Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải bài toán về tạo số

Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải bài toán về tạo số 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THCS & THPT THỐNG NHẤT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ TẠO SỐ” Người thực hiện N[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THCS & THPT THỐNG NHẤT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ TẠO SỐ” Người thực hiện: Nguyễn Thị Sen Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lỉnh vực mơn: Tốn THANH HỐ NĂM 2017 SangKienKinhNghiem.net MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1.Lí chọn đề tài……………………………………………………………1 1.2.Mục đích nghiên cứu…………………………………………………… 1.3.Đối tượng nghiên cứu………………………………………………… …1 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………………… 2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến………………………………………………2 2.2 Thực trạng sáng kiến………………………………………………… 2.3 Các giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 11 giải toán tạo số……………4 Chương I : Số tạo thành gồm số khác nhau: I.1 Trong chữ số cho khơng có chữ số 0…………………….4 I.2 Trong chữ số cho có chữ số 0:…………………………5 Chương II : Số tạo thành chứa chữ số định trước: II.1 Trong chữ số cho khơng có chữ số 0:…………………6 II.2 Trong chữ số cho có chữ số 0:………………………8 Chương III: Số tạo thành chứa chữ số lặp lại: III.1 Trong chữ số cho khơng có chữ số 0:……………….11 III.2 Trong chữ số cho có chữ số 0:……….………………12 Chương IV : Số tạo thành thỏa mãn điều kiện buộc cho trước:…… …14 2.4 Hiệu sáng kiến…………………………………………………17 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ……………………………………………….18 3.1 Kết luận…………………………………………………………………18 3.2.Kiến nghị…………………………………………………………………18 SangKienKinhNghiem.net MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong nhà trường phổ thơng, nội dung kiến thức mơn Tốn trang bị cho học sinh khơng bao gồm khái niệm, định lí, qui tắc mà kĩ phương pháp Vì vậy, hệ thống tri thức khơng có giảng lí thuyết mà cịn có tập tương ứng Dạy học giải tốn có vai trị đặc biệt dạy học tốn trường phổ thông Và đặc biệt kỳ thi Trung học phổ thông Quốc gia 2017, Bộ Giáo dục Đào tạo quy định mơn Tốn mơn thi trắc nghiệm 100% tốn phương tiện có hiệu khơng thể thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ kỹ xảo để làm có kết xác nhanh Qua thực tế giảng dạy, trực tiếp ôn thi Đại học, cao đẳng ôn luyện học sinh giỏi nhận thấy tốn tính số số tạo thành từ số chữ số cho trước thỏa mãn số điều kiện địi hỏi học sinh phải có lối tư logic sáng tạo, khả phân tích, phán đốn Đồng thời địi hỏi người học kĩ lập luận, tính tốn xác, khoa học Thực tế học sinh học tham gia kì thi lúc gặp dạng tốn số em đơi lúc cịn lúng túng nhiều thời gian để tìm lời giải cho tốn Vì với trách nhiệm tơi thấy cần phải xây dựng thành chun đề từ rèn luyện kĩ nhận dạng, nâng cao lực giải toán cho học sinh để em khơng cịn e ngại hay lúng túng gặp dạng tốn Qua q trình tích lũy tơi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm: “ Phương pháp giải tốn tạo số ” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Lựa chọn đề tài làm sáng kiến kinh nghiệm, trước hết giúp thân tơi hồn thiện kỹ năng, phương pháp dạy học dạng toán tạo số Từ góp phần nâng cao chất lượng học tập mơn Tốn học sinh trung học phổ thơng - Giới thiệu phương pháp giải hiệu quả, phân dạng với tập cụ thể, giúp học sinh hiểu chất, hình thành rèn luyện kỹ giải nhanh, xác tốn lập số Nhằm đạt kết cao kỳ thi - Được đồng nghiệp đón nhận, góp ý xây dựng áp dụng vào thực tiễn giảng dạy Được hội đồng khoa học cấp nhận xét, đánh giá ghi nhận cố gắng thân 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung giải nội dung: - Phân dạng chi tiết phương pháp giải tốn tạo số - Từ ví dụ cụ thể khái quát cách giải tổng quát cho lớp toán SangKienKinhNghiem.net - Đưa số tốn có tính chất điển hình 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu sở lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11 - Phương pháp thu thập thơng tin: Điều tra thực tế, quan sát tình hình dạy học dạng toán tạo số trường trung học phổ thông - Phương pháp so sánh, đối chiếu, khái qt hóa: Từ tốn cụ thể, nghiên cứu xây dựng, khái quát nên cách giải toán tổng quát dạng tập nội dung sáng kiến kinh nghiệm - Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Phân tích, đánh giá, tổng hợp dạng toán liên quan đến toán tạo số Đặc biệt toán, dạng toán liên quan đến tốn tính số số tạo thành từ số chữ số cho trước thỏa mãn số điều kiện kì thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng, kì thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm gần - Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành ôn tập chủ đề cho học sinh NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến Kiến thức sở 1) Quy tắc cộng: Một công việc hoàn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m+n cách thực [1, Tr 44] 2) Quy tắc nhân: Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động hai có m.n cách hồn thành cơng việc [1, Tr 45] 3) Hoán vi: Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử (𝑛 ≥ 1) SangKienKinhNghiem.net Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử đố Số hoán vị : 𝑃𝑛 = 𝑛! [1, Tr 47] 4) Chỉnh hợp: Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử (𝑛 ≥ 1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho 𝑛! Số chỉnh hợp : 𝐴𝑛𝑘 = (𝑛 ‒ 𝑘)! (1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛) [1, Tr 49] 5) Tổ hợp: Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử (𝑛 ≥ 1) Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho 𝑛! Số tổ hợp : 𝐶𝑛𝑘 = 𝑛!(𝑛 ‒ 𝑘)! (1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛) [1, Tr 51] 2.2 Thực trạng sáng kiến Đối với giáo viên: Trên thực tế, qua khảo sát tình hình giảng dạy giáo viên sở số trường đa số thầy cô dạy phần mơ tả viết sách giáo khoa số tài liệu tham khảo, khơng phân tích, khơng giải mã điểm mấu trốt toán Mà toán tạo số sách giáo khoa tài liệu tham khảo giới thiệu vài ví dụ đơn lẻ rời rạc Vì đa phần học sinh lúng túng gặp dạng toán Đối với học sinh: Khả phận học sinh cịn hạn chế Khi gặp dạng tốn em thường e ngại, bỏ qua không làm hiểu sai chất dẫn đến lời giải sai Ví dụ : Cho tập 𝐴 = {0,1,2,3,4,5} Từ tập A lập số có chữ số khác chia hết cho ? Lời giải sai: Mỗi số gồm chữ số phân biệt có dạng: 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4 , 𝑎𝑖 ∈ 𝐴,𝑎𝑖 ≠ 𝑎𝑗, 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖,𝑗 ∈ 𝑁 ;1 ≤ 𝑖,𝑗 ≤ Để số tìm số chia hết cho 2, điều kiện 𝑎4 ∈ {0, 2, 4} Có cách chọn 𝑎4 , 𝑎1 có cách chọn từ phần tử tập 𝐴\{0,𝑎4 }, có 𝐴24 cách chọn số từ tập 𝐴\{𝑎1 ,𝑎4 } xếp vào vị trí 𝑎2, 𝑎3 SangKienKinhNghiem.net Vậy số số tạo thành là: 𝑇1 = 3.4.𝐴24 = 144 ( số) Ví dụ : Từ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số số có mặt lần, cịn số khác có mặt lần ( Lời giải đáp án 23 ) Lời giải sai: Bộ ( 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, ) tạo số có chữ số Có C83 cách chọn số vị trí cho chữ số Sau có A55 cách chọn chữ số ( khác ) vào vị trí cịn lại Ta số số 𝑇 = 𝐶38.𝐴55 = 6742 (số) ( Lời giải đáp án 19 ) Xuất phát từ thực trạng đây, chọn đề tài “ Phương pháp giải toán tạo số ” làm sáng kiến kinh nghiệm cần thiết với thân để hướng dẫn học sinh 11 luyện tập nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ kỹ xảo để làm có kết xác nhanh 2.3 Các giải pháp hướng dẫn học sinh lớp 11 giải toán tạo số Chương I: SỐ TẠO THÀNH GỒM NHỮNG CHỮ SỐ KHÁC NHAU I.1 Trong chữ số cho khơng có chữ số 0: Bài 1: Có số tự nhiên gồm chữ số khác đôi khác nhau? Lời giải: Gọi số tự nhiên cần lập là: 𝑎1𝑎2𝑎3 , 𝑎𝑖 ≠ 𝑎𝑗, 𝑖 ≠ 𝑗; 𝑖,𝑗 ∈ 𝑁 ;1 ≤ 𝑖,𝑗 ≤ Chọn 𝑎1 có cách, ứng với cách chọn 𝑎1 có cách chọn 𝑎2 ; ứng với cách chọn 𝑎2 có cách chọn 𝑎3 Do theo quy tắc nhân suy số số cần tìm T = 9.8.7= 504 ( số) Bài 2: Cho 𝐴 = {1,2,3,4,5,6} Hỏi lập số có chữ số khác lấy từ A? Lời giải: Gọi số tự nhiên có chữ số tạo thành có dạng: SangKienKinhNghiem.net 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4 , 𝑎𝑖 ∈ 𝐴,𝑎𝑖 ≠ 𝑎𝑗, 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖,𝑗 ∈ 𝑁 ;1 ≤ 𝑖,𝑗 ≤ Như số tạo thành cách xếp chữ số chọn từ chữ số tập A vào vị trí 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3,𝑎4 Hay số tạo thành chỉnh hợp chập Vậy số số cần tìm là: T = 𝐴46 = 360 (số) Tổng quát: Cho tập hợp A gồm n chữ số khác Số số tạo gồm m chữ số (m  n) đôi khác lập từ n chữ số tập A là: 𝑇 = 𝐴𝑚𝑛 (số) Thật vậy, số tạo thành cách xếp m chữ số chọn số n chữ số cho vào m vị trí định trước Hay số tạo thành chỉnh hợp chập m n ( chữ số) I.2 Trong chữ số cho có chữ số 0: Bài 3: Từ chữ số 𝐴 = {0,1,2,3,4,5,6} lập số tự nhiên gồm có chữ số khác ? [2, Tr 253] Lời giải: Mỗi số gồm chữ số phân biệt lập từ số tập A có dạng: 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4𝑎5 ,𝑎𝑖 ∈ 𝐴, 𝑎1 ≠ 0, 𝑎𝑖 ≠ 𝑎𝑗, 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖,𝑗 ∈ 𝑁 ;1 ≤ 𝑖,𝑗 ≤ Có cách chọn 𝑎1, ứng với cách chọn 𝑎1, (𝑎2,𝑎3,𝑎4,𝑎5 ) ứng với chỉnh hợp chập phần tử tập 𝐴\{𝑎1} Suy có 𝐴46 cách chọn Vậy lập T= 6.𝐴46 =2160 số tự nhiên gồm chữ số khác từ chữ số thuộc tập A Bài 4: Cho tập 𝐴 = {0,1,2,3,4,5} Có thể lập số tự nhiên gồm chữ số phân biệt từ tập A Lời giải: Ta thấy, số gồm chữ số phân biệt hình thành từ tập A (chữ số đầu 0) ứng với chỉnh hợp chập Do từ tập A lập 𝐴46 số gồm chữ số phân biệt Từ tập 𝐴\{0} lập 𝐴35 số tự nhiên có chữ số phân biệt Do đó, số số cần tìm là: T = 𝐴46 ‒ 𝐴35 = 300 ( số ) Bằng cách lập luận tương tự ta có tốn tổng qt: Tổng qt: Cho tập hợp A gồm n chữ số có chữ số Từ A lập T= (𝑛 ‒ 1)𝐴𝑚𝑛 ‒‒ 11số tự nhiên gồm m chữ số ( m  n ) đôi khác SangKienKinhNghiem.net Chương II: SỐ TẠO THÀNH CHỨA CÁC CHỮ SỐ ĐỊNH TRƯỚC II.1 Trong chữ số cho khơng có chữ số Bài 5: Cho chữ số 1,2,3,4,5 Hỏi từ chữ số lập số tự nhiên gồm chữ số khác ln có mặt chữ số 1? Lời giải Gọi 𝐴 = {1,2,3,4,5} Số tự nhiên gồm chữ số phân biệt hình thành từ tập A có dạng: 𝑎1𝑎2𝑎3 ,𝑎𝑖 ∈ 𝐴, 𝑎𝑖 ≠ 𝑎𝑗, 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖,𝑗 ∈ 𝑁 ;1 ≤ 𝑖,𝑗 ≤ Ta thấy: Có cách chọn vị trí cho chữ số Tiếp theo số dành cho hai vị trí cịn lại ứng với chỉnh hợp chập phần tử lại tập A  Có 𝐴24 cách chọn Như vậy, ta được: 𝐴24 = 36 ( số ) Bài 6: Với tập 𝑋 = {1,2,3,4,5,6} Có thể lập số gồm chữ số phân biệt số lẻ? Lời giải: Mỗi số gồm chữ số phân biệt có dạng: 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4 ,𝑎𝑖 ∈ 𝑋, 𝑎𝑖 ≠ 𝑎𝑗, 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖,𝑗 ∈ 𝑁 1; ≤ 𝑖,𝑗 ≤ Chọn 𝑎4 từ số 1, 3, nên có cách chọn (𝑎1,𝑎2,𝑎3 ) phân biệt thứ tự chọn từ tập 𝑋\{𝑎4} Do đó, chỉnh hợp chập phần tử nên có 𝐴35 cách chọn Số số lẻ gồm chữ số phân biệt, hình thành từ tập X bằng:T=3.𝐴35 =180( số) Bài 7: Hỏi từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số có năm chữ số khác thiết phải có chữ số 1, ? [3, Tr 184] Lời giải: Xếp số vào vị trí ta có 𝐴25 = 4.5 = 20 cách Có 𝐴35 = 3.4.5 = 60 cách chọn phần tử tập 𝐸 = {2,3,4,6,7} xếp vào vị trí cịn lại Vậy có T= 20.60=1200 số thỏa mãn yêu câu toán Tổng quát: Cho tập hợp gồm n chữ số, khơng có chữ số 0, từ chúng viết T= 𝐴𝑚𝑘 𝐴𝑚𝑛 ‒‒ 𝑘𝑘 số có m chữ số cho có k chữ số định trước ( thuộc n chữ số trên) với k < m ≤ 𝑛 Thật vậy: Số tạo thành gồm m vị trí Gọi tập hợp k chữ số định trước E SangKienKinhNghiem.net Số cách xếp k chữ số định trước vào m vị trí Amk Số cách chọn (m- k) chữ số số ( n- k ) chữ số khơng thuộc E cho (m- k) vị trí cịn lại Anmkk Theo quy tắc nhân ta số số T= 𝐴𝑚𝑘 𝐴𝑚𝑛 ‒‒ 𝑘𝑘 ( số ) Bài 8: Cho chữ số 1, 2, 3, 4, 5, Có số gồm chữ số khác chữ số đứng cạnh nhau? Lời giải: Có cách xếp hai chữ số đứng cạnh Khi có cách chọn vị trí cho cặp số Số cách chọn chữ số khác vào vị trí cịn lại 𝐴24 Do số số cần tìm 𝐴24 = 72 ( số ) Bài 9: Cho tập hợp 𝐸 = {1,2,3,4,5,6,7} Có số gồm chữ số phân biệt chữ số 1, 2, đứng cạnh nhau? Lời giải: Có 3! cách xếp số 1, ,5 đứng cạnh Ứng với số (1, 2, 5) đứng cạnh có cách chọn vị trí số có chữ số Có 𝐴44 cách chọn số tập 𝐸\{1,2,5} xếp cho vị trí cịn lại Như vậy, số số thỏa mãn T= 3!.5 𝐴44 = 720 ( số ) Tổng quát: Cho tập hợp gồm n chữ số không chứa chữ số 0, từ chúng viết T= k!.(m-k+1) 𝐴𝑚𝑛 ‒‒ 𝑘𝑘 số có m chữ số ( m ≤ 𝑛) khác mà có k chữ số định trước đứng cạnh Chứng minh: Có k! cách xếp k số đứng cạnh Ứng với k số đứng cạnh có (m-k+1) cách chọn vị trí số có m chữ số Có 𝐴𝑚𝑛 ‒‒ 𝑘𝑘 cách chọn số cịn lại xếp vào vị trí cịn trống Như vậy, số số thỏa mãn T= k!.(m-k+1) 𝐴𝑚𝑛 ‒‒ 𝑘𝑘 ( số ) II.2 Trong chữ số cho có chữ số Bài 10: Có thể thành lập số gồm chữ số khác thiết phải có số Lời giải: Gọi 𝐸 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, số tạo thành gồm chữ số nên có vị trí SangKienKinhNghiem.net +) Trường hợp 1: Số tạo thành chứa số Có cách chọn vị trí cho số 0, số cách xếp số vào vị trí cịn lại 𝐴14 cách Số cách chọn phần tử tập 𝐸\{0, 8} xếp vào vị trí cịn trống 𝐴38 cách Suy ta có 𝑇1 = 𝐴14 𝐴38 =5376 (số) +) Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số Số cách xếp số vào vị trí 𝐴15, số cách chọn phần tử tập 𝐸\ {0, 8} xếp vào vị trí cịn trống 𝐴48 cách Suy ta có 𝑇2 = 𝐴15 𝐴48 = 8400 ( số) Vậy số số tạo thành là: 𝑇 = 𝑇1 + 𝑇2=13776 (số) Bài 11: Từ số 0,1,2,3,4,5 lập số tự nhiên gồm bốn chữ số khác phải có chữ số 4? ( Đề thi HSG tinh Thanh Hóa năm 2009-2010) Lời giải: Gọi số tự nhiên cần lập 𝑋 = 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4 ( 𝑎1 ≠ 0) 𝑎𝑖 ∈ {0,1,2,3,4,5}, 𝑖 = 1;2;3;4 Trường hợp 1: X có chữ số Có cách xếp chữ số 0, 𝐴23 cách xếp hai chữ số và 𝐴13 cách chọn ba chữ số 1; 3; xếp vào vị trí cịn lại Suy ta có 𝑇1 = 3.𝐴23 𝐴13 = 54 ( số) Trường hợp 2: Trong X khơng có chữ số Có 𝐴24 cách xếp hai chữ số và 𝐴23 cách chọn hai ba chữ số 1; 3; xếp vào hai vị trí cịn lại Suy có 𝑇2 = 𝐴24 𝐴23 = 72 ( số) Vậy có tất T= 54+ 72= 126 ( số) Bài 12: Hỏi từ số 0, 1, 2, 3,……, 8, lập số có chữ số khác thiết phải có chữ số 0, 1, 2? Lời giải: Đặt 𝐴 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Số tạo thành gồm chữ số 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4𝑎5𝑎6 ( 𝑎1 ≠ 0) 𝑎𝑖 ∈ 𝐴, 𝑖 = 1;2;3;4; 5; 10 SangKienKinhNghiem.net Có cách chọn vị trí cho chữ số Số cách chọn chữ số cho vị trí cịn lại 𝐴25 Số cách chọn số chữ số khác 0, 1, cho vị trí cịn lại 𝐴37 Theo quy tắc nhân số số tạo thành T=5 𝐴25 𝐴37 = 21000 ( số ) Tổng quát: Cho tập hợp gồm n chữ số có chữ số 0, từ chúng viết T số có m chữ số khác cho có k chữ số khác định trước ( thuộc n chữ số ) với 𝑘 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛 Chứng minh: Số tạo thành gồm m vị trí Gọi X số cần lập có chứa k chữ số định trước E chứa k chữ số định trước Ta xét hai khả sau: a, Trong E chứa chữ số 0: Ta có ( m-1) cách chọn vị trí cho chữ số 0; 𝐴𝑚𝑘 ‒‒ 11 cách xếp k-1 chữ số định trước 𝐴𝑚𝑛 ‒‒ 𝑘𝑘 cách chọn chữ số khơng thuộc tập E xếp vào vị trí cịn lại Suy ta có 𝑘‒1 𝑚‒𝑘 𝑇 = (𝑚 ‒ 1).𝐴𝑚 ‒ 𝐴 𝑛 ‒ 𝑘 ( số) b, Trong E khơng chứa chữ số Ta tính theo trường hợp sau: * Trường hợp 1: Trong số tạo thành X chứa chữ số Có (m-1) cách chọn vị trí cho chữ số 0; 𝐴𝑚 𝑘‒ cách xếp k chữ số định trước 𝐴𝑚𝑛 ‒‒ 𝑘𝑘 ‒‒ 11 cách chọn chữ số khác khơng thuộc tập E xếp vào vị trí cịn lại T1 = (m-1) 𝐴𝑛 𝑘‒ 𝐴𝑚𝑛 ‒‒ 𝑘𝑘 ‒‒ 11 * Trường hợp 2: Trong số tạo thành X không chứa chữ số 0: số Số cách viết k chữ số thuộc E m vị trí 𝐴𝑚𝑘 Số cách chọn (m-k) (n-k-1) chữ số khác mà khơng thuộc E cho (m-k) vị trí cịn lại 𝐴𝑛 𝑚‒ 𝑘‒ ‒𝑘 T2= 𝐴𝑚𝑘 𝐴𝑛 𝑚‒ 𝑘‒ ‒𝑘 ( số) Vậy số số tạo thành thỏa mãn toán là: T= T1+ T2 =(m-1) 𝐴𝑛 𝑘‒ 𝐴𝑚𝑛 ‒‒ 𝑘𝑘 ‒‒ 11+𝐴𝑚𝑘 𝐴𝑛 𝑚‒ 𝑘‒ ‒𝑘 1( số ) Bài 13: Cho tập hợp 𝐴 = {0,1,2,3,4,5,6} Có số gồm chữ số khác mà có hai chữ số đứng cạnh nhau? Lời giải: Mỗi số gồm chữ số phân biệt có dạng 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4𝑎5 ( 𝑎1 ≠ 0) 𝑎𝑖 ∈ 𝐴, 𝑖 = 1;2;3;4;5 11 SangKienKinhNghiem.net Có hai cách mà chữ số đứng cạnh 23 32 Ta xét hai khả sau: * 𝑎1𝑎2 ≡ 23 Khi số 𝑎1𝑎4𝑎5 ứng với chỉnh hợp chập chữ số tập A khác Số số 𝐴35 *𝑎1𝑎2 ≠ 23 Có cách chọn chữ số 𝑎1 khác 0, 2, Tương ứng có cách chọn vị trí cho 23.Và có 𝐴24 cách xếp số vào vị trí cịn trống Theo quy tắc nhân số số 4.3 𝐴24= Số số chứa 23 là: 𝐴35 + 4.3 𝐴24 = 204 ( số ) Tương tự, số số chứa 32 204 ( số ) Vậy số số tạo thành 204 = 408 ( số ) Bài 14: Cho tập hợp 𝐴 = {0,1,2,3,4,5,6, 7} Từ tập A lập số có chữ số phân biệt chữ số đứng cạnh nhau? Lời giải: Mỗi số X gồm chữ số phân biệt có dạng: 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4𝑎5 ,𝑎𝑖 ∈ 𝐴, 𝑎𝑖 ≠ 𝑎𝑗, 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖,𝑗 ∈ 𝑁 ;1 ≤ 𝑖,𝑗 ≤ Có hai cách mà chữ số đứng cạnh 20 02 * X có chứa 20 Có cách chọn cho vị trí số 20, có 𝐴36 cách chọn số khác xếp vào vị trí cịn lại Như có 𝐴36 cách * X có chứa 02 Có cách chọn chữ số 𝑎1 khác 0, Có cách chọn vị trí cho 02 số có chữ số Có 𝐴25 cách chọn chữ số cịn lại xếp vào vị trí cịn trống Số số 6.3 𝐴25 ( số) Vậy số số cần tìm là: 𝐴36+ 6.3 𝐴25 = 840 ( số ) Bài 15: Từ số 0,1,2,3,4,5,6 lập số chẵn, số có chữ số khác có hai chữ số lẻ hai chữ số lẻ đứng cạnh Lời giải: Số cách chọn hai chữ số lẻ đứng cạnh từ số 1,3,5 𝐴23 = cách Ta xem cặp số lẻ số a Vậy số cần lập gồm a số chẵn 0,2,4,6 Gọi số cần lập 𝑛 = 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4𝑎5 12 SangKienKinhNghiem.net Trường hợp 1: 𝑎5 = 0, xếp a có cách, có 𝐴23 cách chọn số xếp vào vị trí cịn lại Suy có : 𝐴23=18( số) Trường hợp 2: 𝑎5 ∈ {2,4,6} có cách chọn 𝑎5, xếp a đứng đầu, có 𝐴23 cách chọn số xếp vào vị trí cịn lại Suy có : 𝐴23=18( số) Trường hợp 3: 𝑎5 ∈ {2,4,6} có cách chọn 𝑎5, xếp a khơng đứng đầu, xếp a có cách, chọn 𝑎1 có cách 𝐴12 cách chọn số xếp vào vị trí cịn lại Suy có : 2.2 𝐴12=24( số) Vậy có : 6(18+18+24)=360 số n Chương III: SỐ TẠO THÀNH CHỨA CÁC CHỮ SỐ LẶP LẠI III.1 Trong chữ số cho khơng có chữ số Bài 16: Có số gồm chữ số có chữ số bốn chữ số lại 1, 3, 4, 5? Lời giải: Bộ số ( 2, 2, 2, 1, 3, 4, 5) tạo số cần lập có chữ số: Có 𝐶37 cách chọn số vị trí cho chữ số Tiếp theo, có 𝐴44 cách xếp chữ số 1, 3, 4, vào vị trí cịn lại Do số số tạo thành 𝐶37.𝐴44 = 840 ( số ) Bài 17: Có thể lập số gồm chữ số từ số 1, 2, 3, 4, 5, chữ số có mặt hai lần, cịn chữ số khác có mặt lần? Lời giải: Bộ số ( 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ) tạo số có chữ số Có C82 cách chọn vị trí cho chữ số Tiếp theo có C62 cách chọn vị trí cho chữ số Có 𝐴44 cách xếp chữ số 1, 3, 4, vào vị trí cịn lại Do số số tạo thành là: 𝑇 = 𝐶28𝐶26.𝐴44 = 10080 ( số ) Tổng quát: Cho tập hợp n chữ số khơng có chữ số Từ chúng có 𝑡 𝑡 𝑘 𝑡 thể lập 𝑇 = 𝐶 𝑚1.𝐶𝑚 ‒2𝑡 𝐶𝑚 ‒ ∑𝑘𝑘 ‒ 1𝑡 𝐴 1 𝑖 𝑚 ‒ ∑1𝑡𝑖 𝑛‒𝑘 số có m chữ số có k chữ số định trước có số lần xuất tương ứng 𝑡1, 𝑡2,…,𝑡𝑘 (∑𝑘1𝑡𝑖 ≤ 𝑚 ) chữ số lại xuất không lần 13 SangKienKinhNghiem.net 𝑡 Thật vậy: Có 𝐶 𝑚1 cách chọn vị trí cho chữ số xuất 𝑡1 lần Tiếp theo có 𝑡 𝐶𝑚 ‒2𝑡 cách chọn vị trí cho chữ số xuất 𝑡2 lần,…, có 𝐶 𝑡𝑘 𝑘‒1 𝑚 ‒ ∑1 𝑡𝑖 cách chọn vị 𝑘 𝑚 ‒ ∑1𝑡 Có 𝐴 𝑛 ‒ 𝑘 𝑖 trí cho chữ số xuất 𝑡𝑘 lần khơng q lần xếp vào vị trí cịn lại Vậy số số tạo thành là: cách chọn chữ số số xuất 𝑡 𝑡 𝑡 𝑇 = 𝐶 𝑚1.𝐶𝑚 ‒2𝑡 𝐶 ∑𝑘𝑘 ‒ 𝑚‒ 𝑡 1 𝑘 𝑖 𝑚 ‒ ∑1𝑡 𝐴 𝑛 ‒ 𝑘 𝑖 ( số ) Bài 18: Có số tự nhiên có chữ số khác cho có chữ số xuất ba lần, chữ số khác xuất hai lần chữ số khác với hai chữ số trên? Lời giải: Có 𝐶19 cách chọn chữ số xuất ba lần, có 𝐶36 cách chọn số vị trí cho chữ số Sau có 𝐶18 cách chọn chữ số xuất hai lần ( khác với chữ số ) có 𝐶23 cách chọn số vị trí cịn lại cho chữ số Tiếp theo có 𝐶17 cách chọn chữ số cho vị trí cịn lại cuối Ta số số 𝐶19.𝐶36.𝐶18.𝐶23 𝐶17 = 30240 ( số ) III.2 Trong chữ số cho có chữ số Bài 19: Từ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số số có mặt lần, cịn số khác có mặt lần Lời giải: Bộ ( 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, ) tạo số có chữ số Nếu kể trường hợp số đứng đầu, lần lượt: Có 𝐶38 cách chọn số vị trí cho chữ số Sau có 𝐴55 cách chọn chữ số ( khác ) vào vị trí cịn lại Ta số số 𝑇1 = 𝐶38.𝐴55 Trường hợp chữ số đứng đầu Có 𝐶37 cách chọn vị trí cho chữ số 1, có 𝐴44 cách chọn chữ số lại Ta số số 𝑇2 = 𝐶37.𝐴44 Vậy số số thỏa mãn toán là: 𝑇 = 𝐶38.𝐴55 ‒ 𝐶37.𝐴44 = 5880 ( số ) Bài 20: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số 0, 1, 2, xuất lần, chữ số xuất hai lần chữ số xuất ba lần Lời giải: Bộ ( 0, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, ) tạo số có chữ số 14 SangKienKinhNghiem.net Nếu kể trường hợp số đứng đầu, lần lượt: Có 𝐶29 cách chọn vị trí cho chữ số Có 𝐶37 cách chọn vị trí cho chữ số Tiếp theo có 𝐴44 cách xếp chữ số 0, 1, 2, cho vị trí cịn lại Ta số số là: 𝑇1 = 𝐶29.𝐶37.𝐴44 Trường hợp chữ số đứng đầu: Có 𝐶28 cách chọn vị trí cho chữ số Có 𝐶36 cách chọn vị trí cho chữ số Và có 𝐴33 cách chọn chữ số cho vị trí cịn lại Ta số số 𝑇2 = 𝐶28.𝐶36.𝐴33 Vậy số số tạo thành thỏa mãn là: 𝑇 = 𝐶29.𝐶37.𝐴44 ‒ 𝐶28.𝐶36.𝐴33 = 13440 ( số) Bài 21: Có số có chữ số cho có chữ số xuất ba lần, chữ số khác xuất hai lần chữ số khác với hai chữ số trên, [4, Tr 45] Lời giải: Nếu kể trường hợp chữ số đứng đầu, lần lượt: Có 10 cách chọn chữ số xuất lần có 𝐶36 cách chọn vị trí cho chữ số Sau có cách chọn chữ số xuất lần ( khác với chữ số ) có 𝐶23 cách chọn vị trí cho chữ số Tiếp theo có cách chọn chữ số cho vị trí cịn lại cuối Ta số số 10 𝐶36.9 𝐶23.8 = 720 𝐶36 𝐶23 Vì vai trò 10 chữ số 0, 1, 2,…, 8, nên số số có chữ số đứng đầu khác thỏa mãn toán là: 9.720 𝐶36 𝐶23 10 = 648.𝐶36 𝐶23 = 38880 ( số ) Bài 22: Có số có chữ số cho chữ số có chữ số xuất hai lần, chữ số lại xuất không lần ( Đề thi HSG lớp11 tinh Bắc Giang năm 2012-2013) Lời giải: Nếu kể trường hợp chữ số đứng đầu, lần lượt: Có 10 cách chọn chữ số xuất lần có 𝐶24 cách chọn vị trí cho chữ số Sau có 𝐴29 cách xếp hai số khác số vào hai vị trí cịn lại Ta số số 10 𝐶24 𝐴29 Vì vai trò 10 chữ số 0, 1, 2,…, 8, nên số số có chữ số đứng đầu khác thỏa mãn toán là: 9.10 𝐶24 𝐴29 10 = 𝐶24 𝐴29 = 3888 ( số ) 15 SangKienKinhNghiem.net Chương IV: SỐ TẠO THÀNH THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN RẰNG BUỘC CHO TRƯỚC (Chia hết cho số đó, cho trước tổng chữ số, cho trước điều kiện số chữ số,…) Bài 23: Cho tập 𝐴 = {0,1,2,3,4,5} Từ tập A lập số có chữ số khác chia hết cho ? Lời giải: Mỗi số gồm chữ số phân biệt có dạng: 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4 , 𝑎𝑖 ∈ 𝐴,𝑎𝑖 ≠ 𝑎𝑗, 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖,𝑗 ∈ 𝑁 ;1 ≤ 𝑖,𝑗 ≤ Để số tìm số chia hết cho 2, điều kiện 𝑎4 ∈ {0, 2, 4} Trường hợp 1: Nếu a4 = có cách chọn Chọn số từ phần tử tập 𝐴\{0} xếp vào vị trí 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 có 𝐴35 cách chọn Như 𝑇1 = 1.𝐴35 = 20 ( số) Trường hợp 2: Nếu 𝑎4 ∈ {2, 4} Có cách chọn Tiếp theo: 𝑎1 chọn từ số tập 𝐴\{0, 𝑎4} có cách chọn Có 𝐴24 cách xếp số chọn từ số tập 𝐴\{𝑎1, 𝑎4} vào vị trí 𝑎2, 𝑎3 Như 2.4.𝐴24 = 96 Suy có 20+96=116 ( số) Bài 24: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số khác đôi chia hết cho 9.[6, Tr 381] Lời giải: Mỗi số gồm chữ số phân biệt dạng: 𝑎1𝑎2𝑎3 ,𝑎𝑖 ≠ 𝑎𝑗, 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖,𝑗 ∈ 𝑁 ;1 ≤ 𝑖,𝑗 ≤ Một số muốn chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Có ba khả xảy ra: Trường hợp 1: Mỗi (a1,a2, a3) chọn từ số 0, 4, Có 2.2.1 = cách Trường hợp 2: Mỗi (a1,a2, a3) chọn từ số 2, 3, Có 3! = cách Trường hợp 3: Mỗi (a1,a2, a3) chọn từ số 1, 3, Có 3! = cách Vậy số số thỏa mãn là: + + = 16 số 16 SangKienKinhNghiem.net Bài 25: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số chẵn có chữ số đơi khác Lấy ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để lấy số lớn 2012 ( Đề thi HSG tinh Thanh Hóa năm 2011-2012) Lời giải:  Lập số chẵn Gọi 𝐴 = {0,1,2,3,4} Mỗi số gồm chữ số phân biệt có dạng: 𝑛 = 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4 ,𝑎𝑖 ≠ 𝑎𝑗, 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑖,𝑗 ∈ 𝑁 ;1 ≤ 𝑖,𝑗 ≤ Để n số chẵn, điều kiện 𝑎4 ∈ {0, 2, 4} +) Nếu a4 = có cách chọn Có 𝐴34 cách xếp số vào vị trí 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 Như 𝐴34 = 24 +) Nếu 𝑎4 ∈ {2, 4} có cách chọn Tiếp theo: 𝑎1 chọn từ số tập 𝐴\{0, 𝑎4} có cách chọn Có 𝐴23 cách xếp số chọn từ số tập 𝐴\{𝑎1, 𝑎4} vào vị trí 𝑎2, 𝑎3 Như 2.3.𝐴23 = 36 Suy có 24+36=60 ( số) chẵn  Tính số chẵn lập khơng lớn 2012 có dạng 1𝑎2𝑎3𝑎4 Chọn 𝑎4 chẵn có cách, có 𝐴23 cách xếp số chọn từ số tập 𝐴\{1, 𝑎4} vào vị trí 𝑎2, 𝑎3 Suy có 𝐴23 =18 Số số chẵn lớn 2012 là: 60-18= 42 ( số) 42  Xác suất để lấy số lớn 2012 𝑃 = 60 = 10 Bài 26: Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên có chữ số đôi khác thỏa mãn điều kiện: tổng chữ số đầu nhỏ tổng chữ số sau đơn vị? Lời giải: Gọi số gồm chữ số phân biệt cần lập có dạng: 𝑛 = 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4 𝑎5 Điều kiện: 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + = 𝑎4 + 𝑎5 + 𝑎6 Vì 1+2+3+4+5+6 =21 Suy ra: 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3=10, 𝑎4 + 𝑎5 + 𝑎6 = 11 Ta có trường hợp sau: +) {1,3,6} và{2,4,5} ta có : 3!.3!=36 ( số) +) {1,4,5} và{2,3,6} ta có : 3!.3!=36 ( số) 17 SangKienKinhNghiem.net +) {2,3,5} và{1,4,6} ta có : 3!.3!=36 ( số) Vậy có 36.3=108 số n Bài 27: Có số gồm chữ số cho tổng chữ số số số lẻ? [6, Tr 67] Lời giải: Xét số có chữ số 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4𝑎5 Có khả năng: * Nếu (a1+a2+a3+a4) chẵn 𝑎5 ∈ {1,3,5, 7, 9} *Nếu (a1+a2+a3+a4) lẻ 𝑎5 ∈ {0,2,4, 6, 8} Số số có chữ số 𝑎1𝑎2𝑎3𝑎4 9.10.10.10 = 9000 ( số ) Và số có chữ số lại sinh số có chữ số có tổng chữ số số lẻ Do số số thỏa mãn 9000 = 45000 ( số ) Tổng quát: Có số có m chữ số cho tổng chữ số số số lẻ? Thật vậy: Số có m chữ số có dạng 𝑎1𝑎2𝑎3…𝑎𝑚 Có khả năng: *Nếu (a1+a2+…+am-1) chẵn 𝑎𝑚 ∈ {1,3,5, 7, 9} *Nếu (a1+a2+…+am-1) lẻ 𝑎𝑚 ∈ {0,2,4, 6, 8} Số số có (m-1) chữ số 9.10m-2 ( số ) Và số có (m-1) chữ số lại sinh số có m chữ số cho tổng chữ số số số lẻ Do số số thỏa mãn 5.9.10m-2 = 45.10m-2 (số ) Tương tự ta chứng minh có 45.10m-2 số có m chữ số cho tổng chữ số số số chẵn 2.4 Hiệu sáng kiến 1) Đề tài phân dạng chi tiết, đưa phương pháp cụ thể, khái quát cách giải với toán tổng qt tốn tạo số Góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy thân 2) Nội dung đề tài triển khai sinh hoạt chuyên môn tổ Và có nhiều phẩn hồi tích cực từ đồng nghiệp Được dùng tiết luyện tập để nâng cao kết hoạt động giáo dục 18 SangKienKinhNghiem.net 3) Đề tài cung cấp kiến thức cách hệ thống chọn lọc ví dụ điển hình, tháo gỡ vướng mắc lớp đối tượng học sinh giải toán, tiếp thu kiến thức Chỉ hướng nhằm đơn giản đơn vị kiến thức làm cho học sinh tiếp thu kiến thức nhẹ nhàng hơn, rèn luyện thành thạo kĩ giải toán để làm có kết xác nhanh Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 11, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải toán tạo số Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn chuyên đề em học sinh với mức học trung bình trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy cho học sinh làm kiểm tra tự luận ( năm học 2014-2015), làm trắc nghiệm (năm học 2016-2017) kết qua kiểm tra thử sau : Năm học 2014 2015 2016 2017 Lớp Tổng số Điểm trở lên Điểm từ đến Số lượng Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ Điểm 11A2 44 28 63,6% 10 27,7% 13,7% 11A3 44 20 45,4% 45,4% 13 9,2% 11A4 36 15 41,7 % 14 38,9 % 19,4 % 11A3 42 25 59,5% 15 35,7% 4,8% Như tơi thấy phương pháp giải tốn tạo số có hiệu giảng dạy Theo tơi dạy phần giải tốn tạo số giáo viên cần rõ dạng toán cách giải tương ứng để học sinh nắm tốt 19 SangKienKinhNghiem.net KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trong trình thực áp dụng sáng kiến trên, thu kết định, học sinh hứng thú toán tạo số, kết học tập mơn tốn nâng lên rõ rệt Với học sinh em khơng cịn e ngại giải toán lập số đề thi kỳ thi Bởi em cung cấp kiến thức cách hệ thống chọn lọc cẩn thận qua rèn luyện thành thạo kĩ giải toán Và sở để xây dựng cho học sinh chuyên đề xác suất mà nội dung có lien quan đến toán tạo số; nhiên để sáng kiến sử dụng hiệu rộng cần ý kiến đóng góp đồng nghiệp để khắc phục thiếu sót, hồn thiện đề tài nghiên cứu 3.2.Kiến nghị Đối với quan quản lý Nhà nước: Cần tiếp tục đổi sách giao khoa theo hướng tích cực hóa học sinh Bộ Giáo dục Đào tạo cần biên soạn thẩm định tài liệu hướng dẫn giáo viên, học sinh phương pháp dạy, học theo hình thức thi trắc nghiệm Đối với Sở GD&ĐT Thanh Hóa: In ấn cho lưu hành rộng rãi sáng kiến kinh nghiệm thiết thực, có hiệu Đối với trường sở tại: Tiếp tục trì đạo tốt việc sinh hoạt chuyên môn để thân học hỏi chia sẻ kinh nghiệm Đối với tổ, nhóm chun mơn: Duy trì tốt thường xuyên việc trao đổi kinh nghiệm, học tập, đánh giá tiến hành phương pháp dạy học Tích cực áp dụng cơng nghệ thơng tin giảng dạy Các dạng toán phương pháp giải tốn tạo số được tơi nêu đề tài tưởng khơng có đặc biệt, nhiên lại tạo hướng giải tốn hiệu phù hợp với đại phận học sinh Q trình giảng dạy tơi nhận khơng câu hỏi, thắc mắc cách sử dụng phương pháp hướng dẫn cho học sinh học sinh nắm vấn đề giải tốt tốn tương tự Đề tài khơng tránh khỏi sai sót nhỏ, để sáng kiến sử dụng hiệu rộng cần ý kiến đóng góp đồng nghiệp để khắc phục thiếu sót, hồn thiện đề tài nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn! 20 SangKienKinhNghiem.net ... dạn viết sáng kiến kinh nghiệm: “ Phương pháp giải toán tạo số ” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Lựa chọn đề tài làm sáng kiến kinh nghiệm, trước hết giúp thân tơi hồn thiện kỹ năng, phương pháp dạy... trống Số số 6.3