(SKKN HAY NHẤT) CHUYÊN đề cơ học CHẤT điểm

+ Nếu CHUYÊN ĐỀ CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM Giáo viên Phạm Nguyên Hoàng A KIẾN THỨC TOÁN HỌC BỔ TRỢ I HÌNH HỌC 1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông + sin   AB (1) + cos  CB (2) CA CA C + tan  AB (3) + cot[.]

CHUYÊN ĐỀ CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM Giáo viên: Phạm Nguyên Hồng A KIẾN THỨC TỐN HỌC BỔ TRỢ I.HÌNH HỌC Hệ thức lượng tam giác vuông B AB + sin   (1) CA + cos  α AB + tan  CB (3) + cot an  AB Cơng thức hình chiếu ' ' A B xác định theo công thức: AB ' ' =| |.cosα =| AB |.sin (5) AB 2 2 2 Phép cộng hai véc tơ a b B C (8) c sin C a , b n Cho hai véc tơ a, b gọi: c = a  g c ợ véc tơ tổng hai véc tơ cđó theo quy tắc hình bình hành Gọi α góc h a, b theo định lí hàm số cosin ta có: n | c |2 = | a |2 + | b |2 -2| a || b |cos  g Hay | c |2 = | a |2 + | b |2 +2| a || b |cos  t (12) h + Nếu Suy ra: ì: + Nếu a, b hướng thì: |c| = |a|+|b| c (6) (7) + c = a + b - 2a.b.cos C Định lý hàm số sin Trong tam giác bên ta có: b  sin B  x B + a = b + c - 2b.c.cos A 2 + b = a + c - 2a.c.cos B a sin A B B’ Định lý hàm số cosin Trong tam giác A, B, C cạnh a, b, c ta ln có:  α Hình chiếu véc tơ AB trục Ox A CB (9) A (10) c xác định hai véc tơ (11) (13) c a b C UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com | c | = || a | - | b || a, b + Nếu (14) vng góc thì: | c |2 = | a |2 + | b |2 (15) Bất đẳng thức Cô si ab ( a, b dương) abc ( a, b, c dương) a b 2 a b c 3 Dấu xảy số Khi tích hai số khơng đổi, tổng nhỏ hai số Khi tổng hai số khơng đổi, tích hai số lớn hai số Bất đẳng thức Bunhiacôpski (a b  a b ) 1 Dấu xảy II  a  a2 b (18) 1 b2 ĐẠO HÀM NGUYÊN HÀM VI PHÂN TÍCH PHÂN Đạo hàm Định nghĩa: y )  y' (x lim Trong x  x - x ; y  f(x x   x) - f(x  ) x Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa: Bước 1: Cho x số gia x tính y = f(x0 + x) – f(x0) Bước 2: Tìm giới hạn lim x  y x  Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y = f(x) x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M0(x0; f(x0))   + J +   Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x0 tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M0(x0; f(x0)) có phương trình y = f ’(x0)(x – x0) + f(x0) Ý nghĩa học đạo hàm: v(t0) = s’(t0) Đạo hàm hàm số khoảng Hàm số f(x) gọi có đạo hàm J có đạo hàm f ’(x) x  Nếu hàm số f(x) có đạo hàm J hàm số f ’(x) xác định f ': J  R '(x)fx đạo hàm hàm số f(x) Đạo hàm vài hàm số thường gặp: (c)’ = (c số) (x)’ = n (x )’ = nx n-1 u  n '  n.u n-1.u' gọi UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  1   x   x '  -  ' u '  u'  v (uv)’ = u’v + uv’ ' u     v  y' x ' ' y u u x v '  1   - u' u  u  u  (k số) ' k    u' u '  (ku)’ = ku’ kv ' -  v v  (k số) Đạo hàm hàm số lượng giác (sinx)’ = cosx; (sinu)’ = u’cosu (cosx)’ = - sinx; (cosu)’ = - u’sinu  tanx'  ; cos2x cotx'  - ; sin2x  ' tanu u'  cos  u - u' ' cotu sin u Vi phân  Vi phân hàm số điểm ứng với số gia x: df(x0) = f ’(x0)x Vi phân hàm số: df(x) = f ’(x)x hay dy = y’x   Ứng dụng vi phân: f(x0 + x)  f(x0) + f ’(x0).x Bảng nguyên hàm dx  x  C   1 x  x  dx   1 dx x  ln x  C e    x dx  e x a a x dx  x  0 C dx  tan x  C dx   cot x  C x tan xdx   ln cos x  c   cot xdx  ln sin x  c  ax kdx  kx  C 1 x sin xdx   cos x  C  sin  1 C ln a cos xdx  sin x  C   C  a 1 b  dx 1 ax  b 1  C  a  1 dx ax  b  a ln ax  b  C x  0 b e ax  b dx  ae  ax C cos2 x UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  ax  b dx  Ca cos  sin  ax  b ax e  b ax  b  cos2  sin  dx  a tan ax  b  C dx   a cot ax a b dt  t  C t  t  du   du t  1  ln t  C dt  e t dt  ln a C a  1 dt  tan t  C dt   cot t  C cos2 t sin2 t t t   cos tdt  sin t  C sin tdt   cost  C  1 C t 0 t C Các tính chất tích phân Cho hàm số f(x) g(x) liên tục [a; b] a  f ( x ) dx  b f ( x ) dx  a a a  b k f ( x )dx a  b g [f(x)  k a b   f ( x )dx ( k số) b b ( x )]dx  a  f ( x )dx b  f ( x ) dx  g ( x )dx a c f ( x ) dx  f ( c ) dx a a   f ( x )dx b a b c Phương pháp đổi biến số Cần tính I = b a f ( x )dx Loại 1: Tiến hành theo bước + Chọn đặt: t = t(x) suy dt = t’(x)dx + Tìm cận mới: Nếu hai cận    = t(a);  + bước + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, tính Loại 2: Tiến hành theo + Tìm cận mới: cho u(t) = a u(t) = b để tìm hai cận + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, tính Chọn đặt: x = u(t) suy dx = u’(t)dt UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lưu ý cách đặt: f ( x) a có chứa x a sin t Đặt t   ) a a 2  a tan t (với Đặt ) x x  a x a x )  a cost x  a cot ) t (với (với t  Đặt \    2  t 0;   (với (với 2 2 t 2  sin t   (với      ;  2  \0  a x  cost Phương pháp tích phân phần b  b udv  uv   Công thức: a b   vdu a b I  a a P ( x ).Q ( x )dx Các dạng bản: Giả sử cần tính Dạng P(x): Đa thức hàm Q(x): hay coskx P(x): Đa thức P(x): Đa thức P(x): Đa thức kx Q(x):ln(ax+b) sinkx Q(x):e Q(x): cos * u = P(x) * dv lại Cách đặt biểu phân * u = P(x) Phần * dv lại thức biểu dấu tích phân * u = ln(ax + b) Phần * dv = P(x)dx thức dấu tích S=  f ( x ) dx x * u = P(x) * dv lại dấu tíc Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng thể tích a) Diện tích hình phẳng  Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) (liên tục) b sin a UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y = f(x), y = g(x) (liên tục) b x = a; x= b tính bởi: S =  f(x) g( (2) x ) dx a b) Thể tích vật thể trịn xoay Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn đường y = f(x); x = a; x = b; y = xoay b quanh trục Ox tính bởi: V =   f ( x )dx a tiếp (3) Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm Dạng Khảo sát trực Nếu hàm số y = f(x) miền D cho dạng đơn giản, ta khảo sát trực tiếp hàm số rút kết luận GTNN, GTLN hàm số Dạng Khảo sát gián tiếp - Trong nhiều tốn tìm GTNN, GTLN hàm số ta khảo sát trực tiếp gặp nhiều khó khăn, chẳng hạn tìm nghiệm f’(x), xét dấu f’(x) Do thay khảo sát trực tiếp f’(x) ta khảo sát gián tiếp hàm số cho cách sau: Đặt ẩn phụ t, chuyển hàm số cho hàm số g(t) Tìm điều kiện ẩn phụ t ( Bằng cách khảo sát hàm số, dùng bất đẳng thức…) Khảo sát hàm số g(t) suy GTNN, GTLN hàm số B CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM CHƯƠNG ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM I Hệ quy chiếu Định nghĩa chuyển động học Chuyển động học chuyển dời vị trí khơng gian vật chuyển động phận so với phận khác vật Nói vật chuyển động hay đứng n điều có tính chất tương đối điều cịn phụ thuộc vào việc người quan sát đứng vị trí Tóm lại, chuyển động có tính chất tương đối phụ thuộc vào vị trí mà ta đứng quan sát chuyển động Thực vũ trụ khơng có vật đứng n cách tuyệt đối, vật chuyển động không ngừng Vậy, nói vật chuyển động ta phải nói rõ vật chuyển động so với vật mà ta quy ước đứng yên Hệ quy chiếu Vật hay hệ vật mà ta quy ước đứng yên nghiên cứu chuyển động vật khác gọi hệ quy chiếu Với chuyển động hệ quy chiếu khác xảy khác UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a) Khi xét chuyển động cụ thể ta thường chọn hệ quy chiếu cho chuyển động mô tả đơn giản Hệ tọa độ Descartes Hệ toạ độ Descartes gồm trục Ox, Oy, Oz tương ứng vng góc với đơi một, chúng tạo thành tam diện thuận Điểm O gọi gốc toạ độ Vị trí điểm M hồn tồn xác định bán kính véc tơ r , hay tập hợp số (x, y, z) hình chiếu điểm mút M véc tơ r lên trục Ox, Oy, Oz tương ứng, gọi toạ độ điểm Hệ tọa độ Descartes M hệ toạ độ Descartes b) Hệ tọa độ cầu Trong hệ toạ độ cầu, vị trí điểm M xác định toạ độ r, θ, φ Trong đó, r độ dài bán kính véc tơ, θ góc trục Oz r , cịn φ góc trục Ox tia hình chiếu r mặt phẳng xOy Biết ba toạ độ cầu điểm M, ta tính toạ độ Descartes điểm M theo công thức sau: Hệ tọa độ cầu 0 Trong hệ toạ độ cầu: ≤ θ ≤ 180 ≤ φ ≤ 360 Các đường tròn ứng với giá trị θ gọi đường vĩ tuyến, đường tròn ứng với giá trị φ gọi đường kinh tuyến Hệ toạ độ cầu thuận tiện định vị địa điểm đất Chất điểm vật rắn Để mô tả chuyển động hạt có kích thước, cần phải biết rõ chuyển động điểm vật Tuy nhiên, kích thước vật nhỏ so với khoảng cách dịch chuyển mà ta xét điểm vật dịch chuyển gần nhau, mô tả chuyển động vật chuyển động điểm Trong trường hợp ta UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com coi vật chất điểm, tức điểm hình học lại có khối lượng khối lượng vật (khơng có kích thước có khối lượng) Trong nhiều trường hợp nhờ có khái niệm chất điểm mà việc nghiên cứu chuyển động vật trở nên đơn giản nhiều Một tập hợp chất điểm gọi hệ chất điểm Vật rắn hệ chất điểm khoảng cách tương hỗ chất điểm hệ không thay đổi chuyển động Phương trình chuyển động phương trình quỹ đạo chất điểm a) Phương trình Để xác định chuyển động chất điểm cần biết vị trí chất điểm thời điểm khác Nói cách khác, cần biết phụ thuộc theo thời gian bán kính véc tơ r chất điểm: r=r(t) Phương trình biểu diễn vị trí chất điểm theo thời gian gọi phương trình chuyển động chất điểm Trong hệ toạ độ Descartes, phương trình chuyển động chất điểm hệ gồm phương trình: x  x(t)  y  y(t)   z  z(t)  Tương tự hệ toạ độ cầu, phương trình chuyển động chất điểm là: r r(t)    (t)     (t) b) Phương trình quỹ đạo  Khi chuyển động, vị trí chất điểm thời điểm khác nhauvạch không gian đường cong liên tục gọi quỹ đạo chuyển động Vậy quỹ đạo chất điểm chuyển động đường tạo tập hợp tất vị trí khơng gian, suốt q trình chuyển động Phương trình mơ tả đường cong quỹ đạo gọi phương trình quỹ đạo f (x, y, z)  C Trong f hàm toạ độ x, y, z C số Về nguyên tắc, biết phương trình chuyển động (1.1) cách khử tham số t ta tìm mối liên hệ toạ độ x, y, z tức tìm phương trình quỹ đạo Vì vậy, đơi người ta cịn gọi phương trình chuyền động (1.1) phương trình quỹ đạo cho dạng tham số UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com II Chuyển động thẳng trục Ox Độ dời Xét chất điểm chuyển động theo quỹ đạo Tại thời điểm t1, chất điểm vị trí M1 Tại thời điểm t2, chất điểm vị trí M2 Trong khoảng thời gian  t = t2 – t1 chất điểm dời từ điểm M1 đến điểm M2 Véc tơ M M gọi véc tơ độ dời chất điểm khoảng thời gian nói Vận tốc Vận tốc đại lượng vật lý đặc trưng cho chiều độ nhanh chậm chuyển động chất điểm Để đặc trưng cách đầy đủ phương, chiều độ nhanh chậm chuyển động chất điểm, người ta đưa véc tơ gọi véc tơ vận tốc Theo định nghĩa, véc tơ vận tốc vị trí M véc tơ v có phương nằm tiếp tuyến với quỹ đạo M, có chiều theo chiều chuyển động có giá trị giá trị tuyệt đối v ds v  dt Véc tơ vận tốc Véc tơ vận tốc hệ tọa độ Descartes ds v  v  x dt   dr  dt dx dt    y v v  v    z  dy dt dz dt Độ lớn vận tốc tính theo cơng thức: v  v v v  2 x y z ( dx dt Giả sử sau khoảng thời gian Δt, vận tốc chất điểm thay đổi lượng Δv gia tốc trung bình atb khoảng thời gian Δt là:   v  ttb ( Gia tốc Gia tốc đại lượng vật lý đặc trưng cho biến thiên vận tốc a ) UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta thấy rằng, muốn đặc trưng cho độ biến thiên véc tơ vận tốc thời v điểm, ta phải xác định tỷ số t khoảng thời gian Δt vô nhỏ, nghĩa cho Δt → 0, ta biểu thức gia tốc tức thời a điểm quỹ đạo: v a  lim t t 0 Ta tính ba toạ độ véc tơ gia tốc theo ba trục toạ độ Descartes:   a  x   a a    y a z  a  a  a  a2 x y z  ( d2x d t   Độ lớn gia tốc tính theo cơng thức: Các phương trình chuyển động thẳng a = v = số x = x0 + vt Các phương trình chuyển động thẳng biến đổi a = số vt = v0 + at x = x0 + v0t + 2 at a dấu với v: chuyển động thẳng nhanh dần a trái dấu với v: chuyển động thẳng chậm dần Chuyển động rơi tự a=g vt = gt h= 2 gt vt = 2gh 2 )2  ( d2y d t )2  ( d2z d t )2 UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com III a) Chuyển động tròn Định nghĩa Chuyển động tròn chuyển động quỹ đạo trịn chất điểm cung trịn có độ dài khoảng thời gian tuỳ ý Tốc độ góc Vận tốc dài Gia tốc hướng tâm Tốc độ góc Xét chất điểm chuyển động tròn Trong khoảng thời gian t bán kính OM0 qt góc  v M  Lúc   gọi tốc độ góc t  s M0 r  đo rađian giây (rad/s) b) Vận tốc dài Giả sử khoảng thơi gian chất điểm cung t trịn có độ dài vận tốc dài chất điểm tính công thức s s v  t = số Đơn vị : (m/s) Vận tốc dài chuyển động trịn có phương trùng với tiếp tuyến với quỹ đạo điển ta xét, có chiều trùng với chiều chuyển động chất điểm c) Gia tốc hướng tâm Vì chuyển động trịn trịn có gia tốc v luôn thay đổi hướng nên chuyển độn - Tại t0 = vật A, có vận tốc v0 , sau t giây vật đến M có vận tốc định nghĩa gia tốc vật a v v =  t t t Trong khoảng thời gian t nhỏ điểm M gần với điểm A véc tơ vt gần với véc tơ v0 kéo theo v tiến tới bán kính R Véc tơ gia tốc a gần trùng với véc tơ v Vậy véc tơ gia tốc a có hướng theo bán kính hướng vào tâm quỹ đạo nên gọi gia tốc hướng tâm * Độ lớn gia tốc hướng tâm v v v R vt A UAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... dời Xét chất điểm chuyển động theo quỹ đạo Tại thời điểm t1, chất điểm vị trí M1 Tại thời điểm t2, chất điểm vị trí M2 Trong khoảng thời gian  t = t2 – t1 chất điểm dời từ điểm M1 đến điểm M2... có khái niệm chất điểm mà việc nghiên cứu chuyển động vật trở nên đơn giản nhiều Một tập hợp chất điểm gọi hệ chất điểm Vật rắn hệ chất điểm khoảng cách tương hỗ chất điểm hệ không thay đổi chuyển... trình quỹ đạo chất điểm a) Phương trình Để xác định chuyển động chất điểm cần biết vị trí chất điểm thời điểm khác Nói cách khác, cần biết phụ thuộc theo thời gian bán kính véc tơ r chất điểm: r=r(t)