www thuvienhoclieu com www thuvienhoclieu com www thuvienhoclieu com ĐỀ 1 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian 120 phút Bài 1 ( 3 điểm)a) Thực hiện phép tính b) Chứng minh rằng Với mọi s.
www.thuvienhoclieu.com www.thuvienhoclieu.com ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Thời gian: 120 phút A Bài 1:( điểm)a) Thực phép tính: 212.35 46.92 3 510.73 255.492 125.7 59.143 n 2 n2 n n b) Chứng minh rằng: Với số nguyên dương n : chia hết cho 10 x 3, 5 Bài 2:(2 điểm) Tìm x biết: a2 c2 a a c 2 b Bài 3: (2 điểm) Cho c b Chứng minh rằng: b c Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng:a) AC = EB AC // BE b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK C.minh ba điểm I , M , K thẳng hàng H BC Biết c) Từ E kẻ EH BC HBE 500 ; MEB 250 Tính HEM BME www.thuvienhoclieu.com ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Thời gian: 120 phút Bài Tìm giá trị n nguyên dương: a) Bài Thực phép tính: Bài a) Tìm x biết: ( n 16 2n ; b) 27 < 3n< 243 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 |2 x+3|=x+2 b) Tìm giá trị nhỏ A = |x−2006|+|2007−x| Khi x thay đổi Bài Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đường thẳng Bài Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽđường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC www.thuvienhoclieu.com ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Thời gian: 120 phút x y ; xy=84 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x Câu 1: Tìm cặp số (x; y) biết: a/ Câu 2: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau : A = www.thuvienhoclieu.com |x+1| +5 ; B= x +15 x +3 Trang www.thuvienhoclieu.com Câu 3: Cho tam giác ABC cóÂ< 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC a, Chứng minh: DC = BE DC BE b, Gọi N trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM C/minh: AB = ME vàABC= EMA Chứng minh: MA BC www.thuvienhoclieu.com ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Thời gian: 120 phút Câu ( điểm) ( 23 ) (− 34 ) (−1) ( 25 ) (−125 ) Thực phép tính : a- 1 −3 − +1 :(− −1) 3 ; [( ) ( )] − b- 2003 a2 + a+3 a+1 Câu ( điểm) a, Tìm số nguyên a để số nguyên; b, Tìm số nguyên x,y cho x- 2xy+y=0 a c = Câu ( điểm) a, Chứng minh a+c=2b 2bd = c (b+d) b d với b,d khác b, Cần số hạng tổng S = 1+2+3+… đểđược số có ba chữ số giống Câu ( điểm) Cho tam giác ABC có góc B 450 , góc C 1200 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD=2CB Tính góc ADE Câu ( 1điểm)Tìm số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1 www.thuvienhoclieu.com ĐỀ 16 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Thời gian: 120 phút 200 1000 163.310 120.69 12 11 Bài 1: a) So sánh hợp lý: ; b) Tính A = c) Cho x, y, z số khác x2 = yz , y2 = xz , z = xy Chứng minh rằng: x = y = z ( ) () b) (2x+1)4 = (2x+1)6 x x x x ||x+3|−8|=20 c) d) 2009 2008 2007 2006 Bài 3: Tìm số x, y, z biết : a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = Bài 2:Tìm x biết: a) (2x-1)4 = 16 x y z = = b) x2 + y2 + z2 = 116 Bài : a) Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch x y ; x1, x hai giá trị x; y1, y2 hai giá trị tương ứng y.Tính y1, y2 biết y12+ y22 = 52 x1=2 , x 2= b) Cho hàm số : f(x) = a.x2 + b.x + c Biết với a, b, c, d Z f (1)3; f (0)3; f ( 1) 3 Chứng minh a, b, c chia hết cho n 2 n 2 n n c) Chứng minh : Với số nguyên dương n : chia hết cho 10 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm BC Lấy điểm D thuộc cạnh BC H I thứ tự hình chiếu B C xuống đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI N Chứng minh rằng: a) BH = AI b) BH2 + CI2 có giá trị khơng đổi c) Đường thẳng Dn vng góc với AC d) IM phân giác góc HIC www.thuvienhoclieu.com ĐỀ a) x−1 +5 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Thời gian: 120 phút x−1 =162 b) 3x +x2 = c) (x-1)(x-3) < x y z = = 2 Câu a) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn: x +2 y −3 z =−100 a b c d = = = b) Cho b c d a (a, b, c, d > 0) 2011a−2010 b 2011b−2010 c 2011c−2010 d 2011 d−2010 a + + + c +d a+d a+b b+c Tính A = Câu a) Tìm cặp số nguyên (x,y) thoả mãn x + y + xy =2 27−2 x b) Tìm giá trị lớn biểu thức Q = 12−x (với x nguyên) Câu a) Cho đa thức f(x) = ax + bx + c Chứng minh f(x) nhận -1 nghiệm a c số đối x y 2007 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Câu Cho Δ ABC vuông A M trung điểm BC, tia đối tia MA lấy điểm D cho AM = MD Gọi I K chân đường vng góc hạ từ B C xuống AD, N chân đường vng góc hạ từ M xuống AC a) Chứng minh BK = CI BK//CI.b) Chứng minh KN < MC c) Δ ABC thỏa mãn thêm điều kiện để AI = IM = MK = KD d) Gọi H chân đường vng góc hạ từ D xuống BC Chứng minh đường thẳng BI, DH, MN đồng quy Câu Tìm x biết: www.thuvienhoclieu.com ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Thời gian: 120 phút Câu 1: Tìm số a,b,c biết rằng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b Câu 2: Tìm số nguyên x thoả mãn: a,5x-3< b,3x+1>4 c, 4- x +2x =3 Câu3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A =x +8 -x Câu 4: Biết :12+22+33+ +102= 385 Tính tổng : S= 22+ 42+ +202 Câu : Cho tam giác ABC ,trung tuyến AM Gọi I trung điểm đoạn thẳng AM, BI cắt cạnh AC D a Chứng minh AC=3 AD b Chứng minh ID =1/4BD www.thuvienhoclieu.com ĐỀ www.thuvienhoclieu.com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Thời gian: 120 phút Trang www.thuvienhoclieu.com Câu ( 2đ) a b c = = b c d Cho: Tìm ( ) a c b = = b+c a+b c +a Câu (1đ) Tìm A biết rằng: A = Câu (2đ) Chứng minh: a+b+c a = b+c +d d x∈Z để A Z tìm giá trịđó x +3 a) A = x−2 b) A = 1−2 x x+3 Câu (2đ) Tìm x, biết: a) Câu (3đ) |x−3| =5 b) ( x+ 2) = 81 c) x + x+ = 650 Cho ABC vuông cân A, trung tuyến AM E BC, BH AE, CK AE, (H,K AE) Chứng minh MHK vuông cân www.thuvienhoclieu.com ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP Thời gian: 120 phút x x 03y x x y ; y số nguyên âm lớn Bài 1: (1,5 điểm) Tính biết x 11 x x 16 y 25 z 2 16 25 Bài 2: (2 điểm) Cho Tìm x+y+z Bài 3: (1,5 điểm) Tìm x, y Z biết 2xy+3x = ; 16 - 72 + 90 A Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1 a/ Chứng minh x= nghiệm đa thức b/ Tính giá trị P biết x2+x-3 = Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có vng A(AB 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = b) 27 < 3n< 243 => 33< 3n< 35 => n = Bài Thực phép tính: ( (4 điểm) 1 1 49 ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 1 1 1 1 (1 49) ( ) 44 49 12 = 9 14 14 19 1 (12.50 25) 5.9.7.89 ( ) 89 5.4.7.7.89 28 = 49 Bài 3.(4 điểm câu điểm) www.thuvienhoclieu.com Trang a) Tìm x biết: |2 x+3|=x+2 Ta có: x + ¿ => x ¿ + Nếu x ¿ - + Nếu - www.thuvienhoclieu.com - |2 x+3|=x+2 ¿ x < - Thì => 2x + = x + => x = - (Thoả mãn) => - 2x - = x + => x = - (Thoả mãn) |2 x+3|=x+2 + Nếu - > x Khơng có giá trị x thoả mãn b) Tìm giá trị nhỏ A = |x−2006|+|2007−x| Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + Nếu 2006 ¿ x ¿ 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = + Nếu x > 2007 A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ 2006 ¿ x ¿ 2007 Bài 4.Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đường thẳng (4 điểm mỗi) Gọi x, y số vòng quay kim phút kim 10giờđến lúc kim đối đường thẳng, ta có: x – y = (ứng với từ số 12 đến số đông hồ) x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) x 12 x y x−y 1 = => = = = :11= 12 11 33 Do đó: y 12 ( vòng) => x= 11 => x = 33 (giờ) Vậy thời gian để kim đồng hồ từ 10 giờđến lúc nằm đối diện đường thẳng 11 Bài 5.Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽđường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) Đường thẳng AB cắt EI F Δ ABM = Δ DCM vì: E AM = DM (gt), MB = MC (gt), F www.thuvienhoclieu.com Trang I B H www.thuvienhoclieu.com AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM M =>FB // ID => ID ¿ AC Và FAI = CIA (so le trong) D (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Từ (1) (2) => Δ CAI = Δ FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( phụ ABC) => EAF = ACB (5) Từ (3), (4) (5) => Δ AFE = Δ CAB =>AE = BC ĐÁPÁNĐỀ THICHỌNHỌCSINHGIỎICẤPTRƯỜNGLỚP Mơn: TỐN ĐÁPÁNĐỀ TỐN Câu 1: Tìm tất số nguyên a biết * * a a = => a = 0; * a a 4 ; 0 a 4 = => a = a = - ; = => a = a = - 3; * a => a * = 0; 1; 2; ; a = => a = a = - = => a = a = - 9 Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn 10 nhỏ 11 9 9 63 63 63 Gọi mẫu phân số cần tìm x Ta có: 10 x 11 => 70 x 77 => -77 < 9x < -70 Vì 9x 9 => 9x = -72 => x = Vậy phân số cần tìm Câu Cho đa thức: P (x) = x + 2mx + m vàQ ( x ) =x + (2m+1)x + m Tìm m biết P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + 1; Q(-1) = – 2m – +m2 = m2 – 2m Để P(1) = Q(-1) m2 + 2m + = m2 – 2m ⇔ 4m = -1 ⇔ m = -1/4 x y xy 84 x y 4 a/ ; xy=84 Câu 4: Tìm cặp số (x; y) biết: => 49 3.7 21 => x2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = 4 Do x,y dấu nên: x = 6; y = 14 ; x = - 6; y = -14 b/ 1+3y 1+5y 1+7y 12 5x 4x 1+3y 1+5y 1+7y 7y 5y 2y 5y 3y 2y 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 12 www.thuvienhoclieu.com Trang 10 www.thuvienhoclieu.com 2y 2y 1 3y y y 2 => x x 12 => -x = 5x -12 => x = Thay x = vào ta được: 12 1 1 =>1+ 3y = -12y => = -15y => y = 15 Vậy x = 2, y = 15 thoả mãn đề |x+1| Câu 5: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau : A = Ta có : |x+1| Dấu = xảy ⇔ ¿ Dấu = xảy ⇔ B= Ta có: x = 12 ¿ Dấu = xảy ⇔ ⇒ ⇔ 12 x2+ D x=0 ¿ M x= -1 P 12 = + x +3 x +3 Dấu = xảy ¿ 12 x +3 ⇒ ( x2 + ) +12 A ¿ ⇒ x= -1 Vậy: Min A = ⇔ x +15 x +3 x= -1 +5 E ⇒ x 12 A 1+ x +3 ⇒ x = K x = Vậy : Max B = ⇔ N +3 ¿ 1+ ⇒ ¿ ( vế dương ) B ¿ I T ĐA:ĐỀ 3- Câu 6: a/ Xét ADC vàBAF ta có: DA = BA(gt); AE = AC (gt); DAC = BAE ( 900 + BAC ) => DAC = Xét B BAE(c.g.c ) => DC = BE AIE H C TIC I1 = I2 ( đđ) E1 = C1( DAC = BAE) => EAI = CTI => CTI = 900 => DC b/ Ta có: MNE = BE AND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME mà AD = AB ( gt) => AB = ME (đpcm) (1) Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( phía ) mà BAC + DAE = 1800 => BAC = AEM ( ) Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3) Từ (1),(2) (3) => c/ Kéo dài MA cắt BC H Từ E hạ EP Xét AHC ABC = EMA ( đpcm) MH EPA có: CAH = AEP ( phụ với gPAE ) AE = CA ( gt) PAE = HCA ( => AHC = ABC = EMA câu b) EPA www.thuvienhoclieu.com Trang 11 www.thuvienhoclieu.com => EPA = AHC => AHC = 900 => MA BC (đpcm) ĐÁPÁNĐỀ THICHỌNHỌCSINHGIỎICẤPTRƯỜNGLỚP Mơn: TỐN CÂU 1.a 1.b 2.a HƯỚNGDẪNCHẤM Thực theo bước kết -2 cho điểm tối đa Thực theo bước kết 14,4 cho điểm tối đa a + a+3 a( a+1 )+ 3 =a+ a+1 a+1 a+1 Ta có : = a2 + a+3 a+1 a số nguyên nên số nguyên nguyên hay a+1 làước ta có bảng sau : a+1 -3 -1 a -4 -2 a2 + a+3 a+1 Vậy với a ¿ {−4,−2,0,2 } 2.b 3.b a+1 số 0,25 số nguyên Từ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 Vì x,y số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) số nguyên ta có trường hợp sau : { 1−2 y=1 ¿¿¿¿ {1−2 y=−1¿¿¿¿ 3.a ĐIỂM 1Điểm 1Điểm 0,25 Hoặc Vậy có cặp số x, y thoả mãn điều kiện đầu Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d) a c = Hay ad=bc Suy b d ( ĐPCM) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 Giả sử số có chữ số aaa =111.a ( a chữ số khác 0) Gọi số số hạng tổng n , ta có : n(n+1) 0,25 =111 a=3 37 a Hay n(n+1) =2.3.37.a Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 số nguyên tố n+1 12 11 200 = 800 > 1000 () () () 1 = (32 ) (2) (2) 2 3.2.5.2 2.3 b) P 2 2.3 10 200 200 1000 = 12 10 212.310 310.212.5 212.312 211.311 211311 2.3 1 6.212.310 4.211.311 7.211.311 7.211.311 x z y x z y x y z ; ; y z x áp dụng tính c) Vì x, y, z số khác x2 = yz , y2 = xz , z = xy y x z y x z x y z xyz 1 x y z y z x y z x chất dãy tỉ số Bài 2: (1,5 điểm): a) (2x-1)4 = 16 Tìm x =1,5 ; x = -0,5 www.thuvienhoclieu.com (0,25điểm) Trang 13 www.thuvienhoclieu.com b) (2x+1)4 = (2x+1)6 Tìm x = -0,5 ; x = 0; x = -15 c) ||x+3|−8|=20 ||x+3|−8|=20 ⇒ |x+3|−8=20 ; (0,5điểm) |x+3|−8=−20 |x+3|−8=20 ⇒ |x+3|=28 ⇒ x = 25; x = - 31 |x+3|−8=−20 ⇒ |x+3|=−12 : vô nghiệm x x x x x x x x 1 1 1 1 2009 2008 2007 2006 d) 2009 2008 2007 2006 x 2010 x 2010 x 2010 x 2010 2009 2008 2007 2006 x 2010 x 2010 x 2010 x 2010 0 2009 2008 2007 2006 1 x 2010 0 2009 2008 2007 2006 x 2010 0 x 2010 Bài 3: a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = ⇒ (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = ⇒ ⇒ x = z = ;y = -1;y = 3x - 5= 0; y - = ; x - z = x y z = = x2 + y2 + z2 = 116 b) 2 2 2 x y z x + y + z 116 = = = = =4 16 4+ 9+16 29 Từ giả thiết ⇒ Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = ); (x = - 4; y = - 6; z = - ) Bài 4: a) Vì x, y hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên: 2 x1 y2 y y y y y y y2 52 y y 4 x2 y1 y1 3 94 13 3 ) y12 36 y1 6 Với y1= - y2 = - ; Với y1 = y2= b)Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c ) f (0) 3 c 3 ) f (1) 3 a b c 3 a b3 1 ) f ( 1) 3 a b c 3 a b 3 Từ (1) (2) Suy (a + b) +(a - b) 3 2a 3 a 3 ( 2; 3) = b3 Vậy a , b , c chia hết cho n 2 2n2 3n n = 3n2 3n 2n2 2n n n n n n n = (3 1) (2 1) = 10 5 3 10 10 = 10( 3n -2n-1) n 2 n n n Vậy 10 với n số nguyên dương c) www.thuvienhoclieu.com B H D Trang 14 M www.thuvienhoclieu.com I N A C Bài 5: a b c d AIC = BHA BH = AI (0,5điểm) BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (0,75điểm) AM, CI đường cao cắt N N trực tâm DN ¿ AC (0,75điểm) BHM = AIM HM = MI BMH = IMA (0,25điểm) mà : IMA + BMI = 900 BMH + BMI = 900 (0,25điểm) HMI vuông cân HIM = 450 (0,25điểm) mà : HIC = 900 HIM =MIC= 450 IM phân giác HIC (0,25điểm) *) Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác đúng, điểm tối đa ĐÁPÁNĐỀ THICHỌNHỌCSINHGIỎICẤPTRƯỜNGLỚP Mơn: TỐN ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM CÂU Câu (4,5 đ) Câu (3,0 đ) NỘI DUNG a) (1,5đ) x−1 (1+5) = 162 x−1 = 27 => x-1= => x = b) (1,5đ) 3x +x2 = x(3 + x) = x=0 x= -3 c) (1,5đ) (x-1)(x-3) < x-1 > x-3 nên (x-1)(x-3) < ⇔ a) (1,5đ) { x−1>0 ¿ ¿¿¿ x y z = = Từ ta có: x y z 2 x 2 y z 2 x +2 y −3 z −100 = = = = = = = =4 16 25 18 32 75 −25 −25 2 {x =36¿{y =64¿ ¿ Câu (3,0 đ) 0,75 0,75 0,75 0,75 0,5 1,0 0,75 0,75 ( Vì x, y, z dấu) b) (1,5 đ) a b c d a b c d Ta có 2b 2c 2d 2a 2b 2c 2d 2a (do a,b,c,d > => a+b+c+d >0) suy a = b = c= d Thay vào tính P = a) (1,5đ) Ta có x + y + xy =2 x + + y(x + 1) = (x+1)(y+1)=3 Do x, y nguyên nên x + y + phải ước Lập bảng ta có: www.thuvienhoclieu.com ĐIỂM 0,5 0,5 0,5 0,75 Trang 15 www.thuvienhoclieu.com NỘI DUNG CÂU ĐIỂM x+1 -1 -3 y+1 -3 -1 x -2 -4 -4 -2 y Vậy cặp (x,y) là: (0,2); (2,0); (-2,-4); (-4,-2) b) (1,5 đ) 27−2 x Q = 12−x = 2+ 12−x A lớn 12−x lớn * Xét x > 12 12−x < * Xét x < 12 12−x > Vì phân số có tử mẫu số dương, tử không đổi Câu (4,0 đ) nên phân số có giá trị lớn mẫu nhỏ 12-x x Z 12-x nhỏ Vậy để 12−x lớn x = 11 A có giá trị lớn x =11 a) (2,0 đ) Ta có: nghiệm f(x) => f(1) = hay a + b + c = (1) -1 nghiệm f(x) => f(-1) = hay a - b + c = (2) Từ (1) (2) suy 2a + 2c = => a + c = => a = -c Vậy a c hai số đối b) (2,0 đ) x 2 , x => x Ta có 4 Dấu "=" xảy x = y 0 y , Dấu "=" xảy y = -3 x 2 Vậy P = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 y 2007 + 2007 = 2011 Dấu "=" xảy x = y = -3 Vậy giá trị nhỏ P = 2011 x = y = -3 Câu (5,5 đ) 0,5 0,5 0,5 O' www.thuvienhoclieu.com Trang 16 www.thuvienhoclieu.com NỘI DUNG CÂU a) (2,0 đ) - Chứng minh Δ IBM = Δ KCM => IM= MK - Chứng minh Δ IMC = Δ KMB => CI = BK góc MKB = góc MIC => BK//CI b) (1,5 đ) Chỉ AM = MC => Δ AMC cân M => đường cao MN đồng thời đường trung tuyến Δ AMC => N trung điểm AC Δ AKC vng K có KN trung tuyến => KN = AC Mặt khác MC = BC 1 Lại có Δ ABC vng A => BC > AC => BC > AC hay MC > KN Vậy MC > KN (ĐPCM) c) (1,0 đ) Theo CM ý a IM = MK mà AM = MD (gt) => AI = KD Vậy để AI = IM = MK = KD cần AI = IM Mặt khác BI ¿ AM => BI vừa trung tuyến, vừa đường cao Δ ABM => Δ ABM cân B (1) Mà Δ ABC vng A, trung tuyến AM nên ta có Δ ABM cân M (2) Từ (1) (2) ruy Δ ABM => góc ABM = 600 Vậy vng Δ ABC cần thêm điều kiện góc ABM = 600 d) (1,0 đ) Xảy trường hợp: Trường hợp 1: Nếu I thuộc đoạn AM => H thuộc đoạn MC => BI DH cắt tia MN Gọi O giao điểm BI tia MN, O’ giao điểm DH tia MN Dễ dàng chứng minh Δ AIO = Δ MHO’ => MO = MO’ => O ¿ O’ Suy BI, DH, MN đồng quy Trường hợp 2: Nếu I thuộc đoạn MD => H thuộc đoạn MB => BI BH cắt tia đối tia MN Chứng minh tương tự trường hợp Vậy BI, DH, MN đồng quy (Học sinh sử dụng cách khác để CM: VD sử dụng tính chất đồng quy đường cao ) ĐIỂM 0,5 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Lưu ý: - Lời giải trình bày tóm tắt, học sinh trình bày hồn chỉnh, lý luận chặt chẽ cho điểm tối đa - Học sinh trình bày nhiều cách giải khác cho điểm tương ứng ĐÁPÁNĐỀ THICHỌNHỌCSINHGIỎICẤPTRƯỜNGLỚP Mơn: TỐN Câu1: Nhân vế bất đẳng thức ta : (abc)2=36abc +, Nếu số a,b,c số cịn lại +,Nếu 3số a,b,c khác chia vế cho abc ta abc=36 +, Từ abc =36 ab=c ta c2=36 nên c=6;c=-6 +, Từ abc =36 bc=4a ta 4a2=36 nên a=3; a=-3 +, Từ abc =36 ab=9b ta 9b2=36 nên b=2; b=-2 -, Nếu c = avà b dấu nên a=3, b=2 a=-3 , b=-2 -, Nếu c = -6 avà b trái dấu nên a=3 b=-2 a=-3 b=2 www.thuvienhoclieu.com Trang 17 www.thuvienhoclieu.com Tóm lại có số (a,b,c) thỗ mãn tốn (0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6) Câu (3đ) a.(1đ) 5x-3 -2 x>1 *Nếu 3x+1 x1 x x4 (0,25đ) (1)4-x+2x=3 => x=-1( thoả mãn đk) (0,25đ) *4-x x>4 (0,25đ) (1) x-4+2x=3 x=7/3 (loại) (0,25đ) Câu3 (1đ) Áp dụng a+ba+bTa có A=x+8-xx+8-x=8 MinA =8 x(8-x) 0 (0,25đ) * { x≥0¿¿¿¿ { x≤0¿¿¿¿ {x≤0¿¿¿¿ =>0x8 (0,25đ) * => khơng thỗ mãn(0,25đ) Vậy minA=8 0x8(0,25đ) Câu4 Ta có S=(2.1) +(2.2)2+ + (2.10)2(0,5đ) =22.12+22.22+ +22.102 A =22(12+22+ +102) =22.385=1540(0,5đ) Câu5.(3đ) D E C Chứng minh: a (1,5đ) B M Gọi E trung điểm CD tam giác BCD có ME làđường trung bình => ME//BD(0,25đ) Trong tam giác MAE có I trung điểm cạnh AM (gt) mà ID//ME(gt) Nên D trung điểm AE => AD=DE (1)(0,5đ) Vì E trung điểm DC => DE=EC (2) (0,5đ) So sánh (1)và (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25đ) b.(1đ) Trong tam giác MAE ,ID làđường trung bình (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25đ) Trong tam giác BCD; ME làĐường trung bình => ME=1/2BD (2)(0,5đ) So sánh (1) (2) => ID =1/4 BD (0,25đ) ĐÁPÁNĐỀ THICHỌNHỌCSINHGIỎICẤPTRƯỜNGLỚP Mơn: TỐN a b c a = Câu Ta có b c d d www.thuvienhoclieu.com (1) a b c a+b+c = = = b +c+a Ta lại có b c d (2) Trang 18 www.thuvienhoclieu.com a+b+c a = b+c +d d Từ (1) và(2) => a+b+c a c b = = a+b c +a = ( a+b+c ) Câu A = b+c ( ) Nếu a+b+c => A = Nếu a+b+c = => A = -1 Câu a) A = + x−2 để A Z x- làước => x – = ( 1; 5) * x = => A = * x = => A = - b) A = * x = => A = * x = -3 => A = x +3 - để A Z x+ làước => x + = ( 1; 7) * x = -2 => A = * x = => A = -1 * x = -4 => A = - * x = -10 => A = -3 Câu a) x = - b) x = - 11 c) x = Câu ( Tự vẽ hình) MHK làcân M Thật vậy: ACK = BAH (gcg) => AK = BH AMK = BMH (g.c.g) => MK = MH Vậy: MHK cân M ĐÁPÁNĐỀ THICHỌNHỌCSINHGIỎICẤPTRƯỜNGLỚP Mơn: TỐN Bài1: (1,5 điểm) + Tìm được: x = ; y = -1 (0,5đ) + Với x = - ; y = -1 A = - (0,5đ) + Với x = ; y = -1 A= - (0,5đ) Bài 2: (2 điểm) + Từ + = (2 – x)( + ) = x = + Thay x = = = + x + y + z = 100 = = (0,75đ) = (1đ) (0,25đ) Bài 3: (2 điểm) + Biến đổi được: x(2y + 3) = www.thuvienhoclieu.com (0,5đ) Trang 19 www.thuvienhoclieu.com + Chỉ x, y Zx Ư(4) 2y + lẻ (0,5đ) + Lập bảng (1đ) x -4 -2 -1 2y + -1 -2 -4 y -2 loại loại loại loại -1 Bài 4: (2 điểm) a) Chỉ được; a + b + c + d = đpcm (hoặc tính P(1) = đpcm) b) + Rút được: (0,5đ) + x = (1) (0,25đ) + Biến đổi P = (3 +3 = 3x( )+( + x) – 9x + + x) + ( + x) – 9x + (1đ) + Thay (1) vào: P = 9x + – 9x + = 4(0,25đ) (Học sinh giải cách khác cho điểm) Bài 5: (2,5 điểm) + Hình vẽ (phục vụ câu 1): a) Chỉ F giao điểm trung trực BEC (0,25đ) (0,5đ) F (0,5đ) trung trực BC BFC cân (học sinh chứng minh: FC = FE; FB = FE đpcm) K b) + Tính + Hạ FK F EBC = 15 (0,5đ) AB FKB = FHC (ch + cgv) B (0,75đ) BFC vuông cân FBC = 45 + Kết luận BFE (0,25đ) (0,25đ) A F H C ĐÁPÁNĐỀ 10 THICHỌNHỌCSINHGIỎICẤPTRƯỜNGLỚP Mơn: TỐN Bài 1: (1điểm) = = = x, y, z = = = 0,5đ 0,25đ 0,25đ + ab + 0,5đ 0,25đ 0,25đ N, x ≠ = = =1 x = 2; y = 3; z = Vậy = 235 Bài 2: (1,5 điểm) Ta có: Suy ra: + + + ac + = a(b – c) www.thuvienhoclieu.com = (vì + 16 = 25) Trang 20 ... AC=3 AD b Chứng minh ID =1/4BD www. thuvienhoclieu. com ĐỀ www. thuvienhoclieu. com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Thời gian: 120 phút Trang www. thuvienhoclieu. com Câu ( 2đ) a b c = = b c d... minh ba điểm B, O, K thẳng hàng www. thuvienhoclieu. com Trang www. thuvienhoclieu. com ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP Thời gian: 120 phút www. thuvienhoclieu. com ĐỀ 11 x+4 x y = Bài 1:(2 đ)a... n 2 n n c) Chứng minh : Với số nguyên dương n : chia hết cho 10 www. thuvienhoclieu. com Trang www. thuvienhoclieu. com Bài 5: Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm BC Lấy điểm D thuộc