Math Dept, Faculty of Applied Science, HCM University of Technology Nội dung 1 – Khai triển Taylor, Maclaurint 2 – Qui tắc Lôpital 3 – Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số Định lý 1 Cho hai hàm số y = f(x), y =[.]
Nội dung - – Khai triển Taylor, Maclaurint – Qui tắc Lôpital – Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số Định lý II Qui tắc L’Hôpital Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa: 1) Xác định lân cận điểm x0 f ( x0 ) g ( x0 ) 2) Tồn đạo hàm hữu hạn f ( x0 ), g ( x0 ) ' ' ' Khi đó: f ( x) f ( x) lim lim ' x x0 g ( x ) x x0 g ( x ) f ( x) f ( x0 ) x x0 f ( x) lim lim x x0 g ( x ) x x0 g ( x ) g ( x0 ) x x0 ' f ( x) lim ' x x0 g ( x ) Định lý (Qui tắc L’Hôpital ) Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa: 1) Khả vi khoảng (a,b) 2) x (a, b) : g ' ( x) 3) Tồn lim f ( x) lim g ( x) x a x a ' f ( x) 4) Tồn lim ' hữu hạn hay vô hạn x a g ( x ) ' f ( x) f ( x) f ( x) Khi tồn lim lim lim ' x a g ( x ) x a g ( x ) x a g ( x ) Định lý (Qui tắc L’Hôpital ) Cho hai hàm số y = f(x), y =g(x), thỏa: 1) Khả vi khoảng (a,b) 2) x (a, b) : g ' ( x) 3) Tồn lim f ( x) lim g ( x) x a x a ' f ( x) 4) Tồn lim ' hữu hạn hay vô hạn x a g ( x ) ' f ( x) f ( x) f ( x) Khi tồn lim lim lim ' x a g ( x ) x a g ( x ) x a g ( x ) II Qui tắc L’Hôpital Dạng vô định: f 0 g Dạng vô định: 0 f dạng f g 1/ g f f g 1/ g dạng Thường sử dụng phương pháp: quy đồng, nhân lượng liên hiệp để đưa dạng Các dạng lim y lim u vô định : v x a x a 1,, Ta biến đổi sau: lim y lim e x a x a ln y lim e ln u v x a Từ ta dạng lim e x a v ln u lim v ln u e x a 0 Áp dụng phương pháp nêu để tìm giới hạn tương ứng III Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Sơ đồ khảo sát vẽ đồ thị hàm số: 1) Tìm miền xác định, tính chẵn, lẻ, tuần hồn ' 2) Tìm đạo hàm cấp 1: y ( x) '' 3) Tìm đạo hàm cấp hai y ( x) 4) Tìm tiệm cận Khảo sát x vô 5) Lập bảng biến thiên 6) Tìm điểm đặc biệt, vẽ Ví dụ Tìm cực trị hàm y f ( x) cho p/trình tham số 3 t t 2t x ,y t 1 t 1 2 ' t ( t 3) y ( t ) ( t 1)( t t 4) ' ' x (t ) t y ( x) ' (t 1) x (t ) t (t 3) y ' ( x) t Tồn hai điểm tới hạn: x (t 0); x (t 1) ' y ( x) đổi dấu từ dương sang âm qua x = 0: hàm đạt cực đại x = ' y ( x) đổi dấu từ âm sang dương qua x = 1/2: hàm đạt cực tiểu x = 1/2 Ví dụ Tìm điểm uốn hàm y y ( x) cho p/trình tham số cos(2t ) x cot(t ), y ,0 t sin t y ( x) '' y (t ) x (t ) x (t ) y (t ) '' ' '' x (t ) ' 3 y ( x) t t 4 '' ' 3 y ( x) đổi dấu qua t t 4 '' Vậy hàm có hai điểm uốn: 0,0 (2,0) (ứng với hai giá trị t trên) Tiệm cận đồ thị hàm số y = f(x) Tiệm cận đứng: lim f ( x) x x0 tiệm cận đứng x x0 Tìm tiệm cận đứng điểm gián đoạn hàm f ( x) a xlim x Tiệm cận xiên: b lim f ( x) ax x y ax b tiệm cận xiên Nếu a = 0, y = b tiệm cận ngang