MỤC LỤC 1 Mở đầu 1 1 Lí do chọn đề tài 1 2 Mục đích nghiên cứu 1 3 Đối tượng nghiên cứu 1 4 Phương pháp nghiên cứu 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2 1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2 2 Thực[.]
MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị 4.1 Kết luận 4.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình lớp chun tốn kì thi học sinh giỏi quốc gia trung học phổ thơng, tốn đa thức đóng vai trị quan trọng Để giải tốn đa thức, địi hỏi em bước đầu có tư giải tích; biết vận dụng kiến thức hàm liên tục, đạo hàm; biết thay giá trị đặc biệt hàm số nhằm tìm quy luật Chúng ta mong muốn tạo hứng thú học tập cho học sinh, bên cạnh việc giúp em rèn luyện phương pháp xử lí đa thức, vận dụng thành thạo tư cho loại tập khác Trong khuôn khổ đề tài “Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi phần đa thức”, tác giả nêu số phương pháp thường dùng để em giải tốn cách khoa học hơn, có sở có tính sáng tạo Từ giúp em củng cố kiến thức, rèn luyện khả nghiên cứu khoa học, trang bị thêm kiến thức nhằm chuẩn bị tốt cho kỳ thi Học sinh giỏi năm học 2020-2011 năm học sau 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm tìm phương pháp giúp học sinh tiếp cận có tảng kiến thức để xử lí tốn đa thức, rèn luyện khả suy nghĩ độc lập, tìm tịi, phát vấn đề 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm lớp chuyên Tốn, đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn Trường THPT chuyên Lam Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu Đa thức, Phương trình hàm, Phương pháp dạy học mơn Tốn có liên quan đến đề tài Sáng kiến kinh nghiệm Quan sát: Quan sát thực trạng Dạy - Học lớp chun Tốn 10,11 nói chung đội tuyển HSG mơn Tốn nói riêng, phần Đa thức Trường THPT chuyên Lam Sơn Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi hiệu việc vận dụng dạy học số nội dung phần Đa thức vào UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com dạy lớp chuyên Toán 10,11 đội tuyển học sinh giỏi Toán Trường THPT chuyên Lam Sơn UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Định lí Đại số: Một đa thức hệ số thực bậc có khơng q nghiệm thực (kể bội) Định lí: Một đa thức hệ số thực bậc không có nghiệm thực (kể bội) đa thức không Hệ quả: Hai đa thức hệ số thực bậc có nghiệm thực chung hai đa thức Định lí Bezout Nếu đa thức , với hệ số thực nhận nghiệm thực đa thức hệ số thực Hệ quả: Nếu đa thức thực hệ số thực bậc có nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Học sinh lớp chuyên đội tuyển thường gặp khó khăn gặp tốn đa thức Các tài liệu chưa đưa hệ thống tập, phương pháp hiệu để giải toán đa thức 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Hướng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài, gợi ý cho em theo định hướng phát giải vấn đề Đưa phân tích tư duy, nào, cách nghĩ chung để phát lời giải - Luôn hướng dẫn học sinh dùng tương tự hóa để tìm lời giải cho tốn - Rèn luyện cho học sinh thực phân chia thành công đoạn để dễ thực giải tốn - Ln linh hoạt giải tốn, kết hợp thành thục phương pháp - Nêu số phương pháp chung để giải toán đa thức với hệ thống tập ví dụ mẫu mực Sau phần nội dung chi tiết sáng kiến kinh nghiệm UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC I BÀI TỐN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC I.1 Bài tốn xác định đa thức dựa vào yếu tố nghiệm đa thức Đây lớp tốn tìm đa thức dựa vào tính chất: đa thức hệ số thực bậc khơng q có nghiệm thực (kể bội) đa thức khơng Bài 1: Tìm tất đa thức hệ số thực thỏa mãn đồng thức: a) (1) b) (2) Bài giải a) Nhận xét Từ Nếu thỏa mãn yêu cầu toán Nếu Giả sử Đặt với Ta thấy Đa thức bậc có nhiều nghiệm Suy Thử lại ta thấy thỏa mãn Vậy đa thức cần tìm ( số ) b) Từ giả thiết ta nhận thấy Do nghiệm đa thức Thay vào đồng thức (2) ta được: Thử lại thấy Vậy ( thỏa mãn yêu cầu toán số ) Bài 2: Tìm tất đa thức thức a) b) Bài giải a) Ta có: Xét Suy hệ số thực thỏa mãn đồng suy , thử lại Vậy b) Ta có: Xét suy Thử lại UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vậy Bài 3: Cho hai số a) Nếu b) Nếu Bài giải a) Nếu Nếu , Đa thức (1) thỏa mãn Hãy tìm đa thức thỏa mãn (1) đa thức bậc thỏa mãn (1) Ta chứng minh Giả sử Từ (1) suy Ta có ( Đồng hệ số b) Nếu ) đẳng thức Hệ thức (1) trở thành Ta thấy Giả sử Cho Tức Thay vào (1) Thử lại toán Vậy Bài ( Moldova 2004) : Tìm đa thức thỏa mãn yêu cầu với hệ số thực thỏa mãn UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (1) Bài giải : Từ giả thiết ta có Dễ thấy Thay Với (1) vào Từ ta suy chia hết cho Thử lại đa thức với hệ số thực ta chia hết cho Đặt thỏa mãn yêu cầu toán Vậy tất đa thức cần tìm số ) Bài ( Đề nghị thi HSG DH ĐBBB 2015) Tìm tất đa thức với hệ số thực thỏa mãn ( Bài giải Giả thiết cho viết lại dạng Đặt , ta có Lần lượt thay Suy Khi vào suy , với trở thành UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Suy Do Thử lại Suy với số Từ ta thu thỏa mãn tốn *Các tốn sau tìm đa thức thỏa mãn với cặp song biến (một dạng phương trình hàm) Đối với kiểu này, tư phải biến hợp lí để giảm số biến (về biến) xử lí dễ dàng Bài 6: Xác định tất đa thức thỏa mãn điều kiện với Bài giải: Nhận thấy phương trình tương đương với với (1) Từ phương trình (1) cho , suy hay Với , cho vào phương trình (1), ta có 1) hay 2) Với , suy với đơn vị Suy (1) tương đương với - Hoặc Vậy, với với với với số nguyên dương thỏa mãn đề Bài 7: Tìm tất đa thức Bài giải Thay phương trình thỏa mãn với nên Từ lại có với Tiếp tục lập luận này, ta có: Hoặc với - có bậc nhỏ với hệ số thực thỏa mãn với x , ta Theo giả thiết, ta có: UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do đó, đa thức nghiệm Hay Thay vào phương trình có Vậy có vơ hạn Thay vào phương trình Chú ý với Dựa vào phương trình ban đầu, ta xét Khi tất giá trị phân biết Vậy, đa thức cần tìm sau: nghiệm * Ở tập sau có xu hướng xây dựng dãy số vô hạn phân biệt mà phần tử nghiệm đa thức bậc hữu hạn, từ tìm đa thức thỏa mãn đề Bài ( Đề nghị thi HSG DH ĐBBB 2015) Tìm tất đa thức hệ số thực P(x) không đồng không thỏa mãn: P(2014) = 2046, Bài giải Giả sử thỏa mãn đầu Khi ta có Suy ta có Đặt , Xét dãy {xn} sau: , Khi Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh (*) Xét đa thức hệ số thực Từ (*) ta có nhận làm nghiệm với n=0,1,2… UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mặt khác dãy tăng nghiêm ngặt nên Thử lại ta có thỏa mãn đầu Vậy: Có đa thức suy I.2 Một số toán xác định đa thức dựa đánh giá hệ số bậc đa thức Nhận xét: Đây phương pháp khơng địi hỏi nhiều kiến thức giải tích, đơn sử dụng hệ số bất định Điều mà học sinh học phải biết sử dụng bậc đa thức-một định nghĩa thiếu giới thiệu đa thức Bài 1: Tìm tất đa thức đa thức thỏa mãn: với Bài giải Đặt Suy , hay với Giả sử tồn số m lớn cho vế, ta hệ số Từ suy Vậy với , suy Đồng , mâu thuẫn với điều giả sử Bài (Albanian TST 2009): Tìm tất đa thức có hệ số không âm thỏa mãn: khác đa thức không Bài giải Giả sử: Do Theo giả thiết: Suy So sánh hệ số Suy Vậy hai vế đồng thức Bài 3: Tìm tất đa thức bậc thỏa mãn điều kiện sau: 10 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có: Đồng hệ số vế phương trình trên, ta có: Do Vậy, Bài 9: Tìm tất đa thức Bài giải Xét Xét Gọi , suy đa thức , Từ phương trình ban đầu, ta có: Nếu , (C số), suy Nếu , đặt Thay (1) vào phương trình ban đầu, đồng hệ số vế, ta có: (1) Từ suy Vậy Nếu đa thức Nếu Nếu Bài 10 ( Đề nghị thi HSG DH ĐBBB 2015) Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn: Bài giải Giả sử - Nếu - Nếu ta đặt (thỏa mãn) , Thay vào ta nhận 15 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com khác đa thức ta có Suy , mâu thuẫn Vì ta có nên Đặt ta có Giả sử , đồng hệ số ta Suy Khi , (thỏa mãn) Bài 11 ( Đề nghị thi HSG DH ĐBBB 2014) Tìm tất đa thức với hệ số thực thỏa mãn : Bài giải Nếu degP = , c số Từ (1) Suy trường hợp có hai đa thức : Nếu với m lẻ đa thức Từ (1) suy : thỏa đề ln có nghiệm suy nghiệm Xét dãy số : Dễ dàng ta thấy dãy tăng quy nạp theo n ta có : , Do đa thức có vơ số nghiệm : điều vơ lý Vì chẵn Xét , Ta viết lại , Từ quan hệ (1) toán, ta đồng hệ số hai vế phương trình hàm, ta : Ta đặt Khi : với , (2) Vì : Mà suy : VT(2) có bậc : Nhưng : Do phải có , ta tìm : Vậy đa thức cần tìm : , Bài 12 ( Đề nghị thi HSG DH ĐBBB 2015) Tìm tất đa thức với hệ số thực thỏa mãn: 16 , VP(2) có bậc 2k UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài giải Nếu đa thức thức bậc nhất thỏa mãn đa Giả sử Gọi hệ số bậc cao cuả hệ số bậc cao hai vế phương trình: Đặt , Giả sử Thay vào phương trình hàm ban đầu: Khi bậc đa thức vế trái phương trình là: bậc đa thức vế phải (vơ lý) Vậy Kết luận: Tất đa thức thỏa là: , I.3 Một số toán xác định đa thức nhiều biến * Các tốn sau có độ phức tạp có nhiều biến, học sinh phải học cách đơn giản tốn nhờ giảm biến Bài 1: Tìm tất đa thức với hệ số thực cho với Bài giải thực Giả sử đa thức biến tùy ý Dễ dàng nhận thấy Giả sử đa thức thỏa mãn đề Xét với Suy Do với số thực tùy ý, đa thức biến giá trị cố định với nên nhận đa thức 17 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hay đa thức ẩn Suy Vậy nghiệm phương trình biến Bài 2: (Iran TST 2010) Tìm đa thức biến , thử lại với hệ số t với Bài giải Kí hiệu Ta có: phép thay với với Vì vậy, Ta có: vào phương trình ban đầu , suy , suy Kí hiệu phép thay vào phương trình Ta có: với , suy Vì đặt Từ đây, ta , lại qu trình ban đầu Tiếp tục q trình ta có , thỏa m tự nhiên , nghĩa Thử lại Vậy đa thức cần tìm Bài (THTT T11/435): Tìm tất đa thức cho với Bài giải: Xét trường hợp Do đặt Trong Suy Nhận xét đa thức không chia hết cho (2) Cho Ta chứng minh 18 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... luanvanchat@agmail.com CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC I BÀI TỐN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC I.1 Bài tốn xác định đa thức dựa vào yếu tố nghiệm đa thức Đây lớp tốn tìm đa thức dựa vào tính chất: đa thức hệ số thực bậc khơng... khuôn khổ đề tài “Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi phần đa thức? ??, tác giả nêu số phương pháp thường dùng để em giải tốn cách khoa học hơn, có sở có tính sáng tạo Từ giúp em củng cố kiến thức, ... xác định đa thức dựa đánh giá hệ số bậc đa thức Nhận xét: Đây phương pháp không địi hỏi nhiều kiến thức giải tích, đơn sử dụng hệ số bất định Điều mà học sinh học phải biết sử dụng bậc đa thức- một