KBC HSG11 TOAN 02 (1)

1 Đề thi đề xuất 2020 2021 2 Kỳ thi chọn HSG lớp 11 3 Môn Toán thời gian làm bài 180 phút 4 Đơn vị Trường THPT C Kim Bảng 5 Nội dung đề thi Câu 1 (2,5 điểm) Giải phương trình Câu 2 (2,0 điểm) Tìm giá[.]

1 Đề thi đề xuất 2020 2021 Kỳ thi chọn HSG lớp 11 Mơn Tốn: thời gian làm 180 phút Đơn vị: Trường THPT C Kim Bảng Nội dung đề thi: 2  sin x  cos x    2sin x  Câu (2,5 điểm) Giải phương trình: 1  tan x sin x  sin x 4x 2x  sin 1 Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ hàm số y cos x 1 x 1 Câu (2,0 điểm) Xác định số hạng chứa x 28 khai triển   x  x  x  thức Biết C21n  22 C23n  24 C25n   22 n C22nn   2n thành đa 310  Câu (2,0 điểm) Gọi A tập hợp tất số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập A, tính xác suất để chọn số chia hết cho chữ số hàng đơn vị Câu (2,0 điểm) Cho dãy số  un  xác định sau u1 1  * un 1  un  un    un    un    16, n   n v  Đặt n  , tính lim i 1 ui  ( x  2021)  x  2021 x  Câu (1,5 điểm) Tìm giới hạn: lim x x Câu (4,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật có AB a, BC b , SA SB SC SD c K hình chiếu vng góc P xuống AC a) Tính độ dài đoạn vng góc chung SA BK b) Gọi M , N trung điểm đoạn thẳng AK CD Chứng minh: Các đường thẳng BM MN vng góc  Câu (3,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có BAD 60o , AB 2a Gọi H trung điểm AB Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  ABCD  H lấy điểm S thay đổi khác H Trên tia đối tia BC lấy điểm M cho BM  BC a Chứng minh đường thẳng SM vng góc với mặt phẳng  SAD  b) Tính theo a độ dài SH để góc SC  SAD  có số đo lớn a) Khi SH  Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực P  x  ax  bx  cx Tìm tất số a, b, c cho P   26 P  x  1 với số thực x cho x 1 -HẾT - tempfile_29526.doc SỞ GD&ĐT HÀ NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH TRƯỜNG THPT C KIM BẢNG LỚP 11 THPT ĐỀ ĐỀ XUẤT Mơn: Tốn NĂM HỌC 2020-2021 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Lưu ý: Nếu thí sinh trình bày lời giải khác so với hướng dẫn chấm mà cho điểm phần biểu điểm Câu Nội dung Câu Biểu điểm Giải phương trình:  sin x  cos x    2sin x  1  tan x sin x  sin x 2.5 sin x  sin x 0  sin x 0  * ĐK:  cos x   0,5 0,5 pt   sin x  cos x    2sin x   sin x  cos x  sin x   sin x  cos x 0  1    cos x  sin x    2sin x   sin x    1     cos x  sin x  sin 3x  sin x  cos3x  cos x   Câu 0,5  x   k  k   (Loại) sin x 0,5   x   k 2    sin  x    sin x    k    k  4  x   28 Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm phương trình 3 k 2 x   k 7m  3, k , m   28 4x 2x  sin 1 Tìm giá trị nhỏ hàm số y cos x 1 x 1 TXD : D  Ta có y  2sin 2,0 0,5 2x 2x  sin 2 x 1 x 1 2x x2 1 2x  1   sin1 t sin1 Đặt t sin Vì  x 1 x2 1 x 1 tempfile_29526.doc 0,5 0,5 Khi y  f (t )  2t  t  ,  sin1 t sin1 Ta có BBT 0,5 f (t )  f (  sin1)  2sin  sin1  Vậy y min  sin1t sin1 0,5 Dấu xảy x  Câu Xác định số hạng chứa x 28 khai triển   x  x  x  thức Biết C21n  22 C23n  24 C25n   22 n C22nn   2n 2,0 thành đa 310  Xét khai triển   2   2 0,5 2n C20n  2C21n  22 C22n  23 C23n   22 n C22nn  22 n C22nn 2n C20n  2C21n  22 C22n  23 C23n   2 n C22nn   22 n C22nn Trừ hai đẳng thức theo vế ta có 0,5 32 n  2  2C21n  23 C23n  25 C25n   2 n  C22nn   32 n   C21n  22 C23n  24 C25n   2 n  C22nn  32 n  310     2n 10  n 5 4 Ta có 0,5 10  x  x  x   x    x     x  x  x    x  tempfile_29526.doc 10 10 1  x  1  x 10 10 1  x  0,5  C100  C101 x  C102 x   C108 x  C109 x  C1010 x10   C100  C101 x   C108 x16  C109 x18  C1010 x 20  Suy số hạng chứa x 28 khai triển   x  x  x  2n là: C108 x8 C1010 x 20  C1010 x10 C109 x18 45 x 28  x 28 55x 28 Câu Gọi A tập hợp tất số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên 2,0 số từ tập A, tính xác suất để chọn số chia hết cho chữ số hàng đơn vị Ta có n    9.10 90000 0,5 Giả sử số tự nhiên có chữ số chia hết cho chữ số hàng đơn vị là: abcd1 0,5 Ta có abcd1 10.abcd  3.abcd  7.abcd  chia hết cho 3.abcd  chia hết cho Đặt 3.abcd  7 h  abcd 2h  h số nguyên h 3t  Khi ta được: abcd 7t   1000 7t  9999  0,75 998 9997 t   t   143, 144, , 1428 suy số cách chọn t cho 7 số abcd1 chia hết cho chữ số hàng đơn vị 1286 Vậy xác suất cần tìm là: Câu 1286 0, 015 90000 Cho dãy số  un  xác định sau 0,25 2,0 u1 1  * un 1  un  un    un    un    16, n   n Đặt  i 1 , tính lim ui  * Dễ thấy un  0, n   Theo ta có tempfile_29526.doc 0,5 un 1  u n  6un   un2  6un    16  Suy un 1   un  1  un    u n un 1   6un   un2  6un   1  u n  un  n n  1  1 1       Do   ui 1   u1  un 1  un 1  i 1 ui  i 1  ui  Mặt khác, từ un 1 un2  6un  ta suy un1  6un 0,5 0,5 0,5 Kết hợp với u1 1 ta có : un  6n  , n  *  lim un   lim un 1  0 1    un 1   Từ ta có lim lim   Câu (x  2021)  2x  2021 4x  Tìm giới hạn: lim x x 1,5   2x  4x    x  2x  2021  2021 Ta có L Lim   x x x   0,5 Lim x  2x 0 0,5 x Lim x  2x   2x Lim x x x( (1  2x)   2x  1) Lim x Lim x 2 ( (1  2x)   2x  1) 2` 4x   4x Lim Lim 2 x  x( 4x   1) x x 4x   Vậy L 0  2021 Câu  2  16168  2021.2  3 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật có AB a, BC b , SA SB SC SD c K hình chiếu vng góc P xuống AC a) Tính độ dài đoạn vng góc chung SA BK b) Gọi M , N trung điểm đoạn thẳng AK CD Chứng minh: Các đường thẳng BM MN vng góc tempfile_29526.doc 0,5 4,0 a) Tính độ dài đoạn vng góc chung SA BK 2,5 0,5 Theo giả thiết ta được: SO   ABCD    SAC    ABCD  Mà BK   SAC  B BK  AC  BK  SA Gọi H hình chiếu K xuống SA 0,5  HK  SA HK  BK ( HK   SAC  )  HK đoạn vng góc chung SA BK Suy được: BH  SA HBK vuông K Do ABC vuông đỉnh A nên: 1 a 2b2    BK  SAB BK AB2 BC a  b2 0,75 a2 c  a cân đỉnh S , BH đường cao nên SI.AB HB   SA c a2 c  a SAB cân đỉnh S , BH đường cao nên SI.AB HB   SA c Do HBK vuông K nên: HK HB2  BK  tempfile_29526.doc (4c2  a )a a b2  4c2 a  b2 0,75 (4c2  a  b )a a (4c  a  b ) HK   HK  4c2 (a  b ) 2c (a  b ) b) Gọi M , N trung điểm đoạn thẳng AK CD Chứng minh: Các đường thẳng BM MN vng góc    2BM BA  BK ( M trung điểm AK ) 1,5 0,75        1 MN MB  BC  CN  (AB  KB)  BC  BA 2   1 MN  KB  BC Do đó: 0,75       4BM.MN (BA  BK).(KB  2BC)     = BA.KB  2BA.BC  BK.KB  2BK.BC    = BA.KB  BK.KB  2BK.BC    = KB.(BA  BK  2.BC)      = KB.(BA  BC  BK  BC)      = KB.(CA  CK) KB.CA  KB.CK 0 Vậy: BK  MN Câu  Cho hình thoi ABCD có BAD 60o , AB 2a Gọi H trung điểm AB 3,0 Trên đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  ABCD  H lấy điểm S thay đổi khác H Trên tia đối tia BC lấy điểm M cho BM  BC a) Khi SH  a Chứng minh đường thẳng SM vng góc với mặt phẳng  SAD  b) Tính theo a độ dài SH để góc SC  SAD  có số đo lớn a) Khi SH  a Chứng minh đường thẳng SM vng góc với mặt 1,0 phẳng  SAD  0,5 tempfile_29526.doc a 2   HAD 600 Ta có MB  BC   HB, HBM  HBM vuông M a Gọi N giao HM AD  HM  HB.sin 60o  a  SMN vuông S  SH  AD ( SH  ( ABCD))  AD  ( SMN )  AD  SM   MN  DA ( AD / / BC ) Kết hợp với SM  SN  SM  ( SAD) Ta có: HN HM SH  b) Tính theo a độ dài SH để góc SC  SAD  có số đo lớn Gọi  góc SC  SAD  ; K hình chiếu vng góc H lên 0,5 2,0 0,5 SN ; I giao HC với AD Lấy E đối xứng với I qua K Vì AD  ( SMN )  AD  HK Kết hợp với HK  SN  KH  ( SAD ) Mà HK đường trung bình tam giác ICE nên HK // CE 0,5 Suy CE  ( SAD) E Suy SEC vuông E SE hình chiếu  SC  SAD  Ta có  CSE Đặt x SH ( x  0) Tam giác SHN vuông H HK đường cao nên 0,5 HK  SH HN 3ax 3ax   CE  2 SN 3a  x 3a  x tempfile_29526.doc 25a 3a  7a 4 Tam giác SHC vuông H nên SC  SH  CH  x  7a CH CM  MC  sin   0,5 EC 3ax 3ax   2 2 SC (4 x  3a )( x  7a ) (4 x  21a )  31a x  sin   3ax 2 21.a x  31.a x Dấu đẳng thức xảy x   sin   12 21  31 21 a 21 Vậy  lớn sin  lớn SH  a Câu Cho a, b, c số thực P  x  ax  bx  cx Tìm tất số a, b, c cho P   26 P  x  1 với số thực x cho 1,0 x 1 1 Đặt f  1 m, f   1 n, f    p , m , n , p 1 ta có hệ  2   a  b  c m   a  b  c n  a b c    p 8 3m  n  p  a  a  b  c m  m n    b  a  b  c n a  2b  4c 8 p    16 p  3m  n c   Ta có: f   8 0,5 0,5 3m  n  p 16 p  3m  n   m  n  9m  n  16 p 9   16 26 3  m 1  Dấu xảy n 1   p    a 4  b 0 c   Ta có f  x  4 x  3x , xét   x 1 tồn  : x cos   f  x  4 cos3   3cos  cos 3 suy tempfile_29526.doc f  x  1 với  x 1 a 4  Vậy b 0 c   -HẾT - tempfile_29526.doc ... 1    un 1   Từ ta có lim lim   Câu (x  2021 )  2x  2021 4x  Tìm giới hạn: lim x x 1,5   2x  4x    x  2x  2021  2021 Ta có L Lim   x x x   0,5 Lim x  2x 0 0,5... KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH TRƯỜNG THPT C KIM BẢNG LỚP 11 THPT ĐỀ ĐỀ XUẤT Mơn: Tốn NĂM HỌC 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Lưu ý: Nếu thí sinh trình bày lời giải khác so với hướng dẫn... 2x)   2x  1) 2` 4x   4x Lim Lim 2 x  x( 4x   1) x x 4x   Vậy L 0  2021 Câu  2  16168  2021 .2  3 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình chữ nhật có AB a, BC b , SA SB SC