Đang tải... (xem toàn văn)
Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Hướng dẫn học sinh tìm ẩn phụ bằng phương pháp “chia” để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Đại số 10Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Hướng dẫn học sinh tìm ẩn phụ bằng phương pháp “chia” để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Đại số 10Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Hướng dẫn học sinh tìm ẩn phụ bằng phương pháp “chia” để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Đại số 10Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Hướng dẫn học sinh tìm ẩn phụ bằng phương pháp “chia” để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Đại số 10Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Hướng dẫn học sinh tìm ẩn phụ bằng phương pháp “chia” để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Đại số 10Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Hướng dẫn học sinh tìm ẩn phụ bằng phương pháp “chia” để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Đại số 10Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Hướng dẫn học sinh tìm ẩn phụ bằng phương pháp “chia” để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Đại số 10Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Hướng dẫn học sinh tìm ẩn phụ bằng phương pháp “chia” để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Đại số 10Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Hướng dẫn học sinh tìm ẩn phụ bằng phương pháp “chia” để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Đại số 10Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Hướng dẫn học sinh tìm ẩn phụ bằng phương pháp “chia” để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Đại số 10Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Hướng dẫn học sinh tìm ẩn phụ bằng phương pháp “chia” để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Đại số 10Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Hướng dẫn học sinh tìm ẩn phụ bằng phương pháp “chia” để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Đại số 10Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Hướng dẫn học sinh tìm ẩn phụ bằng phương pháp “chia” để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Đại số 10Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Hướng dẫn học sinh tìm ẩn phụ bằng phương pháp “chia” để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Đại số 10Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Hướng dẫn học sinh tìm ẩn phụ bằng phương pháp “chia” để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Đại số 10Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Hướng dẫn học sinh tìm ẩn phụ bằng phương pháp “chia” để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Đại số 10
MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu: .1 Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu PHẦN NỘI DUNG I Cơ sở lí luận .3 II Thực trạng .4 III Giải pháp thực .4 1.Hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ Phương pháp “chia” để giải phương trình Hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ Phương pháp “chia” để giải bất phương trình .7 Hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ Phương pháp “chia” để giải hệ phương trình .9 IV Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 11 PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 14 1.Kết luận 14 2.Kiến nghị 14 PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình mơn Tốn THPT, giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình nội dung đề cập nhiều Khi gặp dạng có nhiều cách để giải phương pháp biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số, phương pháp đánh giá Tuy nhiên, việc lựa chọn phương pháp để giải vấn đề khơng đơn giản Bởi mục đích cuối khơng kết tốn mà cịn làm để học sinh dễ tiếp cận nhất, hay nói cách khác học sinh dễ hiểu Trong phương pháp nêu trên, đặt ẩn phụ phương pháp hay, kích thích khả tư duy, sáng tạo em học sinh Tuy nhiên, việc phát lựa chọn đặt ẩn nào, đặt hay nhiều ẩn vấn đề lớn học sinh Khi nhận dạng toán, khơng phải lúc em áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ Có toán phải dùng “thủ thuật” Một thủ thuật phép “chia” Phương pháp đặt ẩn phụ giải nhiều tập giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình Nó giúp nhìn nhận phương trình nhiều góc độ khác góc độ lại nảy sinh cách giải toán làm học sinh cảm thấy hứng thú học toán sáng tạo Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đích giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp tốn giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình Tơi hy vọng đề tài giúp ích cho học sinh trường THPT Thọ Xuân nói riêng trường THPT nói chung việc học giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình Qua em có phương pháp giải đúng, tránh tình trạng định hướng giải tốn sai cịn lúng túng việc trình bày lời giải, giúp học sinh làm việc tích cực đạt kết cao kiểm tra Vì vậy, việc giúp cho em có kĩ tốt, cung cấp thêm phương pháp giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế Một điều quan trọng trình giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ phương pháp hữu hiệu - Từ thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 trường THPT Thọ Xuân với kinh nghiệm thời gian giảng dạy Tôi xin đưa đề tài: "Hướng dẫn học sinh tìm ẩn phụ phương pháp “chia” để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình - Đại số 10 " Mục đích nghiên cứu Thiết kế, xây dựng cách giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình cách đặt ẩn phụ với phương pháp “chia” Đối tượng nghiên cứu - Phương trình, bất phương trình hệ phương trình Phương pháp nghiên cứu 4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Nghiên cứu tài liệu công trình nghiên cứu phương trình, bất phương trình hệ phương trình - Nghiên cứu sở lý luận phương pháp giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình cách đặt ẩn phụ 4.2 Phương pháp chuyên gia Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến đồng nghiệp để tham khảo ý kiến làm sở cho việc nghiên cứu đề tài 4.3 Phương pháp thực tập sư phạm Thực nghiệm sư phạm trường THPT Thọ Xuân, tiến hành theo quy trình đề tài nghiên cứu khoa học giáo dục để đánh giá hiệu đề tài nghiên cứu 4.4 Phương pháp thống kê toán học Sử dụng phương pháp để thống kê, xử lý, đánh giá kết thu PHẦN NỘI DUNG I.Cơ sở lí luận Thế ẩn phụ Có nhiều cách để hiểu ẩn phụ, nêu vài khái niệm ẩn phụ sau: Ẩn phụ phải xem ẩn ban đầu cho tốn Phải dùng ẩn phụ với ẩn cho tốn khó (hoặc khơng) giải Khi thay ẩn tốn dễ giải hơn.[2] Ẩn phụ cịn coi ẩn trung gian có tốn giải cách đặt nhiều ẩn phụ.[2] Ẩn phụ có tác dụng cải tiến, chuyển hóa tốn cho toán dạng dạng quen thuộc.[3] 2.Dấu hiệu tốn dùng ẩn phụ Các đại lượng tốn có mối liên hệ (biểu biểu thức tốn học) mà nhờ mối liên hệ đại lượng biểu diễn qua đại lượng (hoàn toàn khơng hồn tồn) Mối quan hệ dễ thấy có lại bị khuất, địi hỏi người giải phải tinh ý phát Ẩn phụ xuất q trình giải tốn, biến đổi, người giải phải theo dõi sát trình biến đổi để phát xuất ẩn phụ Các tốn mà ẩn phụ có tác dụng thay đổi dạng tốn dấu hiệu dùng ẩn phụ thơng thường đúc kết lí thuyết kinh nghiệm có tính kỹ thuật 3.Quy trình giải tốn cách đặt ẩn phụ Bài toán (1) cho với ẩn ban đầu ↓ Chọn ẩn phụ ↓ Bài toán (2) với ẩn phụ ↓ Trở ẩn ban đầu ↓ Bài toán (3) với ẩn ban đầu dễ giải toán (1) Việc giải tốn cách đặt ẩn phụ xem ta phải theo đường thẳng ta lại theo đường vòng dễ để tới đích II Thực trạng Học sinh trường THPT Thọ Xuân chủ yếu em gia đình th̀n nơng, điều kiện kinh tế cịn nhiều khó khăn nên việc học tập em nhiều hạn chế Kiến thức THCS non yếu, tiếp thu chậm, chưa tự hệ thống kiến thức Khi gặp toán phương trình, bất phương trình hệ phương trình chưa phân loại định hình cách giải, lúng túng đặt điều kiện biến đổi, phương trình loại có nhiều dạng Trong chương trình mơn Đại số 10, học sinh tiếp cận với số phương trình, bất phương trình hệ phương trình đơn giản sách giáo khoa (SGK) đưa dạng Trong thực tế tốn giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình phong phú đa dạng Đặc biệt, đề thi Đại học - Cao đẳng - Học sinh giỏi em gặp nhiều tập phương trình, bất phương trình hệ phương trình mà có số em biết phương pháp giải trình bày cịn lủng củng, lan man, chí cịn mắc số sai lầm khơng đáng có trình bày em lúng túng áp dụng phương pháp để giải Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ việc học tập, làm tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua không giải trình bày cách giải đặt điều kiện lấy nghiệm sai phần III Giải pháp thực 1.Hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ phương pháp “chia” để giải phương trình Các bước giải: - Bước 1: Tìm điều kiện phương trình (nếu có) - Bước 2: Chia hai vế phương trình cho biểu thức thích hợp đặt ẩn phụ t - Bước 3: Chuyển phương trình cho phương trình theo ẩn t, giải tìm t - Bước 4: Với t tìm thỏa mãn điều kiện có, thay trở lại cách đặt tìm nghiệm phương trình ban đầu kết luận x a x Một số cách đặt thường gặp: t ; t ax Dấu hiệu: Phương trình thường chứa biểu thức dạng: ax bx a , Chú ý: Chỉ chia cho biểu thức biểu thức khác Sau ví dụ cụ thể: Ví dụ Giải phương trình: x 3x x x 2 x (1) * Phân tích hướng giải: Với phương trình này, ta tìm mối liên hệ đại lượng với để từ tìm cách đặt ẩn phụ Ta để ý thấy hai hệ số x hệ số tự (bằng -2) ta liên tưởng đến phép chia hai vế phương trình cho x , ta thu phương trình: x 3 2 x 2 x x Rõ ràng đến ta thấy liên hệ đại lượng phương trình nên ta hồn tồn đặt ẩn phụ để giải phương trình Cách giải: - Điều kiện: x 17 ; x 2 (*) - Ta có: (1) x -Đặt x x 2 x 2 x x 2 x 2 (1') x x t , (1') trở thành: x t t 2 t 2t 5t t 1 9t 82t 73 0 t 1 - Với t 1 x 1 x x 0 x x 2 x (loại khơng thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy phương trình có nghiệm là: x 2 * Nhận xét: Việc tìm mối liên hệ đại lượng phương trình hướng quen thuộc hướng tìm ẩn phụ tốn phương trình vơ tỉ kỳ thi Việc phát chia hai vế phương trình cho biến x để tìm ẩn phụ xuất phát từ ý tưởng hệ số đối xứng, ví dụ số -2 Ví dụ 2: Giải phương trình : x + x x =2x + (2) * Phân tích hướng giải: Phương trình tương đương: x x x x 0 Để ý hệ số biểu thức bậc hai bậc hệ số biểu thức bậc bậc hai căn, biến đổi để phần chứa ẩn giống phần 2x khơng cịn ẩn nữa? Từ ta liên tưởng đến việc chia hai vế cho x Cách giải: x = nghiệm (2), chia hai vế cho x ta được: 1 x =2 + x x x Đặt t = x , Ta có : t + t - = t = x 1 Với t = x = Ví dụ Giải phương trình: 10 x 3x 17 x 15 x 25 (3) * Phân tích hướng giải: Quan sát tốn này, ta thấy hình thức phương trình quen thuộc ta dùng phương pháp lũy thừa để giải khó đạt kết tạo phương trình bậc có nghiệm vơ tỉ Do để giải tốn này, ta thử xem đặt ẩn phụ không ? Trước hết ta cần tìm mối liên hệ đại lượng phương trình Ta có: 2 x 15 x 25 x 10 x 25 25 x x x x x x x Vì vậy, đại lượng biểu diễn thành tích x x x x Do ta thử tìm xem đại lượng ngồi có liên quan đến hai biểu thức không ? Theo cách xác định hệ số bất định Ta có: 10 x 30 x 50 m( x x 5) n( x x 5) 10 x 30 x 50 ( m n) x 5(m n) x 5(m n) (*) m n 10 Đồng hệ số hai vế (*) ta được: m n 6 m n 10 n 2 m 8 Điều có nghĩa là: 10 x 30 x 50 8( x 5x 5) 2( x x 5) Đến ta tìm mối liên hệ đại lượng có phương trình Cách giải: - Điều kiện: x R - Ta có: (3) 8( x 5x 5) 2( x x 5) 17 (x x 5)(x x 5) - Đặt x2 5x t (t 0) Khi phương trình trở thành: x2 5x t 2 8t 17t 0 t 25 445 x x 5x 2 x 25 x 15 0 x 5x 25 445 x + Với t 2 325 26245 x x 5x 126 63 x 325 x 315 0 x 5x 325 26245 x 126 + Với t Vậy phương trình có nghiệm là: x 25 445 325 26245 x 126 * Nhận xét: Với phương trình vơ tỉ chứa mà biểu thức chứa bậc cao mà ta phân tích tích ta đặt ẩn phụ để giải Tương tự: Giải phương trình: 1, x 12 x x 3x 8 x 2, x x x 3 x x 3, x x x 2 x 4, x 5 x 2.Hướng dẫn học sinh tìm ẩn phụ phương pháp “chia” để giải bất phương trình Các bước giải: Tương tự phương trình Ví dụ 1: Giải bất phương trình x x x 3 x (1) (Đề thi khối B năm 2012) * Phân tích hướng giải: Với bất phương trình này, ta tìm mối liên hệ đại lượng với để từ tìm cách đặt ẩn phụ Ta để ý thấy hệ số x hệ số tự đồng thời hệ số x hệ số tự 1, ta liên tưởng đến phép chia hai vế bất phương trình cho x , ta thu bất phương trình: x 1 x 3 x x Cách giải: Điều kiện : x hay x Nhận xét x = nghiệm bất phương trình + Với x 0, BPT x 1 x x x 1 x = t2 – (t 2) x x Đặt t = x t 3 Ta có : t t 3 t 3 t t hay 2 t 9 6t t x x hay x 4 Kết hợp với đk x hay x 4 x Ví dụ 2: Giải bất phương trình: x x 2(x x 1) 1 (2) (Đề thi khối A năm 2010) * Phân tích hướng giải: Với bất phương trình này, trước hết tìm cách biến đổi dạng bất phương trình khơng chứa mẫu thức tương tự ví dụ Cách giải: Điều kiện : x 3 Ta có: x x 2 x 4 x x (*) (2) x x 1 x x 1 x2 x 1 x x Nhận xét x = không nghiệm bất phương trình Chia hai vế bất phương trình cho x , ta thu bất phương trình: 1 x 1 x x Đặt t x x x Bất phương trình trở thành: t t t 1 2 2(t 1) (t 1) t (t 1) 0 t 1 Với t=1 x 3 Ví dụ 3: Giải bất phương trình: x 5x 4(1 x 2x 4x ) (3) * Phân tích hướng giải: Mới nhìn vào đề chưa thấy đấu hiệu đặt ẩn phụ bậc 3, ngồi bậc Do ta phân tích biểu thức để tìm hướng đặt ẩn phụ Phân tích: x 2x 4x x(x x 4) x 5x (x 2x 4) 3x Khi đó, bất phương trình trở thành: (x 2x 4) 3x x(x 2x 4) (3’) Cách giải: Điều kiện : x 0; x Với x chia hai vế (3’) cho x ta được: (x 4 2) x x x Đặt t x , t 0 x Ta được: t 4t t 17 65 x 2 Với: x 0 x 5x bất phương trình ln Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S [ 5;0] ( 17 65 ; ) 2 Tương tự: Giải bất phương trình: 1, x x x(x 1) 2, x x x x x Hướng dẫn học sinh tìm ẩn phụ phương pháp “chia” để giải hệ phương trình Các bước giải: - Bước 1: Tìm điều kiện hệ phương trình (nếu có) - Bước 2: Chia để biến đổi phương trình cho xuất hai biểu thức “giống nhau” Dấu hiệu nhận biết: Các phương trình có bậc x y nhau, Thường chia cho xn, yn - Bước 3: Đặt ẩn phụ thông thường sử dụng hai ẩn phụ u v Chuyển hệ u v (Điều kiện u, v có) - Bước 4: Giải hệ tìm u v - Bước 5: Với u, v tìm thỏa mãn điều kiện có, thay trở lại cách đặt tìm nghiệm hệ phương trình ban đầu kết luận Sau ví dụ cụ thể: ... pháp “chia” để giải phương trình Hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ Phương pháp “chia” để giải bất phương trình .7 Hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ Phương pháp “chia” để giải hệ phương trình ... “chia” để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình - Đại số 10 " Mục đích nghiên cứu Thiết kế, xây dựng cách giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình cách đặt ẩn phụ với phương. .. “chia” để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình - Đại số 10 " Mục đích nghiên cứu Thiết kế, xây dựng cách giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình cách đặt ẩn phụ với phương