PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN MỸ ĐỨC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN MỸ ĐỨC TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ BỘT XUYÊN ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔSI) CHO HỌC SINH[.]
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN MỸ ĐỨC TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ BỘT XUYÊN ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN KỸ NĂNG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔSI) CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ LĨNH VỰC: TOÁN HỌC TÁC GIẢ: NGUYỄN TRỌNG TUÂN CHỨC VỤ: GIÁO VIÊN NĂM HỌC : 2012-2013 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC Nội dung Trang TT Sơ yếu lý lịch A Phần mở đầu B Phần nội dung I Cơ sở khoa học 5 II Giải pháp thực hiện Bất đẳng thức cauchy (côsi) Các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cauchy (côsi) 7 10 2.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân kết hợp chọn điểm rơi 2.2 Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cợng kết hợp chọn điểm rơi 16 2.3 Phương pháp đổi biến số 2.4 Các bất đẳng thức thường dùng suy từ bất đẳng thức Cauchy (Côsi) Kết 22 26 38 11 C Kết luận và khuyến nghị 39 12 D Tài liệu tham khảo 41 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com CỘNG HOÀ XĂ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc o0o SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SƠ YẾU LÝ LỊCH Họ tên : NGUYỄN TRỌNG TUÂN Ngày tháng năm sinh : 05/10/1976 Năm vào ngành : 10/09/1997 Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: TrườngTHCS Bột Xuyên- Mỹ Đức-Hà Nội Trình độ chun mơn : Đại học Bộ mơn giảng dạy : Tốn học Khen thưởng : Giáo viên dạy giỏi cấp thành phố Chiến sĩ thi đua cấp sở LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Trong nhà trường phổ thơng mơn Tốn có vai trị, vị trí ý nghĩa quan trọng góp phần phát triển nhân cách, lực trí tuệ chung phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái qt hóa, ….Rèn luyện đức tính người lao động thời kỳ tính cẩn thận, xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ Bên cạnh tri thức kỹ tốn học với phương pháp làm việc toán học trở thành công cụ để học tập môn học khác nhà trường, công cụ nhiều ngành khoa học khác nhau, công cụ để hoạt động đời sống thực tế tốn học thành phần khơng thể thiếu trình độ văn hóa phổ thông Chứng minh bất đẳng thức dạng tốn phổ biến quan trọng chương trình tốn phổ thông, thường gặp kỳ thi chọn học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào trường chuyên, lớp chọn Để giải loại tốn địi hỏi học sinh phải biết cách vận dụng thành thạo nội dung kiến thức học bên cạnh cịn phải biết phân tích tốn cách hợp lý tìm lời giải cho tốn Tuy nhiên chương trình tốn THCS thời lượng dành cho nội dung khơng nhiều học sinh thường gặp nhiều khó khăn gặp dạng Các toán chứng minh bất đẳng thức đa dạng phong phú Xét lý luận thực tiễn dạy học chứng tỏ chúng có hiệu việc phát triển tư cho học sinh Xuất phát từ những đặc điểm trên, nhằm góp phần vào việc “ Phát triển tư khoa học” và tăng cường ở các em ý thức, lực vận dụng một cách sáng tạo những điều đã học cho học sinh giai đoạn nay, qua thực tiễn kiểm tra giảng dạy học sinh trường , tơi nhận thấy việc hình thành kiến thức kĩ sử dụng Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ), vận dụng cách sáng tạo nhất, thơng minh việc học tốn, sống cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Đó lý chọn đề tài Phạm vi thời gian thực đề tài Chuyên đề được sử dụng nhằm bồi dưỡng cho học sinh giỏi lớp và học sinh dự thi vào các trường chuyên Nghiên cứu phương pháp giải toán bất đẳng thức, cực trị thông qua “rèn luyện kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi)” đặc biệt phương pháp chứng minh tập vận dụng để giúp học sinh học tốt hình thành kiến thức, kĩ mới, vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo việc học toán sống Thời gian thực năm ( Năm học 2012-2013) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục đích nghiên cứu: Có nhiều phương pháp áp dung chứng minh bất đẳng thức : biến đổi tương đương, sử dụng bất đẳng thức bản, làm trội, làm giảm, quy nạp… Trong việc sử dụng bất đẳng thức bất đẳng thức Cauchy (Côsi ), bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Tchebychev,…có vị trí đặc biệt quan trọng Rèn luyện kỹ giải loại tốn có ý nghĩa quan trọng học sinh: Giúp em củng cố hệ thống hoá nhiều kiến thức , vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo kiến thức bậc học THCS để có cách giải thơng minh phù hợp Bên cạnh giúp cho em ln ln có suy nghĩ khoa học, giúp em đạt hiệu cao công việc sống đời thường Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp « Rèn luyện kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Côsi) » phần quan trọng chứng minh bất đẳng thức giải toán cực trị chương Toán THCS Đối tượng khảo sát, thực nghiệm Học sinh lớp trường THCS Bột Xuyên, đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn dự thi cấp thành phố huyện Mỹ Đức Phương pháp nghiên cứu Để tiến hành làm đề tài này sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: +) Phương pháp nghiên cứu tài liệu bổ trợ +) Phương pháp quan sát và so sánh, đối chiếu +) Thao giảng, trao đổi ý kiến với các đồng nghiệp quá trình gảng dạy +) Tổng hợp những kinh nghiệm, phương pháp mới lớp học +) Đánh giá kết quả ban đầu và điều chỉnh bổ xung +) Kiểm tra đánh giá cuối cùng và hoàn chỉnh công việc B PHẦN NỘI DUNG I CƠ SỞ KHOA HỌC Cơ sở lý luận Xu đổi mạnh mẽ Giáo dục nói chung Giáo dục THCS nói riêng lấy học sinh làm trung tâm, giáo viên người hướng dẫn, tổ chức hoạt động nhằm phát huy lực chung cho học sinh, đáp ứng với việc bước đầu hình thành người cho xã hội đại khơng ngừng phát triển Học tốn giải tốn có vị trí quan trọng chương trình cấp THCS, học sinh cần phải học có phương pháp học tập, phương pháp giải tốn độc đáo Muốn học sinh cần phải phát triển kỹ vận dụng phương pháp giải toán cách tốt nhất, nhanh nhất, hay tạo thói quen thành thạo phát triển khả tư duy, trí thơng minh cho học sinh Chính vậy, cấp THCS, việc phát triển trí thơng minh cho em thơng qua mơn Tốn cần thiết LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chứng minh bất đẳng thức là một những chuyên đề hay và khó có tác dụng rất tốt việc rèn luyện khả tư và phát triển trí thông minh cho học sinh Cơ sở thực tiễn 2.1 Thực trạng học tập của học sinh Qua khảo sát cho thấy phần lớn học sinh lúng túng đứng trước toán về bất đẳng thức hoặc cực trị, em chưa biết cách phân tích tốn để áp dụng phương pháp cách hợp lý Một số em khá, giỏi dừng lại mức giải tập đơn giản mà đường lối giải có sẵn 2.2 Thực tế giảng dạy của giáo viên Do thời lượng dành cho nội dung về bất đẳng thức và cực trị không nhiều, lại nằm rải rác chương trình THCS nên những năm vừa qua chuyên đề bất đẳng thức và cực trị chưa được quan tâm nhiều vì vậy đa số học sinh gặp khó khăn gặp các bài toán loại này 2.3 Khảo sát thực tế trước thực hiện đề tài Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu 9C 32 11 Đối với đội tuyển học sinh giỏi của huyện Mỹ Đức các em cũng chưa có kỹ phân tích tìm tòi lời giải bài toán một cách khoa học mà chỉ giải được các bài tập đơn giản đặc biệt các em gặp nhiều khó khăn đối với các bài toán phải có cách tách hợp lý II GIẢI PHÁP THỰC HIỆN( NỘI DUNG CHỦ YẾU CỦA ĐỀ TÀI) BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CƠSI) Cho n số khơng âm: ta có Đẳng thức xảy * Dạng cụ thể ( số, số ) n = 2: x, y : n = 3: x, y, z : 2.1 2.1 Đẳng thức xảy x = y Đẳng thức xảy x = y = z LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hệ 1: Nếu hai số dương thay đổi có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số Chứng minh: Giả sử hai số dương x y có tổng x + y = S khơng đổi Khi đó, nên Đẳng thức xảy x = y Do đó, tích xy đạt giá trị lớn x = y Hệ 2: Nếu hai số dương thay đổi có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Chứng minh: Giả sử hai số dương x y có tích x.y = P khơng đổi Khi đó, nên Đẳng thức xảy x = y Do đó, tổng x + y đạt giá trị nhỏ Ứng dụng: x = y Trong tất hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn Trong tất hình chữ nhật có diện tích, hình vng có chu vi nhỏ nhỏ CÁC KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CƠSI) 2.1 Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân kết hợp chọn điểm rơi Đánh giá từ TBC sang TBN đánh giá BĐT theo chiều “ ”.Đánh giá từ tổng sang tích Bài 1: Cho x > chứng minh rằng: Giải Do Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có Đẳng thức xảy thỏa mãn đk x > Lời bình Đây toán đơn giản cần áp dụng trực tiếp bđt cơsi ta có lời giải tốn Tuy nhiên ta gặp tốn có nội dung đơn giản Bài 2: Chứng minh rằng: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giải Ta có Đẳng thức xảy Lời bình Lời giải thiếu tự nhiên, lại tách ? Điều dựa phân tích sau: +) Dễ thấy đẳng thức xảy x = +) Khi sử dụng bđt cơsi đẳng thức xảy hai số ta có: Bài 3: Chứng minh rằng: Giải Sử dụng BĐT Côsi : x2 + y2 = 2|xy| ta có: Sai lầm thường gặp Sử dụng bđt x, y x2 - 2xy + y2 = ( x- y)2 x2 + y2 2xy Do đó: Cách giải sai ví dụ 24 = 2.3.4 (-2)(-5).3 = 30 ( Sai ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời bình +) Chỉ nhân vế BĐT chiều ( kết BĐT chiều) vế không không âm +) Cần ý rằng: x2 + y2 = 2|xy| x, y khơng biết âm hay dương +) Nói chung ta gặp tốn sử dụng BĐT Cơsi tốn nói mà phải qua vài phép biến đổi đến tình thích hợp sử dụng BĐT Cơsi +) Trong toán dấu “ ” đánh giá từ TBC sang TBN = 2.2.2 gợi ý đến sử dụng bất đẳng thức Côsi cho số, cặp số Bài 4: Cho hai số dương x, y thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức Giải Biến đổi áp dụng giả thiết bđt cơsi ta có Dấu “=” xảy Vậy MinP = 21 x = y = Lời bình Một câu hỏi đặt nghĩ thành phần Liệu có thành phần khác khơng ? diều giải sau Với < m < ta có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đẳng thức xảy Đây điểm mấu chốt toán Bài 5: Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức Giải : Áp dụng bđt côsi cho hai số dương ta có Cộng theo vế bđt (1), (2), (3) ta Dấu “=” xảy Vậy Lời bình Rõ ràng bđt đưa thiếu tự nhiên, có lời giải vậy ? Tuy nhiên suy luậnsau hồn tồn thấy điều Khơng tính tổng quát, giả sử tồn số m, n, p thỏa mãn m > n > p > Áp dụng bđt cơsi cho hai số dương ta có Do Ta cần xác định m, n, p cho 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... 05/10/1976 Năm vào ngành : 10/09/1997 Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: TrườngTHCS Bột Xuyên- Mỹ Đức- Hà Nội Trình độ chuyên môn : Đại học Bộ môn giảng dạy : Toán học Khen thưởng : Giáo viên... PHẦN NỘI DUNG I CƠ SỞ KHOA HỌC Cơ sở lý luận Xu đổi mạnh mẽ Giáo dục nói chung Giáo dục THCS nói riêng lấy học sinh làm trung tâm, giáo viên người hướng dẫn, tổ chức hoạt động nhằm phát huy lực... nghiệm Học sinh lớp trường THCS Bột Xun, đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn dự thi cấp thành phố huyện Mỹ Đức Phương pháp nghiên cứu Để tiến hành làm đề tài này sử dụng các phương pháp nghiên