Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán tối ưu

Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán tối ưu 1 1 MỞ ĐẦU 1 1Lí do chọn đề tài Mục tiêu của giáo dục là đào tạo nguồn nhân lực có trình độ ngày càng cao để phục vụ đất nước Trong[.]

1 MỞ ĐẦU : 1.1Lí chọn đề tài Mục tiêu giáo dục đào tạo nguồn nhân lực có trình độ ngày cao để phục vụ đất nước Trong Luật giáo dục 2005 khẳng định “Hoạt động giáo dục phải thực theo nguyên lí học đôi với hành, giáo dục phải kết hợp với lao động sản xuất, lí luận phải gắn liền với thực tiễn” Như việc đổi giáo dục giúp nội dung học tập gắn với thực tế nhằm phù hợp yêu cầu xã hội Toán học mơn học ngồi việc cung cấp kiến thức giúp học sinh rèn luyện kỹ tính tốn, kỹ tư logíc, tư trừu tượng phương pháp nghiên cứu khoa học, kích thích tính sáng tạo Ngồi Tốn học cịn có ứng dụng vào thực tế đời sống Thế việc vận dụng thực tế không giáo viên học sinh quan tâm Mục tiêu đặt giải toán tối ưu vào sống để giảm chi phí tăng lợi nhuận vấn đề cần thiết xã hội Vấn đề cịn tài liệu hướng dẫn phổ biến Vì tơi chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh giải số toán tối ưu” giúp em phần giải vận dụng vào sống 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích đề tài nghiên cứu số toán ứng dụng để giải vấn đề tối ưu thực tế sống tốn tối ưu lĩnh vực kinh doanh, xây dựng, y tế , giúp nâng cao hiệu kinh tế 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các toán tối ưu thể tích, tính diện tích, khoảng cách, chi phí tồn kho, áp dụng vào chăn nuôi, y tế, Từ toán tổng quát cụ thể áp dụng vào thực tế 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phân loại số dạng tốn tối ưu, sở lí thuyết để giải Vận dụng vào thực tiễn dạng tập ứng dụng NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Bất đẳng thức tam giác xảy dấu Bất đẳng thức cosi bunhiacopxki Dùng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ 2.2Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Những năm gần tình hình dạy học mơn Tốn trương THPT Vĩnh Lộc đạt kết định Tuy nhiên theo việc vận dụng tốn học vào thực tế cịn hạn chế Thứ nhất: Học sinh khơng biết chuyển yếu tố hình học sẵn có biểu thức đại số sử dụng kiến thức để tìm Max, biểu thức Thứ hai: Học sinh lúng túng việc xác định dạng toán để áp dụng SangKienKinhNghiem.net Từ thực trạng xin đề xuất số ví dụ cho loại, hệ thống hướng dẫn cách vận dụng nhằm khắc phục tình trạng trên, nâng cao hiệu dạy học môn 2.3 Cách giải vấn đề : Một số toán tối ưu 2.3.1 Bài tốn liên quan đến thể tích Bài tốn 1: Cho nhơm hình vng cạnh a Người ta cắt bốn góc bốn hình vng nhau, gập nhơm lại hình để hộp khơng nắp Tính cạnh hình vng bị cắt cho thể tích khối hộp lớn Bài giải a x a Gọi x độ dài cạnh hình vng bị cắt, điều kiện  x  V ( x)  x(a  x) a Bài toán trở việc tìm x  (0; ) cho V(x) đạt GTLN Thể tích khối hộp Ta có V’(x) = (a-2x)2 + x.2(a-2x)(-2) = (a-2x)(a-6x) V’(x) =  x = Bảng biến thiên: x a + V’(x) V(x) Từ bảng biến thiên _ a a 2a 27 0 a Nên hàm số V(x) đạt a GTLN Vậy cạnh hình vng bị cắt x =  hàm số có điểm cực trị điểm CĐ x = Bài toán 2: Cắt bỏ hình quạt trịn AOB (hình dưới) từ mảnh tơng hình trịn bán kính R dán hai bán kính OA OB hình quạt tròn lại với để phễu có dạng hình nón Gọi x góc tâm quạt tròn dùng làm phễu (H1.3), < x <  a)Hãy biểu diễn bán kính r hình trịn đáy đường cao h hình nón theo R x Tính thể tích hình nón theo R x SangKienKinhNghiem.net b)Tìm x để hình nón tích lớn nhất, tính giá trị lớn đó.[2] Bài giải r h A,B R O a) Vì độ dài đường trịn đáy hình nón độ dài cung AB quạt trịn dùng làm phễu, nên ta có  = Rx  r = Rx 2 R2 x2 R  4  x Do h = R  r  R  2 4 R3 V   r h  x 4  x ,  x  2 Thể tích hình nón 24 b) Bài tốn quy tìm x  (0;  ) cho V đạt GTLN R x(8  x ) Ta có V’ = với x  (0;  )  V’ =  x =  2 24 4  x 2 Bảng biến thiên : x  V’(x) + 2 - 3 R 27 V(x) Vậy hình nón tích lớn x = 3   1,63  MaxV = R 27 Từ áp dụng vào giải loạt toán trắc nghiệm Bài toán 3: Một hành lang hai nhà có hình dạng lăng trụ đứng (H.12) Hai mặt bên ABB’A’ ACC’A’ hai kính hình chữ nhật dài 20m rộng 5m.Gọi x (m) độ dài cạnh BC Tính thể tích V hình lăng trụ theo x Tìm x cho hình lăng trụ tích lớn nhất, tìm giá trị [2] A' 20 m A 5m C' B' C Bài giải: xm B SangKienKinhNghiem.net Ta có đáy ABC tam giác có cạnh ; ; x  SABC = 1 (10  x) x.x.(10  x)  x 100  x , x  (0; 10) 4 Ta tích lăng trụ V(x) = SABC.AA’ = 5x 100  x (m3) Hình lăng trụ tích lớn  hàm số f(x) = 5x 100  x đạt GTLN với x 5x 2  (0; 10) Ta có f’(x) = 100  x  100  x , f’(x) =  100 - x2 = x2  x2 = 50  x = Bảng biến thiên: x + f’(x)  10 - 250 f(x) fx x) f(x) m3 Vậy V lăng trụ lớn x = , V = 250 2.3.2 Bài tốn liên quan đến diện tích Bài tốn 1: Một hộp không nắp làm từ mảnh tơng theo mẫu (hình vẽ) Hộp có đáy hình vng cạnh x(cm), chiều cao h(cm) tích 500cm3 Tìm x cho S(x) nhỏ Bài giải: Ta tích khối hộp là: V x   x h  500 cm  h  500 x   x2 h x x h Diện tích mảnh tơng dùng làm hộp : S x   x  xh  S x   x  2000 x   x2 Bài toán quy tìm x  (0;  ) cho S(x) đạt GTNN Ta có: S ' x   x  2000 x  , S ' x    x  10 x2 Suy bảng biến thiên sau: x 10 +  S’(x) - + S(x) + +  300 SangKienKinhNghiem.net Dựa vào bảng biến thiên ta thấy S(x) đạt GTNN x = 10 Vậy muốn tốn nguyên liệu ta lấy độ dài cạnh đáy hình hộp x = 10 cm Bài tốn 2: Một nhà máy cần sản xuất bể nước tơn có dạng hình hộp đứng đáy hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng khơng nắp, m Hãy tính kích thước bể cho tốn vật liệu tích Bài giải Gọi x, h chiều rộng đáy chiều cao khối hộp x, h  (0; +  ) h x 2x Ta có chiều dài đáy 2x ; Thể tích V = 2x.x.h = 2x2h=4/3  h = V  2 2x 3x Diện tích vật liệu làm khối hộp S = Sđ + Sxq = 2x.x + 6x.h 4 Xét hàm số S(x) = 2x2 + với x  (0; +  ) x x 4 S’(x) =4x - , S’(x) =4x - =  x = x x  S(x) = 2x2 + Bảng biến thiên: x S’(x) + - + S(x) Từ bảng biến thiên suy MinS = x =  h =2/3 Vậy để tốn vật liệu bể cần làm có kích thước là: đáy có chiều rộng m, chiều dài 2m, chiều cao khối hộp m Bài toán 3: Người ta muốn sản xuất hộp hình trụ đứng trịn xoay kín hai đáy với thể tích cho trước V Hãy tìm kích thước hộp cho tốn vật liệu [1] Bài giải Gọi bán kính đáy hình trụ x (x > 0), chiều cao h, theo cơng thức tính thể tích khối trụ ta có :V = x h  h  V x Độ lớn vật liệu làm hộp diện tích tồn phần hình trụ có chiều cao h bán kính đáy x, SangKienKinhNghiem.net h Stp =  xh +  x2 =  x2 + Xét hàm số f(x) =  x2 + x Ta có: f’(x) =  x - 2V x 2V , x > x V 2V ; f’(x) = x =  2 x Bảng biến thiên: x 3V - S’(x) +  + 2 + +  S(x) Từ bảng biến thiên suy S(x) nhỏ x = hộp hình trụ phải có bán kính đáy x = V Vậy để tốn vật liệu 2 V , chiều cao h = 2x.[4] 2 Bài toán 4: Tìm diện tích lớn hình chữ nhật nội tiếp nửa hình trịn bán kính R, cạnh hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính hình trịn? HD: Gọi MQ = x độ dài cạnh hình chữ nhật khơng nằm dọc theo đường kính hình trịn Độ dài cạnh cịn lại: PQ = R  x suy diện tích hình chữ nhật : S = 2x R  x Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức cosi cho số x2 , R  x ta : S  x2  R2  x2  R2 Vậy diện tích hình chữ nhật lớn R2 x  R  x  x  R 2 Cách 2: Khảo sát hàm S(x) = 2x R  x (0; R) ta có kết Ví dụ áp dụng : Từ miếng tơn hình bán nguyệt có bán kính R=3, người ta muốn cắt hình chữ nhật (xem hình) có diện tích lớn Diện tích lớn có miếng tơn hình chữ nhật A B C D HD: Gọi chiều rộng hình chữ nhật x Chiều dài hình chữ nhật R2  x2   x2 Diện tích hình chữ nhật S = x  x  x (9  x )  x  (9  x )  Dấu “=” xảy … MaxS = Chọn A SangKienKinhNghiem.net Bài toán 5: Từ khúc gỗ trịn hình trụ có đường kính 40 cm, cần xả thành xà có tiết diện ngang hình vng bốn miếng phụ tơ màu xám hình vẽ Tìm chiều rộng x miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn HD: Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang S  S MNPQ  xy   MP 40   20 cm   S  20  xy  800  xy 2 Ta có x  AB  MN  AB  20  BD  20  40  20   x  20  10 Cạnh hình vng MN  (1) Lại có AB  AD  BD  402  2 x  20   y  1600  y  800  80 x  x  y  800  80 x  x Thế vào 1  S  800  x 800  80 x  x  800  800 x  80 x3  x Xét hàm số f x   800 x  80 x3  x , với x  0; 20  10  có  f ' x   1600 x  240 x 2  16 x  16 x 100  15 x  x  x  0; 20  10   x  0; 20  10  Ta có    f ' x   Khi x   16x 100  15x  x   x  34  15 2 34  15 giá trị thỏa mãn toán Bài toán 6: Một người nơng dân có 15 000 000 đồng để làm hàng rào hình chữ E dọc theo sơng (như hình vẽ) để làm khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông chi phí ngun vật liệu 60 000 đồng mét, ba mặt hàng rào song song chi phí ngun vật liệu 50 000 đồng mét Tìm diện tích lớn khu đất rào SangKienKinhNghiem.net HD: Phân tích: ta đặt kích thước hàng rào hình vẽ: Từ đề ban đầu ta có mối quan hệ sau: Do bác nông dân trả 15 000 000 đồng để chi trả cho nguyên vật liệu biết giá thành mặt nên ta có mối quan x.50000  y.60000  15000000 hệ:  15 x  12 y  1500  y  150  15 x 500  x  12 Diện tích khu vườn sau rào tính công thức: f x   2.x y  x 500  x  5 x  500 x  Đến ta có ba cách để tìm giá trị lớn diện tích: Cách 1: Xét hàm số khoảng, vẽ BBT kết luận GTLN: Xét hàm số f x   f ' x   5 x  500 x  0;100   10 x  500 , f ' x    x  50 Ta có BBT: x f ' x  f x  50 + 100  6250 Cách 2: Nhẩm nhanh sau: Ta biết A  g x   A với x, nên ta nhẩm nhanh được: f x   5  x  100 x   x  2.50 x  2500  2500   2   2500  x     6250   Hoặc bấm máy tính phần giải phương trình bậc hai ấn nhiều lần máy sau: Vậy ta có kết toán Cách 3: Áp dụng BĐT côsi 15 x  12 y  1500  15 x12 y  180 xy suy : SangKienKinhNghiem.net S  xy  15002  6250 180 Vậy diện tích lớn khu đất rào 6250(m2) 2.3.3 Bài toán liên quan đến quãng đường Ta xét toán: Bài toán 1: Cho đường thẳng d, hai điểm A B nằm hai phía d Tìm M đường thẳng d cho MA + MB ngắn Bài giải: Lấy điểm M’ thuộc d, nối M’A, M’B Trong tam giác M’AB ta có: M ' A  M ' B  AB Dấu xảy A, B, M’ thẳng hàng suy M’ trùng với M giao điểm AB d B (d) M M/ A Bài toán 2: Cho đường thẳng d, hai điểm A B nằm phía d Tìm M đường thẳng d cho MA + MB ngắn Bài giải: B A (d) M E F A' Lấy điểm A’ đối xứng với A qua d, M’ thuộc d, M  d  I A ' B Khi : MA = MA’ , M’A = M’A’ Xét tam giác M’A’B ta có: M ' A ' M ' B  A ' B Dấu xảy : A’,M’, B thẳng hàng suy : M’ trùng M Vậy MA+ MB = MA’+ MB = A ' B  M ' A ' M ' B Từ suy cách xác định vị trí điểm M Dấu xảy A, B, M’ thẳng hàng suy M’ trùng với M giao điểm AB d Vận dụng vào giải toán thực tế sau : Bài 1: Hai nhà máy A B nằm hai bên sơng có chiều rộng Người ta xây cầu qua sông Biết A B cách sông khoảng Khoảng cách nhà máy theo đường chim bay 10 Hãy xác định SangKienKinhNghiem.net vị trí xây cầu cho cho quãng đường từ A đến B qua sông ngắn HD: Cách 1: Ta có hình vẽ : MN vị trí xây cầu Quãng đường từ A đến B qua sông ngắn tổng AM + BN nhỏ Bỏ qua chiều rộng sông, hai bờ sơng nhập (xem hình 2) ta có CD = Áp dụng tốn điểm M cần tìm giao điểm AB CD Ta có: CM AC   CM  CD BD Cách 2: Đặt CM  x MD  y , theo giả thiết ta có CM  MD  x  y  Xét tam giác vuông AHE BKF, ta  AM  AC  CM  x   2  BM  BD  MD  y  Vì độ dài cầu EF khơng đổi nên để đường từ thành phố A đến thành phố B ngắn theo đường AMNB AM  MN  NB ngắn Hay AM  BN ngắn Ta có P  AM  BN  x   y  với x  y  8, x  0, y  Hướng 1: Sử dụng bất đẳng thức a  b2  c2  d  a  c   b  d  2 với a, b, c, d  ¡ Vì a  b  c  d  a  c   b  d   ad  bc   0, a, b, c, d  ¡ 2 Sử dụng bất đẳng thức trên, ta P  x  12  y  32  x  y   1  3  Dấu xảy x y  suy x  2, y  Hướng 2: : Với x  y   y   x  P  f x   x   x  16 x  64 , với  x  24 Có f ' x   x  x 3 x2  x  16 x  64 Do f x   5  x  ,  x  0;8 ; f ' x    x  Bài 2: Cho hai vị trí A , B cách 615m , nằm phía bờ sơng hình vẽ Khoảng cách từ A từ B đến bờ sông 118m 487m Một người từ A đến bờ sông để lấy nước mang B Đoạn đường ngắn mà người 10 SangKienKinhNghiem.net HD: Cách 1: Ta có hình vẽ “bài tốn 2” Áp dụng “bài tốn 2” điểm M cần tìm giao điểm A’B EF Ta có: EM A 'E 58056   EM  x  EF BF 605 Chúng ta tham khảo thêm cách giải sau: Cách 2: Giả sử người từ A đến M để lấy nước từ M B dễ dàng tính BD = 369, EF = 492 Ta đặt EM = x, ta được: MF = 492 - x, AM = (492 - x ) + 487 x + 1182 , BM = Như ta có hàm số f (x ) xác định tổng quãng đường AM MB: f (x ) = (492 - x ) + 487 với x Ỵ éêë0; 492ùúû Ta cần tìm giá trị nhỏ f (x ) để có quãng đường ngắn từ x + 1182 + xác định vị trí điểm M x Ta có : f ' (x ) = x + 1182 492 - x (492 - x ) + 487 ìï ïï x = 58056 hay x = - 58056 58056 f ' (x ) = Û í 605 369 Û x = ïï £ x £ 492 605 ïỵ ù Hàm số f (x ) liên tục đoạn é ê0; 492û ú ë ỉ 58056÷ ÷ So sánh giỏ tr ca f (0) , f ỗỗỗ ữ, f (492) ỗố 605 ữ ứ ổ58056ử ữ ữằ 779, 8m Ta cú giỏ tr nh nht l f ỗỗỗ ữ ÷ è 605 ø 11 SangKienKinhNghiem.net Khi quãng đường ngắn xấp xỉ 779,8m Bài toán 3: Một công ty muốn làm đường ống dẫn từ điểm A bờ đến điểm B đảo Hòn đảo cách bờ biển km Giá để xây đường ống bờ 500000 triệu 1300000 triệu km nước B’ điểm bờ biển cho BB’vng góc với bờ biển Khoảng cách từ A đến B’ km Vị trí C đoạn AB’ cho nối ống theo ACB số tiền Khi C cách A đoạn Hướng dẫn: Đặt B’C = x, x  0;9 suy : BC = x  36 , AC = 9-x Chi phí xây dựng đường ống : C(x) = 1300000 x  36  500000 9  x  ( triệu) đảo B biển km C B/ bờ biển km A    5  x  36  Hàm C(x) xác định liên tục [0 ; 9] C’(x) = 100000  C ' x    13 x  x  36  x  13 x 5 C 0   12.300.000; C    11.700.000; C 9   14.060.000 2 Vậy chi phí thấp x = 2,5 Khi C cần cách A khoảng 6,5 km 2.3.4 Một số toán ứng dụng thực tế khác Bài toán 1: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 ti vi năm Chi phí gửi kho 10$ năm Để đặt hàng chi phí cố định cho lần đặt 20$ cộng thêm 9$ Cửa hàng nên đặt hàng lần năm lần để chi phí hàng tồn kho nhỏ ? HD: Gọi x số ti vi mà cửa hàng đặt lần ( x  1; 2500 , đơn vị cái) Số lượng ti vi trung bình gửi kho 10 x phí lưu kho tương ứng x  5x Số lần đặt hàng năm 2500 2500 20  9x  chi phí đặt hàng là: x x Khi chi phí mà cửa hàng phải trả là: C x   2500 50000  22500 20  9x   5x  5x  x x Lập bảng biến thiên ta được: Cmin  C 100   23500 12 SangKienKinhNghiem.net Kết luận: đặt hàng 25 lần, lần 100 tivi Bài toán 2: Độ giảm huyết áp bệnh nhân cho công thức : G x   0, 025 x 30  x  Trong x liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân (x tính miligam) Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều tính độ giảm [1] x   x  20 Bài giải: Ta có G x   0, 75 x  0, 025 x3 ( x  0) G ' x   1,5 x  0, 075 x    Lập bảng biến thiên, suy Max G ( x)  G 20   100 Vậy liều lượng thuốc tiêm cần 0;  cho bệnh nhân để giảm huyết áp giảm nhiều 20mm Khi độ giảm huyết áp 100[4] Bài tốn 3: Một chất điểm chuyển động theo qui luật S(t) = 6t  t Tính thời điểm t ( giây) vận tốc (m/s) chuyển động đạt giá trị lớn [3] Bài giải : Theo giả thiết S(t) = 6t  t , t  0;   Vận tốc chuyển động v(t) = S’(t) = 12t  3t v’(t) = 12 - 6t =  t  Lập bảng biến thiên , dựa vào BBT, ta có max v(t) = v(2) = 12 0;  Vậy vận tốc đạt giá trị lớn t= 2(s) Bài tốn 4: Khi ni cá thí nghiệm hồ, nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình cá sau vụ cân nặng P(n) = 480-20n(gam) Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoạch nhiều cá [1] Bài giải: Nếu đơn vị diện tích mặt hồ có n cá sau số vụ, số cá đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng : f(n) = n P(n) = 480n - 20n2 (Gam) Xét hàm số f(x) = 480x - 20 x2 , x  0;   Biến số lấy các giá trị nguyên dương thay biến số x lấy giá trị khoảng 0;   Ta có f’(x) = 480x - 40 x =  x =12 , lập bảng biến thiên từ suy hàm số f(t) đạt giá trị lớn x = 12 Hay f(n) đạt giá trị lớn n =12 Tức đơn vị diện tích mặt hồ thả 12 cá suất cao nhất.[4] Bài tốn 5: Ơng A có ao diện tích 50m2 để ni cá điêu hồng Vụ vừa qua ông nuôi với mật độ 20 con/m2 thu 1,5 cá thành phẩm Theo kinh nghiệm ni cá mình, ơng thấy thả giảm con/m2 cá thành phẩm thu tăng thêm 0,5 Kg Vậy vụ tới ông phải mua cá giống để đạt tổng suất cao nhất? suất bao nhiêu? (Giả sử khơng có hao hụt q trình ni) Bài giải: Số cá ơng thả vụ vừa qua là: 50.20 = 1000 (con) Khối lượng trung bình cá thành phẩm vụ vừa qua : 1500/1000 = 1,5 (Kg/con) Gọi x : số cá ơng cần thả cho vụ tới (con) ĐKXĐ x > Với Giảm tăng 0,5Kg/con nên giảm x tăng 0,5xKg/con Phương trình tổng khối lượng cá thu vụ tới là: 13 SangKienKinhNghiem.net P  f x   1000  x 1,5  0, 0625 x   0, 0625 x  61x  1500 dễ dàng có p đạt giá trị lớn x = 488 Vậy vụ sau ông cần thả: 1000 - 488 = 512 cá giống đống thời tổng suất P  f 488   16384 kg cá thành phẩm 2.3.5 Bài tập củng cố: Bài Một hải đăng đặt vị trí A có khoảng cách đến bờ biển BC = 5km Trên bờ biển có vị trí C cách kho B khoảng km Một người canh hải đăng chèo đò từ A đến M bờ biển với vận tốc 4km/h đến C với vận tốc km/h Vị trí M cách B khoảng để người đến kho nhanh KQ: MB = Bài Một nhà máy cần sản xuất bể nước tơn có dạng hình hộp đứng đáy hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng khơng nắp, tích m3 Hãy tính kích thước bể cho tốn vật liệu Bài Cho nhơm hình vng cạnh a Người ta cắt bốn góc bốn hình vng nhau, gập nhôm lại để hộp không nắp Tính cạnh hình vng bị cắt cho thể tích khối hộp lớn Bài 4: Trên đoạn đường giao thơng có đường vng góc với O hình vẽ Một địa danh lịch sử có vị trí đặt M, vị trí M cách đường OE 125m cách đường Ox 1km Vì lý thực tiễn người ta muốn làm đoạn đường thẳng AB qua vị trí M, biết giá trị để làm 100m đường 150 triệu đồng Chọn vị trí A B để hồn thành đường với chi phí thấp Hỏi chi phí thấp để hồn thành đường ? KQ: 5 1,5  2, 0963 (tỷ đồng) Bài : Khi nuôi cá thử nghiệm hồ người ta thấy rằng: đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình cá sau vụ cân nặng P n   600  15n (gam) Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu khối lượng cá nhiều nhất? KQ: 20 đơn vị diện tích mặt hồ Bài 6: Trong hội trại kỉ niệm ngày thành lập Đoàn niên Cộng sản Hồ Chí Minh 26/3, ban tổ chức phát cho lớp đoạn dây dài 18 m không co dãn để khoanh khoảng đất trống hình chữ nhật có cạnh đoạn sợi dây Phần đất để dựng trại hình chữ nhật tạo thành Hỏi, diện tích lớn phần đất dựng trại mét vuông? KQ: 20, 25 m2 Bài 7: Người ta muốn xây bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao khối hộp 14 SangKienKinhNghiem.net m, 1m, 2m (hình vẽ bên) Biết viên gạch có chiều dài 20 cm, chiều rộng 10 cm, chiều cao cm Hỏi người ta sử dụng viên gạch để xây bồn thể tích thực bồn chứa lít nước? (Giả sử lượng xi măng cát khơng đáng kể ) KQ: 1180 viên; 8820 lít Bài 8: Cho bìa hình vng cạnh 5dm Để làm mơ hình kim tự tháp Ai Cập, người ta cắt bỏ tam giác cân có cạnh đáy cạnh hình vng gấp lên, ghép lại thành hình chóp tứ giác Để mơ hình tích lớn cạnh đáy mơ hình KQ: dm Bài 9: Người ta cần chế tạo ly dạng hình cầu tâm O, đường kính 2R Trong hình cầu có hình trụ trịn xoay nội tiếp hình cầu Nước chứa hình trụ Hãy tìm bán kính đáy r hình trụ để ly chứa nhiều nước KQ: r  R Bài 10: Bạn A muốn làm thùng hình trụ khơng đáy từ ngun liệu mảnh tơn hình tam giác ABC có cạnh 90 (cm) Bạn muốn cắt mảnh tơn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu ( với M, N thuộc cạnh BC; P Q tương ứng thuộc cạnh AC AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao MQ Thể tích lớn thùng mà bạn A làm bao nhiêu? A P Q KQ: 13500  B (cm ) M N C 15 SangKienKinhNghiem.net Bài 11: Một hộp đựng chocolate kim loại có hình dạng lúc mở nắp hình vẽ Một phần tư thể tích phía hộp dải lớp bơ sữa ngọt, phần cịn lại phía chứa đầy chocolate ngun chất Với kích thước hình vẽ, gọi x  x0 giá trị làm cho hộp kim loại tích lớn nhất, thể tích chocolate ngun chất có giá trị V0 Tìm V0 KQ: 48 đvtt Bài 12: Chiều dài bé thang AB để tựa vào tường AC mặt đất BC, ngang qua cột đỡ DH cao 4m song song cách tường CH  0,5m ? A D C H B KQ: Xấp xỉ 5,5902(m) 2.4 KẾT QUẢ THỬ NGHIỆM 2.4.1 Kết chung Đề tài đạt mục tiêu đề Đặc biệt qua chuyên đề học sinh được: củng cố kỹ giải tốn nói chung theo quy trình; khơng cịn gặp trở ngại lớn loại toán tối ưu bắt gặp đề thi THPT quốc gia; có kỹ ứng dụng đạo hàm, bất đẳng thức cosi, bất đẳng thức bunhia copxki để giải tốn; học sinh có hứng thú học tập đặc biệt chuyên đề tự chọn 2.4.2 Kết kiểm tra ĐỀ KIỂM TRA Bài Người ta muốn làm thùng tơn hình hộp đứng đáy hình vng khơng nắp tích V = lít Tính kích thước thùng cho tốn vật liệu Bài Hai thành phố A B cách sông Người ta xây dựng cầu EF bắt qua sông biết thành phố A cách sông khoảng km thành phố B cách sông khoảng km (hình vẽ), biết tổng độ dài HE  KF  24 km  Hỏi cầu cách thành phố A khoảng để đường từ thành phố A đến thành phố B ngắn (đi theo đường AEFB) ĐÁP ÁN 16 SangKienKinhNghiem.net Bài 1: Tương tự mục 1.3.1: gọi x kích thước đáy, h chiều cao Ta tích khối hộp là: V x   x h  dm  h  x   x2 Diện tích thùng tôn (không nắp) S x   x  xh  S x   x  16 x   x Bài tốn quy tìm x  (0;  ) cho S(x) đạt GTNN S ' x   x  Ta có : 16 x  , S ' x    x  x2 Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên dễ dàng suy S(x) đạt GTNN x =2 Vậy muốn tốn nguyên liệu ta lấy đáy có độ dài Bài 2: Đặt HE  x KF  y , theo giả thiết ta có HE  KF  x  y  24  AE  AH  HE  x  25 Xét tam giác vuông AHE BKF, ta  2  BF  BK  KF  y  49 Vì độ dài cầu EF không đổi nên để đường từ thành phố A đến thành phố B ngắn theo đường AEFB AE  EF  FB ngắn Hay AE  BF ngắn Ta có P  AE  BF  x  25  y  49 với x  y  24, x  0, y  Cách Sử dụng bất đẳng thức a  b  c  d  a  c   b  d   a, b, c, d  ¡ 2 Vì a  b  c  d  a  c   b  d   ad  bc   0, a, b, c, d  ¡ 2 Sử dụng bất đẳng thức trên, ta P  x  52  y   x  y   5    12 Dấu xảy x y  suy x  10, y  14 nên AE  5km Cách 2: Với x  y  24  y  24  x  P  f x   x  25  x  48 x  625 , với  x  24 Có f ' x   x x  24 ,  x  0; 24 ; f ' x    x  10 x  25 x  48 x  625 Do f x   12  x  10  AE  5 km  Cách 3: Áp dụng toán Thống kê kết kiểm tra (lớp thực nghiệm 12A1, 12A2 lớp đối chứng 12A3, 12A4) Lớp Sĩ số Điểm 10 12A1 45 6 12 5 12A2 45 11 10 12A3 45 8 15 1 12A4 44 18 Tỷ lệ đạt điểm khá, giỏi 12A1 đạt 31/45  69% ; 12A2 đạt 30/45  67% 12A3 đạt 9/45 = 20%; 12A4 đạt 15/44  31% Tỷ lệ điểm đạt loại giỏi hai lớp thực nghiệm vượt hẳn hai lớp đối chứng 17 SangKienKinhNghiem.net Từ kết thực nghiệm minh chứng việc:" Hướng dẫn học sinh giải số toán tối ưu” vào giảng dạy cần thiết, nhằm nâng cao chất học tập chất lượng thi học sinh giỏi thi đại học cao đẳng KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trong trình nghiên cứu đề tài thu kết sau: Tìm hiểu thực trạng việc rèn luyện kỹ giải toán thực tế tối ưu học việc ứng dụng đạo hàm, bất đẳng thức cosi, bunhia copxki để giải tốn Từ rút yêu cầu cấp thiết đề tài, qua nắm khó khăn số sai lầm học sinh giải toán thực tế tối ưu Nêu số dạng toán tối ưu dạng tổng qt thơng qua ví dụ cụ thể, phương pháp giải toán đặc biệt áp dụng bất đẳng thức kiến thức hình học sẵn có để giải tốn trắc nghiệm cách nhanh gọn Qua đề tài giúp học sinh dễ dàng tiếp cận giải loạt toán ứng dụng thực tế khác : ứng dụng tích phân để tính diện tích, toán liên quan vận tốc gia tốc, toán liên quan mũ logarit, Khi trình bày khơng tránh khỏi nhiều điều sai sót, mong thầy em góp ý để hồn chỉnh chun đề giúp học sinh học tập tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 22 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trần Thị Lan Anh 18 SangKienKinhNghiem.net ... copxki để giải tốn Từ rút yêu cầu cấp thiết đề tài, qua nắm khó khăn số sai lầm học sinh giải toán thực tế tối ưu Nêu số dạng toán tối ưu dạng tổng qt thơng qua ví dụ cụ thể, phương pháp giải toán. .. thực nghiệm vượt hẳn hai lớp đối chứng 17 SangKienKinhNghiem.net Từ kết thực nghiệm minh chứng việc:" Hướng dẫn học sinh giải số toán tối ưu? ?? vào giảng dạy cần thiết, nhằm nâng cao chất học tập... xuất số ví dụ cho loại, hệ thống hướng dẫn cách vận dụng nhằm khắc phục tình trạng trên, nâng cao hiệu dạy học môn 2.3 Cách giải vấn đề : Một số toán tối ưu 2.3.1 Bài tốn liên quan đến thể tích Bài