = -3  |x – 1| + – 2(|x – 2| + 2) = -3  |x – 1| - 2|x – 2| = (1) Xét các trường hợp : - Nếu x < thì x – < và x – <  |x – 1| = – x, |x – 2| = - x (1) trở thành : – x – 2(2 – x) =  – x – + 2x =  x = (không thoả mãn x < 1) - Nếu  x < thì x –  và x – <  |x – 1| = x – 1, |x – 2| = - x (1) trở thành : x – – 2(2 – x) =  x – – + 2x =  3x =  x = (không thoả mãn  x < 2) - Nếu x  thì x – > và x –   |x – 1| = x – 1, |x – 2| = x - (2) trở thành : x – – 2(x – 2) =  x – – 2x + =  -x = -2  x = (thoả mãn x  2) Vậy giá trị của x cần tìm là x = 2 f(2) = |2 – 1| + =  g(f(2)) = g(2) = |2 – 2| + = Do đó f(x) = g(f(2))  |x – 1| + =  |x – 1| =   Vậy với x ∈ {0 ; 2} thì f(x) = g(f(2)) Bài (3 điểm) Không giảm tổng quát có thể giả sử x  y  z Khi đó x – y  0, y – z  0, z – x   |x – y| + |y – z| + |z – x| = 2005  x – y + y – z + x – z = 2005  2(x – z) = 2005 (*) Vì x, z ∈ Z nên vế trái (*) là số nguyên chẵn, còn 2005 là số lẻ nên không tìm được x, z thoả mãn (*) Vậy không thể tồn tại các số nguyên x, y, z thoả mãn điều kiện đề bài Bài (3 điểm) Vì x2  x  3x2 +  4, 2004x2 +    2, 1   (dấu bằng xảy  x = 0) Mặt khác, – 4x2  (dấu bằng xảy  x = 0) Từ (1) và (2) suy (1) (2)  x =  Vậy x = Bài (6 điểm) C A E F I K Vì BE là tia phân giác của B nên Xét AEF có : (vì là góc ngoài của FAB) Suy AEF cân tại E  EI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao  EI  AF Hay EK  AF Vì là góc ngoài của AEB nên AEF cân tại E nên đường trung tuyến EI đồng thời là đường phân giác của Suy Xét BCE và BKE có : BE là cạnh chung Nên BCE = BKE (g.c.g)  BC = BK và EC = EK Suy B và E cùng thuộc đường trung trực của CK Do đó BE  CK  ... trường hợp : - Nếu x < thi? ? x – < và x – <  |x – 1| = – x, |x – 2| = - x (1) trở thành : – x – 2(2 – x) =  – x – + 2x =  x = (không thoả mãn x < 1) - Nếu  x < thi? ? x –  và x – < ... N*, Đặt là các chữ số, ) Số tự nhiên cần tìm có dạng : ⋮ 2003  2004.10n + Theo giả thi? ?́t, ta có :  2003.10n + 10n + ⋮ 2003  10n + ⋮ 2003 ⋮ 2003 (vì 2003.10n ⋮ 2003) Xét các... trở thành : x – – 2(2 – x) =  x – – + 2x =  3x =  x = (không thoả mãn  x < 2) - Nếu x  thi? ? x – > và x –   |x – 1| = x – 1, |x – 2| = x - (2) trở thành : x – – 2(x – 2) =  x – –