SỞ GIÁO dục và đào tạo

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DTB HSG11 TOAN 01 doc Đề số 1 Câu 1 (5,0 điểm) 1 Giải phương trình 2 Giải hệ phương trình Câu 2 ( 4,0 điểm) 1 Tính tổng 2 Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 lập được bao nhiêu số tự[.]

DTB_HSG11_TOAN_01.doc Đề số Câu (5,0 điểm) Giải phương trình 3     cos 2 x  2cos  x   sin  3x    4    0 2cos x    x    y  8 Giải hệ phương trình  2  x  y  y  x 4 Câu ( 4,0 điểm) Tính tổng S C200 C1211  C201 C1210   C2010C121  C2011C120 Từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; lập số tự nhiên có có năm chữ số số chia hết cho u1 2020  Câu (2,0 điểm) Cho dãy số  un  xác định sau:  n un 1 n 1 un  2020n  Tìm cơng thức số hạng tổng qt giới hạn dãy số  un  ? (n 1) Câu ( 2,0 điểm) Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) điểm M thay đổi (O) Gọi M1 điểm đối xứng M qua A, M2 điểm đối xứng M1 qua B, M3 điểm đối xứng M2 qua C Tìm quĩ tích điểm M3 Câu (5,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang cân (AD//BC) BC=2a, AB=AD=DC=a (a>0) Mặt bên SBC tam giác Gọi O giao điểm AC BD Biết SD vng góc với AC Tính SD Mặt phẳng (  ) qua điểm M thuộc đoạn OD (M khác O, D) song song với hai đường thẳng SD AC Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (  ) Biết MD = x Tìm x để diện tích thiết diện lớn Câu (2,0 điểm) Cho số dương x; y; z thỏa mãn 1 1    x y z xyz x y z    x  y z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P  -HẾT -Họ tên thí sinh…………………………………Số báo danh……………………… Người coi thi số 1…………………………………Người coi thi số 2.……………… Câu ý HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Nội dung Điều kiện xác định 2cos x   0  x   k 2 Điểm 0,25 DTB_HSG11_TOAN_01.doc Với điều kiện phương trình cho tương đương với 3     cos 2 x  2cos  x   sin  x    0   4  1     cos 2 x   sin  x    sin  x      0 2  2       sin 2x  sin      4x    sin 2x  0 2   0,25 (2,5 đ)   sin 2x  cos 4x  sin 2x  0 0,5   sin 2x   2sin 2x  sin 2x  0  0,5   sin 2x  sin 2x  0  sin 2x 1 sin 2x  (loại)  sin 2x 1  x   k 0,5 0,25 So sánh nghiệm với điều kiện phương trình có nghiệm x (5,0 đ) 0,25 5  k2 (k  )  x 2 cos 2u với u, v  [0; 2 ] y  cos v  Điều kiện: x; y  [  2; 2] Đặt  (1  cos 2u )(1  cos 2v) 2 cos 2u sin 2v  cos 2v sin 2u 1 Ta hệ phương trình  sin u cos v 1/ sin u cos v 1/     sin 2(u  v) 1 u  v   sin(u  v)  sin(u  v)  sin(u  v) 1/ 2     (2,5 đ)  u  v   u  v        u  v  u     (thỏa mãn) v 0  u  v   (4,0 đ) 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5    x 2 cos 0 Kết luận: nghiệm hệ phương trình   y 2 cos 2 0,25 Ta có (1  x)32 (1  x)20 ( x  1)12 (1) 0,5 32 32 32 32 32 32 32 Có (1  x) C  C x  C x   C x Hệ số 11 khai triển (1  x)32 C11 x 32 (2,0đ) Lại có (2) 0,5 0,25 DTB_HSG11_TOAN_01.doc (1  x)20 ( x 1)12 2 20 20 12 12 (C20  C20 x  C20 x   C20 x )(C120  C12 x  C122 x   C12 x ) Hệ số x11 khai triển (1  x)20 ( x  1)12 C200 C1211  C201 C1210   C2010C121  C2011C120 (3) 0,5 Từ (1),(2),(3) ta có S C200 C1211  C201 C1210   C2010C121  C2011C120 C3211 (2,0đ) Gọi số có chữ số có dạng abcde (a 0) Do abcde 3 nên ( a  b  c  d  e)3 Nếu a  b  c  d 3 e = e = Nếu a  b  c  d chia dư e = e = Nếu a  b  c  d chia dư e = e = Như từ số có chữ sơ abcd (các chữ số lấy từ năm (2,0đ) chữ số 1;2;3;4;5) tạo hai số tự nhiên có chữ số thoả mãn yêu cầu toán Từ chữ số 0;1;2;3;4;5 lập 5.6.6.6 = 1080 số tự nhiên có bốn chữ số Nên từ chữ số 0;1;2;3;4;5 lập 2x1080 = 2160 số chia hết cho có năm chữ số un  0, n  N * 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 1  unn11  unn  n 2020 2020n Do đó: u22  u11  20201 u33  u22  20202 unn11 unn  0,25 unn  unn 11  Suy ra: unn  u11  2020n  1 1    2020 2020 2020n    1   n 2020   un  2020   2019   1   n 2020    un  2020  2019   1   2020    2019 n n 0,5 n (Theo bất đẳng thức Cô si) 0,5  n 2021      2021 2020 1  n n DTB_HSG11_TOAN_01.doc 2020   Mặt khác lim    1 Vậy lim un 1 n   Gọi F phép biến hình biến M thành M3 Gọi I trung điểm MM3 0,25 0,5      1 1  CI  ( CM  CM )  ( CM  M C )  M M BA Ta có 2 2 (2,0đ) 0,5 Suy I điểm cố định  F phép đối xứng tâm I  Quĩ tích điểm M3 đường trịn (O) ảnh (O) qua phép đối xứng tâm I (5,0đ) 0,5 0,5 S K Q B C J P O (1,5đ) A T M N D Từ giả thiết suy đáy ABCD hình lục giác cạnh a Kẻ DT//AC (T thuộc BC) Suy CT=AD=a DT vng góc SD Ta có: DT=AC= a  Xét tam giác SCT có SC=2a, CT=a, SCT 1200  ST a Xét tam giác vng SDT có DT= a , ST a  SD 2a Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD, DC (3,5đ) N,P Qua M, N, P kẻ đường thẳng song song với SD cắt SB, SA, SC K, J, Q Thiết diện ngũ giác NPQKJ Ta có: NJ, MK, PQ vng góc với NP dt(NPQKJ)=dt(NMKJ)+dt(MPQK) 2 = ( NJ  MK )MN  ( MK  PQ) MP  ( NJ  MK ).NP (do NJ=PQ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 DTB_HSG11_TOAN_01.doc NP MD AC.MD x.a   NP   3 x a Ta có: AC OD OD 0,5  a  2a   x NJ AN OM SD.OM  2(a  x 3)    NJ    a SD AD OD OD 0,5   KM BM SD.BM 2a a  x   KM    (a  x) SD BD BD a 3 1  Suy ra: dt(NPQKJ)=  2(a  x 3)  (a  x)  3x 2(3a  3x) x 2  1   3 a  (3a  x)2 x  (3 a  x )  x  4 3 Diện tích NPQKJ lớn (2,0đ) 0,5 3 a x  a 4 1 1     x y  y z  z x 1 x y z xyz Với A, B, C  (0;  ); A  B  C  ta ln có A B B C C A tan tan  tan tan  tan tan 1 2 2 2 Vậy với A, B, C  (0;  ), A  B  C  C A B x tan , y tan , z tan Đặt 2 0,5 0,25 Có A B C tan tan 1 x y z 2 P       x  y z  1  tan A  tan B tan C  2 C C sin  cos A B A B 2 2 tan cos  tan cos  2 2 (tan C  1) cos C 2 A A B B C C 2sin cos  2sin cos  (cos  sin ) 2 2 2 sin A  sin B  cos C C A B C 2cos cos  cos  2 C A B A B  2(cos  cos )   cos  2 2 2 0,5 tan 0,5 0,5 DTB_HSG11_TOAN_01.doc Vậy Max P = C A B 0 Khi cos  cos 2 2 2   2  C    x  y tan   12   A  B   z 3   ……………………Hết…………………… Lưu ý +) Các cách giải khác mà cho điểm tương ứng với biểu điểm +) Điểm tổng tồn khơng làm trịn 0,5 ... c  d chia dư e = e = Như từ số có chữ sơ abcd (các chữ số lấy từ năm (2,0đ) chữ số 1;2;3;4;5) tạo hai số tự nhiên có chữ số thoả mãn yêu cầu toán Từ chữ số 0;1;2;3;4;5 lập 5.6.6.6 = 1080 số