Đề thi toán HOMC năm 2015

II Phần trắc nghiêm Chọn đáp án đúng Đề thi HOMC 2015( Olympic Toán Hà Nội mở rộng) Ngày thi 22 tháng 3 năm 2015 Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề I Phần trắc nghiêm Hãy Chọn đáp án đúng Q[.]

Đề thi HOMC 2015( Olympic Toán Hà Nội mở rộng) Ngày thi 22 tháng năm 2015 Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề I Phần trắc nghiêm: Hãy Chọn đáp án Q1: Viết số hạng thứ dãy ( -1; 4;-2;3;-3;4;……) A.-1 B.-2 C.-3 A.-4 2017 2015 Q2.Tìm chữ số tận 2017  2013 A.2 B.4 C.6 D.8 E Đáp án khác Q3: Tính tổng số chẵn nhỏ 100 không chia hết cho A.1434 B.1534 C.1634 D.1734 E Đáp án khác Q4: Cho tam giác đề lục giác có chu vi bẳng Nếu diện tích tam giác cm diện tích lục giác là: A B C D Q5:Cho số tự nhiên a,b,c m  m 26  thoả mãn a+b+c (a-b)(b-c)(c-a) m(mod27) Thì m A.0 B.1 C.25 D.26 E Đáp án khác II Phần tự luận 2 Q6: Cho a, b, c    1;1 ;1  2abc a  b  c Chứng minh :  2a 2b c a  b  c Từ GT ta có Mặt khác a  2abc a  b  c   4a b c a  b  c   2(a b  b c  c a )  2(a  b  c )    4a b c   2(a b  b c  c a )  2(a  b  c ) a  b  c ; (*) a, b, c    1;1 nên    b  c  0  a b  b c  c a  (a  b  c )   a b c 0  2     a b  b c  c a  a  b  c 2  2a b c Thay vào (*) ta có  2a b c a  b  c dấu ‘=” xảy có số -1,2 số x 2x   x  với  x  phần nguyên x Q7: Giải phương trình : HD: x 2x   x   x  2x   x     x  1  x   0  x  Ta có  x  x nên x 2x   x  2x  x  x  2x  x 0  x  x  1  x  x  1 0 2    1  1 1  x   0   x  x  1 x  x  1U0 x    2 2    Trường hợp: Trường hợp 1  x  1; x   x    x  0 1 x      x  1 Nếu  x 0 ta có phương trình:  x 0  x  x  x x  0   x   x     x=0 thỏa mãn  x 0 Nếu  x  1 ta có phương trình:  x 2 x   x  x  0  x    x2  1  x 1     x 1   2  x  1 x  1 loại  x  1  x   1;0;   Q8:Giải phương trình :  2014 x  2015 8 x  1   2013x  2012 HD:  2014x  2015 8 x  13   2013x  20123   2013x  2012  x  23  x  23   2013x  2(x-1)=a ,2013x-2012=b ta có PT *  (a  b) a  b  ab(a  b) 0 Giải 2012 (*) đặt  2012 2014  S  1; ;   2013 2015  Q9:Cho a,b,c số thực dương abc=1.Chứng minh 3 a +b3 +c3 +2   ab  +  cb  +  ac   3  a b +b 2c +c 2a    HD Áp dụng BĐT Cô Si cho số dương ta có a b  b c  c a 33 a b c 3 abc  3 a  a b  33 a b 3a b; b  c b  33 b c 3b c; c  c a  33 c a 3c a; VT a  b  c  2(a b  b c  c a ) a  b  c  (a b  b c  c a )  (a b  b c  c a ) Ta có VT a  b  c  (a b  b c  c a )  3(a b  b c  c a) Dấu “=” xảy a b c b a c  a b 1  b b c a abc 1  c a c3  a b c 1 Q10:Cho tam giác vuông ABC ( vuông A).Dựng bên ngồi tam giác hình vng.Đường thẳng qua đỉnh hình vng ( khơng có ba đỉnh tam giác ABC) chúng cắt tạo thành tam giác Tính diện tích tam giác biết S ABC 9(cm ) ( Bài thiếu kiện dịch sai đề ) P I D B H M E A C F G N Q11:Cho tứ giác lồi ABC gọi AC cắt B O gọi I, K ,H chân đường cao kẻ từ B, O ,C tới AD Chứng minh : AD.BI.CH BD.OK.AC I B A K O E H C D Kẻ AE  BD OK//HC nên AO OK   AO.HC OK AC AC HC Ta lại có AD.BI.CH=2 S ABD CH Mà BD.CE=2SABD ,OA.HC=OK.AC nên AD.BI.CH=2 S ABD CH=BD.CE.CH  BD.AO.CH=BD.OK.AC Dấu “=” xảy AE=AO hay AC  BD Q12:Cho tam giác ABC có ba đường cao 3cm; hb 7cm; hc dcm Cạnh tam giac số nguyên dương.Tính d HD Gọi ba cạnh a;b;c ta có 2S ABC 3a 7b cd  a b c a b a  b     (;vì 7d 3d 21 10d 4d a>b) Ta có 2 Q13:Cho  a +b -2   a+b  +  1+ab  =0;(a,b  Q) Chứng minh : 1+ab  Q 2 (GT)    a  b   2(ab  1)(a  b)  1  ab    a  b   2(a  b) (1  ab)  (1  ab) 0 2    a  b   (1  ab) 0  (a  b) 1  ab  a  b   ab  Q; vi : a; b  Q Q14:Giải phương trình nghiêm nguyên: 2xy  x  y  2y  x  xy HD 2xy  x  y  2y  x  xy  2xy  2y  x  x  xy  y 0  (x  1)(y2  x  y)  Ta có Q15: Cho số thực a,b,c thỏa mãn a +b +c 8 Tìm giá trị lớn 10d  21 21 21 a  b c  a b     d  ; d  N  d   3;4;5 ; (cm) 10 4d  21   x     2 y  x  y 1    x  1   2 y  x  y    x 0   2 y  y 1    x 2   2 y  y 1   x 0    y (2 y  1) 1    x 2    y (2 y  1) 1   x 0    y 1   x 2    y 1 M=4(a +b3 +c3 )-(a +b +c ) HD Ta có với số thực a : a (a  2) 0  a (a  Nên M=4(a +b3 +c3 )-(a +b +c ) 4a  b  c  32 Max(M)=32 (a,b,c)=(2,2,0) hoán vị 4a  4) 0  4a  a 4a ( Đề thi tiếng Anh lời giải HS phải tiếng Anh giải theo phần dịch đề HS chưa xác mong bạn tham khảo bổ xung thêm cách giải khác ) GVHD: Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Phú Thọ ... 32 Max(M)=32 (a,b,c)=(2,2,0) hoán vị 4a  4) 0  4a  a 4a ( Đề thi tiếng Anh lời giải HS phải tiếng Anh tơi giải theo phần dịch đề HS chưa xác mong bạn tham khảo bổ xung thêm cách giải khác... giác ABC) chúng cắt tạo thành tam giác Tính diện tích tam giác biết S ABC 9(cm ) ( Bài thi? ??u kiện dịch sai đề ) P I D B H M E A C F G N Q11:Cho tứ giác lồi ABC gọi AC cắt B O gọi I, K ,H chân đường...  1 loại  x  1  x   1;0;   Q8:Giải phương trình :  2014 x  2015? ?? 8 x  1   2013x  2012 HD:  2014x  2015? ?? 8 x  13   2013x  20123   2013x  2012  x  23  x 