SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
TRƯỜNG THPTNGUYỄN HUỆ
ĐỀ THITHỬĐẠIHỌC
MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013
Thời gian làm bài: 180 phút.
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số : y = x
4
– 5x
2
+ 4
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm tất cả các điểm M trên đồ thị (C) của hàm số sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân
biệt khác M
Câu II: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2 os6x + 2cos4x - 3 os2x = sin2x + 3c c
2. Giải hệ phương trình:
( )
2
2
4 2 2 2
x - y + x + y= y
(x,y R)
x - 4x y+3x = - y
∈
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân
/4
2
0
ln(sin cos )
cos
x x
dx
x
π
+
∫
Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường
tròn đường kính AD = 2a, SA
^
(ABCD),
6SA a=
, H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tìm
thể tích khối chóp H.SCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.
Câu V: (1,0 điểm) Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu
thøc A =
( )
+
+ cba
3
1
( )
+
+ cab
3
1
( )
abc +
3
1
Câu VI (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(0, 2) và elip có phương trình
2
2
x
+ y = 1
4
. Viết
phương trình đường thẳng đi qua điểm M cắt elip tại A, B sao cho
3MA -5MB= 0
r
uuuv uuuv
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (0, 0, 5), điểm B (5, 0, 2) và mặt phẳng (P) có
phương trình z = 2. Viết phương trình đường thẳng
D
đi qua điểm B,
D
nằm trong mặt phẳng (P) sao
cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng
D
bằng 5.
Câu VII (1,0 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn
2 52z i- - =
, tìm số phức z mà
4 2z i- +
là nhỏ nhất.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên:……………………………………………… SBD:……………………
CU NI DUNG IM
I-1
(1im)
y = x
4
5x
2
+ 4
+ TX: R
+Gii hn v tim cn:
lim
x
y
= +
0,25
+ S bin thiờn: y = 4x
3
10x = 0 x = 0 hoc x =
5
2
Hm s nghch bin trờn: (;
5
2
) v (0;
5
2
)
Hm s ng bin trờn: (
5
2
; + )v (
5
2
,0)
Cỏc im dc tr x
C
= 0, y
C
= 4;
5
2
x
=
CT1
, y
CT1
=
9
4
;
5
2
x
=
CT2
, y
CT2
=
9
4
;
0,25
0,25
Đồ thị:
0,25
I-2
(1im)
Lấy M(m ; m
4
5m
2
+ 4) (C)
Phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M : y = (4m
3
10m)(x m) + m
4
5m
2
+ 4 (d)
0,25
Hoành độ của (d) & (C) là nghiệm phơng trình:
x
4
5x
2
+ 4 = (4m
3
10m)(x m) + m
4
5m
2
+ 4
(x m)
2
(x
2
+ 2mx + 3m
2
5) = 0 (1)
0,25
Cần tìm m để x
2
+ 2mx + 3m
2
5 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác m
Điều kiện là
>
056
025
2
2
m
m
0,25
4
x
0
0
-
-
0
0
+
+
+
+
y
+
y
4
C¸c ®iÓm M(m ;m
4
5m–
2
+ 4) ∈(C) víi hoµnh ®é
10 10 30
; \
2 2 6
m
∈ − ±
÷
÷
0,25
II-1
(1
điểm)
2 os6x+2cos4x- 3 os2x =sin2x+ 3c c ⇔
4cos5xcosx = 2sinxcosx + 2
3
cos
2
x 0,25
os x=0
2cos5x =sinx+ 3 cos
c
x
⇔
0,25
cos 0
os5x=cos(x- )
6
x
c
π
=
⇔
0,25
2
24 2
36 3
x k
k
x
k
x
π
π
π π
π π
= +
⇔ = − +
= +
0,25
II-2
(1
điểm)
Hệ tương đương
2
2 2 2
(1 2 ) 0 (1)
( ) 3 (1 2 ) 0 (2)
+ + − =
+ + − =
x y x y
x y x y
0,25
Thay (1) vào (2) được
( )
2
2 2
0
1
(1 2 ) 3 (1 2 ) 0 2 (1 2 )(2 ) 0
2
2
x
x y x y x y y y
y
=
− + − = ⇔ − − = ⇔ =
=
0,25
Với x = 0 suy ra y = 0
Với 1-2y = 0 thay vào (1) suy ra
2
1
2
x y
−
= − =
(Vô lí)
0,25
Với y = 2 suy ra x = 1 hoặc x = 2
Hệ có 3 nghiệm (0,0), (1,2), (2,2)
0,25
III
(1
điểm)
Đặt u =
ln(sin cos )x x+
⇒
du =
cos sin
sin cos
x x
dx
x x
−
+
dv =
2
1 sin cos
tan 1
cos cos
x x
dx v x
x x
+
⇒ = + =
0,5
Ta có : I =
/4
/4
0
0
cos sin
(tan 1)ln(sin cos )
cos
x x
x x x dx
x
π
π
−
+ + −
∫
0,25
=
/4
0
3
2ln 2 ( ln cos ) ln 2
4 2
x x
π
π
− + = − +
0,25
IV
(1
điểm)
Trong tam giác vuông SAB có
2
2 2 2
2 2 2 2
.
6 6
7
7
SA SH SB
SH SA SA a
SB
SB SA A B a
=
= = = =Þ
+
B.SCD S.BCD
6 6
V = V = V
7 7
6 6
= . 6.
7 7
HSDC
BCD BCD
SA S a S=
0,25
K là hình chiếu của B trên AD ta có: BK.AD = AB.BD suy ra 0,25
2
. 3 1 3
.
2 2 4
BCD
A B BD a a
BK S BK BC
A D
= = = =ị
, suy ra:
3
9 2
V
14
HSDC
a
=
Do AD//(SBC) nờn
( ) ( )
( , )
( , ) ( , )
AD SC
AD SBC A SBC
d d d
= =
Dng hỡnh bỡnh hnh ADBE. Do AB
^
BD nờn AB
^
DE
0,25
t
( )
( , )A SBC
d
= h ta cú
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
6 3 6h SA AB AE SA AB BD a a a a
= + + = + + = + + =
Suy ra
( , )AD SC
d
= h =
6
3
a
0,25
V
(1 im)
ặt x =
c
z
b
y
a
1
,
1
,
1
==
. Do
11 == xyzabc
Khi đó:
=
+
+
+
+
+
=
xy
z
zx
y
zy
x
A
111111
333
3 3 3 2 2 2
x yz y xz z xy x y z
y z z x x y y z z x x y
+ + = + +
+ + + + + +
(*)
0,25
p dụng bất đẳng thức Trung bình cộng- trung bình nhân cho các số dơng ta có:
2
4
x y z
x
y z
+
+
+
,
2
4
y z x
y
z x
+
+
+
,
2
4
z x y
z
x y
+
+
+
.
0,25
Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta có :
2 2 2
2
x y z x y z
y z z x x y
+ +
+ +
+ + +
Dấu = xảy ra khi x = y = z.
0,25
A=
2
3
2
3
2
3
222
=
++
+
+
+
+
+
xyz
zyx
yx
z
xz
y
zy
x
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng
3
2
t khi a = b = c = 1
0,25
VI- 1
(1 im)
ng thng d qua M(0,2) cú phng trỡnh
2 2
( 0)
2
x mt
m n
y nt
=
+
= +
d ct elip 2 im phõn bit iu kin l phng trỡnh
( )
2
2 2 2
2
2
2 1 4 3 0
4 4
m t m
nt n t nt
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
+ + = + + + =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
cú 2 nghim phõn bit
iu kin l:
2
2
2
2
0
4
3
0
4
m
n
m
n
ỡ
ù
ù
+ ạ
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
= - >D
ù
ù
ù
ợ
0,25
Xột A
( )
1 1
, 2mt nt+
, B
( )
2 2
, 2mt nt+
,
( ) ( )
1 1 2 2
, , ,MA mt nt MB mt nt
uuur uuur
1 2
5 0 3 5MA MB t t- = =
uuur uuur
0,25
0,25
Theo định lí Vi- et có
1 2
2
2
1 2
2
2
4
4
3
.
4
n
t t
m
n
t t
m
n
ì
ï
-
ï
+ =
ï
ï
ï
ï
+
ï
ï
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
+
ï
ï
ï
î
Suy ra
2 2
m n=
Cho m = 1 suy ra n = 1 hoặc n = - 1
Phương trình d là
2
x t
y t
ì
ï
=
ï
í
ï
= +
ï
î
hoặc
2
x t
y t
ì
ï
=
ï
í
ï
= -
ï
î
0,25
VI-2
(1 điểm)
Gọi H là hình chiếu của A trên
D
thì H thuộc (P) và mặt cầu tâm A bán kính 5 nên
2 2 2 2 2
2 2
( 5) 25 16 (1)
z z
x y z x y
ì ì
ï ï
= =
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ + - = + =
ï ï
ï ï
î î
0,25
Gọi A’ là hình chiếu của A trên
D
thì A’(0, 0, 2). Ta có:
( 5, , 0) ' ( , , 0)BH x y A H x y- ^
uuur uuuur
nên có
2 2
. ' 0 5 0 (2)HB HA x x y= - + =Û
uuur uuur
0,25
Từ (1), (2) tìm được
16
5
12
5
x
y
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
hoặc
16
5
12
5
x
y
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
í
ï
-
ï
=
ï
ï
ï
î
0,25
Với H (
16
5
,
12
5
, 2) suy ra
5 3
: 4
2
x t
y t
z
ì
ï
= -
ï
ï
ï
=D
í
ï
ï
=
ï
ï
î
Với H (
16
5
, -
12
5
, 2) suy ra
5 3
: 4
2
x t
y t
z
ì
ï
= +
ï
ï
ï
=D
í
ï
ï
=
ï
ï
î
0,25
VII.
(1 điểm)
Gọi z = x + iy khi đó M(x,y) biểu diễn z
2 2
2 52 ( 2) ( 1) 52z i x y- - = - + - =Û
M nằm trên đường tròn (C) tâm I(2,1) bán kính R =
52
0,25
A(4, -2) biểu diễn 4 – 2i. Ta có AM =
4 2z i- +
Ta cần tìm M thuộc (C ) để AM nhỏ nhất
0,25
AI có phương trình
4 2
2 3
x t
y t
ì
ï
= -
ï
í
ï
= - +
ï
î
Thay vào phương trình (C ):
2 2
3
4( 1) 9( 1) 52
1
t
t t
t
ì
ï
=
ï
- + - = Û
í
ï
= -
ï
î
0,25
t = - 1 suy ra M
1
(6, -5) và AM =
13
; t = 3 suy ra M
2
(-2, 7) và AM =
3 13
Vậy M(6, -5) là điểm cần tìm.
0,25
. DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC
MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013
Thời gian làm bài: 180 phút.
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số :. t
ì
ï
= -
ï
í
ï
= - +
ï
î
Thay vào phương trình (C ):
2 2
3
4( 1) 9( 1) 52
1
t
t t
t
ì
ï
=
ï
- + - = Û
í
ï
= -
ï
î
0,25
t = - 1 suy ra M
1
(6, -5 ) và AM