Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT TÓM TẮT TOÁN 9 CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI , CĂN BẬC BA 1) Căn bậc hai * Căn bậc hai số học của số thực a 0 , kí hiệu là số x 0 mà x2 = a * a > 0 , có hai căn bậc hai là hai số đối[.]
TĨM TẮT TỐN CHƯƠNG I CĂN BẬC HAI , CĂN BẬC BA 1) Căn bậc hai * Căn bậc hai số học số thực a , kí hiệu * a > , có hai bậc hai hai số đối a số x mà x2 = a a - a Ta có a a =a * Căn bậc hai ;* Với a > ; b > ta có : a > b a b A có nghĩa ( xác định ) B > B A nÕu A 0 A A A * có nghĩa ( xác định ) B 0 A ; * B - A nÕu A < * A xác định ( có nghĩa ) A * A.B A B A A ; B B * * ; A B A.B C A B ( với A 0 ; B 0 ) ; A B A B ( Với B ) A A.B ( Với AB 0 ; B 0 ) B B A A ( với A 0 ; B 0 ) ; B B A A B ( Với B > ) ; B B * * 1 A B ( A A-B A B A B D C.( A B ) D.( A A-B A B B) B) ( Với A 0 ; B 0 ; A ≠ B ) * A A ( A ) ; ( A ) A A 1 ( Với A ) * A2 - 2AB + B2 = ( A – B )2 ; A – AB + B = ( ( A B ) ( Với A 0 ; B 0 ) * A2 – B2 = ( A – B )( A + B ) ; A – B = ( A B)( A B) * A3 - B3 = ( A – B )( A2 + AB + B2 ) ; A3 B3 ( A B)(A - AB + B ) * ( A – B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 ; ( A +B )2 = A + 2B A + B2 ( Với A ) * x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 – 2x1x2 ; x13 + x32 = ( x1 + x2 )3 – 3x1x2(x1 + x2 ) *( x1 - x2 )2 = x12 + x22 - 2x1x2 x1 x x 21 x 2 2x1x * A + A A( A 1 ) ( A ) ; A – = * * * * A B B - A n n +1 A B A B n +1 A1 A 1 A - 2B A B2 A B A B ( A B) ( A A-B A B A B B) ( Với A 0 ; B 0 ; A ≠ B ) n ( Với số tự nhiên n ) A B ( A B) ( A A-B A B B) (Với A 0 ; B 0 ; A ≠ B ) * Bảy đẳng thức đáng nhớ : 1) Bình phương tổng : ( A + B )2 = A2 + 2AB + B2 2) Bình phương hiệu : ( A - B )2 = A2 - 2AB + B2 3) Hiệu bình phương : A2 – B2 = ( A – B )( A + B ) 4)Lập phương tổng : ( A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 4)Lập phương tổng : ( A + B )3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5)Lập phương hiệu : ( A - B )3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 6) Tổng lập phưong : A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2 ) 7) Hiệu lập phưong : A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2 ) Chương 2+3 HÀM SỐ BẬC NHẤT,HỆ PT BẬC NHẤT HAI ẨN I/ Hàm số y a.x b a 0 xác định với giá trị x II/ Tính chất: Hàm số đồng biến R a >0 Nghịch biến R a < III/Với hai đường thẳng y a.x b a 0 (d) y a '.x b ' a ' 0 (d’) ta có: a a ' 1/ (d) (d’) song song với b b ' a a ' 2/ (d) (d’) trùng b b ' 3/ (d) (d’) cắt a a ' a a ' b b ' 4/ (d) cắt (d’) điểm trục tung 5/Muèn t×m toạ độ điểm chung đồ thị hàm số y=f(x) y=g(x) ta tìm nghiệm hệ y=f(x) y=g(x) phơng trình: 6/H phng trỡnh tng ng : * Hai hệ phương trình tương đương gọi tương đương với chúng có tập nghiệm 7/Hệ hai phương trình bậc hai ẩn : y a1x + b1 y = c1 (d1 ) a x + b y = c (d ) y a1 c1 b1 b1 a c2 b2 b2 I *(d1) cắt (d2) Hệ (I ) có nghiệm *(d1) song song với (d2) Hệ ( I ) vô nghiệm *(d1) trùng với (d2) Hệ ( I ) vô số nghiệm Chương HÀM SỐ y = ax2 ( a ≠ 0) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Hàm số y ax (a 0) - Với a >0 Hàm số nghịch biến x < 0, đồng biến x > - Với a< Hàm số đồng biến x < 0, nghịch biến x > *Đồ thị hàm hàm số y = ax2 ( a ≠ ) đường cong qua gốc toạ độ nhận trục Oy làm trục đối xứng Đường cong gọi Parabol với đỉnh O * Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh , O điểm thấp đồ thị * Nếu a < đồ thị nằm phía trục hoành , O điểm thấp đồ thị Phương trình bậc hai ax bx c 0(a 0) = b2 – 4ac ’ = b’2 – ac ( b = 2b’) > Phương trình có hai nghiệm phân biệt ’ > Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 b b ; x2 2a 2a = x1 P.trình có nghiệm kép x1 x b 2a b ' ' a ’ = ; x2 b ' ' a P.trình có nghiệm kép x1 x b' a < Phương trình vơ nghiệm ’ < Phương trình vơ nghiệm Hệ thức Vi-ét ứng dụng Nếu x1 x2 nghiệm Muốn tìm hai số u v, biết u + v = S, u.v = P, phươngtrình ax bx c 0(a 0) ta giải phương trình x – Sx + P = ( điều kiện để có u v S2 – 4P ) b Nếu tam thức bậc hai ax bx c,(a 0) có hai x1 x a nghiệm : x1 ; x c x1 x Nếu ax bx c a x x1 x x a a + b + c = phương trình bậc hai ax bx c 0 (a 0) có hai nghiệm : x1 1; x Nếu c a a - b + c = phương trình bậc hai ax bx c 0 (a 0) có hai nghiệm : x1 1; x c a * Nếu a.c S > ; 4/.Có hai nghiệm âm : Δ Δ’ , P > S < ; 5/Có hai nghiệm trái dấu : Δ Δ’ > ; P < 0 pt có hai nghiệm dấu x x Δ’ pt có hai nghiệm âm phân biệt x1.x Δ’cũng x1 x 0 5/ pt có hai nghiệm đối x x 0 Δ’ 0 6/ pt có hai nghiệm trái dấu x x 0 Δ’ 0 7/ pt có hai nghiệm nghịch đảo x x 1 Δ’ 8/MỞ RỘNG 8.1) Với n N* , ta có : (n + 1) n - n n + (n + 1) n - n n + 1 2 n(n + 1) (n + 1) n n n + n + 1 n - n (n + 1) n n +1 8.2) Cơng thức tính khoảng cách d hai điểm A(x1 ; y1) B(x2 ; y2) d = AB = 8.3) x2 x1 y y1 B 0 A B A = B ; 2 * A B A B ; A B A=B (A>0;B>0) 9)VÞ trí tơng đối đờng thẳng (D) y=mx+n parabol (P) y= ax2 Hoành độ điểm chung (D)và (P) nghiệm phơng trình f(x)= g(x) mx+n = ax2 ax2 mx-n=0 (I).phơng trình(I) phơng trình bậc hai +,(D) (P) điểm chung phơng trình(I).vô nghiệm hoc +,D) tiếp xúc (P) phơng trình(I).có nghiệm hoc +D) cắt (P) hai điểm phơng tr×nh(I).cã hai nghiƯm Δ’ HÌNH HỌC Chương 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG I/ Các hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông 1) b2 = a.b’ (AC2 = BC.HC) c2 = a.c’ (AB2 = BC.BH) 2) h2 = b’.c’ (AH2 = BH.HC) c 3) h.a = b.c (AH.BC = AB.AC) 1 1 1 2 c' 4) h b c AH AB AC B 5) 2 a b c (Đlí Py ta go) A b h b' H C a II/ Tỉ số lượng giác góc nhọn sinα= cosα= Cạnh đối Cạnh huyền Cạnh kề = AC C BC AB = Cạnh huyền BC Cạnh đối AC tanα= = Cạnh kề AB Cạnh kề AB cotα= = Cạnh đối AC Cạnh huyền Cạnh đối α Cạnh kề B A III/ Một số tính chất tỷ số lượng giác Cho hai góc nhọn phụ 900 , đó: sin = cos cos = sin tan = cot cot = tan 0 0 0 0 VD: sin 30 cos 90 30 cos60 ; tan 20 cot 70 ; cos50 sin 40 Cho góc nhọn Ta có: < sin < < cos < sin cos sin2 + cos2 = 1; tan ; tan .cot 1 ; cot ; tan .cot 1 cos sin CHƯƠNG II ĐƯỜNG TRÒN 1)Định nghĩa xác định đường tròn: a) Định nghĩa : Tập hợp điểm cách điểm O cố định khoảng khơng đổi R đường trịn tâm O, bán kính R Kí hiệu : đường tròn ( O; R ) hay đường tròn ( O ) b) Vị trí điểm đường tròn : * Điểm M nằm đường tròn ( O ; R ) OM = R * Điểm M nằm ngồi đường trịn ( O ; R ) OM > R * Điểm M nằm đường tròn ( O ; R ) OM < R c) So sánh độ dài dây đường kính : * Định lý : Đường kính dây cung lớn đường tròn d) Sự xác định đường tròn: * Đường tròn qua ba đỉnh A, B, C tam giác ABC gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( Tam giác ABC gọi tam giác nội tiếp đường tròn ) * Tâm đường tròn ngoại tiếp t/g giao điểm đường trung trực cạnh tam giác 2) Tính chất đối xứng đường tròn : M A I O B a) Liên hệ đường kính dây cung: *Định lí : Đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây (Đường trịn ( O ) có OM ⊥ AB I I trung điểm AB ) *Định lí đảo : đường kính qua trung điểm dây (dây không đường kính ) vng góc với dây (Đường trịn ( O ) có OM cắt AB I I trung điểm dây AB OM ⊥ AB I ) b) Liên hệ dây khoảng cách đến tâm : N * Định lí : Trong đường trịn : B I A O C K D + Hai dây cách tâm (Đường trịn ( O )có AB = CD, OI ⊥AB tạiI, OK ⊥CD K OI = OK ) + Hai dây cách tâm (Đ Trịn (O) có OI ⊥AB I, OK⊥CD K, OI = OK AB = CD) + Dây lớn gần tâm ;+ Dây gần tâm lớn 2)Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn : Ghi : d = OH khoảng cách từ tâm đ tròn ( O, R ) đến đ thẳng a *Đường thẳng đường trịn khơng giao : O - Số điểm chung : ; - Hệ thức : d > R d a O D H *Đường thẳng đường tròn cắt : - Số điểm chung : ; - Hệ thức : d < R +Trường hợp đường thẳng a gọi cát tuyến đường tròn ( O, R ) H a O d a * Đường thẳng đường tròn tiếp xúc : - Số điểm chung : ; - Hệ thức : d = R + Trường hợp đường thẳng a gọi tiếp tuyến đường tròn ( O ; R ) H gọi tiếp điểm H * Định lí 1:( t/c tt ) Nếu đ.thẳng tiếp tuyến đ trịn vng góc với b.kính qua t điểm (Nếu a tiếp tuyến đ tròn tâm O H tiếp điểm a ⊥OH hay a ⊥d ) * Định lí ( dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến ) Nếu đường thẳng qua điểm đưịng trịn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn ( Đường tròn ( O , R ) có OH = R OH ⊥ a a tiếp tuyến đường trịn ( O ) ) * Định lí 3: ( tính chất hai tiếp tuyến cắt ) Nếu MA MB hai tiếp tuyến đường tròn ( A B hai tiếp điểm ) : (O) + MA = MB + OM phân giác góc AOB + MO phân giác góc AMB + OM ⊥ AB I ; I trung điểm AB ( OM trung trực AB ) A I O M * Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC gọi đường tròn nội tiếp tam giác ABC ( Tam giác ABC gọi tam giác ngoại tiếp đường tròn ) B A + Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm đường phân giác tam giác 4) Vị trí tương đối hai đường tròn : Ghi : d khoảng cách hai tâm hai đường tròn ( O; R) ( I ; r ), d = OI, giả sử R > r > * Hai đường trịn khơng giao : C - Số điểm chung : ;-Hệ thức d , R , r : O B R O r E F I I O O Ở : d > R + r d