Microsoft Word - 07.NEU_TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205.doc

Microsoft Word 07 NEU TXTOCB01 Bai6 v1 0014105205 doc Bài 6 Nguyên hàm và tích phân bất định 70 TXTOCB01 Bai6 v1 0014105205 BÀI 6 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Hướng dẫn học Để học tốt bài này, sin[.]

Bài 6: Nguyên hàm tích phân bất định BÀI NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Hướng dẫn học Để học tốt này, sinh viên cần tham khảo phương pháp học sau:  Học lịch trình mơn học theo tuần, làm luyện tập đầy đủ tham gia thảo luận diễn đàn  Đọc tài liệu: BỘ MƠN TỐN CƠ BẢN, 2009, Bài tập toán cao cấp cho nhà kinh tế, NXB Thống kê NGUYỄN ĐÌNH TRÍ, TẠ VĂN ĐĨNH, NGUYỄN HỒ QUỲNH, 2008, Toán cao cấp 1, NXB Giáo dục ALPHA C CHIANG,1995, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc Graw–Hill, Inc MICHAEL HOY, JOHN LIVERNOIS, CHRIS MC KENNA, RAY REES, THANASIS STENGOS, 2001, Mathematics for Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England  Sinh viên làm việc theo nhóm trao đổi với giảng viên trực tiếp lớp học qua email  Tham khảo thông tin từ trang Web môn học Nội dung  Nguyên hàm hàm số;  Tích phân bất định;  Các cơng thức tích phân bản;  Các phương pháp tính tích phân Mục tiêu  Nắm vững định nghĩa tích phân bất định tính chất bản;  Hiểu, nhớ áp dụng tích phân hàm bản;  Nắm phương pháp tính tích phân;  Nhớ dạng tích phân 70 TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205 Bài 6: Ngun hàm tích phân bất định Tình dẫn nhập Giả sử chi phí cận biên (MC) mức sản lượng Q là: MC = 25 – 30Q + 9Q2 chi phí cố định FC = 55 Hãy chọn cấu sản lượng (Q1, Q2) để hàm lợi nhuận đạt giá trị tối đa TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205 71 Bài 6: Nguyên hàm tích phân bất định 6.1 Nguyên hàm hàm số 6.1.1 Khái niệm nguyên hàm Bài đề cập đến phép toán ngược phép tính đạo hàm vi phân hàm số Ta xét tốn sau đây: Tìm tất hàm số có đạo hàm hàm số f(x) cho trước Định nghĩa: Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) khoảng X nếu: F’(x) = f(x), xX Ví dụ: Hàm số sinx nguyên hàm hàm số cosx R: (sinx)’ = cosx, xR Hàm số x nguyên hàm hàm số 4x3 R: (x4)’ = 4x3, xR 6.1.2 Biểu thức nguyên hàm tổng quát Định lý: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) khoảng X thì:  Hàm số F(x) + C, với C số bất kỳ, nguyên hàm hàm số f(x)  Ngược lại, nguyên hàm hàm số f(x) biểu diễn dạng F(x) + C, với C số Chứng minh: Với C số ta ln có [F(x) + C]’ = F’(x), F’(x) = f(x), xX [F(x) + C]’ = f(x) xX Ngược lại, với (x) nguyên hàm hàm số f(x), ta có: [(x) – F(x)]’ = ’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0, (xX) Từ suy hàm số (x) – F(x) nhận giá trị không đổi khoảng X: (x) – F(x) = C, xX  (x) = F(x) + C, xX Định lý nêu cho thấy biểu thức F(x) + C bao quát tất nguyên hàm hàm số f(x): số C cho tương ứng nguyên hàm 6.2 Tích phân bất định 6.2.1 Định nghĩa tích phân Định nghĩa: Tích phân bất định hàm số f(x) biểu thức nguyên hàm tổng quát F(x) + C, F(x) nguyên hàm hàm số f(x) C số Để biểu diễn tích phân bất định hàm số f(x) người ta dùng ký hiệu: ∫f(x)dx [đọc là: tích phân f(x)dx] Biểu thức f(x)dx gọi biểu thức dấu tích phân hàm số f(x) gọi hàm số dấu tích phân Theo ký hiệu nói ta có: ∫f(x)dx = F(x) + C Ví dụ: ∫cosxdx = sinx + C ∫4x3dx = x4 + C 72 TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205 Bài 6: Nguyên hàm tích phân bất định 6.2.2 Các tính chất tích phân bất định Tích phân bất định có tính chất sau đây: 6.3   f (x)dx   f (x) hay d  f (x)dx  f (x)dx '  F'(x)dx  F(x)  C hay  dF(x)  F(x)  C  [f (x)  g(x)]dx   f (x)dx   g(x)dx  kf (x)dx  k  f (x)dx (k số) Các cơng thức tích phân Để tính tích phân bất định, trước hết bạn cần ghi nhớ công thức sau đây:  1.dx   dx  x  C   x dx   x  a dx  dx  ln x  C x ax C ln a  e dx  e  C  sin xdx   cos x  C  cos xdx  sin x  C x x 1  C (  1)  1 x dx  sin  cos x dx x   cot x  C  tan x  C 6.4 Các phương pháp tính tích phân 6.4.1 Phương pháp khai triển Để tính tích phân ta cần phải sử dụng phương pháp thích hợp để chuyển tích phân có bảng cơng thức tích phân Một cách đơn giản khai triển tích phân tổng (hiệu) thành tổng (hiệu) tích phân đưa số nhân ngồi dấu tích phân:  [af (x)  bg(x)  c(x)]dx  a  f (x)dx b  g(x)dx  c (x)dx Ví dụ 1: Tính tích phân I   (3x  5x  2sin x)dx Giải: Sử dụng quy tắc khai triển ta dễ dàng đưa tích phân I  3 x 5dx  5 x 3dx   sin xdx  TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205 x 5x   cos x  C 73 Bài 6: Nguyên hàm tích phân bất định Ví dụ 2: Tính tích phân I   (1  2x)3 dx x Giải: Ta có: I   13  (1  6x  12x  8x )dx 3     x 6x 12x 8x   dx  x   Sử dụng phương pháp khai triển cơng thức tích phân hàm lũy thừa (cơng thức 2) ta được:  I   x dx   x dx  12  x dx  8 x dx 3 5    11  23 x   x   12  x    x   C 5     11  18 24 11 x C  x  x5  x8  11  Ví dụ 3: Tính tích phân I   (1  x ) dx x Giải: 1 (1  x  x )dx  I     dx x x x x    1 dx    2 x dx   x dx  ln x   3x   x  C x    ln x  x  33 x C Ví dụ 4: Tính tích phân I   tan x.dx Giải: Sử dụng công thức lượng giác  tan x     cos , ta có cos x dx   1 dx    dx  tan x  x  C x  cos x  dx sin x.cos x Giải: Sử dụng công thức lượng giác sin2x + cos2x = 1, ta có Ví dụ 5: Tính tích phân I    sin x  cos x    I     dx dx    2  cos x sin x   sin x.cos x  Sử dụng quy tắc khai triển ta được: I = tanx – cotx + C 6.4.2 Sử dụng tính bất biến biểu thức tích phân Tính bất biến biểu thức tích phân có nội dung sau: Nếu ∫f(x)dx = F(x) + C ∫f(u)du = F(u) + C, u = (x) biểu thức hàm số có đạo hàm liên tục 74 TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205 Bài 6: Nguyên hàm tích phân bất định Trường hợp u = kx + b ta có du = kdx, hay dx  du Sử dụng tính chất trên, ta có quy k tắc sau: F(kx  b)  C k Ví dụ 1: Áp dụng quy tắc tính bất biến biểu thức tích phân trường hợp u = kx + b, từ công thức 2, 3, 6, 7, bảng tích phân ta suy ra: Nếu ∫f(x)dx = F(x) + C  f (kx  b)dx    (kx  b)  dx (kx  b)1  C,   1 k(  1)  kx  b  k ln kx  b  C e kx dx  kx e C k  sin kxdx   k cos kx  C  cos kxdx  k sin kx  C Chú ý: Sử dụng công thức thứ ví dụ ta dễ dàng tính tích phân phân thức hữu tỷ với mẫu số bậc P(x)  kx  bdx Với P(x) đa thức, cách thực phép chia đa thức P(x) cho nhị thức bậc ta dễ dàng đưa tích phân dạng:  P(x) m   kx  bdx   Q(x)  kx  b dx Với Q(x) đa thức bậc nhỏ đơn vị m phần dư phép chia Ví dụ 2: Tính tích phân I   3x  2x dx x 1 Giải: Bằng cách chia đa thức P(x) = 3x2 + 2x cho x + ta có: 3x  2x  3x   x 1 x 1 Bằng phương pháp khai triển ta dễ dàng tính được:  3x  I    3x   dx   x  ln x   C  x 1  Ví dụ 3: Tính tích phân  x(1  x ) dx Giải: Biểu thức xdx viết dạng xdx  d(1  x ) , 1 (1  x )9 d(1  x )  (1  x )10  C (u   x )  20 TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205 75 Bài 6: Nguyên hàm tích phân bất định Ví dụ 4: Tính tích phân I   sin x.ecos x dx Giải: Biểu thức sinxdx viết dạng sinxdx = –d(cosx), I    ecos x d(cos x)  ecos x  C (u  cos x) Ví dụ 5: Tính tích phân I   tan x.dx Giải:   I   tan x.tan xdx   tan x   1 dx  cos x  dx   tan x   tan x.dx cos x     tan x.d(tan x)     1 dx  tan x  (tan x  x)  C  cos x  Ví dụ 6: Tính tích phân I   dx sin x.cos x Giải: Biểu thức mẫu số viết dạng sin x.cos x  sin x cos x  tan x.cos x cos x Do dx dx  sin x.cos x   tan x.cos x  d(tan x)  ln tan x  C tan x Ví dụ 7: Tính tích phân I   cot x.dx Giải  cot x.dx   6.4.3 cos x.dx d(sin x)   ln sin x  C sin x sin x Phương pháp đổi biến số Xét tích phân I = ∫f(x)dx, f(x) hàm số liên tục Để tính tích phân ta chuyển sang tích phân khác cách thay x = (t) Với giả thiết hàm số x = (t) đơn điệu có đạo hàm liên tục, ta có dx   '(t)dt  I   f (x).dx   f[(t)] '(t)dt   g(t)dt Khi phép đổi biến lựa chọn phù hợp tích phân theo biến số t đơn giản Nếu ta tính ∫g(t)dt = G(t) + C I   f (x).dx  G[h(x)]  C Trong t = h(x) hàm ngược hàm số x = (t) Ví dụ 1: Tính tích phân I   dx 1 x Giải: Trong trường hợp ta đổi biến sau x  t , dx  3t dt 76 TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205 Bài 6: Nguyên hàm tích phân bất định I 3t dt (t  1)  1    3 dt  3  t    dt 1 t 1 t 1 t    t2    t  ln  t 2  C  Hàm ngược hàm số x = t3 t  x , I dx 1    x  x  ln  x   C 1 x 2  Chú ý: Khi tính tích phân biểu thức chứa nhị thức bậc n kx  b Ta khỏi cách đặt t  n kx  b , từ chọn phép đổi biến x n  t  b k Ví dụ 2: Tính tích phân I   x.dx 2x   Giải: Đặt t  2x  đổi ngược x theo t ta chọn phép đổi biến làm căn: t2 1 , dx  tdt Sau đổi biến ta x (t  1)t.dt t3  t  10  I    dt    t  2t     dt t2 t2  t2 1  t  t  t  5ln t   C 2 1  (2x  1)3  (2x  1)  2x   5ln( 2x   2)  C 2 Chú ý: biểu thức f(x)dx dấu tích phân biểu diễn dạng f(x)dx = g[(x)]d(x) Thì ta đặt t = (x) để chuyển sang tích phân biểu thức g(t)dt tích phân dễ tính Ví dụ 3: Tính tích phân I   sin x.dx Giải: Ta có sin x  sin x.(sin x.dx)  (1  cos x) [ d(cos x)] Đặt t = cosx ta   I   (1  t ) (dt)    (1  2t  t )dt    t  t  t      cos x  cos3 x  cos5 x  C Nhận xét: Tương tự ví dụ ta dễ dàng tính tích phân sau I   sin 2n 1 x.cos m x.dx.K   sin m x.cos 2n 1 x.dx TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205 77 Bài 6: Nguyên hàm tích phân bất định Với n số nguyên dương Tích phân J dễ dàng đổi qua biến t = cosx: sin 2n 1 cos m x.dx  sin 2n x.cos m x.(sin x.dx)  (1  cos x) n cos m x.(sin x.dx)  (1  t ) n t m (dt) Tích phân J dễ dàng đổi qua biến t = sinx: sin m cos 2n 1 x.dx  sin m x.cos 2n x.(cos x.dx)  sin m x.(1  sin x) n (cos x.dx)  (1  t ) n t m dt Ví dụ 4: Tính tích phân K   sin x.cos3 x.dx Giải: Trong trường hợp ta có sin x.cos3 x  sin x.cos x(cos x.dx)  sin x(1  sin x).d(sin x) Đặt t = sinx ta K   t (1  t ).dt    t  t  dt  1 t  t  C  sin x  sin x  C 9 Ví dụ 5: Tính tích phân I   e2x dx ex  Giải: Ta có I4   e x (e x dx) e x d(e x )   ex  ex  Đặt t = ex, ta I4   tdt     1   dt  t  ln t   C t 1  t 1   e x  ln(e x  1)  C Ví dụ 6: Tính tích phân I5   x dx  x3 Giải: Ta có I5   x dx  x3  [(1  x )  1].d(1  x ) 3  x3 Đặt t = + x3 ta I5   78 (t  1).dt    t  3 t  t  53 23   dt   t  t C  35   (1  x )  3  t2  3  t C       x  C 5 2 10  5 TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205 Bài 6: Nguyên hàm tích phân bất định 6.4.4 Phương pháp tích phân phần  Cơng thức tính tích phân phần Giả sử u = u(x) v = v(x) hàm số có đạo hàm liên tục Ta có: d(uv) = vdu + udv  udv = d(uv) – vdu Từ suy ra:  udv   d(uv)   vdu   udv  uv   vdu Công thức gọi công thức tích phân phần  Áp dụng Để tính tích phân I = ∫f(x)dx phương pháp tích phân phần ta cần phải biểu diễn biểu thức dấu tích phân dạng: f(x)dx = g(x).[h(x)dx] = udv u = g(x) dv = h(x)dx Với u dv biểu thức biết ta tìm du  u 'dx  g '(x)dx, v   dv   h(x)dx sau sử dụng cơng thức tích phân phần Ví dụ 1: Tính tích phân I   xe 2x dx Giải: Với u = x, dv = e–2xdx, ta có du = dx, v   e 2x dx   e 2x Thay vào cơng thức tích phân phần ta x   I   udv  uv   vdu   e 2x     e 2x dx   x x   e 2x   e 2x dx   e 2x  e 2x  C 2 Ví dụ 2: Tính tích phân I   x sin 3xdx Giải: Với u = x2, dv = sin3xdx, ta có du = 2x.dx, v   cos 3x x2 cos 3x   x cos 3xdx 3 Tiếp tục sử dụng cơng thức tích phân phần tích phân vế phải với u = x, dv = cos3x.dx ta có I du  dx, v  sin x x 2 x  I   cos 3x   sin 3x   sin 3xdx  3 3  x2 2x cos 3x  sin 3x  cos 3x  C 27 Chú ý: Tương tự ví dụ ví dụ 2, ta tính tích phân sau phương pháp tích phân phần  TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205 79 Bài 6: Nguyên hàm tích phân bất định x e n kx dx; x n sin kxdx; x n cos kx.dx (n nguyên dương) Với u = xn dv phần cịn lại biểu thức dấu tích phân Ví dụ 3: Tính tích phân I   x ln x.dx dx x3 , v Giải: Với u = lnx, dv = x dx, ta có du  x I x ln x x ln x x   x dx   C 3 Ví dụ 4: Tính tích phân I   x ln xdx dx 2x x , v   xdx  x Sử dụng cơng thức tích phân phần ta Giải: Với u = ln2x, dv  x , ta có du  ln x 2x x ln x   x ln xdx 3 Tiếp tục sử dụng cơng thức tích phân phần tích phân vế phải với I u = lnx, dv  xdx ta có du  I dx 2x x , v x  2x x ln x  2x x ln x     xdx  3 3   2x x ln x  2x x ln x 4x x     C 3   2x x ln x  12 ln x    C  27 Chú ý: Tương tự ví dụ ví dụ 4, ta tính tích phân sau x  ln n x.dx (n nguyên dương,  ≠ –1) Bằng phương pháp tích phân phần với u = lnnx dv phần lại biểu thức dấu tích phân Ví dụ 5: Tính tích phân I   x tan x.dx Giải: Với u = x, dv = tan2x.dx, ta có   du  dx, v   tan xdx     1 dx  tan x  x  cos x  I  x(tan x  x)   (tan x  x).dx  x(tan x  x)   d(cos x)   xdx cos x  x tan x  x  ln cos x  C 80 TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205 Bài 6: Nguyên hàm tích phân bất định Ví dụ 6: Tính tích phân I   xe x dx (x  1) dx 1 , ta có du  (1  x)e x , v  Sử dụng công thức (1  x) 1 x tích phân phần ta Giải: Đặt u  xe x , dv  I TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205  xe x  xe x ex   e x dx   ex  C  C 1 x 1 x 1 x 81 Bài 6: Nguyên hàm tích phân bất định Tóm lược cuối  Ngun hàm hàm số f(x) X hàm F(x) thỏa mãn: F’(x) = f(x) X  Tích phân bất định:  f (x)dx  F(x)  C với F(x) nguyên hàm  Các tính chất nhất:   f (x)  g(x)  dx   f (x)dx   g(x)dx  k.f (x)dx  k  f (x)dx  Có phương pháp tính tích phân bất định: Phương pháp khai triển, phương pháp sử dụng tính bất biến biểu thức tích phân, phương pháp đổi biến, phương pháp tích phân phần 82 TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205 Bài 6: Nguyên hàm tích phân bất định Câu hỏi ơn tập Nêu tính chất tích phân bất định? Nêu tích phân bản?   Sử dụng phương pháp khai triển, tính tích phân I1   3x  4x x  sin x dx  Sử dụng phương pháp khai triển, tính tích phân I   5x  x  dx Sử dụng phương pháp bất biến, tính tích phân I3   x  3x   dx 20 Sử dụng phương pháp bất biến, tính tích phân I   x e x dx Sử dụng phương pháp đổi biến, tính tích phân I5   2x  dx  5x  Sử dụng phương pháp đổi biến, tính tích phân I6   x 4x  3.dx Sử dụng phương pháp tích phân phần, tính tích phân I7    2x  e 3x  dx 10 Sử dụng phương pháp tích phân phần, tính tích phân I8    3x  1 sin 5x.dx TXTOCB01_Bai6_v1.0014105205 83