HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG KHOA ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC BÁO CÁO MÔN LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI VÀ ỨNG DỤNG Đề tài: The MM1KQueue “Hàng đợi MM1K” Học Viên: Nguyễn Văn Công Hoàng Văn Đăng Bouasone Khambouavong Lớp: M20CQTE02B GVHD: PGS.TS. Nguyễn Tiến Ban Hà Nội, 032021 Mục lục 1. Giới thiệu 3 2. Quá trình sắp hàng mô hình hàng đợi – ký hiệu Kendall và quá trình sinhtử 4 2.1. Quá trình sắp hàng 4 2.2. Mô hình hàng đợi đơn 5 2.3. Ký hiệu Kendall 6 2.4. Quá trình SinhTử (BirthDeath) 8 3. Hàng đợi MM1K 9 3.1. Giới thiệu 9 3.2. Xác xuất trang thái ổn định 9 3.3. Các số đo hiệu năng 11 3.4. Hàng đợi MM1K trên quan điểm hệ thống đóng 12 3.5. So sánh hiệu năng các hệ thống hàng đợi khác nhau 13 4. Kết luận 14 Tài liệu tham khảo: 16 “The MM1KQueue” “Hàng đợi MM1K” 1. Giới thiệu Hàng đợi là thành phần không thể thiếu khi mô hình hóa hệ thống sử dụng phương pháp toán học và là công cụ hữu hiệu để đánh giá hiệu năng hoạt động của các hệ thống phục vụ nói chung cũng như của hệ thống máy tình và thông tin nói riêng. Hệ thống phục vụ là hệ thống được sử dụng để phục vụ các yêu cầu nhất định hoặc các khách hàng (customer) thông qua các điểm cung cấp dịch vụ. Yêu cầu hoặc khách hàng rời hệ thống sau khi phục vụ đã được cung cấp. Trong nhiều hệ thống phục vụ, các khách hàng phải dùng chung tài nguyên, phải chờ để được phục vụ và đôi khi bị từ chối phục vụ. Do đó, lý thuyết hàng đợi (queueing process) xác định và tìm các phương án tối ưu để hệ thống phục vụ tốt nhất. Trong nửa đầu của thế kỷ 20 lý thuyết hàng đợi đã được ứng dụng để nghiên cứu thời gian đợi trong các hệ thống điện thoại. Ngày nay lý thuyết hàng đợi còn có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như trong mạng máy tính, trong việc quản lý xí nghiệp, quản lý giao thông và trong các hệ phục vụ khác… Ngoài ra lý thuyết hàng đợi cũng còn là cơ sở toán học để nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều bài toán kinh tế như đầu tư, kiểm kê, rủi ro của bảo hiểm, thị trường chứng khoán ... Chuỗi Markov là quá trình hàng đợi với thời gian rời rạc đã được xem xét trong giáo trình xác suất thống kê. Quá trình sinh tử cũng là quá trình hàng đợi, trong đó sinh biểu thị sự đến và tử biểu thị sự rời hàng đợi của hệ thống. Người ta phân loại các quá trình hàng đợi dựa vào luật phân bố của quá trình đến, luật phân bố phục vụ, nguyên tắc phục vụ và cơ cấu phục vụ. Đối với lý thuyết hàng đợi ta quan tâm đến các số đo hiệu năng, đó là các giá trị trung bình khi quá trình đạt trạng thái dừng bao gồm: độ dài hàng đợi trung bình của hàng, độ dài hàng đợi trung bình của hệ thống, thời gian đợi trung bình của hàng (trễ của hàng) và thời gian đợi trung bình của hệ thống (trễ của hệ thống). Để tính các đại lượng này ta có thể sử dung phương pháp giải phương trình tích phân dạng WienerHopf hoặc phương pháp khảo sát chuỗi Markov nhúng. Từ đó suy ra các công thức tính các phân bố ổn định cho các loại hàng đợi MMk, MMkN. Công thức tổng quát tính các giá trị trung bình này cho các hàng GG1 và công thức cụ thể cho các hàng đợi đặc biệt MM1, MD1 và MEk1. Hướng ứng dụng vào viễn thông: Một trong những bài toán quan trọng của lý thuyết chuyển mạch là vấn đề xung đột thông tin, nghẽn mạch hoặc rớt cuộc gọi. Lý thuyết sắp hàng sẽ xác lập phương án tối ưu để khắc phục những vấn đề trên. Ngoài ra lý thuyết sắp hàng cũng được ứng dụng rộng rãi trong các hệ phục vụ khác. 2. Quá trình sắp hàng mô hình hàng đợi – ký hiệu Kendall và quá trình sinhtử 2.1. Quá trình sắp hàng Khi khách hàng đến ở một thời điểm ngẫu nhiên và yêu cầu được phục vụ theo một loại nào đó. Giả thiết thời gian phục vụ có thể ngẫu nhiên: Hình 1: Quá trình sắp hàng Đặt tn là khoảng thời gian giữa 2 lần đến cảu khách hàng thứ n và thứ n+1. Ta giả định rằng tất cả các tn (n ≥ 1) là độc lập và có cùng phân bố. Vì vậy việc đến của các khách hàng tạo thành 1 hàng kế tiếp nhau với tốc độ dến là λ= . Ta gọi quá trình {tn ; n=1,2,...} là quá trình đến. Khách hàng đến hệ thống yêu cầu các server của hệ thống phục vụ. Ta giả sử rằng khách hàng thứ n cần một thời gian phục vụ là Sn (n ≥ 1) , tất cả các sn độc lập và có cùng phân bố. Quá trình {sn ; n=1,2,...} được gọi là quá trình phục vụ. Ta cũng giả thuyết rằng các thời gian đến trung gian độc lập với thời gian phục vụ. Quá trình hàng đợi được phân loại dựa và các tiêu chí sau: 1) Phân bố của quá trình đến (input process) {tn; n=1,2,...} 2) Phân bố của thời gian phục vụ (service distribution ) {sn ; n=1,2,...} 3) Nguyên tắc phục vụ: Các khách hàng đến được sắp xếp và hàng chờ đến lượt được phục vụ. Để đơn giản ta giả thuyết chỉ có một hàng. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp có thể mở rộng cho nhiều hàng cùng hoạt động song song. Nếu độ dài hàng có đặt ngưỡng thì các đơn vị đến hàng khi đầy vượt ngưỡng sẽ bị loại. Các khách hàng được chọn để phục vụ theo nguyên tắc “ đến trước phục vu trước “ (FIFO), nghĩa là phục vụ cho khách nào đứng đầu hàng. 4) Cơ cấu phục vụ: Một phương tiện phục vụ bao gồm một hay nhiều Server. Các server có thể kết nối thành chuỗi vì thế mỗi yêu cầu phục vụ được phục vụ theo nhiều cách hoặc lần lượt hoặc song song. 2.2. Mô hình hàng đợi đơn Một hàng đợi đơn giản được định nghĩa bởi các đặc điểm cơ bản sau: Tiến trình tới (arrival process): được đặc trưng bởi tốc độ yêu cầu (hoặc sự kiện) λ tới hệ thống (yêu cầu trên đơn vị thời gian) và tính chất ngẫu nhiên của tiến trình tới Tiến trình phục vụ (service process): tiến trình phục vụ gắn liền với các trạm phục vụ (server) trong một hệ thống phục vụ. Mỗi trạm phục vụ bao giờ cũng được đặc trưng bởi tốc độ phục vụ trung bình µ (số yêu cầu trên một đơn vị thời gian) và tính chất ngẫu nhiên của tiến trình phục vụ. Quy tắc phục vụ (service strategy): thể hiện nguyên tắc và trình tự phục vụ các yêu cầu khi chúng đi vào hệ thống phục vụ. Số trạm phục vụ (server): Một hệ thống phục vụ có thể có nhiều trạm phục vụ. Trong trường hợp này hệ thống phục vụ có thể phục vụ một lúc nhiều yêu cầu. Hàng đợi (queue): Khi một yêu cầu đi vào một hệ thống phục vụ, nếu tất cả các trạm phục vụ đều bận thì yêu cầu đó sẽ phải đợi trong hàng đợi. Hàng đợi được đặc trưng bởi độ lớn K. Hình 1 minh họa một hệ thống hàng đợi với N trạm phục vụ, độ lớn hàng đợi K, tiến trình tới với tham số λ và N tiến trình phục vụ với tham số {µ1, ..., µn}. Hình 2: Hệ thống hàng đợi với N trạm phục vụ, hàng đợi có độ lớn K 2.3. Ký hiệu Kendall Ký hiệu Kendall được sử dụng để mô tả hệ thống hàng đợi đơn, do David George Kendall phát triển. Hệ thống hàng đợi được mô tả bằng một chuỗi ký tự như sau: ASCKPD Các ký tự trong dấu ngoặc vuông không bắt buộc phải có. Trong đó: A và S: Thể hiện phân bố ngẫu nhiên của tiến trình tới (A) và tiến trình phục vụ (S). Một số phân bố ngẫu nhiên thông dụng là: M: phân bố Markov hay phân bố mũ D: phân bố xác định, phi ngẫu nhiên (derterministic). Trong phân bố D khoảng thời gian giữa 2 sự kiện đến hệ thống hoặc thời gian xử lý một yêu cầu tại trạm phục vụ là hằng số. G hoặc GI: Phân bố ngẫu nhiên bất kỳ. C: Số trạm phục vụ, C ∈ Ε ;C ≥ 1 K: Thể hiện số yêu cầu mà hệ thống có thể chứa được, kể cả yêu cầu đang được phục vụ bởi trạm phục vụ, K ∈ N ; K ≥ 0 . Nếu K được bỏ qua thì mặc định K = ∞ P: Số lượng các yêu cầu đi vào hệ thống (Calling population). Nếu P được bỏ qua thì mặc định P = ∞ D: Quy tắc phục vụ (service disciplinestrategy). FIFO (FirstInFirstOut): Yêu cầu nào vào hệ thống trước được phục vụ trước. LIFO (LastInFirstOut): Yêu cầu nào vào hệ thống sau cùng được phục vụ đầu tiên. Roundrobin (RR): Hệ thống RR có nhiều hàng đợi cho nhiều tiến trình tới khác nhau. Các yêu cầu của các tiến trình tới được phục vụ theo thứ tự lần lượt (Hình 2). Hình 3: Round robin SIRO (Service In Random Order): Các yêu cầu được phục vụ theo trình tự ngẫu nhiên, không phụ thuộc vào trình tự tới hệ thống. PQ (Priority Queue): Hàng đợi có ưu tiên. Giống như RR, hệ thống này có nhiều hàng đợi cho các tiến trình tới khác nhau. Tuy nhiên thứ tự phục vụ các yêu cầu trong các hàng đợi tuân theo trình tự ưu tiên. Trạm phục vụ sẽ phục vụ các yêu cầu trong hàng đợi có mức ưu tiên cao nhất. Khi hàng đợi này rỗng, trạm phục vụ sẽ chuyển xuống phục vụ hàng đợi có yêu cầu ở mức ưu tiên thấp hơn. Khi một hàng đợi bất kỳ ở mức ưu tiên cao hơn có yêu cầu, trạm phục vụ sẽ chuyển sang phục vụ yêu cầu ở hàng đợi có mức ưu tiên cao. 2.4. Quá trình SinhTử (BirthDeath) Trạng thái của hệ thống được biểu diễn bằng số các khách hàng n trong một hệ thống. Khi có một khách hàng mới đến thì trạng thái của hệ thống sẽ thay đổi sang n+1, khi có một khách hàng ra đi thì trạng thái hệ thống sẽ thay đổi sang n1, ta có lược đồ chuyển tiếp trạng thái là quá trình sinh tử. Hình 4: Chuỗi Markov của một quá trình sinhtử : Tốc độ của lần đến n : Tốc độ của lần đi Pn: Xác suất ổn định trạng thái n của quá trình sinh – tử tại trạng thái n Pn = .P0 P0 xác suất ở trạng thái 0, Pn xác suất ở trạng thái n 3. Hàng đợi MM1K 3.1. Giới thiệu Hình 5: Hệ thống MM1K Hệ thống hàng đợi MM1K có tiến trình tới Poisson tuân theo phân bố mũ với tham số là λ và tiến trình thực hiện tuân theo phân bố mũ với tham số là µ. Khách hàng được phục vụ trong FIFOOrder, chỉ có một trạm phục vụ duy nhất nhưng hệ thống chỉ có thể chứa tối đa K phần tử. Như vậy nếu một yêu cầu mới đi vào hàng đợi và trong hệ thống đã có K yêu cầu khác thì yêu cầu mới sẽ bị từ chối, tức là bị loại khỏi hệ thống và không bao giờ trở lại. Điều này thường được gọi là chặn. Trạng thái này là cần thiết, vì nếu không (ví dụ: khi có yêu cầu đang đợi ở bên ngoài cho đến khi có chỗ trống) thì quá trình đến sẽ không còn nữa. Giống như trong trường hợp hàng đợi MM1 mô tả đầy đủ về trạng thái của hệ thống được đưa ra bởi số yêu cầu trong hệ thống (do thuộc tính không có bộ nhớ). Biểu đồ tốc độ chuyển đổi trạng thái của Xích Markov thời gian liên tục (CTMC) cơ bản được thể hiện trong hình 4. Hệ thống MM1K cũng là một hệ thống thuần sinh tử. Hệ thống này phù hợp hơn với “hệ thống thực” gần đúng (như bộ định tuyến) vì không gian đệm là luôn luôn hữu hạn. 3.2. Xác xuất trang thái ổn định Một lần nữa, ta có thể sử dụng kỹ thuật dựa trên việc đánh giá các phương trình lưu lượng để đạt được mức ổn định xác suất pk. Tuy nhiên, do số lượng yêu cầu trong hệ thống là có hạn, nên tiến trình đến phụ thuộc vào trạng thái: nếu có ít hơn K yêu cầu trong hệ thống, tốc độ yêu cầu đi vào hàng đợi là λ, nếu không, tốc độ là 0. Hình 6: Chuỗi Markov của hàng đợi MM1K Hệ thống hàng đợi MM1K được biểu diễn bằng tiến trình SinhTử (Hình 6). Hệ phương trình cân bằng của hệ thống này được biểu diễn như sau: Từ hệ phương trình trên, ta được: Pn = ( ) .P0= P0 ; 0 ≤ n ≤ k mặt khác = 1 Từ đó ta tính được xác suất hệ thống ở trạng thái ổn định được xác định bởi: P0 = = Pn = x . Trong đó 1 ≤ k ≤ K và ρ= . Thật thú vị là hệ thống ổn định ngay cả khi ρ > 1. L = Xác suất khách hàng đến hệ thống bị từ chối là P Tốc độ thực tế đến hệ thống: = (1P ) Mật độ lưu lượng: Hình 7: Số lượng yêu cầu trung bình trong hệ thống hàng đợi MM110 3.3. Các số đo hiệu năng Số lượng yêu cầu trung bình trong hệ thống Số lượng yêu cầu trung bình trong hệ thống được xác định bởi: Số yêu cầu trung bình trong hệ thống được thể hiện trong Hình 7 cho mật độ lưu lượng ρ và K=10. Lưu ý rằng đối với hàng đợi ρ >1 trong khi hệ thống hàng đợi vẫn ổn định. Thời gian phản hồi trung bình có thể được đánh giá bằng cách sử dụng công thức Little. Hình 8: Xác xuất mất yêu cầu cho MM120 Xác suất từ chối dịch vụ (xác suất mất yêu cầu) Một yêu cầu bị từ chối khi nó đến hàng đợi và thấy có K yêu cầu đang ở trong hàng đợi. Gọi xác xuất để một yêu cầu bị từ chối dịch vụ là PLoss, ta có: (1) Đối với trường hợp 10 máy chủ, xác suất mất yêu cầu thay đổi được thể hiện trong Hình 8. Chúng ta đã xem xét vấn đề xác định kích thước bộ đệm của bộ định tuyến sao cho yêu cầu bị mất với một xác suất nhỏ và sử dụng hàng đợi MM1 làm giá trị gần đúng, trong đó một hàng đợi MM1K không biết K có thể thích hợp hơn. Tuy nhiên, không thể giải quyết được phương trình (1) đại số cho K khi PLoss đã biết (ít nhất nếu không có hàm đặc biệt như LambertW). 3.4. Hàng đợi MM1K trên quan điểm hệ thống đóng Nếu quan sát hàng đợi MM1K trên quan điểm hệ thống đóng, chúng ta để ý rằng tại đầu vào hệ thống dòng yêu cầu đầu vào với tốc độ trung bình λ sẽ được chia thành hai nhánh: nhánh yêu cầu đi vào hàng đợi với tốc độ trung bình = (1 pK) và nhánh các yêu cầu bị từ chối với tốc độ trung bình = . Hình 9: Hệ thống hàng đợi MM1K trên quan điểm hệ thống đóng 3.5. So sánh hiệu năng các hệ thống hàng đợi khác nhau Trong phần này, chúng ta sẽ so sánh ba hệ thống khác nhau về thời gian phản hồi trung bình (độ trễ trung bình) so với tải được cung cấp: một máy chủ MM1 duy nhất với tốc độ dịch vụ mµ, hệ thống MMm và một hệ thống m hàng đợi loại MM1 với tốc độ dịch của cả 2 hệ thống là µ, sao cho mọi yêu cầu vào mỗi hệ thống với xác suất là như nhau. Tương tự như bài toán một máy tính có bộ xử lý loại X và cung cấp cho một nhóm người dùng sử dụng để thao tác các chương trình. Họ đều tỏ ra tức giận vì phải chờ đợi kết quả quá lâu. Vì thế người quản lý quyết định rằng máy tính nên được nâng cấp theo 3 lựa chọn: mua n1 bộ xử lý bổ sung cùng loại X và cắm chúng chung vào một máy duy nhất, do đó ta có một máy tính đa xử lý mua một bộ xử lý mới loại Y, mạnh hơn nhiều lần so với bộ xử lý X và thay thế vào vị trí của X, đồng thời cho phép tất cả người dùng làm việc trên máy đó cung cấp cho mỗi người dùng một máy riêng có bộ xử lý loại X, mà không cho phép những người dùng khác sử dụng máy này Kết quả cho thấy rằng giải pháp thứ hai mang lại lợi ích tốt nhất (độ trễ trung bình nhỏ nhất), tiếp theo là giải pháp đầu tiên, trong khi giải pháp cuối cùng là giải pháp kém hiệu quả nhất. Hệ thống đầu tiên tương ứng với hệ thống hàng đợi MMm, trong đó mỗi máy chủ có tốc độ phục vụ µ và tốc độ đến hệ thống là λ. Hệ thống thứ hai tương ứng với một hệ thống MM1 với tốc độ đến λ và tốc độ phục vụ m. Và, từ quan điểm của một người dùng đơn, hệ thống cuối cùng tương ứng với hệ thống MM1 với tốc độ đến λm và tốc độ phục vụ µ. Thời gian phản hồi trung bình với m = 10 và µ= 2 thay đổi trong Hình 10. Hình 10: Thời gian phản hồi trung bình cho 3 hệ thống hàng đợi khác nhau 4. Kết luận Lý thuyết hàng đợi đã được nghiên cứu ngay từ trong mạng chuyển mạch kênh, tuy nhiên việc áp dụng trong mạng chuyển mạch kênh còn hạn chế, sau đó đã được nghiên cứu sâu rộng trong mạng chuyển mạch gói với việc đóng gói dữ liệu. Các tín hiệu thoại truyền thống được số hoá, đóng gói và chuyển tải trong mạng gói như là một phần cơ sở của mạng dữ liệu. Các yêu cầu đến (gói hay cuộc gọi) một Server nó có thể được phục vụ ngay hoặc phải mất một khoảng thời gian chờ nào đó cho đến khi Server rỗi và thực hiện tiếp nhận xử lý. Các qui tắc phục vụ các khách hàng đợi được phục vụ được thiết lập cho các Server qua đó các khách hàng lần lượt được phục vụ theo mức ưu tiên của mình do vậy các khách hàng có độ ưu tiên khác nhau thì có thời gian chờ khác nhau. Các thông số này được quyết định bởi thuật toán xếp hàng của hàng đợi và cũng từ đó ảnh hưởng tới QoS của các loại dịch vụ cung cấp trên mạng. Các thông số của hàng đợi MM1K được xác định thông qua lý thuyết xác suất thống kê, định lý Little, qui tắc duy trì hàng đợi Kleinrock và quan trọng hơn cả là các tiến trình đi đến của yêu cầu tuân theo tiến trình Poisson với phân bố hàm mũ cùng với thuật toán xếp hàng của nó. Xác định các thông số hàng đợi như: chiều dài hàng đợi ở các thời điểm bất kỳ hoặc ngay cả khi có khách hàng, … qua đó đưa ra các phương án điều khiển lưu lượng trên mạng cho phù hợp nhằm giảm thiểu các sự cố trên mạng đánh giá được hiệu suất sử dụng tài nguyên đồng thời xác định được cấp QoS mà có thể cung cấp trên mạng, đó là cơ sở cho việc thiết kế các mạng hệ thống viễn thông sau này. Tài liệu tham khảo: 1 Andreas Willig, “A Short Introduction to Queueing Theory” – July 21 1999 (pages: 1517)
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG KHOA ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC BÁO CÁO MÔN LÝ THUYẾT HÀNG ĐỢI VÀ ỨNG DỤNG Đề tài: The M/M/1/K-Queue “Hàng đợi M/M/1/K” Học Viên: Nguyễn Văn Cơng Hồng Văn Đăng Bouasone Khambouavong Lớp: M20CQTE02-B GVHD: PGS.TS Nguyễn Tiến Ban Hà Nội, 03/2021 Mục lục Giới thiệu Q trình hàng - mơ hình hàng đợi – ký hiệu Kendall trình sinh-tử 2.1 Quá trình hàng 2.2 Mô hình hàng đợi đơn 2.3 Ký hiệu Kendall 2.4 Quá trình Sinh-Tử (Birth-Death) Hàng đợi M/M/1/K 3.1 Giới thiệu 3.2 Xác xuất trang thái ổn định 3.3 Các số đo hiệu 11 3.4 Hàng đợi M/M/1/K quan điểm hệ thống đóng 12 3.5 So sánh hiệu hệ thống hàng đợi khác 13 Kết luận 14 Tài liệu tham khảo: 16 “The M/M/1/K-Queue” “Hàng đợi M/M/1/K” Giới thiệu Hàng đợi thành phần khơng thể thiếu mơ hình hóa hệ thống sử dụng phương pháp toán học công cụ hữu hiệu để đánh giá hiệu hoạt động hệ thống phục vụ nói chung hệ thống máy tình thơng tin nói riêng Hệ thống phục vụ hệ thống sử dụng để phục vụ yêu cầu định khách hàng (customer) thông qua điểm cung cấp dịch vụ Yêu cầu khách hàng rời hệ thống sau phục vụ cung cấp Trong nhiều hệ thống phục vụ, khách hàng phải dùng chung tài nguyên, phải chờ để phục vụ bị từ chối phục vụ Do đó, lý thuyết hàng đợi (queueing process) xác định tìm phương án tối ưu để hệ thống phục vụ tốt Trong nửa đầu kỷ 20 lý thuyết hàng đợi ứng dụng để nghiên cứu thời gian đợi hệ thống điện thoại Ngày lý thuyết hàng đợi cịn có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác mạng máy tính, việc quản lý xí nghiệp, quản lý giao thơng hệ phục vụ khác… Ngoài lý thuyết hàng đợi cịn sở tốn học để nghiên cứu ứng dụng nhiều toán kinh tế đầu tư, kiểm kê, rủi ro bảo hiểm, thị trường chứng khoán Chuỗi Markov trình hàng đợi với thời gian rời rạc xem xét giáo trình xác suất thống kê Quá trình sinh tử trình hàng đợi, sinh biểu thị đến tử biểu thị rời hàng đợi hệ thống Người ta phân loại trình hàng đợi dựa vào luật phân bố trình đến, luật phân bố phục vụ, nguyên tắc phục vụ cấu phục vụ Đối với lý thuyết hàng đợi ta quan tâm đến số đo hiệu năng, giá trị trung bình trình đạt trạng thái dừng bao gồm: độ dài hàng đợi trung bình hàng, độ dài hàng đợi trung bình hệ thống, thời gian đợi trung bình hàng (trễ hàng) thời gian đợi trung bình hệ thống (trễ hệ thống) Để tính đại lượng ta sử dung phương pháp giải phương trình tích phân dạng Wiener-Hopf phương pháp khảo sát chuỗi Markov nhúng Từ suy cơng thức tính phân bố ổn định cho loại hàng đợi M/M/k, M/M/k/N Công thức tổng qt tính giá trị trung bình cho hàng G/G/1 công thức cụ thể cho hàng đợi đặc biệt M/M/1, M/D/1 M/E/k/1 Hướng ứng dụng vào viễn thơng: Một tốn quan trọng lý thuyết chuyển mạch vấn đề xung đột thông tin, nghẽn mạch rớt gọi Lý thuyết hàng xác lập phương án tối ưu để khắc phục vấn đề Ngoài lý thuyết hàng ứng dụng rộng rãi hệ phục vụ khác Quá trình hàng - mơ hình hàng đợi – ký hiệu Kendall trình sinh-tử 2.1 Quá trình hàng Khi khách hàng đến thời điểm ngẫu nhiên yêu cầu phục vụ theo loại Giả thiết thời gian phục vụ ngẫu nhiên: Hình 1: Quá trình hàng Đặt tn khoảng thời gian lần đến cảu khách hàng thứ n thứ n+1 Ta giả định tất tn (n ≥ 1) độc lập có phân bố Vì việc đến khách hàng tạo thành hàng với tốc độ dến λ= Ta gọi trình {tn ; n=1,2, } trình đến Khách hàng đến hệ thống yêu cầu server hệ thống phục vụ Ta giả sử khách hàng thứ n cần thời gian phục vụ Sn (n ≥ 1) , tất sn độc lập có phân bố Quá trình {sn ; n=1,2, } gọi trình phục vụ Ta giả thuyết thời gian đến trung gian độc lập với thời gian phục vụ Quá trình hàng đợi phân loại dựa tiêu chí sau: 1) Phân bố trình đến (input process) {tn; n=1,2, } 2) Phân bố thời gian phục vụ (service distribution ) {sn ; n=1,2, } 3) Nguyên tắc phục vụ: Các khách hàng đến xếp hàng chờ đến lượt phục vụ Để đơn giản ta giả thuyết có hàng Tuy nhiên nhiều trường hợp mở rộng cho nhiều hàng hoạt động song song Nếu độ dài hàng có đặt ngưỡng đơn vị đến hàng đầy vượt ngưỡng bị loại Các khách hàng chọn để phục vụ theo nguyên tắc “ đến trước phục vu trước “ (FIFO), nghĩa phục vụ cho khách đứng đầu hàng Cơ cấu phục vụ: Một phương tiện phục vụ bao gồm hay nhiều Server 4) Các server kết nối thành chuỗi yêu cầu phục vụ phục vụ theo nhiều cách song song 2.2 Mơ hình hàng đợi đơn Một hàng đợi đơn giản định nghĩa đặc điểm sau: - Tiến trình tới (arrival process): đặc trưng tốc độ yêu cầu (hoặc kiện) λ tới hệ thống (yêu cầu đơn vị thời gian) tính chất ngẫu nhiên tiến trình tới - Tiến trình phục vụ (service process): tiến trình phục vụ gắn liền với trạm phục vụ (server) hệ thống phục vụ Mỗi trạm phục vụ đặc trưng tốc độ phục vụ trung bình µ (số u cầu đơn vị thời gian) tính chất ngẫu nhiên tiến trình phục vụ - Quy tắc phục vụ (service strategy): thể nguyên tắc trình tự phục vụ yêu cầu chúng vào hệ thống phục vụ - Số trạm phục vụ (server): Một hệ thống phục vụ có nhiều trạm phục vụ Trong trường hợp hệ thống phục vụ phục vụ lúc nhiều yêu cầu - Hàng đợi (queue): Khi yêu cầu vào hệ thống phục vụ, tất trạm phục vụ bận u cầu phải đợi hàng đợi Hàng đợi đặc trưng độ lớn K Hình minh họa hệ thống hàng đợi với N trạm phục vụ, độ lớn hàng đợi K, tiến trình tới với tham số λ N tiến trình phục vụ với tham số {µ1, , µn} Hình 2: Hệ thống hàng đợi với N trạm phục vụ, hàng đợi có độ lớn K 2.3 Ký hiệu Kendall Ký hiệu Kendall sử dụng để mô tả hệ thống hàng đợi đơn, David George Kendall phát triển Hệ thống hàng đợi mô tả chuỗi ký tự sau: A/S/C/[K]/[P]/[D] Các ký tự dấu ngoặc vng khơng bắt buộc phải có Trong đó: - A S: Thể phân bố ngẫu nhiên tiến trình tới (A) tiến trình phục vụ (S) Một số phân bố ngẫu nhiên thông dụng là: - M: phân bố Markov hay phân bố mũ - D: phân bố xác định, phi ngẫu nhiên (derterministic) Trong phân bố D khoảng thời gian kiện đến hệ thống thời gian xử lý yêu cầu trạm phục vụ số - G GI: Phân bố ngẫu nhiên - C: Số trạm phục vụ, C ∈ Ε ;C ≥ - K: Thể số yêu cầu mà hệ thống chứa được, kể yêu cầu phục vụ trạm phục vụ, K ∈ N ; K ≥ Nếu K bỏ qua mặc định K = ∞ - P: Số lượng yêu cầu vào hệ thống (Calling population) Nếu P bỏ qua mặc định P = ∞ - D: Quy tắc phục vụ (service discipline/strategy) - FIFO (First-In-First-Out): Yêu cầu vào hệ thống trước phục vụ trước - LIFO (Last-In-First-Out): Yêu cầu vào hệ thống sau phục vụ - Round-robin (RR): Hệ thống RR có nhiều hàng đợi cho nhiều tiến trình tới khác Các yêu cầu tiến trình tới phục vụ theo thứ tự (Hình 2) Hình 3: Round robin - SIRO (Service In Random Order): Các yêu cầu phục vụ theo trình tự ngẫu nhiên, khơng phụ thuộc vào trình tự tới hệ thống - PQ (Priority Queue): Hàng đợi có ưu tiên Giống RR, hệ thống có nhiều hàng đợi cho tiến trình tới khác Tuy nhiên thứ tự phục vụ yêu cầu hàng đợi tuân theo trình tự ưu tiên Trạm phục vụ phục vụ yêu cầu hàng đợi có mức ưu tiên cao Khi hàng đợi rỗng, trạm phục vụ chuyển xuống phục vụ hàng đợi có yêu cầu mức ưu tiên thấp Khi hàng đợi mức ưu tiên cao có yêu cầu, trạm phục vụ chuyển sang phục vụ yêu cầu hàng đợi có mức ưu tiên cao 2.4 Quá trình Sinh-Tử (Birth-Death) Trạng thái hệ thống biểu diễn số khách hàng n hệ thống Khi có khách hàng mới đến trạng thái hệ thống thay đổi sang n+1, có khách hàng trạng thái hệ thống thay đổi sang n-1, ta có lược đồ chuyển tiếp trạng thái trình sinh tử λ0 λ1 µ1 λ2 µ2 λi-1 λi-2 µ3 i i-1 µi-1 λi µi i+1 µi+1 Hình 4: Chuỗi Markov q trình sinh-tử n : Tốc độ lần đến n n : Tốc độ lần Pn: Xác suất ổn định trạng thái n trình sinh – tử trạng thái n Pn = 0 1 n 1 P0 1 n P0 - xác suất trạng thái 0, Pn - xác suất trạng thái n Hàng đợi M/M/1/K 3.1 Giới thiệu Hình 5: Hệ thống M/M/1/K Hệ thống hàng đợi M/M/1/K có tiến trình tới Poisson tn theo phân bố mũ với tham số λ tiến trình thực tuân theo phân bố mũ với tham số µ Khách hàng phục vụ FIFO-Order, có trạm phục vụ hệ thống chứa tối đa K phần tử Như yêu cầu mới vào hàng đợi hệ thống có K u cầu khác yêu cầu mới bị từ chối, tức bị loại khỏi hệ thống không trở lại Điều thường gọi chặn Trạng thái cần thiết, khơng (ví dụ: có yêu cầu đợi bên có chỗ trống) q trình đến khơng cịn Giống trường hợp hàng đợi M/M/1 mô tả đầy đủ trạng thái hệ thống đưa số yêu cầu hệ thống (do thuộc tính khơng có nhớ) Biểu đồ tốc độ chuyển đổi trạng thái Xích Markov thời gian liên tục (CTMC) thể hình Hệ thống M/M/1/K hệ thống sinh tử Hệ thống phù hợp với “hệ thống thực” gần (như định tuyến) khơng gian đệm luôn hữu hạn 3.2 Xác xuất trang thái ổn định Một lần nữa, ta sử dụng kỹ thuật dựa việc đánh giá phương trình lưu lượng để đạt mức ổn định xác suất pk Tuy nhiên, số lượng yêu cầu hệ thống có hạn, nên tiến trình đến phụ thuộc vào trạng thái: có K u cầu hệ thống, tốc độ yêu cầu vào hàng đợi λ, không, tốc độ Hình 6: Chuỗi Markov hàng đợi M/M/1/K Hệ thống hàng đợi M/M/1/K biểu diễn tiến trình Sinh-Tử (Hình 6) Hệ phương trình cân hệ thống biểu diễn sau: Từ hệ phương trình trên, ta được: Pn = ( n ) P0= n P0 ; ≤ n ≤ k mặt khác K P = n0 n Từ ta tính xác suất hệ thống trạng thái ổn định xác định bởi: P0 = = K n 1 K 1 n 0 Pn = 1 x n Trong ≤ k ≤ K ρ= Thật thú vị hệ thống ổn định K 1 1 ρ > (k 1) k 1 L= 1 k 1 Xác suất khách hàng đến hệ thống bị từ chối P K Tốc độ thực tế đến hệ thống: ' = (1-P K ) Mật độ lưu lượng: ' ' (1 PK ) 10 Hình 7: Số lượng yêu cầu trung bình hệ thống hàng đợi M/M/1/10 3.3 Các số đo hiệu Số lượng yêu cầu trung bình hệ thống Số lượng yêu cầu trung bình hệ thống xác định bởi: Số yêu cầu trung bình hệ thống thể Hình cho mật độ lưu lượng ρ K=10 Lưu ý đối với hàng đợi ρ >1 hệ thống hàng đợi ổn định Thời gian phản hồi trung bình đánh giá cách sử dụng cơng thức Little 11 Hình 8: Xác xuất yêu cầu cho M/M/1/20 Xác suất từ chối dịch vụ (xác suất yêu cầu) Một yêu cầu bị từ chối đến hàng đợi thấy có K yêu cầu hàng đợi Gọi xác xuất để yêu cầu bị từ chối dịch vụ PLoss, ta có: (1) Đối với trường hợp 10 máy chủ, xác suất yêu cầu thay đổi thể Hình Chúng ta xem xét vấn đề xác định kích thước đệm định tuyến cho yêu cầu bị với xác suất nhỏ sử dụng hàng đợi M/M/1 làm giá trị gần đúng, hàng đợi M/M/1/K khơng biết K thích hợp Tuy nhiên, khơng thể giải phương trình (1) đại số cho K PLoss biết (ít khơng có hàm đặc biệt LambertW) 3.4 Hàng đợi M/M/1/K quan điểm hệ thống đóng Nếu quan sát hàng đợi M/M/1/K quan điểm hệ thống đóng, để ý đầu vào hệ thống dòng yêu cầu đầu vào với tốc độ trung bình λ 12 chia thành hai nhánh: nhánh yêu cầu vào hàng đợi với tốc độ trung bình a = (1- pK) nhánh yêu cầu bị từ chối với tốc độ trung bình L = p K Hình 9: Hệ thống hàng đợi M/M/1/K quan điểm hệ thống đóng 3.5 So sánh hiệu hệ thống hàng đợi khác Trong phần này, so sánh ba hệ thống khác thời gian phản hồi trung bình (độ trễ trung bình) so với tải cung cấp: máy chủ M/M/1 với tốc độ dịch vụ mµ, hệ thống M/M/m hệ thống m hàng đợi loại M/M/1 với tốc độ dịch hệ thống µ, cho yêu cầu vào hệ thống với xác suất Tương tự tốn máy tính có xử lý loại X cung cấp cho nhóm người dùng sử dụng để thao tác chương trình Họ tỏ tức giận phải chờ đợi kết lâu Vì người quản lý định máy tính nên nâng cấp theo lựa chọn: - mua n-1 xử lý bổ sung loại X cắm chúng chung vào máy nhất, ta có máy tính đa xử lý - mua xử lý mới loại Y, mạnh nhiều lần so với xử lý X thay vào vị trí X, đồng thời cho phép tất người dùng làm việc máy - cung cấp cho người dùng máy riêng có xử lý loại X, mà khơng cho phép người dùng khác sử dụng máy Kết cho thấy giải pháp thứ hai mang lại lợi ích tốt (độ trễ trung bình nhỏ nhất), giải pháp đầu tiên, giải pháp cuối giải pháp hiệu Hệ thống tương ứng với hệ thống hàng đợi M/M/m, máy chủ có tốc độ phục vụ µ tốc độ đến hệ thống λ Hệ thống thứ hai tương ứng với hệ thống M/M/1 với tốc độ đến λ tốc độ 13 phục vụ m Và, từ quan điểm người dùng đơn, hệ thống cuối tương ứng với hệ thống M/M/1 với tốc độ đến λ/m tốc độ phục vụ µ Thời gian phản hồi trung bình với m = 10 µ= thay đổi Hình 10 Hình 10: Thời gian phản hồi trung bình cho hệ thống hàng đợi khác Kết luận Lý thuyết hàng đợi nghiên cứu từ mạng chuyển mạch kênh, nhiên việc áp dụng mạng chuyển mạch kênh hạn chế, sau nghiên cứu sâu rộng mạng chuyển mạch gói với việc đóng gói liệu Các tín hiệu thoại truyền thống số hố, đóng gói chuyển tải mạng gói phần sở mạng liệu Các yêu cầu đến (gói hay gọi) Server phục vụ phải khoảng thời gian chờ Server rỗi thực tiếp nhận xử lý Các qui tắc phục vụ khách hàng đợi phục vụ thiết lập cho Server qua khách hàng phục vụ theo mức ưu tiên khách hàng có độ ưu tiên khác có thời gian chờ khác Các thơng số định thuật toán xếp hàng hàng đợi từ ảnh hưởng tới QoS loại dịch vụ cung cấp mạng Các thông số hàng đợi M/M/1/K xác định thông qua lý thuyết xác suất thống kê, định lý Little, qui tắc trì hàng đợi Kleinrock quan trọng 14 tiến trình - đến yêu cầu tuân theo tiến trình Poisson với phân bố hàm mũ với thuật toán xếp hàng Xác định thơng số hàng đợi như: chiều dài hàng đợi thời điểm có khách hàng, … qua đưa phương án điều khiển lưu lượng mạng cho phù hợp nhằm giảm thiểu cố mạng đánh giá hiệu suất sử dụng tài nguyên đồng thời xác định cấp QoS mà cung cấp mạng, sở cho việc thiết kế mạng hệ thống viễn thông sau 15 Tài liệu tham khảo: [1] Andreas Willig, “A Short Introduction to Queueing Theory” – July 21 1999 (pages: 15-17) 16 ... Ngày lý thuyết hàng đợi cịn có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác mạng máy tính, việc quản lý xí nghiệp, quản lý giao thơng hệ phục vụ khác… Ngoài lý thuyết hàng đợi cịn sở tốn học để nghiên cứu ứng. .. phục vụ Do đó, lý thuyết hàng đợi (queueing process) xác định tìm phương án tối ưu để hệ thống phục vụ tốt Trong nửa đầu kỷ 20 lý thuyết hàng đợi ứng dụng để nghiên cứu thời gian đợi hệ thống điện... cầu hàng đợi tuân theo trình tự ưu tiên Trạm phục vụ phục vụ yêu cầu hàng đợi có mức ưu tiên cao Khi hàng đợi rỗng, trạm phục vụ chuyển xuống phục vụ hàng đợi có yêu cầu mức ưu tiên thấp Khi hàng